nombres entiers et rationnels, congruences, permutations - IMJ-PRG

NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS,
CONGRUENCES, PERMUTATIONS
Cours à l’Université de Rennes 1 (2005–2006)
Antoine Chambert-Loir

Antoine Chambert-Loir
IRMAR, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex.
E-mail : [email protected]
Url : http://name.math.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir
Version du 13 septembre 2006
La version la plus à jour est disponible sur le Web à l’adresse http://name.math.
univ-rennes.fr/antoine.chambert-loir/2005-06/a2/

TABLE DES MATIÈRES
1. Nombres entiers et principe de récurrence ................................ 5
Un peu d’histoire, 5 ; Récurrence et la définition des opérations élémentaires, 6 ;
La relation d’ordre, 9 ; Quelques démonstrations par récurrence, 10 ;
Suites définies par récurrence, 13.
2. Combinatoire, probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Rappels (sic) de théorie des ensembles, 15 ; Il est toujours bon d’avoir des
principes, 18 ; Triangle de Pascal, 20 ; Probabilités, 23.
3. Division euclidienne .................................................... 29
Un peu de terminologie algébrique, 29 ; Le théorème de la division
euclidienne, 32 ; Numération, 32 ; Divisibilité, 34 ; Plus grand diviseur
commun, algorithme d’Euclide, 37.
4. Nombres premiers ...................................................... 43
Crible d’Ératosthène, 43 ; Factorisation, 44 ; Combien y a-t-il de nombres
premiers ?, 46 ; Le théorème de Tchebychev et le postulat de Bertrand, 47 ;
Petit théorème de Fermat, 48.
5. Congruences ............................................................ 51
Équations (du premier degré) aux congruences, 51 ; Théorème chinois, 53 ;
Indicateur d’Euler, cryptographie RSA, 56 ; Équations polynomiales
modulo n, 59 ; Équations polynomiales modulo un nombre premier, 60 ;
Être ou ne pas être un carré modulo p. .., 62 ; L’ordre multiplicatif modulo p, 63 ;
Appendice : l’anneau Z/nZ, 65.
6. Nombres décimaux, nombres rationnels .................................. 67
Nombres rationnels, 67 ; Le développement décimal d’un nombre rationnel, 68 ;
Les nombres réels, 69 ; Quelques classes de nombres, 70 ; Quelques résultats
d’irrationalité, 71 ; Un autre théorème de Fermat, 72.

CHAPITRE 1
NOMBRES ENTIERS ET PRINCIPE DE RÉCURRENCE
§1. Un peu d’histoire
Leopold Kronecker, un mathématicien allemand du XIXesiècle a dit un jour : « Le
Bon Dieu a inventé les nombres entiers, le reste est l’œuvre de l’homme ».(1) L’arithmé-
tique, la science qui étudie les propriétés des nombres entiers, a fasciné les humains
probablement depuis la nuit des temps. On trouve en tout cas des textes d’arithmé-
tique parmi les tout premiers textes écrits qui nous restent (la plus ancienne tablette
dont on dispose est une reconnaissance de dettes).
Parmi les propriétés des nombres entiers que nous allons étudier figurent des ré-
sultats très anciens : l’existence d’une infinité de nombres premiers est un théorème
d’Euclide, un mathématicien grec qui vivait au IVesiècle avant Jésus-Christ. Certains
problèmes remontent à Archimède (les bœufs du soleil par exemple).
Pourtant, la nécessité d’une définition des nombres entiers n’est apparue qu’au XIXe
siècle qui fut un moment de bouleversement théorique en mathématique. C’est à ce
moment que les mathématiciens commencèrent à ressentir fermement le besoin de
définir plus précisément l’objet de leur science, faisant en particulier clairement la dis-
tinction entre axiomes, définitions, théorèmes,.. . Les mathématiciens durent aussi ré-
soudre le problème de l’infini : qu’est-ce qu’un ensemble « infini » ? La possibilité d’ap-
préhender mathématiquement l’infini fut d’ailleurs le sujet d’une controverse théolo-
gique — seul Dieu est infini. Pire, Georg Cantor découvrit qu’il existait des infinis plus
grands que d’autres et, en un sens, l’ensemble des entiers est le plus petit ensemble
infini.
C’est aussi qu’à la toute fin du XIXesiècle que Richard Dedekind, puis quelques an-
nées plus tard, Giuseppe Peano, énoncèrent des axiomes qui permettent de caractéri-
ser l’ensemble des nombres entiers. Du point de vue pratique, ces axiomes sont donc
(1)La citation originale, «Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.»
a été prononcée en 1886 lors d’une conférence à Berlin en 1886. Elle fut rapportée par Heinrich Weber
dans la notice nécrologique consacrée à ce mathématicien (Jahresberichte D.M.V 2(1893), p. 5–31). L’ex-
pression allemande « der liebe Gott » ne sous-entend pas une vision mystique des mathématiques, pas
plus que l’expression française « le Bon Dieu ».