Matrices et Applications linéaires

Matrices et Applications lin´eaires
1 Matrices d’une application lin´eaire
Dans toute cette section, Eet Fsont deux K−ev de dimension finie. Soit BE= (~e1, ...., ~ep) une base de E,
et BF= (~1, ...., ~n) une base de F..
D´ efinition
Soit f∈L(E, F ). On appelle matrice de fdans les bases BEet BFla matrice de Mn,p(K) not´ee MatBF,BE(f)
d´efinie par MatBF,BE(f) =
f(e1)f(e2)· · · f(ep)
a11 a12 · · · a1p1
a21 a22 · · · a2p2
.
.
..
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..
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..
.
..
.
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an1an2· · · anp n
o`u l’on a pos´e pour tout j∈[[1, p]], f(~ej) =
n
P
i=1
aij i.
Cas particulier des endomorphismes : E=F
Soit f∈L(E). On appelle matrice de fdans la base BEla matrice carr´ee not´ee MatBE(f)∈ Mn(K) d´efinie
par MatBE(f) =
f(e1)f(e2)· · · f(en)
a11 a12 · · · a1ne1
a21 a22 · · · a2ne2
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
.
an1an2· · · ann en
o`u l’on a pos´e pour tout j∈[[1, n]], f(~ej) =
n
P
i=1
aij ei.
Exemples :
1. Soit f:R3→R2d´efinie par ∀(x, y, z)∈R3,f((x, y, z)) = (2x+z, x −y).
D´eterminer la matrice de fdans les bases canoniques de R3et R2.
2. Soit f:Rn[X]→Rn[X] D´eterminer la matrice de fdans la base canonique de Rn[X]
P7→ P0
3. soit Eun espace vectoriel de dimension n, et B= ( ~e1, ..., ~en) une base de E.
D´eterminer la matrice de l’application idEdans la base B.
Comme deux applications lin´eaires sont ´egales ssi elles ont mˆeme image d’une base, on obtient :
Proposition
Deux applications lin´eaires de Edans Fsont ´egales ssi elles ont mˆeme matrice dans les bases BEet BF.
Cas particulier des formes lin´eaires :
dans ce cas F=K, donc la dimension de Fest 1 et la matrice de fest une matrice ligne.
En g´en´eral, on choisira (1) pour base de F.
Exemples :
1. Donner la matrice de la forme lin´eaire T r :M2(R)→Rdans les bases canoniques respectives.
a b
c d7→ a+d
2. Donner la matrice de la forme lin´eaire f:Kn→Kdans les bases canoniques respectives.
(x1, ..., xn)7→
n
P
k=1
xk
R´eciproquement,
si on fixe deux espaces vectoriels Eet F, de dimension finie pet net munis d’une base, toute matrice de Mn,p(K)
peut ˆetre vue comme la matrice d’une application lin´eaire de Edans Fdans ces bases.
1

Exemple : Soit la matrice A=
100
111
010
, et soit f:R2[X]→R2[X] l’endomorphisme dont la matrice dans la
base canonique est A. but : d´eterminer pour tout P∈R2[X], f(P).
On sait A=
f(1) f(X)f(X2)
!
1 0 0 1
1 1 1 X
0 1 0 X2
Donc f(1) = 1+X,f(X) = X+X2et f(X2) = X. D’o`u par lin´earit´e
de f, si P(X) = aX2+bX +c,f(P) = af(X2)+bf(X)+cf (1) = aX+b(X+X2)+c(1+X) = bX2+(a+b+c)X+c.
Finalement : f:aX2+bX +c∈R2[X]7→ bX2+ (a+b+c)X+c∈R2[X].
D´ efinition
Soit A∈ Mn,p(K) : on appelle application lin´eaire canoniquement associ´ee `a Al’application : Kp→Knd´efinie
par Adans les bases canoniques.
Exemple :L’application lin´eaire canoniquement associ´ee `a A=
1 0
2 1
0−1
est l’application f∈L(R2,R3) d´efinie
par f((1,0)) = (1,2,0) et f((0,1)) = (0,1,−1) c`ad telle que ∀(x, y)∈R2,f(x, y) = (x, 2x+y, −y).
On en d´eduit :
Th´eor`eme
Si Eet Fsont deux K-ev de dimension resp. net p, les espaces L(E, F ) et Mn,p(K) sont isomorphes.
En particulier la dimension de L(E, F ) est n×p=dim(E)×dim(F).
2 Matrices et vecteurs
Soit Eun espace vectoriel de dimension finie pet BE= ( ~e1, ...., ~ep) une base de E.
Alors tout vecteur ~x ∈Epeut s’´ecrire ~x =x1~e1+... +xp~ep.
La matrice MatBE(~x) = 
x1
· · ·
xp
est appel´ee matrice des coordonn´ees du vecteur ~x dans la base BE.
R´eciproquement, toute matrice colonne d´efinit un vecteur ~x ∈E`a l’aide de la relation pr´ec´edente (donc ´ecrit
dans cette base).
Exemple : Soit R2[X] muni de sa base canonique. Alors le polynˆome P(X) = X2−3 a pour matrice de
coordonn´ees 
−3
0
1
et la matrice 
0
1
−1
d´efinit le polynˆome Q(X) = X−X2.
Interpr´etation matricielle de l’image d’un vecteur par une application lin´eaire :
Soit f∈L(E, F ), Eet Fmunis de leur base respective BEet BF.
On introduit M=M atBF,BE(f), ~x ∈E,X=MatBE(~x), ~y ∈Fet Y=MatBF(~y)
Alors ~y =f(~x)⇔M atBF(~y) = MatBF,BE(f)M atBE(~x)⇔Y=MX
D´emonstration
Vient de la d´efinition du produit matriciel (en fait `a l’origine, les matrices ont ´et´e introduites `a partir des ap-
plications lin´eaires ! donc c’est ”fait pour ¸c`a”)
Ecrire ~x =x1~e1+... +xn~en. Alors f(~x) = x1f(~e1) + ... +xnf(~en).
Chaque f(~ei) repr´esente une colonne de M, et X=
x1
...
xn
.
2

Exemple : Soit A=
121
001
121
et fl’endomorphisme de R3canoniquement associ´e `a A. Alors pour tout
(x, y, z)∈R3,A
x
y
z
=
x+ 2y+z
z
x+ 2y+z
donc pour tout (x, y, z)∈R3,f((x, y, z)) = (x+ 2y+z, z, x + 2y+z).
Remarque
L’´ecriture matricielle permet de gagner en concision dans la r´edaction. Par exemple, pour la d´etermination du
noyau, il suffit de r´esoudre le syst`eme MX = 0...
exercice : Soit f:R2[X]→R2[X]
P7→ XP 0(X)−2P(X)
Apr`es avoir v´erifi´e que fest un endomorphisme de R2[X], donner la matrice de fdans la base canonique de
R2[X]. D´eterminer le noyau (de 2 fa¸cons diff´erentes), et l’image de f.
3 Produit matriciel et composition
Th´eor`eme
Soit E,F,Gtrois K−ev de dimension finie , munis resp. des bases BE,BFet BG.
Soit f∈L(E, F ) et g∈L(F, G).
Alors MatBG,BE(g◦f) = M atBG,BF(g)×MatBF,BE(f).
D´emonstration
introduire x,y=f(x), z=g(y) = g◦f(x), A,B,Xet Y.
D’apr`es la section pr´ec´edente on sait que y=f(x)⇔Y=AX,z=g(y) = g◦f(x)⇔Z=BY =BAX
Vrai pour tout ~x donc pour tout X.
Remarque : le produit matriciel a justement ´et´e d´efini pour que cette relation soit vraie ...
Exemple : Soit A=
2 0
1 1
−1 2
et B=0 0 1
2 1 −1,f:R2→R3et g:R3→R2les applications lin´eaires
canoniquement associ´ees `a ces matrices. Donner la matrice de f◦get g◦fainsi que leurs expressions analytiques.
L’´enonc´e devient un peu plus simple dans le cas des endomorphismes :
Th´eor`eme
Soit Eun K−ev de dimension finie et Bune base de E. Soit f, g ∈L(E), et M=M atB(f), N=M atB(g) les
matrices associ´ees. Alors : MatB(g◦f) = MatB(g)×M atB(f) c’est-`a-dire M atB(g◦f) = N×M.
En particulier
1. fet gcommutent (c`ad g◦f=f◦g) ssi Met Ncommutent (c`ad MN =N M).
2. Par it´eration, ∀n∈N,fn=f◦f◦... ◦f(nfois) a pour matrice associ´ee Mn.
Remarque
R´ealiser que la formule du binˆome version endomorphisme revient `a la formule du binˆome version matrices ...
4 Isomorphismes et matrices inversibles
Proposition
soit f∈L(E, F ), avec Eet Fde mˆeme dimension.
Alors fest un isomorphisme de Esur Fssi sa matrice M=MatBF,BE(f) est inversible.
Le cas ´ech´eant, la matrice de l’isomorphisme r´eciproque f−1:F→Eest M−1:
MatBE,BF(f−1) = M atBF,BE(f)−1
3

Remarque
1. Dans le chapitre ”Ev de dimension finie”, on a vu qu’une application lin´eaire ne pouvait ˆetre un isomor-
phisme que si Eet F´etaient de mˆeme dimension.
2. Dans le chapitre ”Matrices”, on a d´efini le caract`ere inversible que pour des matrices carr´ees : or il faut
dim(F) = dim(E) pour que la matrice d’une application lin´eaire de Edans Fsoit carr´ee ...
Tout se tient !
D´emonstration
Posons n=dim(E) = dim(F), alors M=M atBF,BE(f)∈ Mn(K) (matrice carr´ee de taille n).
Si fest un isomorphisme, alors f−1:F→Eexiste et f−1◦f=idEet f◦f−1=idF.
Posons N=M atBE,BF(f−1) ; d’apr`es les r´esultats de la section pr´ec´edente, on sait que la matrice associ´ee `a
f−1◦fest NM , celle associ´ee `a f◦f−1est MN , et que de plus celle associ´ee `a l’identit´e de Eou de Fest In.
On a donc trouv´e une matrice N∈ Mn(K) telle que NM =In=M N. Donc Mest inversible d’inverse
M−1=Net f−1a pour matrice associ´ee M−1.
R´eciproquement, si Mest inversible, alors il existe une matrice M−1telle que MM−1=In=M−1M. En
posant gl’application lin´eaire F→Eassoci´ee `a M−1, on peut v´erifier que g◦f=idEet f◦g=idF. Autrement
dit fest un isomorphisme, et la matrice associ´ee `a g=f−1est M−1.
L’´enonc´e devient un peu plus simple dans le cas des endomorphismes :
Proposition
Soit Eun K−ev de dimension finie, f∈L(E), et Msa matrice associ´ee dans une base de E. Alors
fest un automorphisme de E(f∈GL(E)) ssi Mest inversible (M∈GLn(K)).
Le cas ´ech´eant, la matrice, dans la base BEde l’automorphisme r´eciproque f−1est M−1, l’inverse de M.
Remarque Comme Eest de dimension finie : fbijectif ssi finjectif ssi Kerf ={0}.
On retrouve le r´esultat du chapitre Matrices (−→ point m´ethode) :
Mest inversible ssi l’´equation MX = 0 a pour unique solution X= 0.
5 Rang d’une matrice
Rappel : on a d´ej`a d´efini le rang d’une famille de vecteurs, ainsi que le rang d’une application lin´eaire.
D´ efinition
Soit M∈ Mn,p(K). On introduit ~c1, ..., ~cples vecteurs de Knd´efinies par les colonnes de Mdans la base cano-
nique. On appelle alors rang de M, le rang de (~c1, ..., ~cp) : rg(M) = rg(~c1, ..., ~cp)
exemple :d´eterminer le rang de M=
1 1 1
1 0 −1
2 0 1 
.
En pratique : penser aux op´erations sur les lignes des matrices, pour simplifier les vecteurs colonnes, et
deviner la dimension du vect associ´e .....
(ou passer par les op´erations sur le vect, mais r´edaction parfois plus longue).
Th´eor`eme
Soit f∈L(E, F ), et Asa matrice dans des bases fix´ees de Eet F. Alors rg(f) = rg(A).
D´emonstration
Introduire une base de E: (~e1, ..., ~ep).
Alors on sait que rg(f) = dim(Imf) = dim(V ect(f(~e1), ...., f (~ep)) = dim(V ect(~c1, ..., ~cp)) = rg(A).
Car justement, A´etant la matrice associ´ee de f, ses vecteurs colonnes sont les images des vecteurs de la base
choisie de E.
Remarque : On en d´eduit
1. Si A∈ Mn,p(K) alors rg(A)≤min(n, p) (cf cours rg(f))
4

2. Une matrice M∈ Mn(K) est inversible ssi son rang est rg(M) = n.
(En effet si fest l’endomorphisme canoniquement associ´e `a M, alors Mest inversible ssi fest bijectif ssi
fest surjectif (dimension finie) ssi rg(f) = nssi rg(M) = n).
Th´eor`eme admis
Soit A∈ Mn,p(K). Alors Aet tAont mˆeme rang.
5