Présentation PowerPoint

Une démonstration
Utiliser les transformations (étude de figures).
Figure 1 : Symétrie centrale
Figure 2 : Symétrie axiale
Figure 3 : Translation
Démontrer
Figure N°1
ABC et A1BC1 sont deux triangles rectangles en A et A1.
Les angles ABC et A1BC1 sont
opposés par le sommet
Donc ils sont égaux.
A1
C’
C Voir la démonstration
On veut montrer que
BA BA1
=
BC BC1
B
A’
A
On considère la symétrie de centre B.
Soit A’ l’image du point A1,
Soit C’ l’image du point C1.
C1 Le triangle A’BC’ est l’image du triangle A BC .
1
1
Le triangle A1BC1 est un triangle rectangle en A1.
Donc le triangle A’BC’ est rectangle en A’.
Et BA’ = BA1 ; BC’ = BC1
Figure N°2
ABC et A1BC1 sont deux triangles rectangles en A et A1,
Voir la démonstration
tels que A1BC1 = ABC
C
C1
A1
d
C’
B
A’
On veut montrer que
BA BA1
=
BC BC1
Considérons la symétrie
d’axe la droite d.
A
A’ est l’image du point A1.
C’ est l’image du point C1.
L’image du triangle A1BC1 est le triangle A’BC’
Le triangle A1BC1 est un triangle rectangle en A1.
Donc le triangle A’BC’ est rectangle en A’.
BA’ = BA1 ; BC’ = BC1 ; A1BC1 = A’BC’
Figure N°3
ABC et A1B1C1 sont deux triangles rectangles
en A et A1 tels que A1B1C1 = ABC
On veut montrer que
BA B1A1
=
BC B1C1
C
C’
B
A’
C1
A
B1
A1
Considérons la translation qui applique B1 sur B.
* Soit A’ l’image du point A1
* Soit C’ l’image du point C1.
Figure N°3
ABC et A1B1C1 sont deux triangles rectangles
en A et A1 tels que A1B1C1 = ABC
On veut montrer que
BA B1A1
=
BC B1C1
Voir la démonstration
C
C’
B
A’
C1
A
B1
A1
L’image du triangle A1B1C1 est le triangle A’BC’.
Le triangle A1B1C1 est un triangle rectangle en A1.
Donc le triangle A’BC’ est rectangle en A’.
BA’ = B1A1 ; BC’ = B1C1 ; A1B1C1 = A’BC’
Démonstration :
Les droites (AC) et (A'C') sont
perpendiculaires à la droite (AB)
C
Donc les droites (AC) et (A'C') sont
parallèles.
C'
B
D'après la propriété de Thalès
A'
A
BA'
BC'
=
BC
BA
Donc BC' x BA = BC x BA'
On divise chacun des deux membres de l'égalité par BC' x BC
BC x BA'
BC' x BA
=
BC' x BC
BC' x BC
BA BA'
et on obtient :
=
BC BC'
Conclusion : Si ABC est un triangle rectangle en A.
Pour un angle ABC donné, le quotient
C
B
BA
BC
est constant.
A
Ce nombre ne dépend que de la mesure de l’angle ABC.
C’est le cosinus de l’angle ABC.
cos (ABC) se lira « cosinus de l’angle ABC »
cos (ABC) =
Côté adjacent à l'angle ABC
Hypoténuse
=
BA
BC
C
BA
B
Cos ABC =
A
BC
Propriété :
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est :
Le plus grand côté
Donc BA < BC
Donc
Cos ABC < 1