Séance 9

S´eance 9
Calcul alg´ebrique
Exercice 1. R´esoudre les ´equations suivantes :
√x+ 3 = x+ 1,√x+ 3 + √x+ 8 = 5.
.
Formules de trigonom´etrie
Exercice 2. Sur le cercle trigonom´etrique ci-dessous, on a marqu´e un angle orient´e −→ OI, −→ OA
de mesure α.
y
x
O
A
I
Interpr´eter sur la figure les nombres cos α, sin αet tan α=sin α
cos α. Justifier ainsi la premi`ere
formule fondamentale de trigonom´etrie
cos2α+ sin2α= 1.
En d´eduire que
1 + tan2α=1
cos2α.
Justifier aussi que cos (α+k2π) = cos αet sin (α+k2π) = sin α, pour tout nombre entier
relatif k.
Exercice 3. Marquer sur le cercle trigonom´etrique ci-dessus les angles de mesure −α,π
2−α
et π+α. Retrouver ainsi les formules suivantes
cos (−α),sin (−α),tan (−α),cos π
2−α,sin π 2−α
tan π
2−α,cos (π+α),sin (π+α),tan (π+α),
1

et en d´eduire celles-ci, que l’on pourra aussi retrouver sur le dessin
cos π
2+α,sin π 2+α,tan π 2+α,
cos (π−α),sin (π−α),tan (π−α),
ainsi que tan (α+kπ) pour tout nombre entier relatif k. Exprimer aussi cos (α+kπ) et
sin (α+kπ) en fonction de αet de k.
Exercice 4. Calculer le cosinus, le sinus et la tangente des nombres suivants
25π
4,5π 6,−37π 3,−41π 6.
Exercice 5. Sur le cercle trigonom´etrique ci-dessous, on a marqu´e deux angles orient´es −→
OI, −→ OA
et −→
OI, −−→
OBde mesure respective aet b.
y
x
O
A
B
I
Marquer le point Cdu cercle tel que l’angle orient´e −→
OI, −→ OCadmette a−bpour mesure.
Donner les coordonn´ees des points A,Bet Cpuis calculer IC2et BA2. En d´eduire la premi`ere
formule d’addition
cos(a−b) = cos a×cos b+ sin a×sin b,
puis les suivantes
cos(a+b),sin(a+b),sin(a−b) tan(a+b),tan(a−b),
et enfin les formules de duplications
cos(2a),sin(2a).
Exercice 6. Calculer les lignes trigonom´etriques de π
12 `a partir de celles de π 3et π 4. Calculer
ensuite celles de π
24.
Exercice 7. On pose t= tan a
2. Montrer que
cos a=1−t2
1 + t2,sin a=2t 1 + t2,tan a=2t 1−t2.
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