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Nombres parfaits 31
© T³ France 2010 / Photocopie autorisée
Ouvrons une parenthèse égyptienne.
De 6 = 1 + 2 + 3, on tire que 1 = 1
6 + 1
3 + 1
2, puis que 2 = 1
6 + 1
3 + 1
2 + 1 et enfin que :
2
n = 1
6n + 1
3n + 1
2n + 1
n (où n
)
que l’on peut voir comme une «formule » de duplication
d’une fraction « égyptienne »
en somme de
fractions égyptiennes. Ainsi, le papyrus de Rhind (1800 av J-C) donne :
2
101 = 1
606 + 1
303 + 1
202 + 1
101.
… qui n’est autre que notre « formule », appliquée à n = 101.
Les Égyptiens utilisaient-ils ces notions reliant un entier et la somme de ses diviseurs ? Nul ne le sait
aujourd’hui faute d’avoir une information précise sur l’assise théorique des mathématiques
égyptiennes, mais on pourrait y voir un intérêt à l’étude très ancienne de ces problèmes...
1.3 Étude à la TI-Nspire
Tout au plus peut-on conclure que les nombres parfaits sont rares, d’où leur nom sans doute. Cela
rend leur recherche à la main très fastidieuse. Autant laisser la calculatrice gérer ce travail pénible !
La fonction select_range de la bibliothèque numtheory, nous permet de lister, en une poignée de
secondes, les nombres parfaits compris entre 1 et 1000 :
La recherche peut être poursuivie au delà mais elle est peu fructueuse : entre 1000 et 10 000, en 4
minutes et demie
, on obtient le quatrième nombre parfait, 8 128.
Au delà de 10 000, les recherches n’aboutissent plus… ou bien il faudrait y passer beaucoup trop de
temps pour les piles de la calculatrice... et la patience de l’utilisateur… L’intelligence, et les
mathématiques
, doivent prendre le relais !
1.4 La proposition d’Euclide
Nous avons donc obtenu quatre nombres parfaits : 6, 28, 496 et 8 128. Est-il possible de mettre
en évidence un point commun simple
entre ces nombres, suffisamment simple pour qu’on puisse
calculer les suivants ?
C’est leur décomposition en facteurs premiers qui apporte des éléments intéressants.
Rappelons l’importance de la duplication dans l’algorithme de multiplication égyptienne.
À part 2/3, les Égyptiens n’utilisaient que des fractions de numérateur 1 : c’est bien ces dernières que nous appelons fractions égyptiennes.
Une quarantaine de secondes avec le logiciel.
Ce qui prouve qu’elles sont encore indispensables, même et surtout à l’époque des ordinateurs puissants, contrairement aux affirmations
péremptoires d’un ministre, il y a quelques années...
En d’autres termes, quelle tête ont-ils ?