Représentations ^-adiques - International Mathematical Union

Proceedings of the International Congress of Mathematicians
August 16-24, 1983, Warszawa
JEAN-MAKC FONTAINE
Représentations ^-adiques
On sait que, lorsque l'on étudie les représentations Z-adiques du groupe
de Galois d'un corps de nombres, les places premières à l jouent un rôle
très différent de celles qui divisent Z. Tout Part est dans la manière d'uti-
liser simultanément les informations fournies par les unes et les autres.
Ici, bien au contraire, nous nous limitons à passer en revue quelques
résultats sur ce que l'on peut dire lorsque l'on ne considère qu'une seule
place p, supposée en outre diviser Z.
Aussi le contexte est le suivant: on fixe un corps K de caractéristique 0,
complet pour une valuation discrète, à corps résiduel parfait Jc de ca-
ractéristique p > 0; on choisit une clôture algébrique K de K et on pose
(S = Gal(j£/IT). Une représentation p-adique est un Qp-espace vectoriel
de dimension finie muni d'une action linéaire et continue de ©.
Comme le groupe (S n'est pas très "explicite", l'un des objectifs est
d'associer à une représentation ^p-adique des invariants plus tangibles.
Le plus naturel est le couple (V, Gv) formé du Qp-espace vectoriel sous-
jacent V et du sous-groupe (fermé) Gv de GL(7) qui est l'image de 05.
On obtient un objet plus maniable en remplaçant Gr
— soit par son algèbre de Lie, JAeGv (comme tout sous-groupe fermé
de GL(F), Gv est un groupe de Lie jp-adique),
— soit par sa clôture de Zariski GVf8big, i.e. le plus petit sous-groupe algé-
brique de GL(7) qui contient Gv (d'après un résultat classique de Cflie-
valley, Lie6rr>aig est la plus petite sous-algèbre de Lie algébrique de gl(7)
qui contient Lie(?F).
Ubus allons associer à certains types de représentations d'autres
invariants et, dans certains cas, voir quels renseignements la connaissance
de ces invariants fournit sur Lie$F ou sur GVtfûg.
Dans ce qui suit, mis à part quelques résultats sur les variétés abé-
liennes et les groupes ^-divisibles, on a laissé de côté toutes les questions
où intervient la géométrie algébrique (problèmes de comparaison entre
[47Ö1

476 Section 3: J.-M. Fontaine
différentes cohomologies #-adiques, voir [2], [3], [14], [7] App., [9], bien
que ce soit celle-ci qui "motive" beaucoup des définitions données.
Bemarque. Beaucoup des catégories abéliennes que nous allons ren-
contrer sont des ®-catégories, i.e. sont munies d'un produit tensoriel,
d'un Horn interne et d'un objet-unité satisfaisant à des propriétés con-
venables (cf. [18]); pour alléger l'exposé, nous avons renoncé à donner
les définitions, presque toujours évidentes, de ces structures; une sous-
®-catégorie d'une ®-catégorie abélienne est une sous-catégorie pleine
stable par sous-objet, quotient, somme directe, produit tensoriel, hom
interne, contenant l'objet-unité; un ®-foncteur (resp. une ®-équivalence
de catégories) est ce que l'on pense (voir [18] ou [4] pour des définitions
précises).
1. Représentations non ramifiées
On sait depuis longtemps que leur étude se ramène à un problème d'al-
gèbre linéaire. Commençons par fixer quelques notations:
— si A est un anneau commutatif contenant F^, W(A) est l'anneau des
vecteurs de Witt à coefficients dans A et F: W(A)->W(A) le Frobenius
(cf., par exemple, [22], chap. II, §6);
— on pose 17 == W(Jc), KQ = FracW et on note a le Frobenius agissant
sur Jc, W et K0;
— on note W[F] (resp. K0[F]) l'anneau (non commutatif si h ^Fp)
engendré par W (resp. K0) et un élément F, soumis aux relations FX
= a(X)F, pour tout l e W (resp. K0); si A est une fc-algèbre, W(A) est,
de façon naturelle, une TF-algèbre et un T7[J?T]-module; si A est parfait,
c'est même un W{F, P^-module.
Par définition, une représentation non ramifiée est une représentation
sur laquelle le sous-groupe dHnertie ©0 de © opère trivialement. Si h désigne
le corps résiduel de K, k est une clôture algébrique de Jc et ©/©<, s'identifie
à© :=Gal(ï/*).
Le groupe © opère sur P : = Frac W (S) de façon compatible avec
sa structure de uT0-algèbre et de KQ\F, p-^-module. Si 7 est une repré-
sentation #-adique non ramifiée, BP(V) :=(P®Q 7)® est un module
de Bieudonné de pente 0 sur K0, i.e. un K0 [P]-moduïe, de dimension finie
comme if0-espace vectoriel, contenant un TT-réseau sur lequel l'action
de F est bijective. Le foncteur BP définit une (^-équivalence entre la caté-
gorie des représentations p-adiques non ramifiées et celle des modules de
Bieudonné de pente 0. Un quasi-inverse'est le foncteur 7P qui, à un tel
module B, associe le sous-Qi3[©]-module de P®K B formé des éléments

Beprósentations j)-adiques 477
fixés par F (ces résultats se démontrent sans difficulté, par exemple en
utilisant [23], III, A.l).
2. Une "description" des représentations ^-adiques (voir [12], [13], [27],
[28] pour des démonstrations et d'autres résultats)
Soit x: ®-^Z* le caractère cyclotomique, défini par
ge = e*W, pour g e ©, «6^(1);
soient § le noyau de ©, r = ©/# et JJ = E*. Il se trouve que $ s'identifie
au groupe de Galois d'un corps parfait de caractéristique p.
Pour toute extension F de K contenue dans E, notons BE l'ensemble
des suites (a?n),leN formées d'éléments du complété Ê de F, vérifiant a?^+1
= xn, pour tout n. Si l'on pose
m-»-oo
WnèN"(yn)fiéN = {^nVfùnaSi
J2S devient un corps parfait de caractéristique p. C'est même un corps value
complet (on obtient une valuation de BE en choisissant une valuation v
de F et en posant v[(œn)neii) = fl(a?0)) dont le corps résiduel s'identifie
au corps résiduel JcE de F (bien sûr BE = 7% si JE/ est une extension finie
d'une extension non ramifiée).
Le corps BL a une structure très simple: c'est le complété de la clôture
radicielle d'un corps local bien défini, le corps des normes XK(L) de l'exten-
sion L/K ([28]), qui est donc un corps de séries formelles en une variable ut
à coefficients dans JcL. Le groupe abélien P opère continûment sur XK(L)
ot BL et cette action est facile à décrire (lorsque p est une uniformisante
de K, i.e. lorsque K = K0, on peut choisir ut pour que g(l + ut) = (1 + ut)x{0\
pour tout g e ©).
Si maintenant F est une extension finie galoisienne de L, BE est une
extension finie galoisienne de BL et Qnl(BEIBL) sHdentifie à Gal(2?/.L);
<m outre la réunion B~ des BE, pour F parcourant les extensions finies
de L contenues dans E est une clôture algébrique de BE.
Si 7 est une représentation jp-adique, et si PR = FracTF(jB^), on voit
que BPR(V) := (PR<8)Q 7)S est un "T-module de Bieudonné de pente 0",
i.e. un module de Bieudonné de pente 0 sur FracT7(jRjr,), munie d'une
action continue de P, semi-linéaire par rapport à son action naturelle
sur FracT7(JSi). On obtient ainsi une (Si-équivalence entre la catégorie de
toutes les représentations p-adiques et celle des r-modules de Bieudonné de
pente 0.

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3. Décomposition de Hodge-Tate et théorie de Seri ([26], [24], [21]}
Si 7 est une représentation ^-adique finie (i.e. telle que © opère à travers un
groupe fini), la trivialité de B}\%, GLn(E)), pour tout n, implique que
(Jr®Q 7)® est un JT-espace vectoriel de dimension finie égale à celle de 7
sur Qp. Plus généralement tout Z-espace vectoriel 7, de dimension finie n9
muni d'une action de G, semi-linéaire par rapport à son action sur Ef
continue pour la topologie de Krull de G et la topologie discrète de 7, est
isomorphe à En.
L'idée fondamentale, qui est à la base de toute la suite de cet exposé,
et que Tate a été le premier à utiliser dans ce contexte [26], est que, pour
les représentations ^p-adiques quelconques, il faut remplacer K par son
complété G = Ê (et donc iPf®, GLjZ)) par J2"*0nt(®> GLJC)), la topo-
logie de GLn(C) étant la topologie p-adique). Autrement dit, dans un
premier temps, au lieu d'étudier les représentations #-adiques, on va
s'intéresser aux G-reprêsentations de ©, i.e. aux O-espaees vectoriels de
dimension finie, munis d'une action semi-linéaire et continue de ©.
Le premier résultat, dû à Tate, est le suivant : si i* est une C-repré-
sentation de ©, et si, pour tout i e Z, on note "P* le sous-IT-espace vectoriel
de ir formé des v vérifiant
gv = xi(g)'/0j pour tout g e ©,
alors ([24], prop. 4), Vapplication évidente
est injective. Si elle est surjective, on a alors une décomposition cano-
nique de ir, la décomposition de Hodge-Tate
ir = ©C^',
et on dit que f est du type Bodge-Tate. L'un des intérêts de cette notion
est que l'on conjecture (Tate) que la cohomologie étale ^-adique fournit,
par extension des scalaires à G, des exemples de U-représentations du type
Hodge-Tate.
Une classification pratiquement complète des (/-représentations a été
obtenue par Sen ([21]): La théorie de Sen associe, à toute O-représentation
i~ de dimension n, un L-espace vectoriel HT de dimension n muni d'un endo-
morpJiisme q>, dont les facteurs invariants sont à coefficients dans K. La
connaissance de <p détermine ir à isomorphisme près ; si Jc est algébriquement
clos, tout couple (W', (p) provient d?une O-représentation. En termes de
cocycles continus, cela revient à construire une application injective

Représentations j)-adiques 479
(bijective si Jc est algébriquement clos) de S"oont(® ? ^51^(0)) dans l'ensemble
Mn(E) des classes de similitude des matrices (n,n) à coefficients
dans K. La construction de (HT, <p), qui se fait en trois étapes, est
instructive :
1° étape: L'ensemble Elont(^, GLn(0)) a un seul élément. Gomme en
outre (7S s= L (le complété de L = i£$), pour toute (7-représentation y
de ©, l'application naturelle de ö®^7^ dans 7 est un isomorphisme;
on est donc ramené à l'étude "des ^-représentations" de P.
2° étape: Il suffit en fait d'étudier "les P-représentations" de P, i.e.
les P-espaces vectoriels de dimension finie munis d'une action semi-linéaire
et continue de P. On peut en effet "décompléter" la .^-représentation
i^ : si HT désigne le sous-P-espace vectoriel de y*, réunion des sous-P-
espaces vectoriels de dimension finie stables par P, il est lui-même de
dimension finie et l'application naturelle de L®Ln/P dans y* est un iso-
morphisme.
3° étape: Choisissons une base e1} ez, ..., en de HT sur L. Il existe une
extension finie K' de K contenue dans P telle que le sous-üT'-espace vecto-
riel if de HT engendré par les ej est stable par P. L'action de Gal(P/J£')
sur if est alors linéaire et l'on en déduit facilement l'existence d'un
unique P-endomorphisme cp de HT tel que
yw =exp(p-logjj(y))(w), (*)
pour tout w e if et tout y appartenant à un sous-groupe ouvert suffi-
samment petit de P. Il est clair que cp ne dépend pas de la base choisie,
parce que la formule (*) reste vraie pour tout w eiV et tout y apparte-
nant à un sous-groupe ouvert convenable (dépendant de w) de P. On
montre alors que l'on peut choisir une base sur laquelle la matrice de q>
est à coefficients dans K.
Bemarques. 1. Une O-représentation est du type Hodge-Tate si et
seulement si cp est semi-simple, et à valeurs propres dans Z.
2. L'endomorphisme cp ne dépend que de la restriction de l'action
de © à un sous-groupe ouvert du groupe d'inertie: Le foncteur qui à y
associe le couple (if', cp) est un ®-foncteur exact et fidèle de la catégorie
des (/-représentations dans celle des P-espaces vectoriels de dimension
finie, munis d'un endomorphisme; mais, bien que (nIV,cp) détermine y
à isomorphisme près, il n'est pas pleinement fidèle. Si Jc est algébriquement
clos, il l'est "presque": il induit une ®-équivalence entre, d'une part,
la catégorie dont les objets sont les ö-representati ons et les morphismes