Couche limite atmosphérique

Couche limite atmosphérique
Micrométéorologie
Équations du mouvement turbulent
Équations primitives
Air sec
Approximations
Approximation anélastique
Approximation de Boussinesq
Équations de Boussinesq
Équations de Reynolds
Équations qui gouvernent le
mouvement turbulent
• Identification des équations de la couche limite
• Approximations
– L ’air est un gaz parfait
– approximation de Boussinesq
– air sec
Équation de Navier Stokes
dui
 dV   Ti d    Gi dV

dt
V

V
dui Ti


  Gi
dt xi
Tenseur de stress
 T1    11  12  13 
  

   T2    21  22  23 
 T3    31  32  33 

  
 ij   p ij   ij
Symétrie du tenseur de
contraintes
 21
12
13
 23
.x
3
 13
 22
 23
 21
11
x1
x2
12
  r  T  d   2  21  12   0   21  12
S
Forces de surface dues à la
viscosité
-F
U1
A
B
F
U2
Tenseur de viscosité
 ui u j
 ij   

 x j xi

 2 u
   ij
 3 x
Équation de mouvement
dui Ti


  Gi
dt xi
dui
 2ui   2u
p


 2 
  Gi
dt
xi
x 3 xi x
Si on est dans le référentiel local, non inertiel
u
1

2
 u u  g 2  u  p   u      u 
t

3
II
IV
III
I
V
VI
La première loi de la thermodynamique
du   q  pd
 q  dh   dp
Pour un gaz parfait
 q  c p dT   dp
Dans le cas d ’un processus adiabatique
 p0 
 T  
 p
Rd
c pd
q  0
La première loi de la thermodynamique
Rd T
 q  c p dT   dp  c p dT 
dp
p
 q dT Rd dp


c pd T
T c pd p
Rd
+
 p0  c pd
 T  
 p
d dT Rd dp



T c pd p
d  1 dq 

 S
dt T c pd dt T
La première loi de la thermodynamique
d
 S
dt
 condensation   solidification    condensation solide 
S  



-evaporation

fonte
sublimation

 
 

 convergence des flux radiatifs   dissipation d'énergie cinétique 



divergence
des
flux
radiatifs
par
le
mouvement
moléculare

 

 dissipation de chaleur 


par
diffusion
moléculaire


Lp E
 v
1
2
*
 u  v      v 
Q 

t
cp
 c p VI

I
II

II
IV
V
Équations primitives
Conservation de la quantité de mouvement :
u
1

2
 u u  g 2  u  p   u      u 
t

3
II
IV
III
I
VI
V
ui
ui
 2ui   u
1 p
 uj
  i 3 g 2 ijk  j uk 
 2 
t
xj
 xi
x j 3 x j x
III
I
IV
II
V
VI
Équations primitives
Équation de conservation d ’énergie
Lp E
 v
1
2
*
 u  v      v 
Q 

t
cp
 c p VI

I
II

II
IV
V
*

 Lp E

Q
 v
 v
 v
1
j
uj
 



 
2
t
x j
x j  c p  x j   c p
2
Équations primitives
Définition de température potentielle
 p0 
 v  Tv  
 p
R
cp
Équation d ’état :
p  Rd Tv
mv
v
q

m  air
Tv  T 1  0.61q 
c p  c pd 1  0.84q 
Équations primitives
Équation de continuité :
d
   u  0
dt
 
  u j

0
t
x j
u j
d

0
dt
x j
Équations primitives
Équation de continuité pour n ’importe
quelle quantité scalaire de concentration c:
c
 u c   c 2 c  Sc
t
c
c
 2c
uj
  c 2  Sc
t
x j
x j
Équations primitives
Équation de continuité pour
la substance eau :
mv
q
m
qT
qT
 2 q SqT
uj
 q 2 
t
x j
x j  air
Vapeur d ’eau
q
q
 2 q Sq
E
uj
 q 2 

t
x j
x j  air  air
mL
qL 
m
Eau liquide
qL
qL
uj

t
x j
SqL
E


air air
Équations primitives
On a 9 équations à 9 inconnues
p
v
u,v,w
vitesse

densité
pression
température potentielle virtuelle
Tv
q
température virtuelle
quantité de vapeur d ’eau
par unité de masse
qL
quantité d ’eau condensée
par unité de masse
Approximations
Dans un premier temps on considèrera les équations pour
l ’air sec. Le terme de divergence radiative est négligeable,
puisqu ’on ne considère que l ’air sec… (???)
ui
ui
 2ui   u
1 p
 uj
  i 3 g  2 ijk  j uk 
 2 
t
xj
 xi
x j 3 x j x
u j
d

0
dt
x j


 2
uj
  2  
t
x j
x j
7 équations et 7 inconnues
 p0 
 T  
 p
p   d Rd T
Rd
c pd
Approximations : approximation anélastique
– L ’état thermodynamique de
l ’atmosphère dans la couche limite
s ’écarte peu d ’un état de base qui est
hydrostatique et adiabatique
– Le nombre de Match (v/c) est petit,
c ’est-à-dire, les variations spatiales et
temporelles de la pression sont petites
devant la pression elle-même
Approximations : approximation de
Boussinesq
– Approximation anélastique
+
– L ’échelle verticale des mouvements est
petite devant l ’épaisseur effective de
l ’atmosphère : hypothèse de convection
peu profonde (shallow water)
Approximation de Boussinesq
• La viscosité moléculaire,
= , est constante
• La conductivité thermique
moléculaire  =   est
constante.
• |1 / b|<<1, où best la densité
de l ’état de base (adiabatique
et hydrostatique) et 1 est la
perturbation de cet état de
base (1 =  - b).
• La chaleur générée par les
contraintes visqueuses peut
être négligée dans l’équation
thermodynamique.
• Le rapport |T1 / Tb|<<1, où Tb
est la température de l ’état
de base (adiabatique) et T1 est
la perturbation de cet état de
base (T1 = T - Tb) .
• |p1 / pb|<<1, où pb est la
pression de l ’état de base
(hydrostatique) et p1 est la
perturbation de cet état de
base (p1 = p - pp).
• L’échelle verticale du
mouvement est petite par
rapport à l ’échelle de
l ’hauteur de l ’atmosphère.
Équations de Boussinesq
ui
ui 1
 2ui
1 p1
uj
 g i 3  2 ijk  j uk 
 2
t
x j b
b xi
x j
u j
x j
0


 2
 uj
  2
t
x j
x j
p   d Rd T
 p0 
 T  
 p
Rd
c pd
p0  1000 mb
Équations qui gouvernent le mouvement turbulent
• Expansion de la dérivé totale en tendance locale et
advection
• Décomposition de Reynolds
• Application de la moyenne de Reynolds aux
équations
• Utilisation de l ’équation de continuité pour mettre
les termes en forme de flux
Équations de Reynolds
ui
0
xi
ui
0
xi
ui
u
1 p1 1

uj i  
 i3 g  2ijk  j uk 
t
x j
b xi b
x j


 ui





u
u

j i


 x j




  
 ui

 ui
 
t
xi xi  xi

Tb
g

 d
z
c pd
p  b Rd T
 p0 
  T  
 p 
  b  1
Rd
c pd
pb
 b g
z
7 équations et 16 inconnues ...
p  pb  p1
b  cst  0
b  cst  0
  cst
   cst
Paramètres d ’échelle de la couche de surface
Dans l ’atmosphère
 
  u 

w'u '
   
z  z 
z
Les flux turbulents moyens de surface sont utilisés comme
paramètres d ’échelle dans la couche de surface
_____
  0 u ' w'
(quantité de mouvement)
_____
QH  c pd 0 ' w'
(chaleur)
_____
E  0 q' w'
(humidité)
Échelles de vitesse, température et humidité
dans la couche de surface
Les flux turbulents dans la couche de surface sont pratiquement constants
(varient moins de 10 %). On les utilise pour définir des échelles de grandeur
caractéristiques de la couche de surface :
Vitesse de friction
 _____ 2
 , ,
1
2
_____  4
, , 
u*  u w  v w




Échelle de température
 *sl 
_____
, ,
s
 w
u*
Échelle d‘ humidité
q*sl 
_____
, ,
s
wq
u*
QH  w 
,
 
u*  w u
, ,
,
1
2