Fiche PanaMaths (CPGE) → L`équation du 3 degré

PanaMaths [ 1 - 7 ] Mai 2008
Fiche PanaMaths (CPGE)
Æ L’équation du 3ème degré
Introduction
On se propose ici de donner la résolution générale de toute équation de la forme :
32 0ax bx cx d
+
++=
(avec
(
)
*3
,,,abcd
∈
×^^
)
L’approche est similaire, dans son principe général, à celle de la résolution d’une équation du
second degré : on commence par donner la forme canonique d’où on tire un discriminant
permettant de discuter et de donner les racines éventuelles.
La méthode exposée est la méthode historique de Cardan (1501-1576).
Obtention de la forme canonique de l’équation
On travaille donc 0a≠. On peut donc écrire :
32 3 2
32
00
0
bcd
ax bx cx d a x x x
aaa
bcd
xxx
aaa
⎛⎞
+++=⇔ + ++=
⎜⎟
⎝⎠
⇔
+++=
On identifie alors les deux premiers termes de l’expression obtenue aux deux premiers termes
du développement de
3
3
b
xa
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
:
32 3
32
33
2
2
33
2
2
33
22
22
3
33 3
33 3
3
33 3
33
33 333 3
bcd b b bcd
xxx x x x
aaa a a aaa
bcbdb
xx
aaa aa
bacbdb
xx
aaaa
bacb bacbbdb
xx
aa aaaaa
⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
+++=+ − − ++
⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
=+ +− +−
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
−
⎛⎞ ⎛⎞
=+ + +−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
−−
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
=+ + + − +−
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
32323
23
3232
23
39327
33 3 27
39227
33 3 27
b ac b b abc b a d b
xx
aa a a
b ac b b abc b a d
xx
aa a a
−
−++ −
⎛⎞ ⎛⎞
=+ + + +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
−−++
⎛⎞ ⎛⎞
=+ + + +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

PanaMaths [ 2 - 7 ] Mai 2008
Cette réduction est toujours possible et, modulo le changement d’inconnue 3
b
Xx a =+ et une
récriture des coefficients, on constate finalement que le problème revient à résoudre
l’équation générale :
30xpxq
+
+= (Ec)
avec
(
)
2
,pq∈^.
C’est la forme canonique associée à l’équation initiale.
Remarques :
• Ces notations sont standard et on les retrouve fréquemment dans la littérature ;
• Cette équation ne comportant pas de terme en 2
x
, la somme de ses racines complexes
est égale à 0.
Discriminant et discussion
Ecrivons x sous la forme
x
uv=+. L’équation canonique se récrit alors :
()()
()
()()
()()
3
3
32 23
33
33
0
0
33 0
30
30
xpxq
uv puv q
uuvuvvpuvq
uv uvuvpuvq
uv uvpuvq
+
+=
⇔
++ ++=
⇔+ + ++ ++=
⇔++ ++ ++=
⇔++ + ++=
On peut ici choisir u et v de telle sorte que 30uv p
+
=, c'est-à-dire 3
p
uv
=
−.
On doit donc résoudre le système :
33
3
uvx
p
uv
uv q
+=
⎧
⎪
⎪=−
⎨
⎪
⎪
+
=−
⎩
L’équation
()()
33
30uv uvpuvq++ + ++= donne alors : 33 0uvq
+
+=. Mais comme
3
p
uv =− , il vient
3
33
27
p
uv =− .
Finalement, 3
u et 3 v vérifient : 33 uv q+=− et
3
33
27
p
uv =− .

PanaMaths [ 3 - 7 ] Mai 2008
Ce sont donc les solutions de l’équation du second degré :
3
20
27
p
YqY
+
−= (E*)
Son discriminant s’écrit :
323
227 4
427 27
p
qp
q+ Δ= + × = . La discussion qui doit être menée
dépend donc de la quantité : 23
27 4qp+.
L’égalité 3
p
uv =− nous a permis d’obtenir
3
33
27
p
uv =− . Soit 0 u tel que 3
0
u soit solution de
(E*). Alors il en va de même pour 0
j
u et 2
0
ju (puisque
()
333 3
000
j
ujuu
=
= et
()
3
2633
000
j
ujuu== et parce que l’équation 33
0
uu
=
admet exactement trois solutions dans ^).
En raisonnant de façon analogue avec 0
v tel que 3
0
v soit égal à l’autre solution de (E*) et
vérifie 00 3
p
uv =− , on obtient finalement comme solutions de (Ec) :
000
2
10 0
2
200
x
uv
x
ju j v
x
ju jv
=+
=+
=+
La question est désormais de savoir s’il y a des racines multiples.
Si 0p=, (Ec) se récrit 30xq+=. Alors :
■ Si 0q=, (Ec) admet 0 comme racine triple (c’est d’ailleurs la seule racine triple
possible puisque
()
'' 6PX X=) ;
■ Si 0q≠, (Ec) admet trois racines distinctes.
On suppose maintenant que l’on a : 0p
≠
.
Considérons le polynôme
()
3
PX X pX q=++
. Alors :
(
)
2
'3PX X p
=
+.
L’équation (Ec) admet une racine (au moins) double, si, et seulement si, P et 'P ne sont pas
premiers entre eux.
Effectuons la division euclidienne de P par 'P :
()
()
() ()
()
33
22
133
3
112
33 3
333
12
'
33
PX X pX q X pX q
X
XpqXXppXq
XP X pX q
=++= + +
=++=+++
=++

PanaMaths [ 4 - 7 ] Mai 2008
Il vient donc :
()
2
,' ',
3
PGCD P P PGCD P pX q
⎛⎞
=
+
⎜⎟
⎝⎠
On en déduit immédiatement que (Ec) admet une racine (au moins) double si, et seulement si
2
3
p
Xq+ divise 'P c'est-à-dire si, et seulement si, 3
2
q
p
− est racine de 'P.
Or,
2223
22
33 9274
'3 3
22 4 4
qq q qp
Ppp
pp p p
⎛⎞⎛⎞ +
−=− += +=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠ .
Donc 3
2
q
p
− est racine de 'P si, et seulement si : 23 27 4 0qp
+
=.
Lorsque l’on aura 23
27 4 0qp+= et 0p
≠
, la racine multiple sera donc double et égale à
3
2
q
p
−. La somme des racines de (Ec) valant 0, la deuxième racine vaut donc : 3q
p
.
On a finalement :
■ Si 23
27 4 0qp+≠ l’équation (Ec) admet trois racines simples ;
■ Si 23 27 4 0qp+= l’équation admet :
o Si 0p= (on a alors aussi 0q
=
) : 0 comme racine triple ;
o Si 0p≠ : une racine double égale à 3
2
q
p
− et une racine simple égale à 3q
p
.
Cas d’une équation à coefficients réels
On suppose ici
()
2
;pq∈\. Dans ce cas, on a :
■ Si 0Δ=
On se trouve dans la situation vue précédemment. L’équation admet des racines multiples
qui sont toutes réelles.
■ Si 0Δ>
L’équation
3
20
27
p
YqY
+−= admet deux racines réelles distinctes :
23
27 4
27
2
qp
q+ −−
et
23
27 4
27
2
qp
q+ −+

PanaMaths [ 5 - 7 ] Mai 2008
On peut écrire :
23
23
23 23
27 4
127 4
27
222272427223
qp
qqqpqqpqqp
+
−− +⎛⎞ ⎛⎞
=− − =− − + =− − +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
Les deux racines s’écrivent donc :
23
22 3
qq p
⎛⎞ ⎛⎞
−− +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
et
23
22 3
qq p
⎛⎞ ⎛⎞
−+ +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
.
On peut alors considérer, en reprenant les notations de la partie précédente, les racines
cubiques de ces expressions :
23
3
022 3
qq p
u⎛⎞ ⎛⎞ =−− +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
et
23
3
022 3
qq p
v⎛⎞ ⎛⎞ =−+ +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
Ces quantités sont réelles et leur produit vaut bien 3
p
−
puisque dans \ on a
l’équivalence :
3
33
00 00
27 3
p
p
uv uv=− ⇔ =− .
Les racines de (Ec) s’écrivent finalement :
23 23
33
000
23 23
22
33
10 0
23 23
22
33
200
22 3 22 3
22 3 22 3
22 3 22 3
qq p qq p
xuv
qq p qq p
xjujvj j
qq p qq p
xjujvj j
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
=+=−− + +−+ +
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
=+ =−− + +−+ +
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
=+=−− + +−+ +
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
La racine 0
x
est réelle. C’est la formule historique de Cardan-Tartaglia.
En tenant compte de 2
j
j= et comme 12
x
x
≠
(pas de racine multiple), on déduit que 1
x
et 2
x
sont deux racines complexes conjuguées.
■ Si 0Δ<
L’équation
3
20
27
p
YqY+−= admet deux racines complexes conjuguées (coefficients réels
et discriminant strictement négatif) :
23
27 4
27
2
qp
qi + −−
et
23
27 4
27
2
qp
qi + −+