Chapitre 8

Chapitre 8: La relativité restreinte
8.1 L’hypothèse de l’éther
•
Vers 1800, il était connu que la lumière était une onde transversale et on
supposait qu’elle avait besoin d’un milieu de propagation qu’on appelait l’éther.
•
Vers 1800, on trouva que la lumière est une onde électromagnétique se
déplace à la vitesse: c  1  0 0
•
Les deux constantes
de l’éther.
 0 et 0
caractérisent les propriétés électomagnétiques
8.2 L’expérience de Michelson Morley
•
•
L’expérience de Michelson-Morley à montré qu’il était
impossible de mettre en évidence l’éther par un
déplacement relatif.
La vitesse de la lumière est toujours la même, peut
importe la vitesse de la source ou celle de
l’observateur.
8.3 La covariance
•
•
Les lois de la mécanique de Newton sont covariantes, c’est-à-dire qu’elles
gardent la même forme sous la transformation de Galilée (transformation
d’un référentiel d’inertie S à un autre S’)
Les lois de l’électromagnétisme de Maxwell ne sont pas covariantes et
changent de forme d’un référentiel à un autre.
S S'
x '  x  vt
y'  y
z' z t't
??
8.4 Les deux postulats d’Einstein
•
•
Le principe de la relativité: Toutes les lois de la physique ont la même forme
dans tous les référentiels d’inertie (covariance).
Le principe de la constance de la vitesse de la lumière: La vitesse de la
lumière est la même dans tous les référentiels d’inertie (Elle ne dépend pas
de la vitesse de la source ou de celle de l’observateur)
8.5 Définitions
•
•
•
Un événement est un phénomène qui se produit en un point unique dans
l’espace et à un instant unique dans le temps (un point de l’espace-temps).
Un observateur est une personne pourvu d’une horloge et d’une règle qui
prend des mesures dans son voisinage immédiat.
Un référentiel est un ensemble d’observateurs répartis dans l’espace. Le
référentiel propre d’un objet est celui dans lequel il est au repos. Les
horloges sont synchronisées.
Évènements
8.6 La relativité de la simultanéité
•
•
Deux évènements en des points différents de
l’espace sont simultanés si un observateur à
mi-chemin entre les deux reçoit les éclairs
(informations) au même moment.
Deux évènements distincts dans l’espace qui
sont simultanés dans un référentiel ne sont
pas simultanés dans un autre référentiel en
mouvement par rapport au premier
8.7 La dilatation du temps
Δt’ (T0) est le temps propre car il
est mesuré par une seule horloge
au repos dans S’
2L
t ' 
c
 t 
 t 
2
c

L



v 
2


 2 
2
2
 t   t 
2
c  v   L
 2   2 
2
2
t 2  c 2  v 2    2 L 
t 
t 
2L c
1  v2 c2
t '
1  v2 c2
2
Δt (T) est le temps dilaté mesuré
par deux horloges dans S qui est
en mouvement relativement à S’.
Δt est nécessairement plus long
que Δt’ car la lumière doit
parcourir une distance plus
grande à la même vitesse.
Note: S se déplace vers la
gauche par rapport à S’ ou S’ se
déplace vers la droite par
rapport à S.
8.8 La contraction des longueurs
S ':
x '  vt '
S:
x  vt 
x '  x 1  v 2 c 2
vt '
1  v2 c2

x '
1  v2 c2
L  L0 1  v 2 c 2
Δx (L0) est la longueur propre car elle est
mesurée dans S (au repos).
Δx’ (L) est la longueur contractée et elle est
mesurée dans le système S’ (en mouvement).
L’effet de contraction des longueurs est le
corolaire de la dilatation du temps.
Exemple E8
La durée de vie moyenne des muons au repos est de 2.2 μs. À
quelle vitesse par rapport référentiel S vont-ils parcourir 400 m
(mesuré dans S) avant de se désintégrer.
Solution dans le référentiel S
x 1  v 2 c 2
x
x
v


t 
t 

t 


 1  v2 c2 


t 
t 
1  v2 c2
Solution dans le référentiel S
2
2
x x 1  v c
v

t 
t 
Dans un cas comme dans l'autre, il faut isoler v
v2
 x 
 
 t 
v
2
 1  v2 c2
1
1
 x 
 
 t 
2

1
c2





1
1
v2 
 2  1
2
  x  c 





t



1
 1.55 108 m s
1
1

2
2
 400   3 108 

6 
 2.2 10 
x  x 1  v 2 c 2
8.9 L’effet Doppler en relativité
S ':
t '  T0
S:
T  t 
S:
T
S:
f 
S:
f  1  v c f0
t ' 1  v c 
d
vt
 t 
 t 1  v c  
c
c
1  v2 c2
T0 1  v c 1  v c
1 v c 1 v c
cv
f0
c v
2

1 v c
1 v c
T0  T0
cv
cv
Effet Doppler longitudinal
2
Effet Doppler transversal
À t=0, O’ est confondu avec O et
c’est le début d’un cycle. La
figure illustre la situation une
période plus tard.
L’effet Doppler relativiste dépend uniquement de la vitesse relative entre la source et
l’observateur. Dans les deux cas (longitudinal et transversal), l’effet de dilatation du
temps augmente la période (diminue la fréquence). Dans le cas longitudinal,
l’éloignement de source produit un retard supplémentaire qui augmente encore plus la
période (diminue la fréquence).
8.12 L’addition relativiste des vitesses
u x'  v
ux 
1  vu x' c 2
Exemple : E 40
S : terre
ux  ?
S  :vaisseau spacial
u x'  0.1c
Particule: missile
v  0.7c
u x'  v
0.1c  0.7c
0.8c
a) ux 


 0.748c
'
2
2
1  vu x c 1  0.7c  0.1c c
1.07
u x'  v
0.1c  0.7c
0.6c
b) u x 


 0.645c
'
2
2
1  vu x c 1   0.1c   0.7c c
0.93
8.13 La quantité de mouvement et l’énergie
Selon l’électromagnétisme, une
impulsion lumineuse transporte une
quantité de mouvement E/c.
La boîte de masse M subit un recul à
une vitesse v pendant un temps Δt en
parcourant une distance Δx.
p
x
E
c
E
Mc
L
E L EL
x  vt  v 

c Mc c Mc 2
M
M EL
E
 M x  mL  0  m 
x 

L
L Mc 2 c 2
E  mc 2
-Mv  E c  0
 v
Pour que le centre de masse ne
bouge pas, il faut que l’impulsion
lumineuse transporte une masse m
p  mv   m0v
m
m0
1 v c
2
2
quantité de mouvement
  m0
masse relativiste
E  mc 2
énergie totale
E0  m0 c 2
énergie au repos
K  E - m0 c 2  m0 c 2 (  1)
énergie cinétique relativiste
E 2  p 2 c 2  m02 c 4
Exemple E46
Un électron se déplace à 0,998c. Trouvez (a) son énergie cinétique en
électronvolts; (b) le module de sa quantité de mouvement.
Note: 1eV  1.6 1019 J
NYC Chap.8 E 46
a)
K  mo c 2    1  9.111031   3 108   15.8  1  1.2110 12 J  7.58 MeV
2

b)
1
1 v c
2
2

1
1   0.998c  c
2

2
1
1  0.998
2
 15.8
p  mv   mo v  15.8  9.111031  0.998  3 108  4.3110 21 kg m s