Représentations ^-adiques - International Mathematical Union

Proceedings of the International Congress of Mathematicians
August 16-24, 1983, Warszawa
JEAN-MAKC FONTAINE
Représentations ^-adiques
On sait que, lorsque l'on étudie les représentations Z-adiques du groupe
de Galois d'un corps de nombres, les places premières à l jouent un rôle
très différent de celles qui divisent Z. Tout Part est dans la manière d'utiliser simultanément les informations fournies par les unes et les autres.
Ici, bien au contraire, nous nous limitons à passer en revue quelques
résultats sur ce que l'on peut dire lorsque l'on ne considère qu'une seule
place p, supposée en outre diviser Z.
Aussi le contexte est le suivant: on fixe un corps K de caractéristique 0,
complet pour une valuation discrète, à corps résiduel parfait Jc de caractéristique p > 0; on choisit une clôture algébrique K de K et on pose
(S = Gal(j£/IT). Une représentation p-adique est un Qp-espace vectoriel
de dimension finie muni d'une action linéaire et continue de ©.
Comme le groupe (S n'est pas très "explicite", l'un des objectifs est
d'associer à une représentation ^p-adique des invariants plus tangibles.
Le plus naturel est le couple (V, Gv) formé du Qp-espace vectoriel sousjacent V et du sous-groupe (fermé) Gv de GL(7) qui est l'image de 05.
On obtient un objet plus maniable en remplaçant Gr
— soit par son algèbre de Lie, JAeGv (comme tout sous-groupe fermé
de GL(F), Gv est un groupe de Lie jp-adique),
— soit par sa clôture de Zariski GVf8big, i.e. le plus petit sous-groupe algébrique de GL(7) qui contient Gv (d'après un résultat classique de Cflievalley, Lie6rr>aig est la plus petite sous-algèbre de Lie algébrique de gl(7)
qui contient Lie(? F ).
Ubus allons associer à certains types de représentations d'autres
invariants et, dans certains cas, voir quels renseignements la connaissance
de ces invariants fournit sur L i e $ F ou sur GVtfûg.
Dans ce qui suit, mis à part quelques résultats sur les variétés abéliennes et les groupes ^-divisibles, on a laissé de côté toutes les questions
où intervient la géométrie algébrique (problèmes de comparaison entre
[47Ö1
476
Section 3: J.-M. Fontaine
différentes cohomologies #-adiques, voir [2], [3], [14], [7] App., [9], bien
que ce soit celle-ci qui "motive" beaucoup des définitions données.
Bemarque. Beaucoup des catégories abéliennes que nous allons rencontrer sont des ®-catégories, i.e. sont munies d'un produit tensoriel,
d'un Horn interne et d'un objet-unité satisfaisant à des propriétés convenables (cf. [18]); pour alléger l'exposé, nous avons renoncé à donner
les définitions, presque toujours évidentes, de ces structures; une sous®-catégorie d'une ®-catégorie abélienne est une sous-catégorie pleine
stable par sous-objet, quotient, somme directe, produit tensoriel, hom
interne, contenant l'objet-unité; un ®-foncteur (resp. une ®-équivalence
de catégories) est ce que l'on pense (voir [18] ou [4] pour des définitions
précises).
1. Représentations non ramifiées
On sait depuis longtemps que leur étude se ramène à un problème d'algèbre linéaire. Commençons par fixer quelques notations:
— si A est un anneau commutatif contenant F^, W(A) est l'anneau des
vecteurs de Witt à coefficients dans A et F: W(A)->W(A) le Frobenius
(cf., par exemple, [22], chap. II, §6);
— on pose 17 == W(Jc), KQ = FracW et on note a le Frobenius agissant
sur Jc, W et K0;
— on note W[F] (resp. K0[F]) l'anneau (non commutatif si h ^Fp)
engendré par W (resp. K0) et un élément F, soumis aux relations FX
= a(X)F, pour tout l e W (resp. K0); si A est une fc-algèbre, W(A) est,
de façon naturelle, une TF-algèbre et un T7[J?T]-module; si A est parfait,
c'est même un W{F, P^-module.
Par définition, une représentation non ramifiée est une représentation
sur laquelle le sous-groupe dHnertie ©0 de © opère trivialement. Si h désigne
le corps résiduel de K, k est une clôture algébrique de Jc et ©/©<, s'identifie
à © :=Gal(ï/*).
Le groupe © opère sur P : = Frac W (S) de façon compatible avec
sa structure de uT0-algèbre et de KQ\F, p-^-module. Si 7 est une représentation #-adique non ramifiée, BP(V) : = ( P ® Q 7)® est un module
de Bieudonné de pente 0 sur K0, i.e. un K0 [P]-moduïe, de dimension finie
comme if0-espace vectoriel, contenant un TT-réseau sur lequel l'action
de F est bijective. Le foncteur BP définit une (^-équivalence entre la catégorie des représentations p-adiques non ramifiées et celle des modules de
Bieudonné de pente 0. Un quasi-inverse'est le foncteur 7 P qui, à un tel
module B, associe le sous-Qi3[©]-module de P®K B formé des éléments
Beprósentations j)-adiques
477
fixés par F (ces résultats se démontrent sans difficulté, par exemple en
utilisant [23], III, A.l).
2 . Une "description" des représentations ^-adiques (voir [12], [13], [27],
[28] pour des démonstrations et d'autres résultats)
Soit x: ®-^Z* le caractère cyclotomique, défini par
ge = e*W, pour
g e ©, « 6 ^ ( 1 ) ;
soient § le noyau de ©, r = ©/# et JJ = E*. Il se trouve que $ s'identifie
au groupe de Galois d'un corps parfait de caractéristique p.
Pour toute extension F de K contenue dans E, notons BE l'ensemble
des suites (a?n),leN formées d'éléments du complété Ê de F, vérifiant a?^+1
= xn, pour tout n. Si l'on pose
m-»-oo
WnèN"(yn)fiéN = {^nVfùnaSi
J2 S devient un corps parfait de caractéristique p. C'est même un corps value
complet (on obtient une valuation de BE en choisissant une valuation v
de F et en posant v[(œn)neii) = fl(a?0)) dont le corps résiduel s'identifie
au corps résiduel JcE de F (bien sûr BE = 7% si JE/ est une extension finie
d'une extension non ramifiée).
Le corps BL a une structure très simple: c'est le complété de la clôture
radicielle d'un corps local bien défini, le corps des normes XK(L) de l'extension L/K ([28]), qui est donc un corps de séries formelles en une variable ut
à coefficients dans JcL. Le groupe abélien P opère continûment sur XK(L)
ot BL et cette action est facile à décrire (lorsque p est une uniformisante
de K, i.e. lorsque K = K0, on peut choisir ut pour que g(l + ut) = (1 + ut)x{0\
pour tout g e ©).
Si maintenant F est une extension finie galoisienne de L, BE est une
extension finie galoisienne de BL et Qnl(BEIBL) sHdentifie à Gal(2?/.L);
<m outre la réunion B~ des BE, pour F parcourant les extensions finies
de L contenues dans E est une clôture algébrique de BE.
Si 7 est une représentation jp-adique, et si PR = FracTF(jB^), on voit
que BPR(V) : = (PR<8)Q 7 ) S est un "T-module de Bieudonné de pente 0",
i.e. un module de Bieudonné de pente 0 sur FracT7(jRjr,), munie d'une
action continue de P, semi-linéaire par rapport à son action naturelle
sur FracT7(JSi). On obtient ainsi une (Si-équivalence entre la catégorie de
toutes les représentations p-adiques et celle des r-modules de Bieudonné de
pente 0.
478
Section 3: J.-M. Fontaine
3. Décomposition de Hodge-Tate et théorie de Seri ([26], [24], [21]}
Si 7 est une représentation ^-adique finie (i.e. telle que © opère à travers un
groupe fini), la trivialité de B}\%, GLn(E)), pour tout n, implique que
(Jr® Q 7)® est un JT-espace vectoriel de dimension finie égale à celle de 7
sur Q p . Plus généralement tout Z-espace vectoriel 7, de dimension finie n9
muni d'une action de G, semi-linéaire par rapport à son action sur Ef
continue pour la topologie de Krull de G et la topologie discrète de 7, est
isomorphe à En.
L'idée fondamentale, qui est à la base de toute la suite de cet exposé,
et que Tate a été le premier à utiliser dans ce contexte [26], est que, pour
les représentations ^p-adiques quelconques, il faut remplacer K par son
complété G = Ê (et donc i P f ® , GLjZ)) par J2"*0nt(®> GLJC)), la topologie de GLn(C) étant la topologie p-adique). Autrement dit, dans u n
premier temps, au lieu d'étudier les représentations #-adiques, on va
s'intéresser aux G-reprêsentations de ©, i.e. aux O-espaees vectoriels de
dimension finie, munis d'une action semi-linéaire et continue de ©.
Le premier résultat, dû à Tate, est le suivant : si i* est une C-représentation de ©, et si, pour tout i e Z, on note "P* le sous-IT-espace vectoriel
de ir formé des v vérifiant
gv = xi(g)'/0j
pour tout g e ©,
alors ([24], prop. 4), Vapplication évidente
est injective. Si elle est surjective, on a alors une décomposition canonique de ir, la décomposition de Hodge-Tate
ir = © C ^ ' ,
et on dit que f est du type Bodge-Tate. L'un des intérêts de cette notion
est que l'on conjecture (Tate) que la cohomologie étale ^-adique fournit,
par extension des scalaires à G, des exemples de U-représentations du type
Hodge-Tate.
Une classification pratiquement complète des (/-représentations a été
obtenue par Sen ([21]): La théorie de Sen associe, à toute O-représentation
i~ de dimension n, un L-espace vectoriel HT de dimension n muni d'un endomorpJiisme q>, dont les facteurs invariants sont à coefficients dans K. La
connaissance de <p détermine ir à isomorphisme près ; si Jc est algébriquement
clos, tout couple (W', (p) provient d?une O-représentation. En termes de
cocycles continus, cela revient à construire une application injective
Représentations j)-adiques
479
(bijective si Jc est algébriquement clos) de S"oont(® ? ^51^(0)) dans l'ensemble
Mn(E) des classes de similitude des matrices (n,n) à coefficients
dans K. La construction de (HT, <p), qui se fait en trois étapes, est
instructive :
1° étape: L'ensemble Elont(^, GLn(0)) a un seul élément. Gomme en
outre (7S s= L (le complété de L = i£ $ ), pour toute (7-représentation y
de ©, l'application naturelle de ö ® ^ 7 ^ dans 7 est un isomorphisme;
on est donc ramené à l'étude "des ^-représentations" de P.
2° étape: Il suffit en fait d'étudier "les P-représentations" de P, i.e.
les P-espaces vectoriels de dimension finie munis d'une action semi-linéaire
et continue de P. On peut en effet "décompléter" la .^-représentation
i^ : si HT désigne le sous-P-espace vectoriel de y * , réunion des sous-Pespaces vectoriels de dimension finie stables par P, il est lui-même de
dimension finie et l'application naturelle de L®Ln/P dans y * est un isomorphisme.
3° étape: Choisissons une base e1} ez, ..., en de HT sur L. Il existe une
extension finie K' de K contenue dans P telle que le sous-üT'-espace vectoriel if de HT engendré par les ej est stable par P. L'action de Gal(P/J£')
sur if est alors linéaire et l'on en déduit facilement l'existence d'un
unique P-endomorphisme cp de HT tel que
yw =exp(p-logjj(y))(w),
(*)
pour tout w e if et tout y appartenant à un sous-groupe ouvert suffisamment petit de P. Il est clair que cp ne dépend pas de la base choisie,
parce que la formule (*) reste vraie pour tout w eiV et tout y appartenant à un sous-groupe ouvert convenable (dépendant de w) de P. On
montre alors que l'on peut choisir une base sur laquelle la matrice de q>
est à coefficients dans K.
Bemarques. 1. Une O-représentation est du type Hodge-Tate si et
seulement si cp est semi-simple, et à valeurs propres dans Z.
2. L'endomorphisme cp ne dépend que de la restriction de l'action
de © à un sous-groupe ouvert du groupe d'inertie: Le foncteur qui à y
associe le couple (if', cp) est un ®-foncteur exact et fidèle de la catégorie
des (/-représentations dans celle des P-espaces vectoriels de dimension
finie, munis d'un endomorphisme; mais, bien que (nIV,cp) détermine y
à isomorphisme près, il n'est pas pleinement fidèle. Si Jc est algébriquement
clos, il l'est "presque": il induit une ®-équivalence entre, d'une part,
la catégorie dont les objets sont les ö-representati ons et les morphismes
480
Section 3: J.-M. Fontaine
les applications C-linéaires qui commutent à l'action d'un sous-groupe
ouvert suffisamment petit de © et, d'autre part, la catégorie des couples
4. Représentations linéaires de Lieo [(24], [20], [21])
Si 7 est une représentation p-adique, on peut appliquer la théorie de
Sen à la O-représentation V0 = 0®Q 7 et V0 est muni d'un O-endomorphisme <pVQ (c'est l'extension (/-linéaire à V0 de l'endomorphisme P-linéaire
cp de HT\ on prendra garde que, bien que V0 = C®Q 7 = 0®LnfT, en
général HT est distinct de P®Q 7). D'où la question: que peut-on dire
de l'action de © sur 7 si l'on connaît seulement cpVQ% La réponse, conjecturée par Serre dans le cas où V0 est du type Hodge-Tate, a été obtenue
par Sen: la connaissance de cpVQ est équivalente à celle de l'action de
l'algèbre de Lie du groupe d'inertie. Bn particulier, si Von suppose Jc algébriquement clos, JÀeGy est la plus petite sous-algèbre de Lie (ou le plus
petit sous-Qp-espace vectoriel, il se trouve que cela revient au même)
de gl(7) défini(e) sur Qp, dont Vextension des scalaires à G contient (pVçr
Bemarques. 1. Supposons toujours Jc algébriquement clos et soit g
= Lie© :== limLie(©/3)j pour 3 parcourant les sous-groupes fermés
invariants de © tels que ®/5 èst un groupe de Lie #-adique de dimension
finie. Soit QG = <7®Q g :== limü®Q Lie(©/3). H existe un unique élément
<pSen G Qç tel que, pour toute représentation #-adique 7, cpVa soit l'endomorphisme qui donne l'action de <p8en sur Vc. Le résultat ci-dessus signifie
que g est la plus petite sous-algèbre de Lie d'elle-même, fermée, définie
sur Qp, et dont l'extension des scalaires à G contient <pSen.
2. On sait peu de choses sur ce que peuvent être les facteurs invariants d'un cpVo provenant d'une représentation jp-adique 7. Il ne paraît
pas impossible de pouvoir les calculer en termes du P-module de Dieudonné de pente 0 associé à 7.
5. Représentations de Hodge-Tate, de de Rham et cristallines ([6], [7]>
[9H11L [16], [29])
Posons QjP(l) =Q_p®z lim A« ^(E)s pour tout ieN, soit Qp(i) la i-ième
puissance tensorielle de Qp(i) et Qp( —i) le dual de Qp(i). Pour i G Z, Qp(i)
est un Qp-espace vectoriel de dimension 1 sur lequel © opère à travers #*.
Représentations jp-adiques
481
Notons P H T la 0-algèbre graduée ®<7®Q %(i) (si t est un élément non
nul de %(1), tout élément de P H T s'écrit, de manière unique, sous la forme
J ^ f , avec les c{ e G, presque tous nuls).
i* 6 Z
Pour toute représentation p-adique 7, soit BnT(V) = ( P H T ® Q TO*5D'après les résultats de Tate rappelés au n° précédent, c'est un jE>esi)ace
vectoriel gradué de dimension finie inférieure ou égale à la dimension
de 7 sur Q^ ; on dit que 7 est de Modge-Tate si ces deux dimensions sont
égales (ce qui revient à dire que V0 est du type Hodge-Tate). On montre
facilement que les représentations de Hodge-Tate forment une sous-®catégorie de celle des représentations #-adiques et que, par restriction,
P H T induit un (^-fondeur exact et fidèle de cette catégorie sur celle des
K-espaces vectoriels gradués de dimension finie.
Soit B l'anneau des entiers de B& (cf. n° 2, B^ est le complété de B°~)
et soit WK(B) = K®WW(B). Si a ~ (a0, a1, . . . , am,...) e W(B), chaque
am est une suite d'éléments (amtn)néS d'éléments de l'anneau des entiers
V0 de (7; l'application 0°: W(B)~>@0i qui à a associe Spmßm>m9
est un
homomorphisme surjectif de 17-algèbres, qui induit un épimorphisme,
encore noté 0°, de la JT-algèbre WK(B) sur G-, son noyau est donc un idéal
maximal m de WK(B) et on note B D R le corps des fractions du séparé
complété de WK(B) pour la topologie m-adique. C'est un corps complet
pour une valuation discrète, dont le corps résiduel s'identifie à 0; on
montre que Q^(l) se plonge canoniquement dans le groupe additif de
2?DR et que tout élément non nul de Qp(l) est une uniformisante de P D R ;
il en résulte que l'anneau gradué associé à P D R (pom.' la filtration définie
par les puissances de l'idéal maximal de l'anneau des entiers de P D R )
s'identifie à P H T Pour toute représentation #-adique 7 , soit P D R ( 7 ) = ( P D R ® Q T7)*5Domine gr'Pi) R = PHT? °' e s * u n -K-espace vectoriel filtré de dimension
finie inférieure ou égale à la dimension de 7 sur Q^; on dit que 7 est de
ïe BJiam si ces dimensions sont égales; s'il en est ainsi, 7 est aussi de
Eodge-Tate et g r P D R ( 7 ) s'identifie à P H T ( ^ ) Ici encore les représentations de de Eham forment une sous-®-catéjorie des représentations de Hodge-Tate et, par restriction, D D R induit
m ® -foncteur exact et fidèle de la catégorie des représentations de de BJiam
mr celle des K-espaees vectoriels filtrés de dimension finie (cette dernière
a'est pas abélienne, mais on a toutefois des notions de suite exacte courte,
produit tensoriel, ...).
482
Section 3: J.-M. Fontaine
Bemarque. S'il est clair qu'il existe un homomorphisme de la If-algèbre
G dans l'anneau des entiers de J? DR qui composé avec la projection de cet
anneau sur J3 DR induise l'identité, je ne vois pas de raison pour que l'on
puisse choisir un tel homomorphisme compatible avec l'action de ©.
On peut donc penser qu'il existe des représentations de Hodge-Tate qui
ne sont pas de de Eham; les extensions non triviales de Q^(l) par Q^, semblent de bons candidats, mais je ne sais pas le montrer (les extensions de Qp
par Qp(l) sont en revanche non seulement de Hodge-Tate mais aussi
de de Eham).
Soit Wnp(B) le séparé complété pour la topologie ^-adique de l'enveloppe à puissances divisées de W(B) relativement au noyau de 0° (choisissons un œ = (xn)neJ!i eB tel que œ0 = p et posons [x] = (x, 0, 0, ...),
* = M - * , WKQ(B)
^K,®WW(B),
yn(S) =^®^%
<* Y*iW) = ^ ®
®[xn], pour ^ e N ; alors 17(12) [[yn(ê))nex] = W(B) [(yn(lx]))neN] et
WDP(B) est le séparé complété de cette algèbre pour la topologie
jp-adique).
L'homomorphisme évident de WK (B) dans WK(B) se prolonge de
manière naturelle en une inclusion de W§P(B) : = KQ^WWDP(B)
clans I? DR
que nous utilisons pour identifier W^P(B) à un sous-anneau de J3 D R . On note
JBoris la sous-T7êP(jB)-algèbre de J3 DR engendrée par f 1 , où t est un élément
arbitraire non nul de Qp(l).
Il est clair que Bovis est stable par ffi. On montre en outre
(i) que l'action de F sur W (B) s'étend naturellement à JB0Pis,
(ii) que l'hom.omorphisme évident de E®^0-BOriS dans B D R est injectif.
Pour toute représentation jp-adique 7, soit
B0ria(V)=(BGTÌS®QpV)®.
L'injectivité de K®KoBOTÌa dans -BDR indtiit une injection de E^K BQrìB(V)
dans BBn(V) et J> oris (7) est donc un jBT0-espace vectoriel de dimension
finie inférieure ou égale à celle de 7 sur Q^; on dit que 7 est cristalline
si ces dimensions sont égales.
Si 7 est cristalline, 7 est aussi de de Eham et BBn(V)
s'identifie
à K®KBcvi8(V).
S'il en est ainsi, BoviB(V) est un module de Bieudonné
filtré faiblement admissible au sens de [13]; autrement J dit, c'est un
JBT0-espace vectoriel B de dimension finie muni
(i) d'une action o,-semi:linéaire de F (induite par, l'action de F sur
-^cris/7
Eepresentations ^-adiques
483
(ii) d'une filtration de BK = K®K B (la filtration naturelle de BBn( 7)),
vérifiant certaines conditions (voir [6], § 4 et [16], § 1).
La catégorie MFj^ des modules de Dieudonné filtrés faiblement admissibles est abélienne. On dit qu'un module de Dieudonné filtré est admissible s'il est isomorphe à un B0ViB(V), pour une représentation cristalline 7
convenable, La catégorie MF% des modules de Dieudonné filtrés admissibles est une sous-catégorie pleine de MP^ stable par sous-objet et
quotient.
On montre que la restriction de BOTiB à la catégorie des représentations
cristallines est pleinement fidèle et induit une (Si-équivalence de cette catégorie
sur M F g .
Le défaut de cette théorie est que l'on ne connaît pas de description
explicite de MF^; mais, en fait, on conjecture que faiblement admissible
équivaut à admissible et on sait le démontrer dans de nombreux cas
particuliers ([15], [16], [11], [10]).
Bemarques. 1. L'anneau B0TiB construit ici diffère légèrement de celui
construit dans [7] qu'il contient. Mais cela ne change pas le foncteur
D c r l s . Si % désigne l'anneau des entiers de E, WDP(B) s'identifie (cf.
[10]) à
#üris(%) : = liniH°((Spec(^/^^)/17 n (&)) o r l 8 , faisc. struct.).
2. Si S est un groupe de Barsotti-Tate sur l'anneau des entiers de K,
VP(M) =Q i? ®z linaiT n ( % ) est une représentation cristalline de poids
c {0,1} (i.e. YQ ^ 0=>i G {0,1}); inversement, si e = [K:
K0]^.p—1,
toute représentation cristalline de poids c {0,1} provient d'un groupe
de Barsotti-Tate ([17], [5], [16]); on conjecture que cela reste vrai si
e > # ( o n le sait dans des cas particuliers, voir [15], [10]).
3. Si A est une variété abélienne sur K, VP(A) =Q i 3 ® z limJ. n(E)
est de Hodge-Tate de poids c {0,1} ([26], [1], [8]) et même de de Eham.
Elle est cristalline si (et probablement seulement si, c'est en tout cas un
théorème si e < p —1) elle a bonne réduction.
4. Il serait agréable de savoir reconnaître si une représentation
jp-adique est de Hodge-Tate, de de Eham ou cristalline en termes de son
jT-module de Dieudonné de pente 0. Il serait agréable d'avoir aussi une
description terre à terre du foncteur qui associe à tout module de Dieudonné filtré admissible le P-module de Dieudonné de pente 0 de la représentation cristalline correspondante. Les anneaux PracT7(JB^) et BGTiB
sont suffisamment "voisins" pour que cela paraisse possible.
35 •— Proceedings...
484
Seetion 3: J.-M. Fontaine
6. Le groupe Gr alg pour les représentations de Hodge-Tate
[20], [21], [28], [29])
([23]-[2Ö],
On suppose maintenant Jc algébriquement clos.
Soit 7 une représentation ^-adique. Si (pv<y est semi-simple et si le
Q-espace vectoriel engendré par ses valeurs propres est de dimension < 1,
le sous-(7-espace vectoriel de 01(7^) engendré par cpVQ est une sous-algèbre
de Lie algébrique et Lie GVtSLlg — Lie(? F (en particulier, Gv est ouvert
dans
GVt^(%)).
C'est le cas lorsque 7 est de Hodge-Tate. Soit alors hv: G m ->GL(7 0 )
l'homomorphisme défini par Jiv(X)-x = ÏÏx, si a? G 7#; Vimage de hv est
contenue dans ö F j a l g ® G et la classe de conjugaison <ßv de Jiv dans GVfGlg est
définie sur K. On a donc un triplet (G, <&, TJ) (avec G = GVt8,is, <£ = # F ,
TJ =z V) formé d'un groupe algébrique G défini sur Q p , d'une classe de
conjugaison # de sous-groupes à un paramètre de G, définie sur K et
d'une représentation linéaire TJ de dimension finie de G. Si on suppose
que 7 est à poids c [j,j'] (i.e. que Yl0 # 0 implique j < i^j'),
le triplet
(G, V, U) vérifie
m»*
(i) la composante neutre G0 de G est le plus petit sous-groupe
algébrique de G, défini s%ir Qp, contenant <të,
(ii) TJ est une représentation fidèle de G et les poids de Vaction de
<ê sur TJ sont compris entre j et j ' .
On peut tenter de classifier de tels triplets, au moins lorsque l'on
suppose G réductif. Cela a été fait par Serre ([25]) pour MT[Q1] : il montre
en particulier que les facteurs simples de G0 sont, dans ce cas, de type classique (An, B w , Cw, Dn) et que leurs poids dans TJ sont des poids minuscules.
Soit (G,%, TJ) un triplet vérifiant MTyj^. Existe-t-il une représentation 7 de Hodge-Tate telle que (GVt&lg, <ßy, 7) ~ (G, <ë, U)? On dispose
de méthodes pour attaquer ce problème si l'on exige en plus que 7 soit
cristalline. Le groupe G doit alors être connexe ([6]), mais ce n'est pas
suffisant. Si G est réductif connexe, les résultats partiels dont on dispose
laissent penser que la réponse pourrait être oui.
Supposons e =1, i.e. K = K0 (c'est le seul cas où les résultats sont
significatifs). Un travail de Wintenberger ([29]) permet d'associer, à tout
module de Dieudonné filtré faiblement admissible B, un triplet (GD, <êD, TJD)
(vérifiant MT[jtf] si gr~*Z) = 0 implique j < i < j ' ) . Lorsque B est admissible, si B ~ i>oris( 7), le fait que D cria définit une ®-équivalence de catégories implique que les triplets (GVt&ìg, <ßv, 7) et (GD, <#D, UD) sont
Eepresentations #-adiques
485
des "formes intérieures" l'un de l'autre et deviennent isomorphes après
une extension finie non ramifiée de Qp.
Dans [30], Wintenberger montre que, quelque soient j et j ' , tout triplet
(G,<ê, TJ) vérifiant MT[jtJV avec G réductif connexe, est isomorphe à un
(Gjy, #£,, TJD), pour un B faiblement admissible convenable.
Comme on sait ([11]) que tout B faiblement admissible, tel quHl existe j
avec Y\VB = Bet ¥i\j+pB = 0, est admissible, cela implique que, si y —j < p,
tout (G,%>, TJ) vérifiant MT^^, avec G réductif connexe, est isomorpJie
à une forme intérieure du triplet associé à une représentation cristalline de
poids c [j,jf] convenable.
Bemarques. 1. Ces résultats joints à ceux de Serre pour MT[0ti] et à la
remarque 2 du n° 3 permettent, lorsque e = 1, de caractériser, à une forme
intérieure près, les triplets (G, <€, TJ) avec G réductif, que Von obtient à partir
des représentations p-adiques de la forme VP(A) = Q P ® Z lim-4. n(E), où
A est un groupe p-divisible ou un scJiéma abélien sur les entiers de K (cf.
[30]).
2. Cela fournit un moyen pour montrer que n'importe quel groupe
réductif connexe peut se réaliser (à torsion par une forme intérieure près)
comme GVtB}g d'une représentation cristalline 7, du moins si p est assez
grand; par exemple SL2 (si p > 3) et (Serre) G2 (si p > 3), E 8 (si p > 5);
il est intéressant de noter qu'aucun de ces trois groupes n'est le GVtQiig
d'une représentation appartenant à la ®-catégorie engendrée par les
modules de Tate des groupes p-divisibles et leurs duaux (cf. [25], th. 7).
Bibliographie
[1] Bogomolov F . A., Sur l'algébricito] des représentations Z-adiques, 0. B. Acad.
Sci. Paris 290 (1980), pp. 701-703.
[2] Bloch S. and Kato K., p-adie Etale öohomology, à paraître.
[3] Berthelot P . and Ogus A., F-mocrystals and de E h a m Cohomology I, Inv.
Math.
72 (1983), pp. 159-199.
[4] Deligne P . and Milne J., Tannakian Categories. In: Eodge Cycles, Motives and
Shimura Varieties, Lecture Notes in Math. 900, Springer, Berlin, 1982.
[5] Fontaine J.-M., Groupes p-divisibles sur les corps locaux, Astérisque
47-48,
Soc. math, de France, 1977.
[6] Fontaine J.-M., Modules galoisiens, modules filtrés et anneaux de Barsotti-Tate.
In: Journées de Géométrie Algébrique de Bennes, Astérisque 65, Soc. math, de France,
1979.
[7] Fontaine J.-M„ Sur certains types de représentations jp-adiques du groupe de
Galois d'un corps local; construction d'un anneau de Barsotti-Tate, Ann. of
Math. 115 (1982), pp. 529-577.
486
Section 3 : J.-M. Fontaine
[8] Fontaine J.-M., Formes différentielles et modules de Tate des variétés abéliennes
sur les corps locaux, Inv. Math. 65 (1982), p p . 379-409.
[9] Fontaine J.-M., Cohomologie de de Eham, cohomologie cristalline et représentations jp-adiques. In: Algebraic Geometry, Proceedings, ToJcyoJKyoto 1982, Lecture
Notes in Math. 1016, Springer, Berlin, 1983.
[10] Fontaine J.-M., Eepresentations p-adiques ordinaires, en préparation.
[11] Fontaine J.-M. et Laffaille G., Construction de représentations #-adiques,
Ann. Sci. F.N.S. 15 (1982), pp. 547-608.
[12] Fontaine J.-M. et Wintenberger J.-P., Le "corps des normes" de certaines extensions algébriques de corps locaux, G.B.A.S. 288 (1979), pp. 367-370.
[13] Fontaine J.-M. et Wintenberger J.-P., Extensions algébriques et corps des normes
des extensions APF des corps locaux, G.B.A.S. 288 (1979), pp. 441-444.
[14] Grillet H. et Messing W., article en préparation.
[15] Laf faille G., Construction de groupes p -divisibles: le eas de dimension Z. I n :
Journées de Géométrie Algébrique de Bennes, Astérisque 65, Soc. math, de France,
1979.
[16] Laffaille G-., Groupes p -divisibles et modules filtrés: le cas peu ramifié, Bull.
Soc. Math, de France 108 (1980), pp. 187-206.
[17] Messing W., The Crystals Associated to Barsotti-Tate Groups: with Applications
to Abelian Schemes, Lecture Notes in Math. 264, Springer, Berlin, 1972*
[18] Saavedra Eivano N., Catégories TannaJciennes, Lecture Notes in Math. 265,
Springer, Berlin, 1972.
[19] Sen S., On Automorphisms of Local Fields, Ann. of Math. 90 (1969), p p . 33-46.
[20] Sen S., Lie Algebras of Galois Groups Arising from Hodge-Tate Modules, Ann.
of Math. 97 (1973), p p . 160-170.
[21] Sen S., Continuous Cohomology and #-adic Galois Eepresentations, Inv. Math.
62 (1980), p p . 89-116.
[22] Serre J.-P., Corps locaux, 2° éd., Hermann, Paris, 1968.
[23] Serre J.-P., Abelian l-adicEepresentations andMlipticCurves, Benjamin, New York,
1968.
[24] Serre J.-P., Sur les groupes de Galois attachés aux groupes p-divisibles. In : Proceedings of a Conference on Local Fields, Springer, Berlin, 1967.
[25] Serre J.-P., Groupes algébriques associés aux modules de Hodge-Tate. In: Journées
de Géométrie Algébrique de Eennes, Astérisque 65, Soc. math, de France, 1979.
[26] Tate J., ^-divisible Groups. I n : Proceedings of a Conference on Local Fields, Springer,
Berlin, 1967.
[27] Wintenberger J.-P., Extensions de Lie efc groupes d'automorphismes de corps
locaux de caractéristique p, G.E.A.S. 288 (1979), pp. 477-479.
[28] Wintenberger J.-P., Le corps des normes de certaines extensions infinies de
corps locaux; applications, Ann. Sci. B.W.S. (4) 16 (1983), pp. 59-89.
[29] Wintenberger J.-P., Un scindage de la filtration de Hodge pour certaines
variétés algébriques sur les corps locaux, Ann. of Math., à paraître.
[30] Wintenberger J.-P., Groupes algébriques associés à certaines représentations padiques, à paraître.
LABORATOIRE DE MATHÉMATIQUES PURES ASSOCIÉ AU O.N.R.S.
INSTITUT FOURIER, UNIVERSITÉ DE GRENOBLE I,
B.P. 74, 38402 SAINT MARTIN D'HÈRES CEDEX, FRANCE