Fabienne BUSSAC Cliquer sur le titre de paragraphe pour un accès direct… Fabienne BUSSAC 1. DIVISEURS : RAPPELS 2. PGCD DE DEUX NOMBRES 3. CALCUL DU PGCD PAR SOUSTRACTIONS SUCCESSIVES 4. CALCUL DU PGCD PAR ALGORITHME D’EUCLIDE 1. DIVISEURS : RAPPELS Fabienne BUSSAC Soit a et d deux nombres entiers positifs (d 0). Si le quotient a est un nombre entier, d le reste de la division euclidienne de a par d est zéro, il existe un entier n tel que a = d × n alors on dit que : d est un diviseur de a. a est un multiple de d. a est divisible par d. Fabienne BUSSAC Exemple : 42 = 6 ou 42 = 7 × 6 7 7 est un diviseur de 42. On peut donc dire que 42 est un multiple de 7. 42 est divisible par 7. . 26 4 n’est pas un diviseur de 26 car le quotient 4 26 6,5 n’est pas un entier 4 Fabienne BUSSAC Propriété : Tout nombre entier, supérieur ou égal à 2, admet au moins deux diviseurs : 1 et lui-même. Définition : Un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs (1 et lui-même) s’appelle un nombre premier. Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… sont des nombres premiers. 9 n’est pas un nombre premier : il a trois diviseurs 1 ; 3 et 9. 1 n’est pas un nombre premier : il a un seul diviseur 1. 2. PGCD DE DEUX NOMBRES Fabienne BUSSAC Si deux entiers positifs a et b sont divisibles par un même entier d, alors on dit que d est un diviseur commun de a et b. Exemple : 15 = 5 × 3 et 40 = 5 8, donc 5 est un diviseur commun de 15 et 40. Remarque : 1 est un diviseur commun à tous les nombres. a et b sont deux nombres entiers positifs. Fabienne BUSSAC Parmi leurs diviseurs communs, l’un d’entre eux est plus grand que les autres. On appelle P.G.C.D. (Plus Grand Commun Diviseur) le plus grand des diviseurs communs de a et b. On le note PGCD (a ; b). Exemple : Fabienne BUSSAC La liste des diviseurs de 24 est : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 La liste des diviseurs de 36 est : 1; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ;12 ; 18 ; 36 24 = 1 × 24 24 = 2 × 12 24 = 3 × 8 24 = 4 × 6 24 = 5 ×… 36 = 1 × 36 36 = 2 × 18 36 = 3 × 12 36 = 4 × 9 36 = 5 ×… 36 = 6 × 6 Les diviseurs communs de 24 et 36 sont : 1 ; 2; 3; 4; 6 et 12. Le plus grand d’entre eux est 12, c’est le plus grand diviseur commun de 24 et 36. On note PGCD (24 ; 36) = 12. 3. CALCUL DU PGCD PAR SOUSTRACTIONS SUCCESSIVES Fabienne BUSSAC Déterminer le PGCD de 413 et 295. 413 – 295 = 118 PGCD (413 ; 295) = PGCD (295 ; 118) – 118 = 177 PGCD (295 ; 118) = PGCD (177 ; 118) – 118 = 59 PGCD (177 ; 118) = PGCD (118 ; 59) – PGCD (118 ; 59) = PGCD (59 ; 59) = 59 PGCD (413 ; 295) = 59 On prend les deux nombres et on les soustrait. On prend les deux plus petits et on recommence. On s’arrête lorsque l’on obtient deux nombres égaux. 4. CALCUL DU PGCD PAR ALGORITHME D’EUCLIDE Calculer le PGCD de 494 et 143. Fabienne BUSSAC On effectue la division euclidienne de 494 par 143 : 494 143 65 3 On peut écrire : dividende = quotient × diviseur + reste, soit : 494 = 3 × 143 + 65 On recommence le même travail avec le diviseur 143 et le reste de la division 65 : 143 = 2 × 65 + 13 143 65 13 2 On recommence le même travail avec le diviseur 65 et le reste de la division 13 : 65 = 5 × 13 + 0 Le PGCD cherché est le dernier reste différent de 0. Ici, PGCD(494 ; 143) = 13 65 13 0 5 Fabienne BUSSAC Exemple : calculer le PGCD de 108 et 846 avec l’algorithme d’Euclide 846 = 7 × 108 + 90 108 = 1 × 90 + 18 90 = 5 × 18 + 0 Le dernier reste différent de 0 est 18 donc : PGCD(108 ; 846) = 18