Chapitre 3 La cinématique à une dimension

Chapitre 3
La cinématique à une dimension
3.0 Introduction
À partir de vos souvenirs du secondaire, de quelles quantités physiques
pensez-vous avoir besoin pour décrire précisément le mouvement
rectiligne des objets?
Position, déplacement, vitesse et accélération en fonction du temps.
Si, par exemple, un objet se déplace à vitesse constante selon
l’axe des x,
x
Quelle équation prédit les différentes positions occupées par cet objet en
fonction du temps?
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Chapitre 3
La cinématique à une dimension
3.0 Introduction
x
x f  xo  vo t
m.r.u. (vitesse constante)
Si l’objet accélère uniformément,
m.r.u.a (accélération constante)
1 2
x f  xo  voxt  a xt
2
Nous ajouterons des éléments nouveaux: temps de rencontre entre
deux objets. Quand et où deux objets vont-ils se rencontrer?
Autres exemples sur le Compagnon
web
2
Chapitre 3
La cinématique à une dimension
3.0 Introduction
x
Si l’objet accélère uniformément,
m.r.u.a (accélération constante)
x f (t )  xo  voxt 
1
axt 2
2
Nous ajouterons des éléments nouveaux: temps de rencontre entre
deux objets. Quand et où deux objets vont-ils se rencontrer?
Autres exemples Compagnonweb.
Exemple: Le sprinter Usain Bolt partant du repos parcourt 100 m
en 9,58 s . Déterminer sa vitesse finale.
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Chapitre 3
La cinématique à une dimension
Exemple: Le sprinter Usain Bolt
partant du repos parcourt 100 m
en 9,58s . Déterminer sa
vitesse finale.
C’est assez compliqué
x
Usain Bolt, Physorg.com
Video
Position
t
v
a
Vitesse
t
Accélération
t
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Chapitre 3
La cinématique à une dimension
Modèle simplifié :
vmoy 
Si accélération constante
v f  v0
donc
v f  2vmoy
vmoy
x déplacemen t


t
temps
2
Dans toute situation
v f  2vmoy
2x 200


 20,9 m/s
t
9,58
5
3.0 Introduction
y
v0x
x
Exemple de problème à résoudre
Soit une voiture en mouvement selon l’axe des x avec une certaine
vitesse, va-t-elle arrêter avant le mur de briques si elle freine
brusquement?
Nous utiliserons les équations suivantes, pour étudier le mouvement de la
voiture de course avec accélération constante:
Position
Vitesse
1
x f  xo  voxt  at 2
2
v fx  vox  a xt
Déplacement
x(t )  vmoyennet
Vitesse moyenne
vmoy 
vo  v f
2
6
3.1 Cinématique de la particule
En général, les objets qui nous entourent effectuent des mouvements
assez complexes. Il faudra simplifier (Modèle)
La cinématique est la partie de la physique qui consiste à décrire la
manière dont un objet se déplace dans l’espace et dans le temps.
Un objet peut se déplacer en effectuant un mouvement de translation
de rotation ou de vibration.
translation
rotation
vibration
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3.1 Cinématique de la particule
Pour le moment, nous décrirons uniquement des mouvements de
translation en une dimension.
Nous traiterons également les objets comme des particules, autrement
dit sans dimension. Comme nous l’avons vu au chapitre 1, l’utilisation
d’un modèle rend l’analyse du système plus simple.
Particule
Voiture
Représentation de la voiture
Objet réel
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3.2 La position, le déplacement et la vitesse ( Définition)
Pour décrire complètement le mouvement d’une particule, on doit
connaître sa position dans l’espace à chaque instant.
Prenons par exemple, le mouvement d’une balle qui roule dans un
train. On peut se demander, jusqu’où va-t-elle aller ?
D
D
La position de la balle sera indiquée par rapport à un système de
référence. Nous avons deux possibilités:
soit le sol
soit le train
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3.2 La position, le déplacement et la vitesse ( Définition)
y
y
x
x
D
D
La position de la balle sera indiquée par rapport à un système de
référence. Nous avons deux possibilités:
soit le sol
soit le train
Une fois le choix fait, on place un système d’axes cartésiens
(x,y)
Soit au sol
Soit dans le train
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3.2 La position, le déplacement et la vitesse ( Définition)
Si nous choisissons par rapport au train, nous aurons la
représentation simplifiée suivante
y
x
0
x
La position d’une balle va bien sûr varier en fonction du temps,
nous écrirons plus tard cette position comme une fonction x(t) .
Cette position est toujours donnée par rapport à l’origine du
système d’axe.
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3.2 La position, le déplacement et la vitesse ( Définition)
Représentation simplifiée: Autre exemple: Position d’une voiture sur la
grille
de départ.
y
x
0
x
Définition du concept :No.1
Position ( r ) : La position de la voiture correspond à la composante
du vecteur qui part de l’origine du système d’axe jusqu’à l’endroit où
la voiture est située.
Notation :


r  xi
m
Unité
Note : Pour le mouvement en une dimension, nous indiquons que les
composantes, pas les vecteurs .
La position de la voiture sera donc simplement notée « x »
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3.2 La position, le déplacement et la vitesse ( Définition des concepts )
y
0
x
xo
xf
Définition du concept : No.2
Déplacement  r : Le déplacement est défini comme un changement
de position. Autrement dit, il
correspond à
la position finale moins la
position initiale
occupée par l’objet. Sur
l’axe des x
Notation :



r  xi  ( x f  xo )i
ou
x =
xf - xo
m
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3.2 La position, le déplacement et la vitesse ( Définition des concepts )
Déplacement r : Le déplacement est défini comme un changement
de position.
Autrement dit, il correspond à la position finale moins la position
initiale occupée par l’objet. Sur l’axe des x
Notation :



r  xi  ( x f  xo )i
Exemple : x = 2,0 m
ou
x =
x f - xo
m
indique un déplacement de 2,0 m vers les x positifs.
( positif vers la droite )
x = - 2,0 m
indique un déplacement de 2,0 m vers les x négatifs.
( négatif vers la gauche)
x > 0
x < 0
x
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3.2 La position, le déplacement et la vitesse ( Définition)
Distance parcourue ( d ) : La distance est définie comme étant la
longueur du trajet réel effectué par un objet. C’est une quantité scalaire
toujours positive.
« Peu utilisé en physique ».
Il ne faut pas la conforme avec le
déplacement qui dépend uniquement des positions initiale et finale
Quel exemple permet de bien voir la différence?
Trajet aller-retour rectiligne:
x =0
d= 2 fois l’aller.
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3.2 La position, le déplacement et la vitesse ( Définition)
L’étude du mouvement implique bien sûr des vitesses. En physique, le
terme vitesse prend trois ( 3) significations.
Définition du concept :No.3
Première signification : rarement utilisée en physique
(En mots)
vitesse scalaire moyenne 
distance parcourue
intervalle de temps
vsmoy
d

t
vsmoy
trajet - aller  trajet retour

t
Sur un trajet aller-retour
Trajet aller-retour
m/s
(En équation)
m/ s
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3.2 La position, le déplacement et la vitesse ( Définition)
Deuxième signification: surtout pratique, vue d’ensemble
a)
b)
déplacement
vitesse moyenne 
intervalle de temps
v xm oy 
x ( xf  xo )

t (t f  t o )
Sur un trajet aller-retour, vxmoy = 0
m/s
( En mots)
( En équation)
m/s
Note : Bien évaluer le déplacement avant de calculer la vitesse moyenne
Trajet aller-retour
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3.2 La position, le déplacement et la vitesse ( Définition)
c)
Vitesse moyenne sur un graphique
Vitesse moyenne sur un graphique de la position en fonction
du temps correspond à la pente de la sécante entre deux
points
y
( m)
y
v ym oy 
t
m/s
t
À quel type de mouvement correspond ce graphique?
Trajet aller-retour d’une balle lancée vers le haut
(s)
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3.2 La position, le déplacement et la vitesse ( Définition)
Exemple : Représentation d’un trajet aller-retour chute libre d’une
balle en chute libre
y
Graphique
( m)
Vmoy 2
Vmoy 3
Vmoy 1
t
(s)
Vmoy 1> 0 : vitesse moyenne de l’objet en montant, vers les y positifs( vers
le haut)
Vmoy 2 = 0 : vitesse moyenne de l’objet à la même position
Vmoy 3 < 0 : vitesse moyenne de l’objet en descendant, vers les y négatifs (
vers le bas ).
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3.3 La vitesse instantanée ( Définition du concept)
Troisième signification : la plus utilisée
(En mots)
a) Vitesse instantanée => limite du déplacement divisé par l’intervalle
de temps lorsque celui-ci tend vers zéro
x
v x  lim t o
t
b)
m/ s
(En équation)
Exemple : La vitesse d’une automobile 100 km/h à un instant correspond
à 27,8 m/s ou 2,78 m /0,1s ou 27,8 cm/0,01 s ou 2,78 cm/0,001 s
ou
vx 
dx
dt
m/ s
Définition mathématique : La dérivée de la
fonction position x par rapport au temps ou
le taux de variation de x par rapport à t.
Pas de calcul pour le moment, il faudra d’abord une fonction
Pour un m.r.u.a. nous
aurons : a = cte
v fx (t )  vox  a x t
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3.3 La vitesse instantanée ( Définition du concept)
c) Vitesse instantanée sur un graphique
La vitesse instantanée à un instant quelconque est donnée par la pente
de la tangente à la courbe de la position en fonction du temps à cet
instant.
dy
vy 
dt
Exemple : Représentation Trajet aller-retour chute libre
y
V2= 0
( m)
V 1 >o
V3 <0
t
(s)
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3.3 La vitesse instantanée ( Définition du concept))
Comprendre la signification des termes, pas beaucoup de calcul avec
ces définitions. Nous verrons les équations utiles au calcul plus tard.
Pas de calcul pour le moment.
Hyper-physics ( Position, velocity , accélération )
3.4 L’accélération
Pour la plupart du monde, l’accélération est un changement de vitesse et
contrairement à la vitesse, nous pouvons en ressentir les effets facilement.
En physique, un objet accélère lorsque sa vitesse varie en module ou
en orientation ou les deux à la fois. Nous utiliserons les définitions
suivantes :
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3.4 L’accélération ( Définition du concept)
Accélération moyenne
accélération moyenne 
a)
b)
Définition du concept : No.4
variation du vecteur vitesse
intervalle de temps
v x (v fx  vox )
am oyx 

t
(t f  t o )
m / s2
(En mots)
(En équation)
Exemple : 0 -100 km/h en 6,5 s correspond à 4,27 m/s2
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3.4 L’accélération ( Définition du concept)
c) Accélération moyenne sur un graphique de la vitesse en fonction du
temps.
Exemple : Représentation de la
vitesse d’une voiture de course qui
accélère
V
amoy = pente de la
sécante entre deux
points
(m/
s)
(v2 x  v1x )
amoyx 
(t 2  t1 )
t1
t2
t (s)
m / s2
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3.4 L’accélération ( Définition du concept)
Accélération instantanée
(En mots)
a)
b)
Accélération instantanée correspond au taux de
variation de la vitesse par rapport au temps.
a x  lim t  0
v x dvx

t
dt
m / s2
(En équation)
Autrement dit, elle est égale à la dérivée de la vitesse par
rapport au temps
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3.4 L’accélération ( Définition du concept)
c) Accélération instantanée sur un graphique de la vitesse en fonction du
temps.
Exemple : Représentation de la vitesse
d’une voiture de course qui accélère
V
(m/s)
ax = pente de la tangente
en un point
t (s)
Pas de calcul pour le moment.
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3.4 L’accélération ( Définition du concept)
Accélération négative et décélération
Attention….
L’accélération est négative si elle est orientée dans le sens opposé
à l’axe positif. ( vers la gauche ou vers le bas)
La décélération est une diminution de la grandeur de la vitesse peu
importe le sens du mouvement. Une voiture qui freine subit une
décélération.
Cette décélération peut également être positive ou négative selon
son orientation
a
a
v
Décélération négative
v
a
a
Décélération positive
x
x
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• Résumé :
• Les quatre premières sections du chapitre avaient pour but de
présenter le contexte général dans lequel les équations de la
cinématique en une dimension seront utilisées.
• Ces sections contiennent essentiellement les définitions dont la
compréhension est nécessaire à l’étude du mouvement.
Position
Déplacement
Vitesse
Accélération
distance
Vitesse scalaire moyenne, vitesse moyenne,
vitesse instantanée
Accélération moyenne, accélération
instantanée, décélération
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