Systèmes dynamiques, modélisation et simulation
Systèmes dynamiques, modélisation et simulation. Résolution avec Scilab.
Systèmes dynamiques, modélisation et simulation
Résolution avec Scilab
Claude Gomez1 et Christine Gomez2
Université d’été de Sourdun, 27—30 août 2012
Table des matières
!"
#
!"$%
%
%
&'(
)*+&,-.
Systèmes dynamiques, modélisation et simulation. Résolution avec Scilab.
1 Équation diérentielle du premier ordre en dimension 1
Équation diérentielle linéaire
/01
'y ay b
,2a b
,$0a
30
1a
6b,$
(0) 1y
"4'5+
6'$
(0)y
$5%
Solution
a=1; b=6;
function yprim=f(t,y)
yprim=a*y+b;
endfunction
// Une courbe intégrale
t0=0; y0=1;
t=t0:0.1:t0+2;
y=ode(y0,t0,t,f);
clf; plot(t,y)
// Comparaison avec la solution connue
function y=s(t)
y=((a+b)/a)*exp(a*t)-b/a;
endfunction
plot(t,s,"r")
// Tracé de plusieurs courbes intégrales en faisant
// varier la condition initiale
for y0=0:5
y=ode(y0,t0,t,f);
plot(t,y)
end
2
Équation diérentielle du second ordre en dimension 1
Le pendule amorti
/$0'
l
m
0'*$$**5
$'5
'( )kt
$ 0k
)0,
789'
1
sin( ( )) '( ) ''( )mg t k t ml t
Systèmes dynamiques, modélisation et simulation. Résolution avec Scilab.
2
g
0
0
( ) '( )tt
,
$1
'( ) ( )
'( ) ( ) sin( ( ))
tt
kg
t t t
ml l
/
1ml
,
1kgm
2
9,81m/sg
3
()t
*
t
3k,$$'
2
6
k
::;4'
()t
*
t
Solution
function yprim=f(t,y)
yprim(1)=y(2);
yprim(2)=-(k/(m*l))*y(2)-(g/l)*sin(y(1));
endfunction
// Courbe intégrale pour k=3
l=1; m=1; g=9.81; k=3;
t0=0; tmax=5;
t=t0:0.05:tmax;
teta0=%pi/2; omega0=0;
y=ode([teta0;omega0],t0,t,f);
clf; plot(t,y(1,:))
// Plusieurs courbes intégrales en faisant varier la
// constante k
for k=0:10
y=ode([teta0;omega0],t0,t,f);
plot(t,y(1,:))
end
3
Équation diérentielle du premier ordre en dimension 2
Système de Lotka-Volterra
3.1.1 Énoncé
!"$
( ) 0xt
<=
( ) 0yt
<=1
'( ) ( ) ( ) ( )
'( ) ( ) ( ) ( )
x t a x t b x t y t
y t c x t y t d y t
Systèmes dynamiques, modélisation et simulation. Résolution avec Scilab. #
$
0
(0)xx
,
0
(0)yy
,
a
,
b
,
c
,
d
*
9+
/
3a, 1b, 1c
2d
/ ' * ;+,>!5!
aa
dd
;4'$9
/
2
2
3.1.2
Solution
function yprim=f(t,y)
yprim(1)=a*y(1)-b*y(1)*y(2);
yprim(2)=c*y(1)*y(2) -d*y(2);
endfunction
// Une trajectoire
a=3; b=1; c=1; d=2;
t0=0; tmax=5; t=t0:0.05:tmax;
x0=3; y0=1.5;
y=ode([x0;y0],t0,t,f);
clf; plot(y(1,:),y(2,:))
// Tracés de différentes trajectoires en cliquant pour
// imposer la condition initiale
while(%t)
[c_i,x0,y0]=xclick();
if c_i==5 then break end;
y=ode([x0;y0],t0,t,f);
plot(y(1,:),y(2,:))
end
?!*
xclick$
>,5
xclick'5%,'>;,
'>
// Plus de pêcheurs
alpha=2; delta=2; a=a-alpha; d=d+delta;
while(%t)
[c_i,x0,y0]=xclick();
if c_i==5 then break end;
y=ode([x0;y0],t0,t,f);
plot(y(1,:),y(2,:),"r")
end
Systèmes dynamiques, modélisation et simulation. Résolution avec Scilab. %
Système de Lotka-Volterra avec prise en compte de la
surpopulation
3.2.1 Énoncé
!"$
( ) 0xt
<=
( ) 0yt
<=
(,
),
>>1
2
2
'( ) ( ) ( ) ( ) ( )
'( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x t a x t b x t y t x t
y t c x t y t d y t y t
$
0
(0)xx
,
0
(0)yy
,
a
,
b
,
c
,
d
,
*
/ 4a,
1
2
b
, 1c,
2d
, 3
2
1
2
(
[0, 4]x
[0, 4]y
,9
+
@
!"A
3.2.2 Solution
function yprim=f(t,y)
yprim(1)=a*y(1)-b*y(1)*y(2)-lambda*y(1)*y(1);
yprim(2)=c*y(1)*y(2)-d*y(2)-mu*y(2)*y(2);
endfunction
// Tracé d’une trajectoire
a=4; b=0.5; c=1; d=2;
lambda=1.5; mu=0.5;
t0=0; tmax=5; t=t0:0.05:tmax;
x0=1; y0=1;
y=ode([x0;y0],t0,t,f);
clf; axes=gca();
axes.data_bounds=[0,0;4,4];
plot(y(1,:),y(2,:))
?!45
[0, 4]x
[0, 4]y
$*),'B5*gca<CD?.EF=,
5$axes$$'+
E4GH
$5
data_bounds$
6
1
/
6
100%
