p - APMEP Régionale de Toulouse

LES LOIS
BINOMIALES
Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier 2011
Les lois binomiales
n est un entier naturel non nul et p un réel
de ]0, 1[.
Définition
Une variable aléatoire X suit la loi binomiale
B(n , p) de paramètres n et p lorsque sa loi de
probabilité est définie par
P(X = k) =
 
n k
 p
k 
(1  p)n  k
pour k entier de l'intervalle [0 ; n].
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Les lois binomiales
Les lois binomiales interviennent dans la
modélisation de n réalisations successives et
indépendantes d'une expérience aléatoire à
exactement deux issues :
• le succès avec la probabilité p,
• l'échec avec la probabilité 1  p.
La variable aléatoire donnant le nombre de succès
suit la loi binomiale de paramètres n et p.
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Les lois binomiales
Un exemple :
On répète 10 fois dans les mêmes conditions,
une même expérience aléatoire à deux issues S
et E obtenues respectivement avec les
probabilités p et 1 - p.
Déterminons la probabilité d'avoir, par
exemple, 4 S exactement parmi les résultats
des expériences aléatoires.
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Les lois binomiales
Un exemple :
La probabilité d'obtenir la suite de résultats
EESESEESSE
est : (1 - p) (1 - p) p (1 - p) p (1 - p) (1 - p) p p (1 - p)
soit p4 (1 - p)6.
On obtient le même résultat pour la suite :
SEEESEESSE
et pour la suite :
SESEESEESE
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Les lois binomiales
Un exemple :
De façon générale, on obtient le même résultat
p4 (1 - p)6 pour toutes les suites contenant 6 E et
4 p.
Il y a


 10 


4 
telles suites, ainsi la probabilité
d'obtenir 4 S parmi les dix résultats est


10




4 
p4 (1  p)6
Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 19 janvier 2011