Méthodes de prévision (STT-3220) Section 6 Classe des modèles ARMA Version: 16 décembre 2008 Classe des processus ARMA(p,q) Soit le processus Z t tel que E Z t2 et supposons que E Z t 0 . Le processus Z t est autorégressif moyenne mobile d’ordre (p,q) s’il satisfait la relation: Z t 1Z t 1 p Z t p at 1at 1 q at q , t 2 Le processus at est un bruit blanc BB 0, 2 a Les paramètres i , i 1, p; i , i 1,q. sont des nombres réels. STT-3220; Méthodes de prévision Opérateur retard B (backward shift operator) Soit le processus Z t . L’opérateur retard B se définit comme suit: Bz t zt 1 B zt BBz t Bz t 1 zt 2 2 B zt zt m m 3 STT-3220; Méthodes de prévision Opérateur retard (suite) On suppose également que B I de sorte que Izt zt . De plus: B m zt B m zt zt m . L’opérateur retard est linéaire: 0 Bzt wt zt 1 wt 1 Bz t 1 Bwt 1 , B zt Bz t z t 1. 4 STT-3220; Méthodes de prévision Opérateur retard (suite) Considérons l’opérateur polynomial B: f B 0 I 1B p B p On a alors que: f B zt 0 I 1 B p B zt , p 0 zt 1zt 1 p zt p 5 STT-3220; Méthodes de prévision Opérateur retard (suite et fin) Somme, produit et produit par un scalaire se définissent de la même façon que pour des polynômes d’une variable réelle. f1 B a0 a1 B a p B p f 2 B b0 b1 B bp B p f1 f 2 B f1 B f 2 B a0 b0 a1 b1 B a p bp B p 1 R1B1 R2 B I R1B R2 B R1R2 B 6 STT-3220; Méthodes de prévision 2 Opérateur « différence » ainsi que « différence saisonnière » D’autres opérateurs sont utiles: Opérateur différence: I B Par exemple: zt I B zt zt zt 1 2 zt I B zt I 2 B B 2 zt 2 7 zt 2 zt 1 zt 2 Opérateur différence saisonnière: Soit s. On s le définit comme: s I B 12 Exemple: 12 zt I B zt zt zt 12 STT-3220; Méthodes de prévision Réécriture des modèles ARMA à l’aide de l’opérateur retard Posons: B I 1 B p B , p B I 1 B q B . q 8 Il est élégant et économique d’écrire: Si ARMA(p,q) si B Zt B at , t. E Z t , on dit que le processus Z t est B Zt B at , t. Z . Z t STT-3220; Méthodes de prévision t Processus autorégressifs; Processus moyennes mobiles Un processus ARMA(p,0) est souvent noté AR(p): Z Z Z a , t , t 1 t 1 p t p t B Z t at , B I 1 B p B p Un processus ARMA(0,q) est souvent noté MA(q): Z t at 1at 1 q at q , t Z t B at , B I 1B q B 9 STT-3220; Méthodes de prévision q Racines communes Considérons un modèle ARMA: Comme nous allons le constater, la stationnarité et l’inversibilité reposeront sur l’étude des racines du polynôme autorégressif (stationnarité) et du polynôme moyenne mobile (inversibilité). Cependant, il faudra s’assurer que les deux polynômes n’ont pas de racines communes. Si tel est le cas, on retire simplement les facteurs communs. Exemple: 1 0.5B X t 1 0.5B at n’est pas un ARMA(1,1), mais le bruit blanc: X t at . 10 B Zt B at , t. STT-3220; Méthodes de prévision Étude de la stationnarité d’un processus ARMA(p,q) Soit un processus Z t qui est ARMA(p,q). Se demander si ce processus est stationnaire est se questionner si Z t admet une représentation du genre: Z a , t t 11 j 0 j t j j 0 j On rappelle que: B Z t B at , t. On aimerait faire « disparaître » l’opérateur B . On aimerait multiplier par 1 B de chaque côté. STT-3220; Méthodes de prévision Étude de la stationnarité (suite) Un résultat stipule que pour avoir l’existence 1 de l’opérateur B , il faut étudier les racines de l’équation: z 0 Résultat fondamental: 1 B existe si et seulement si les racines de l’équation z 0 sont plus grandes que un en module. 12 STT-3220; Méthodes de prévision Exemple: processus AR(1) Le processus est: Z t Z t 1 at De manière équivalente: 1 B Z a t t L’équation caractéristique est: z 1 z 0 La racine de cette équation est: Si 0 on a alors que: 1 13 1 1 1 STT-3220; Méthodes de prévision 1 Stationnarité d’un ARMA(p,q) 14 Si B est un opérateur qui existe, on a alors que l’équation B Z t B at peut être multipliée de chaque côté par l’opérateur 1 B , ce qui nous donne: 1 1 B B Z t B B at 1 Z t B B at Z t B at j at j 1 STT-3220; Méthodes de prévision Inversibilité d’un processus ARMA(p,q) Soit un processus Z t qui est ARMA(p,q). Se demander si ce processus est inversible est se questionner si Z t admet une représentation du genre: Z t j Z t j at j 15 j 1 j 1 La discussion est en tout point similaire à celle sur la stationnarité. Dans B Z t B at , on veut multiplier de chaque côté par 1 B . STT-3220; Méthodes de prévision Inversibilité d’un ARMA(p,q) (suite) 16 L’opérateur 1 B existe si et seulement si les racines de l’équation z 0 sont plus grandes que un en module. Dans un tel cas: B B Z t B B at 1 B B Z t at B Z t at 1 1 STT-3220; Méthodes de prévision Inversibilité d’un ARMA(p,q) (suite) On note que dans: B B B I j 1 j B B Z t at , Ainsi: I 1 j 1 j B Z t at , j Z t j 1 j B Z t at , j Z t j 1 j Z t j at . 17 STT-3220; Méthodes de prévision j Exemple: Inversibilité d’un processus MA(1) Le processus est: Zt at at 1 De manière équivalente: Z t I B L’équation caractéristique est: z 1 z 0 La racine de cette équation est: Si 0 on a alors que: 1 18 1 1 1 STT-3220; Méthodes de prévision 1 at Remarques p Soient l’éqn z 0, B I 1B p B ou l’éqn z 0 avec B I B B q 1 q En général, les racines de ces équations pourraient être des nombres complexes. On rappelle que si z a bi est racine d’une équation, avec i 1 , il en est de même du conjugué, i.e. que z a bi sera également racine. Rappel: le module d’un nombre complexe z a bi est donné par la formule: 2 2 z a b 19 STT-3220; Méthodes de prévision Plan complexe z = a+bi b |z| a 20 STT-3220; Méthodes de prévision Expressions consacrées! 21 Vous allez souvent rencontrer des expressions du genre: « Les racines de (…) sont plus grandes que un en module ». Ou encore: « Les racines de (…) sont à l’extérieur du cercle unité ». STT-3220; Méthodes de prévision Cercle unité (dans le plan complexe) z = a + bi 1 22 STT-3220; Méthodes de prévision Étude de la stationnarité et de l’inversibilité d’un AR(p) 23 Processus AR(p): B Z t at Ce processus est stationnaire ssi les racines de z sont plus grandes que un en module. Ce processus est toujours inversible. Exemple: AR(1) Z t Z t 1 at admet une représentation en terme des valeurs passées et est stationnaire ssi 1 STT-3220; Méthodes de prévision Étude de la stationnarité et de l’inversibilité d’un MA(q) Processus MA(q): Z t B at Ce processus est inversible ssi les racines de sont z plus grandes que un en module. Ce processus est toujours stationnaire. Exemple: MA(1) Z t at at 1 admet une représentation en terme d’un bruit blanc et est inversible ssi 1 24 STT-3220; Méthodes de prévision