Quelques commentaires qui peuvent vous tre utiles

Quelques commentaires qui peuvent vous être utiles
Relativité(olympiades 06)
I.Cinématique
La vitesse de la lumière dans le vide est une vitesse limite qu’aucune entité ne peut dépasser.
Un événement c’est quelque chose à un endroit et à un instant t. :(4 coordonnées)
Ex :passage d’une impulsion lumineuse à un point
coïncidence de l’aiguille d’une horloge avec une marque déterminée ,explosion.
L’intervalle de temps entre 2 événements dépend du mouvement de l’observateur
La longueur entre 2 événements dépend du mouvement de l’observateur
γ=1/√(1-v²/c²) facteur relativiste >1(plus on s’éloigne de 1 plus c’est relativiste)et β=v/c
Connaître « l’année lumière » :distance parcourue par la lumière en un an
Idée importante :2 observateurs en mouvement relatif ne sont jamais d’accord sur la simultanéité.
1)Le référentiel dans lequel un objet ,une horloge ou une tige est au repos, s’appelle le référentiel
propre R0 :l’observateur est dans le même référentiel que l’objet, donc immobile par rapport l’objet .
L’autre s ‘appelle R (celui par rapport auquel l’horloge ou l’objet a une vitesse v proche de celle de la lumière)
2)Le temps propre T0 est l’intervalle de temps entre 2 événements mesurés dans le référentiel propre
d’une horloge ,c’est à dire le référentiel où l’horloge est au repos. : dans ce référentiel R0, ces 2 événements
sont au même endroit.
Dans un référentiel autre , l’intervalle de temps entre les 2 événements ne sont plus au même endroit et
l’intervalle est mesuré par 2 observateurs donc 2 horloges synchronisées.
L’intervalle de temps mesuré par un observateur dans le référentiel R par 2 horloges est plus grand que le
temps propre mesuré par une seule horloge et donc T=γ T0 .
On appelle cela la dilatation des durées
Rmque :c’est leur mouvement relatif qui rend leur mesure différente
3)La longueur propre L0 est la longueur d’un objet mesuré dans son référentiel propre R0(cela veut dire
noter la position d’une extrémité et de l’autre à sa guise puisque l’observateur et l’objet sont immobiles l’un
par rapport à l’autre )
Une mesure de longueur par un observateur dans tout autre référentiel R en mouvement parallèle à
cette longueur ,c’est à dire noter la position de ces 2 extrémités doit avoir lieu au même instant (ces 2
événements doivent être simultanés dans R ).Cette mesure est toujours inférieure à la longueur propre
L =L0/γ .
On appelle cela contraction des longueurs
Attention :les longueurs ⊥ au mouvement relatif ne sont jamais modifiées
La longueur n’est pas toujours celle d’un objet comme une tige ;il peut s’agir d’une distance entre 2 objets se
trouvant dans le même référentiel propre :ex soleil et étoile au repos l’une par rapport à l’autre ou Terre et
satellite ( car sa vitesse est < c)
•
Exercice simple pour comprendre :Un quai mesure 200m(c’est sa longueur propre ,mesurée par un
observateur lié au sol).Une locomotive met 0,5micro seconde(durée mesurée par le conducteur du train)
pour se déplacer d’une extrémité à l’ autre du quai. Quelle est la vitesse de la locomotive par rapport au
quai ?
• Solution :0,5μs est un temps propre T0(car le conducteur est immobile par rapport au train)
Dans Le référentiel lié au train, le conducteur voit la longueur du quai contractée L=L0/γ
Si v est la vitesse du train (donc du conducteur) L=vT0 car L et T0 sont mesurés dans le même référentiel .
On peut écrire donc L=L0/γ = vT0 ⇒ L0√(1-v²/c²) =vT0 d’où v²=c²/(1+ c²T0²/L0²)
An v=2,4.108m/s=0,8c
*4)Outil mathématique :(normalement non exigible mais qui peut vous aider peut être) :La transformation de
Lorentz entre 2 référentiels R et R’ avec R’ en translation horizontale de vitesse v très grande par rapport à R.
x’=γ(x - vt)
et t’=γ (t - vx/c²)
y’=y et z’=z
remarque :on peut aussi écrire
Δx=γ(Δx’+ vΔt’) Δt=γ(Δt’ +vΔx’/c²)
Δx’=γ(Δx- vΔt) Δt’=γ(Δt - vΔx/c²)
donc par ex :si on mesure un intervalle de temps Δt’en un même point dans R’ (ici R0) alors le temps perçu
(par une horloge en mouvement) sera Δt=γ Δt’ puisque x’2=x’1
si on mesure une longueur Δx’=L0 dans le référentiel propre ,alors on doit mesure Δx= L au même
instant donc Δt=0 alors Δx’=L0= γL d’où L=L0/γ
Transformation de la vitesse dans un changement de référentiel
U=(U’+v)/(1+U’v/c²) si U et U’ sont 2 vitesses dans R et R’
5)Effet Doppler relativiste
Soit f0 mesurée dans le référentiel propre R0 de la source
Et f la fréquence mesurée par un observateur à la vitesse v
f =f0 √(1-β)/(1+β) si O s ‘éloigne de S et f =f0 √(1+β)/(1-β) si O se rapproche de S
β=v/c
II. Dynamique relativiste
1)quantité de mouvement p=γmv (don vectoriel aussi)
2)Energie
• Au repos E0=mc²
• Totale
E=E0 +Ec
avec E=γ mc² et Ec=(γ-1) mc²
L’énergie totale d’un système isolé se conserve
Relation utile si p=γ mv et E=γ mc² on fait le rapport ⇒ p=(E/c²)v
Application dans les chocs :ne pas oublier l’énergie au repos(par ex si la cible est au repos elle a une énergie)
• Relation indispensable E²= p²c² +m²c4 ( truc utile pour retenir ;pythagore)(pour une masse m)
• Particule ultra relativiste =sans masse =photon E=pc
• Les énergies se mesurent en eV (ou keV ou Mev=106 ou Gev=109) 1eV=1,6.10-19 J
III .Applications classiques
1)les chocs
• Lois des chocs :conservation de E et de p
• Toujours se servir de E²= p²c² +m²c4 par particule de masse m
• Ex classique de la diffusion Compton (choc d’un photon sur un électron)
2)mouvement dans un champ B constant
• Connaître la force de lorentz
• Dans B, une particule n’est jamais accélérée que ce soit en méca classique ou relativiste
• On écrit le PFD dp/dt =qvB avec p =γ mv
Comme v= constante alors γ m v²/r =qvB ⇒ r= γmv/qB
Remarque :mêmes résultats qu’en classique à condition de remplacer la masse m par la quantité γm
3)Mouvement d’une particule dans E constant
• F=qE =dp/dt