Corrigé Bac S 2014 Centres étrangers, juin

Baccalauréat 2014 - S
Centres étrangers
Série S Obligatoire et Spécialité
Jeudi 12 Juin 2014
Correction
Exercice 1. QCM - Probabilités 4 points
Commun à tous les candidats.
1. Question 1 : Réponse c. : 0,462 .
On peut résumer les données à l’aide d’un arbre :
F
B
B
F
B
B
p(F) = 75%
pF(B) = 20%
pFB= 80%
pF= 25%
p(F)(B) = 70%
p(F)B= 30%
•On note Fl’événement « être une femme » et Bcelui « acheter un article de bricolage » :
•« Une femme sur cinq achète un article de bricolage » se traduit par : pF(B) = 1
5= 20% ;
•« Sept hommes sur cinq achètent un article de bricolage » se traduit par : p(F)(B) = 70%.
La probabilité que la personne, choisie au hasard, qui a fait un achat au rayon bricolage soit une femme est donnée par pB(F).
•Calculons p(B).
D’après la formule des probabilités totales on a :
p(B) = p(F∩B) + pF∩B
=p(F)×pF(B) + pF×pF(B)
p(B) = 0,75 ×0,2 + 0,25 ×0,7
p(B) = 0,325
•Calculons pB(F).
pB(F) = p(F∩B)
p(B)
=p(F)×pF(B)
p(B)
pB(F) = 0,75 ×0,2
0,325
On a donc arrondi au millième :
pB(F)≈0,462

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Obligatoire et Spécialité - Jeudi 12 Juin 2014
2. Question 2 : Réponse d. : 0,267 .
On considère un échantillon aléatoire de dix clients qui se sont intéressés à ce modèle d’ordinateur.
On note Xnla variable aléatoire qui vaut 1si le client nachète un ordinateur et 0sinon.
On note Sla variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant acheté un ordinateur de ce modèle.
On a donc :
S=X1+X2+···+X10
Vérifions les hypothèses de validation d’une loi binomiale :
•Un client a 2 états : il achète l’ordinateur ou il ne l’achète pas. La probabilité qu’il l’achète est donc : p= 0,3et Xnsuit
une loi de Bernoulli de paramètre p
•Les 10 clients sont choisis au hasard, les tirages sont aléatoires ;
•Les tirages sont indépendants et identiques.
De ce fait, la variable aléatoire Sdésigne bien le nombre de succès d’une répétition, de manière indépendante, de népreuves
de Bernoulli de paramètre p. La variable Ssuit donc une loi binomiale de paramètres n= 10 et p= 0,3.
On cherche la probabilité de l’évènement (S= 3).
Or puisque Ssuit une loi Binomiale de paramètre n= 10 et p= 0,063 on a :
P(S=k) = n
kpk(1 −p)n−k
et de ce fait
P(S= 3) = 10
3×(0,3)3×(0,7)7≈0,267
Remarque : Sur la TI Voyage 200
TIStat.binomDdP(10,0.3,3) ≈0,266 827 932
3. Question 3 : Réponse c. : 0,472 .
Soit λun réel strictement positif.
Une variable aléatoire à densité Tsuit la loi exponentielle de paramètre λsi sa densité de probabilité est la fonction
fdéfinie sur R+par :
f(x) = λe−λx
Définition 1
Soit λun réel strictement positif.
Si Tsuit la loi exponentielle de paramètre λalors pour tout réel aet btels que 0≤a≤b:
P(a≤T≤b) = e−λa −e−λb
et donc
P(T > a) = e−λa
Propriété 1
La variable Tsuit une loi exponentielle de paramètre λ=1
8donc on a :
p(T≥6) = e−6λ=e
−
3
4≈0,472
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4. Question 4 : Réponse a. : 0,16 .
Soit Xune variable aléatoire qui donne la masse, exprimée en grammes, des baguettes de pains. On admet que Xsuit une loi
normale de moyenne 200 g et d’écart type σ. On rappelle la propriété suivante :
Soit µun réel et σun réel strictement positif. Si la variable aléatoire Xsuit la loi normale Nµ;σ2alors :
P(µ−σ≤X≤µ+σ)≈0,683 (1)
P(µ−2σ≤X≤µ+ 2σ)≈0,954 (2)
P(µ−3σ≤X≤µ+ 3σ)≈0,997 (3)
Propriété 2 (Les intervalles « un, deux, trois sigma »)
On a donc en appliquant cette propriété :
P(200 −2σ≤X≤200 + 2σ)≈0,954
Or on sait que :
P(184 ≤X≤216) ≈0,954
On en déduit alors que l’écart type vaut σ= 8 et donc que :
X∼N200 ; 82
La calculatrice nous donne alors arrondi à 10−2près :
P(X≤192) ≈0,16
Remarque : Sur la TI Voyage 200
TIStat.normFDR(0,192,200,8) ≈0,158 655 259 6
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Exercice 2. Suites et complexes 4 points
Commun à tous les candidats
On définit, pour tout entier naturel n, les nombres complexes zpar :
z0= 16
zn+1 =1 + i
2zn,pour tout entier naturel n.
On note rnle module du nombre complexe zn:rn=|zn|.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine O, on considère les points And’affixes zn.
1.
1. a. Calculer z1, z2et z3.
On a facilement
z1=1 + i
2z0=1 + i 2×16
donc :
z1= 8 (1 + i)
z2=1 + i
2z1=1 + i 2×8 (1 + i)
donc :
z2= 8 i
z3=1 + i
2z2=1 + i 2×8i
donc :
z3=−4 + 4 i
1. b. Placer les points A1et A2sur le graphique de l’annexe, à rendre avec la copie.
2
4
6
8
−2
2 4 6 8 10 12 14 16−2−4
A0
A1 A2
A3
A4
A5A6
0
1. c. Écrire le nombre complexe 1 + i
2sous forme trigonométrique.
•Le module de ce nombre complexe est :
1 + i
2
=√2
2
•On peut alors écrire
1 + i
2=√2 2 √2 2+√2 2i!
1 + i
2=√2 2eiπ
4=√2
2cos π 4+isin π 4
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1. d. Démontrer que le triangle OA0A1est isocèle rectangle en A1.
Le repère étant orthonormé, le calcul de distances est légitime avec :
OA1=|z1|=|8 (1 + i)|= 8 |1 + i|= 8√2
A1A0=|z0−z1|=|8−8i|= 8 √2
OA0=|z0|= 16
•Le triangle OA0A1est isocèle en A1car :
OA1=A1A0= 8 √2
•En outre on a
OA2
1+A1A2 0= 2 ×8√22
= 256 = 162
Donc on a l’égalité
OA2
1+A1A2 0=OA2 0
et d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OA0A1est rectangle en A1.
Le triangle OA0A1est donc isocèle rectangle en A1.
2. Démontrer que la suite (rn)est géométrique, de raison √2
2. La suite (rn)est-elle convergente ? Interpréter géomé-
triquement le résultat précédent.
∀n∈N;rn+1 =|zn+1|=
1 + i
2zn
rn+1 =
1 + i
2× |zn|
rn+1 =√2
2rn
La suite (rn)est donc une suite géométrique de raison q=√2
2, et de premier terme r0= 16.
(rn) : 
r0= 16
rn+1 =√2
2rn
;∀n∈N, soit ∀n∈N;rn= 16 √2
2!n
Si le réel qest tel que : −1< q < 1on a
lim
n→+∞qn= 0
Théorème 1
De ce fait, ici −1< q =√2
2<1et d’après le théorème 1 :
lim
n→+∞16 × √2
2!n
= 0
Ce qui nous donne la limite de la suite (rn):
lim
n→+∞rn= 0
Cela signifie donc que la distance OAntend vers 0et que donc le point An« se rapproche » de O.
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