5 et 6 : Trigonométrie, produit scalaire, produit vectoriel, Exercices

5 et 6 : Trigonométrie, produit scalaire, produit vectoriel, Exercices
(Printemps 2016)
1 Exercices faits au cours
1. Transformer en degrés les nombres suivants (radians), et placer le point correspondant sur le cercle
trigonométrique.
1) π
6; 2) π 3; 3) 7π 64) 2π 3; 5) 5π 3; 6) 3π 4;
2. Transformer en radians les amplitudes suivantes, et placer le point correspondant sur le cercle
trigonométrique.
1) 30◦; 2) 150◦3) 225◦; 4) 270◦; 5) −45◦;
3. Evaluer les nombres trigonométriques suivants.
1) cos(7π
6);
2) sin(5π
6);
3) sin(2π
3);
4) tg (7π
4);
5) cotg (10π
3);
6) cos(120◦);
7) cotg (135◦);
8) tg (150◦).
4. Déterminer le signe des nombres trigonométriques suivants (les angles sont exprimés en radians).
1) sin(3) ; 2) tg (4) ; 3) cos(5), 4) cos(7).
5. Evaluer les expressions suivantes, si possible.
1) arctg(−1) ; 2) arcsin(−1
2); 3) arcsin(π); 4) arccos(0).
6. Déterminer tous les angles α∈Rtels que
1) tg (2α) = −1;
2) sin(α) = −√3
2;
3) cos(2α)=2;
4) cos(3α+π) = −√2
2;
5) cos(2α) = sin(α);
6) sin(−2α) = −0,3.
7. Soit xun nombre tel que 3π
2<x<2π, et cos(x)=0,8. Que vaut sin(x)?
8. Soit xun nombre réel, le nombre sin(5π
2+x)est-il égal à cos(x),sin(x), ou à −cos(x)?
9. Un terrain en forme de triangle isocèle rectangle doit être clôturé. La distance du sommet corres-
pondant à l’angle droit au côté opposé vaut 3m. Quelle est la longueur totale de la clôture ?
10. On considère un triangle ABC isocèle de sommet B(BA =BC). Exprimer l’aire du triangle en
fonction de la longueur ade AC et de la mesure de l’angle (non orienté) \ BAC.
11. Un observateur placé au bord d’une rivière voit un arbre placé sur la rive opposée sous un angle
de 60 degrés. S’il s’éloigne de 40 m, l’angle n’est plus que de 30 degrés. Quelle est la hauteur de
l’arbre ?
12. Calculer le produit scalaire de −→ uet −→ v(αest l’angle non orienté entre −→ uet −→ v) :
1

1) k−→ uk= 2,k−→ vk= 3,α=π
6; 2) k−→
uk= 3,k−→ vk= 4,α=3π
4;
13. Soit un triangle équilatéral ABC et soit Ole centre de gravité (et l’orthocentre) de ce triangle. Si
AB = 2, calculer −→ OA −−→ OB et −→ CA −−→ CB.
14. Soit une base orthonormée (−→ e1,−→ e2)du plan. Déterminer le produit scalaire des vecteurs −→ uet −→ v
donnés dans cette base par
1) −→ u: (1,3),−→ v: (2,−1) ; 2) −→ u: (π, 1),−→ v: (−1,1) ; 3) −→ u: (−2,3),−→ v: (3,2).
15. Soient −→ uet −→ vtels que k−→ uk= 2,k−→ vk= 3 et −→ u−→ v=−4. Calculer
1) (2−→ u+ 3−→ v) (−→ u−−→ v); 2) k−→ u−−→ vk; 3) k−→ v+ 2−→ uk.
16. Dans la situation représentée par le schéma suivant, quelles sont les composantes de −→ Pdans la base
(−→ e1,−→ e2), en fonction de P=k−→ Pket de α.
O
−→
e1
−→
e2
−→
P
α
17. Soit ABC un triangle tel que la longueur de [A, C]soit 2cm, la longueur de [A, B]soit 3√2cm
et tel que l’amplitude de \ CAB soit 135◦. Quelle est la longueur de [B, C]?
1) √10cm 2) 10cm 3) √22cm 4) √34cm
18. On donne les vecteurs −→ uet −→ vpar leurs composantes dans un repère orthonormé positif de
l’espace : −→
u: (1,1,2) et −→ v: (−1,0,2).
Comment le produit vectoriel −→ u∧−→ vs’exprime-t-il dans ce repère ?
1) (−1,0,4) 2) 33) (2,−4,1) 4) (2,4,1)
2 Exercices résolus en séance retour
1. Evaluer les nombres trigonométriques suivants.
1) sin(4π
3); 2) cos(300◦); 3) sin(−30◦); 4) cotg (−9π 4); 5) tg (7π 6.
2. Evaluer les expressions suivantes, si possible.
1) arctg (tg (3π
4)) ;
2) arcsin(7π
6);
3) arcsin(π);
4) arccos(−√3
2);
5) arccos(cos(5π
4)) ;
6) arccos(0) ;
7) arctg (−√3) ;
3. Déterminer tous les angles α∈Rtels que
1) cos(3α) = 1
2;
2) sin(2α) = −0.6;
3) cos(2α) = 1
2;
4) sin(4α) = −1
2;
5) tg (2α) = −1.
2

4. Soit xle nombre tel que π
26x6πet sin(x)=0,8. Que vaut alors cos(x)?
5. Soit un triangle ABC rectangle en A. Le côté [A, B]mesure 3 mètres. L’angle \ ACB vaut 60◦. Quelle
est la longueur du côté [A, C]?
6. Soit ABC un triangle rectangle en A. Le côté [B, C]est deux fois plus long que le côté [A, B]. Que
vaut alors l’angle \ ABC ?
1) 30◦2) 45◦3) 60◦4) une autre réponse.
7. Soit un triangle ABC rectangle en A. Le côté [A, B]mesure 3 mètres. Déterminer l’angle \ ABC pour
que l’aire du triangle soit 9√3
2.
8. Soit ABC un triangle isocèle (les côtés [B, A]et [B, C]ont même longueur). Le côté [A, C]mesure
12 mètres et l’aire de ABC vaut 12√3m2. Quelle est l’amplitude de l’angle \ ABC ?
1) 30◦
2) 45◦
3) 60◦
4) aucune des ré-
ponses précé-
dentes
9. Une échelle posée contre un mur vertical et faisant un angle de 45◦avec le sol (horizontal) touche
le mur à une hauteur de 5 mètres. A quelle hauteur touchera-t-elle le mur si on la place avec un
angle de 60◦par rapport au sol ? Suggestion : faire deux dessins et calculer d’abord la longueur de
l’échelle.
10. Un triangle ABC rectangle en Aest tel que AB=5m et que l’angle \ ABC soit égal à 30◦. Déterminer
l’aire du triangle ABC, ainsi que la norme de −−→ BC.
11. Calculer le produit scalaire de −→ uet −→ v(αest l’angle non orienté entre −→ uet −→ v) :
1) k−→ uk= 3,k−→ vk= 4,α=π; 2) k−→ uk=1
2,k−→
vk= 4,α=2π
3.
12. Voici un carré ABCD, un triangle équilatéral EF G, et un losange HIJK (tel que HKI soit équi-
latéral). On suppose que chaque côté est de longueur 2 (pour ne pas s’endormir avec un exemple
trop simple).
A B
D C
E F
G
H I
K J
Calculer les nombres suivants :
1) −−→ AB −→ AC ; 2) −−→ EF −−→ EG ; 3) −−→ EF −−→ F G ; 4) −−→ EF −−→ EG ; 5) −→ HI −−→ HJ ; 6) k−−→ HJk.
13. Soient −→ uet −→ vtels que k−→ uk= 2,k−→ vk= 3 et −→ u−→ v= 1. Calculer
1) (2−→ u+−→ v) (−→ u−−→ v); 2) (−→ u+−→ v) (−→ u−−→ v).
14. Soit une base orthonormée (−→ e1,−→ e2)du plan. Déterminer le produit scalaire des vecteurs −→ uet −→ v
donnés dans cette base par
1) −→ u: (−1,4),−→ v: (2,2) ; 2) −→ u: (1,1),−→ v: (1,−1) ; 3) −→ u: (3,4),−→ v: (−4,3).
15. Soit un triangle ABC tel que k−−→ ABk= 2,k−−→ BCk= 4 et \ ABC =2π
3. Déterminer k−→
ACk.
16. Soit ABC un triangle tel que \ BAC =π
4,k−−→
BCk=√2et k−→ ACk= 1. Déterminer \ ABC.
3

17. On donne les vecteurs −→ uet −→ vpar leurs composantes dans un repère orthonormé positif de l’espace :
−→
u: (1,2,−1) et −→ v: (1,3,2).
Déterminer les composantes du produit vectoriel −→ u∧−→ vdans ce repère.
18. On donne les vecteurs −→ uet −→ vpar leurs composantes dans un repère orthonormé de l’espace :
−→
u: (1,0,−1) et −→ v: (1,1,0).
Déterminer les composantes (dans ce repère) d’un vecteur orthogonal à −→ uet −→ v.
4