Chapitre 8

Chapitre 8: La relativité restreinte
8.1 L’hypothèse de l’éther
• Vers 1800, il était connu que la lumière était une
onde transversale et on supposait qu’elle avait
besoin d’un milieu de propagation qu’on appelait
l’éther.
• Vers 1800, on trouva que la lumière est une onde
électromagnétique se déplace à la vitesse: c  1
 0 0
• Les deux constantes  0 et 0 caractérisent les
propriétés électomagnétiques de l’éther.
8.2 L’expérience de Michelson Morley
• L’expérience de Michelson-Morley
à montré qu’il était impossible de
mettre en évidence l’éther par un
déplacement relatif.
• La vitesse de la lumière est
toujours la même, peut importe la
vitesse de la source ou celle de
l’observateur.
8.3 La covariance
• Les lois de la mécanique de Newton sont
covariantes, c’est-à-dire qu’elles gardent la
même forme sous la transformation de Galilée
(transformation d’un référentiel d’inertie S à un
autre S’)
• Les lois de l’électromagnétisme de Maxwell ne
sont pas covariantes et changent de forme d’un
référentiel à un autre.
S S'
x '  x  vt
y'  y
z' z t't
??
8.4 Les deux postulats d’Einstein
• Le principe de la relativité: Toutes les lois
de la physique ont la même forme dans
tous les référentiels d’inertie (covariance).
• Le principe de la constance de la vitesse
de la lumière: La vitesse de la lumière est
la même dans tous les référentiels
d’inertie (Elle ne dépend pas de la vitesse
de la source ou de celle de l’observateur)
8.5 Définitions
• Un événement est un phénomène qui se produit
en un point unique dans l’espace et à un instant
unique dans le temps (un point de l’espacetemps).
• Un observateur est une personne pourvu d’une
horloge et d’une règle qui prend des mesures
dans son voisinage immédiat.
• Un référentiel est un ensemble d’observateurs
répartis dans l’espace. Le référentiel propre d’un
objet est celui dans lequel il est au repos.
8.5 Définitions
Évènements
Référentiel: Ensemble d’observateurs dont
les horloges sont synchronisées
8.6 La relativité de la simultanéité
• Deux évènements en des points
différents de l’espace sont
simultanés si un observateur à
mi-chemin entre les deux reçoit
les éclairs (informations) au
même moment.
• Deux évènements distincts dans
l’espace qui sont simultanés dans
un référentiel ne sont pas
simultanés dans un autre
référentiel en mouvement par
rapport au premier
8.7 La dilatation du temps
Δt’ (T0) est le temps propre car il
est mesuré par une seule horloge
au repos dans S’
2L
t ' 
c
 t 
 t 
2
c

L



v 
 2 
 2 
2
2
 t   t 
2
c

v

L

 

 2   2 
2
2
t  c  v
2
t 
t 
2
2
   2L 
2L c
1 v c
2
2
t '
1  v2 c2
2
Δt (T) est le temps dilaté mesuré
par deux horloges dans S qui est
en mouvement relativement à S’.
Δt est nécessairement plus long
que Δt’ car la lumière doit
parcourir une distance plus
grande à la même vitesse.
Note: S se déplace vers la
gauche par rapport à S’ ou S’ se
déplace vers la droite par
rapport à S.
8.7 La dilatation du temps
8.8 La contraction des longueurs
S ':
x '  vt '
S:
x  vt 
x '  x 1  v 2 c 2
vt '
1  v2 c2

x '
1  v2 c2
L  L0 1  v 2 c 2
Δx (L0) est la longueur propre car elle est
mesurée dans S (au repos).
Δx’ (L) est la longueur contractée et elle
estmesurée dans le système S’ (en
mouvement).
L’effet de contraction des longueurs est le
corolaire de la dilatation du temps.
8.9 L’effet Doppler en relativité
S ':
t '  T0
S:
t ' 1  v c 
d
vt
T  t   t 
 t 1  v c  
c
c
1  v2 c2
S:
T
S:
f 
S:
f  1  v c f0
T0 1  v c 1  v c
1 v c 1 v c
cv
f0
c v
2

1 v c
1 v c
T0 
cv
T0
cv
Effet Doppler longitudinal
2
Effet Doppler transversal
À t=0, O’ est confondu avec O et
c’est le début d’un cycle. La
figure 8.21 illustre la situation une
période plus tard.
L’effet Doppler relativiste dépend uniquement de la vitesse relative entre la source et
l’observateur. Dans les deux cas (longitudinal et transversal), l’effet de dilatation du
temps augmente la période (diminue la fréquence). Dans le cas longitudinal,
l’éloignement de source produit un retard supplémentaire qui augmente encore plus la
période (diminue la fréquence).
8.11 La transformation de Lorentz
S S'
x' 
t'
S'S
x  vt
x ' vt '
x
1  v2 c2
t  vx c 2
t
1  v2 c2
1  v2 c2
t ' vx ' c 2
1  v2 c2
( x1 , x2 , x3 , x4 )  ( x, y, z, ct )
 v c

x1'   ( x1   x4 )
x4'   ( x4   x1 )
1
1  v2 c2
8.12 L’addition relativiste des vitesses
x    x ' vt '
 dx ' 
dx    dx ' vdt '   dt ' 
 v    dt '  u x'  v 
 dt '

t    t ' vx ' c 2 
v dx ' 
v '


dt    dt ' vdx ' c    dt ' 1  2
   dt ' 1  2 u x 
 c dt ' 
 c

2
dx
ux 

dt
 dt '  u x'  v 
u x'  v

v '  1  vu x' c 2

 dt ' 1  2 u x 
 c

8.13 La quantité de mouvement et l’énergie
Selon l’électromagnétisme, une
impulsion lumineuse transporte une
quantité de mouvement E/c.
La boîte de masse M subit un recul à
une vitesse v pendant un temps Δt en
parcourant une distance Δx.
E
p
c
-Mv  E c  0

L
E
x  vt  v 
c Mc
 M x  mL  0 
E  mc 2
x
Pour que le centre de masse ne
bouge pas, il faut que l’impulsion
lumineuse transporte une masse m
E
v
Mc
L EL

c Mc 2
M
M EL
E
m
x 
 2
2
L
L Mc
c
p  mv   m0v
m
m0
1  v2 c2
quantité de mouvement
  m0
masse relativiste
E  mc 2
énergie totale
E0  m0 c 2
énergie au repos
K  E - m0 c 2  m0 c 2 (  1)
énergie cinétique relativiste
E 2  p 2 c 2  m02 c 4