Séance 9

Séance 9
Calcul algébrique
Exercice 1. Résoudre les équations suivantes :
√
x + 3 = x + 1,
√
x+3+
√
x + 8 = 5.
.
Formules de trigonométrie
−→ −→
Exercice 2. Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, on a marqué un angle orienté OI, OA
de mesure α.
y
A
O
I x
sin α
Interpréter sur la figure les nombres cos α, sin α et tan α =
. Justifier ainsi la première
cos α
formule fondamentale de trigonométrie
cos2 α + sin2 α = 1.
En déduire que
1
.
cos2 α
Justifier aussi que cos (α + k2π) = cos α et sin (α + k2π) = sin α, pour tout nombre entier
relatif k.
π
Exercice 3. Marquer sur le cercle trigonométrique ci-dessus les angles de mesure −α, − α
2
et π + α. Retrouver ainsi les formules suivantes
π
π
cos (−α) ,
sin (−α) ,
tan (−α) ,
cos
−α ,
sin
−α
2
2
π
−α ,
cos (π + α) ,
sin (π + α) ,
tan (π + α) ,
tan
2
1 + tan2 α =
1
et en déduire celles-ci, que l’on pourra aussi retrouver sur le dessin
π
π
π
cos
+α ,
sin
+α ,
tan
+α ,
2
2
2
cos (π − α) ,
sin (π − α) ,
tan (π − α) ,
ainsi que tan (α + kπ) pour tout nombre entier relatif k.
sin (α + kπ) en fonction de α et de k.
Exprimer aussi cos (α + kπ) et
Exercice 4. Calculer le cosinus, le sinus et la tangente des nombres suivants
5π
,
6
π
25 ,
4
π
−37 ,
3
π
−41 .
6
−→ −→
Exercice 5. Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, on a marqué deux angles orientés OI, OA
−→ −−→
et OI, OB de mesure respective a et b.
y
A
B
I x
O
−→ −→
Marquer le point C du cercle tel que l’angle orienté OI, OC admette a − b pour mesure.
Donner les coordonnées des points A, B et C puis calculer IC 2 et BA2 . En déduire la première
formule d’addition
cos(a − b) = cos a × cos b + sin a × sin b,
puis les suivantes
cos(a + b),
sin(a + b),
sin(a − b)
tan(a + b),
tan(a − b),
et enfin les formules de duplications
cos(2a),
sin(2a).
π
π
π
Exercice 6. Calculer les lignes trigonométriques de
à partir de celles de et . Calculer
12
3
4
π
ensuite celles de
.
24
a
Exercice 7. On pose t = tan . Montrer que
2
cos a =
1 − t2
,
1 + t2
sin a =
2t
,
1 + t2
.
2
tan a =
2t
.
1 − t2