5 et 6 : Trigonométrie, produit scalaire, produit vectoriel, Exercices

5 et 6 : Trigonométrie, produit scalaire, produit vectoriel, Exercices
(Printemps 2016)
1
Exercices faits au cours
1. Transformer en degrés les nombres suivants (radians), et placer le point correspondant sur le cercle
trigonométrique.
1)
π
6
;
2)
π
3
;
3)
7π
6
4)
2π
3
;
5)
5π
3
;
6)
3π
4
;
2. Transformer en radians les amplitudes suivantes, et placer le point correspondant sur le cercle
trigonométrique.
1) 30◦ ;
2) 150◦
3) 225◦ ;
4) 270◦ ;
5) −45◦ ;
3. Evaluer les nombres trigonométriques suivants.
1) cos( 7π
6 );
3) sin( 2π
3 );
5) cotg ( 10π
3 );
7) cotg (135◦ ) ;
2) sin( 5π
6 );
4) tg ( 7π
4 );
6) cos(120◦ ) ;
8) tg (150◦ ).
4. Déterminer le signe des nombres trigonométriques suivants (les angles sont exprimés en radians).
1) sin(3) ;
2) tg (4) ;
3) cos(5),
4) cos(7).
3) arcsin(π) ;
4) arccos(0).
5. Evaluer les expressions suivantes, si possible.
2) arcsin(− 12 ) ;
1) arctg(−1) ;
6. Déterminer tous les angles α ∈ R tels que
1) tg (2α) = −1 ;
3) cos(2α) = 2 ;
√
2) sin(α) = −
3
2
4) cos(3α + π) = −
;
7. Soit x un nombre tel que
3π
2
5) cos(2α) = sin(α) ;
√
2
2
;
6) sin(−2α) = −0, 3.
< x < 2π, et cos(x) = 0, 8. Que vaut sin(x) ?
8. Soit x un nombre réel, le nombre sin( 5π
2 + x) est-il égal à cos(x), sin(x), ou à − cos(x) ?
9. Un terrain en forme de triangle isocèle rectangle doit être clôturé. La distance du sommet correspondant à l’angle droit au côté opposé vaut 3m. Quelle est la longueur totale de la clôture ?
10. On considère un triangle ABC isocèle de sommet B (BA = BC). Exprimer l’aire du triangle en
\
fonction de la longueur a de AC et de la mesure de l’angle (non orienté) BAC.
11. Un observateur placé au bord d’une rivière voit un arbre placé sur la rive opposée sous un angle
de 60 degrés. S’il s’éloigne de 40 m, l’angle n’est plus que de 30 degrés. Quelle est la hauteur de
l’arbre ?
−
−
−
−
12. Calculer le produit scalaire de →
u et →
v (α est l’angle non orienté entre →
u et →
v):
1
−
−
1) k→
u k = 2, k→
v k = 3, α =
π
6
−
−
2) k→
u k = 3, k→
v k = 4, α =
;
3π
4
;
13. Soit un triangle équilatéral ABC et soit O le centre de gravité (et l’orthocentre) de ce triangle. Si
−→ −−→ −→ −−→
AB = 2, calculer OA OB et CA CB.
−
−
−
−
14. Soit une base orthonormée (→
e ,→
e ) du plan. Déterminer le produit scalaire des vecteurs →
u et →
v
1
2
donnés dans cette base par
−
−
1) →
u : (1, 3), →
v : (2, −1) ;
−
−
2) →
u : (π, 1), →
v : (−1, 1) ;
−
−
3) →
u : (−2, 3), →
v : (3, 2).
−
−
−
−
−
−
v = −4. Calculer
15. Soient →
u et →
v tels que k→
u k = 2, k→
v k = 3 et →
u →
−
−
−
−
1) (2→
u + 3→
v ) (→
u −→
v );
−
−
2) k→
u −→
v k;
−
−
3) k→
v + 2→
u k.
→
−
16. Dans la situation représentée par le schéma suivant, quelles sont les composantes de P dans la base
→
−
−
−
(→
e1 , →
e2 ), en fonction de P = k P k et de α.
−
→
e2
−
→
e1
O
α
−
→
P
√
17. Soit ABC un triangle tel que la longueur de [A, C] soit 2cm, la longueur de [A, B] soit 3 2cm
\ soit 135◦ . Quelle est la longueur de [B, C] ?
et tel que l’amplitude de CAB
1)
√
10cm
2) 10cm
3)
√
22cm
4)
√
34cm
−
−
18. On donne les vecteurs →
u et →
v par leurs composantes dans un repère orthonormé positif de
l’espace :
→
−
−
u : (1, 1, 2) et →
v : (−1, 0, 2).
−
−
Comment le produit vectoriel →
u ∧→
v s’exprime-t-il dans ce repère ?
1) (−1, 0, 4)
2
3) (2, −4, 1)
2) 3
4) (2, 4, 1)
Exercices résolus en séance retour
1. Evaluer les nombres trigonométriques suivants.
1) sin( 4π
3 );
2) cos(300◦ ) ;
3) sin(−30◦ ) ;
4) cotg (− 9π
4 );
5) tg ( 7π
6 .
2. Evaluer les expressions suivantes, si possible.
1) arctg (tg ( 3π
4 )) ;
3) arcsin(π) ;
2) arcsin( 7π
6 );
4) arccos(−
5) arccos(cos( 5π
4 )) ;
√
3
2 );
√
7) arctg (− 3) ;
6) arccos(0) ;
3. Déterminer tous les angles α ∈ R tels que
1) cos(3α) = 21 ;
2) sin(2α) = −0.6 ;
3) cos(2α) = 21 ;
4) sin(4α) = − 12 ;
2
5) tg (2α) = −1.
4. Soit x le nombre tel que
π
2
6 x 6 π et sin(x) = 0, 8. Que vaut alors cos(x) ?
\ vaut 60◦ . Quelle
5. Soit un triangle ABC rectangle en A. Le côté [A, B] mesure 3 mètres. L’angle ACB
est la longueur du côté [A, C] ?
6. Soit ABC un triangle rectangle en A. Le côté [B, C] est deux fois plus long que le côté [A, B]. Que
\?
vaut alors l’angle ABC
1) 30◦
2) 45◦
3) 60◦
4) une autre réponse.
\ pour
7. Soit un triangle ABC rectangle
en A. Le côté [A, B] mesure 3 mètres. Déterminer l’angle ABC
√
que l’aire du triangle soit 9 2 3 .
8. Soit ABC un triangle isocèle (les côtés [B, A] et [B, C] ont même longueur). Le côté [A, C] mesure
√
\?
12 mètres et l’aire de ABC vaut 12 3m2 . Quelle est l’amplitude de l’angle ABC
1) 30◦
2) 45◦
3) 60◦
4) aucune des ré-
ponses
dentes
précé-
9. Une échelle posée contre un mur vertical et faisant un angle de 45◦ avec le sol (horizontal) touche
le mur à une hauteur de 5 mètres. A quelle hauteur touchera-t-elle le mur si on la place avec un
angle de 60◦ par rapport au sol ? Suggestion : faire deux dessins et calculer d’abord la longueur de
l’échelle.
\ soit égal à 30◦ . Déterminer
10. Un triangle ABC rectangle en A est tel que AB=5m et que l’angle ABC
−−→
l’aire du triangle ABC, ainsi que la norme de BC.
−
−
−
−
11. Calculer le produit scalaire de →
u et →
v (α est l’angle non orienté entre →
u et →
v):
−
−
1) k→
u k = 3, k→
v k = 4, α = π ;
−
−
2) k→
u k = 21 , k→
v k = 4, α =
2π
3 .
12. Voici un carré ABCD, un triangle équilatéral EF G, et un losange HIJK (tel que HKI soit équilatéral). On suppose que chaque côté est de longueur 2 (pour ne pas s’endormir avec un exemple
trop simple).
D
C
A
B
G
E
K
F
H
J
I
Calculer les nombres suivants :
−−→ −→
1) AB AC ;
−−→ −−→
2) EF EG ;
−−→ −−→
3) EF F G ;
−−→ −−→
4) EF EG ;
−→ −−→
5) HI HJ ;
−−→
6) kHJk.
−
−
−
−
−
−
13. Soient →
u et →
v tels que k→
u k = 2, k→
v k = 3 et →
u →
v = 1. Calculer
−
−
−
−
1) (2→
u +→
v ) (→
u −→
v );
−
−
−
−
2) (→
u +→
v ) (→
u −→
v ).
−
−
−
−
14. Soit une base orthonormée (→
e1 , →
e2 ) du plan. Déterminer le produit scalaire des vecteurs →
u et →
v
donnés dans cette base par
−
−
1) →
u : (−1, 4), →
v : (2, 2) ;
−
−
2) →
u : (1, 1), →
v : (1, −1) ;
−
−
3) →
u : (3, 4), →
v : (−4, 3).
−−→
−−→
→
\ = 2π . Déterminer k−
15. Soit un triangle ABC tel que kABk = 2, kBCk = 4 et ABC
ACk.
3
√
−→
−→
\ = π , k−
\
16. Soit ABC un triangle tel que BAC
BCk = 2 et kACk = 1. Déterminer ABC.
4
3
−
−
17. On donne les vecteurs →
u et →
v par leurs composantes dans un repère orthonormé positif de l’espace :
→
−
−
u : (1, 2, −1) et →
v : (1, 3, 2).
−
−
Déterminer les composantes du produit vectoriel →
u ∧→
v dans ce repère.
→
−
→
−
18. On donne les vecteurs u et v par leurs composantes dans un repère orthonormé de l’espace :
→
−
−
u : (1, 0, −1) et →
v : (1, 1, 0).
−
−
Déterminer les composantes (dans ce repère) d’un vecteur orthogonal à →
u et →
v.
4