cours et exercices

Probabilités
C. Charignon
Table des matières
I Cours 3
1 Dénombrements 3
1.1 Opérationssurlesensembles .................................... 3
1.1.1 Partiesd’unensemble .................................... 3
1.1.2 union, intersection, soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Produitcartésien....................................... 3
1.2 Cardinal................................................ 3
1.2.1 Définition........................................... 3
1.2.2 Cardinald’uneréunion ................................... 4
1.2.3 Cardinal d’un produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Cardinauxclassiques......................................... 5
1.3.1 p-listes............................................. 5
1.3.2 Fonctions injectives de Fdans E/Arrangements..................... 6
1.3.3 Parties de E......................................... 6
1.3.4 Combinaisons : parties de Eàpéléments ......................... 6
1.4 Ensemblesdemêmecardinal .................................... 7
2 Probabilités 8
2.1 La démarche scientifique, induction, déduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Vocabulaireélémentaire ....................................... 8
2.2.1 L’univers et les événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Opérations sur les ensembles et interprétation pour les événements . . . . . . . . . . . 9
2.2.3 Mesuredeprobabilité .................................... 9
2.3 Lesuniversderéférence ....................................... 10
2.3.1 l’ordre compte et les répétitions sont possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.2 L’ordre compte, les répétitions sont impossibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.3 L’ordre ne compte pas, répétitions impossibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.4 Etledernier... ........................................ 11
2.4 Indépendance............................................. 11
2.4.1 Indépendance de deux événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.2 Indépendancemutuelle.................................... 12
2.5 Probabilitéconditionnelles ..................................... 12
2.5.1 Définition........................................... 12
2.5.2 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5.3 Formule des probabilités composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5.4 FormuledeBayes....................................... 14
3 Méthode 14
1

II Exercices 15
1 Dénombrements 1
2 Modélisation 1
3 Exercices théoriques 2
4 Calculs par dénombrement 2
5 Indépendance 4
6 Probabilités conditionnelles 4
2

Première partie
Cours
Les probabilités présentent beaucoup de vocabulaire spécifique, mais la plupart des résultats sont très
simples. En fait toute la difficulté est de transformer une question posée en termes vagues (ex : un parachute
a fonctionné 10 fois de suite, quelle est la probabilité qu’il fonctionne une 11ème fois ? 1) en une véritable
assertion mathématique. Autrement dit, la plus grosse part du travail en probabilité est la modélisation. Une
fois défini le bon ensemble muni de la bonne probabilité, le calcul du résultat peut être très simple.
1 Dénombrements
1.1 Opérations sur les ensembles
1.1.1 Parties d’un ensemble
Définition 1.1. Si Eest un ensemble, on note P(E)l’ensemble des sous-ensembles de E. On dit aussi
l’ensemble des « parties » de E.
cf exercice: ??
Les opérations de bases sur les ensembles sont l’intersection notée ∩, l’union notée ∪, et la soustraction
notée \ou parfois −. Une définition rapide de cette dernière opération : si Eet Fsont deux ensembles, alors
E\F(ou E−F, ou encore CEF) se lit « Eprivé de F» et vaut :
E\F=x∈E|x6∈ F.
cf exercice: ??,??,??
1.1.2 union, intersection, soustraction
1.1.3 Produit cartésien
Définition 1.2. (Produit cartésien)
Soient Eet Fdeux ensembles. Alors le produit cartésien de Epar F, noté E×Fest l’ensemble des
couples (e, f)avec e∈Eet f∈F. En formules :
E×F=n(e, f)e∈E, f ∈Fo.
Le produit cartésien E×Eest également noté E2. Plus généralement, pour tout n∈N∗, le produit
cartésien de ncopies de Ese note En.
Remarque : Dans un couple, l’ordre compte : pour e∈Eet f∈F, on a (e, f )6= (f, e)(sauf si e=f). Et
donc E×F6=F×E.
1.2 Cardinal
1.2.1 Définition
Définition 1.3. Soit Eun ensemble et n∈N. On dit que Eest de cardinal nlorsqu’il existe une fonction
ϕ:J1, nK→Equi soit bijective.
On note alors n= Card(E)(ou n= #E, ou n=|E|).
Lorsqu’il existe n∈Ntel que Eest de cardinal n, on dit que Eest un ensemble fini.
1. l’auteur ignore la réponse à cette question, et ignore si une réponse existe.
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Remarques :
•Card(∅)=0
•Une telle fonction ϕpermet de compter les éléments de E: Penser que ϕ(1) est le premier éléments
compté, ϕ(n)le dernier.
Quand on compte les éléments de E, il ne faut pas oublier d’élément : ϕdoit être surjective. Et il ne
faut pas en compter un deux fois : c’est pourquoi ϕdoit être injective.
La fonction ϕs’appelle une énumération de E.
•Exercice : Si Eest de cardinal n, il y a n!énumérations possible de E.
•Pour calculer le cardinal d’un ensemble Een toute rigueur, il faut donc définir une bijection de J1, nK
vers E, ce qui peut être très long et compliqué. En accord avec le programme officiel, on pourra
souvent sauter les preuves et s’en tenir à une vision « intuitive ».
•Si Eest un ensemble fini, on peut toujours écrire : « soit n= Card(E)et soient x1, ..., xnles éléments
de E». En effet, ceci revient à choisir l’énumération ϕ:i7→ xi.
1.2.2 Cardinal d’une réunion
Définition 1.4. Soient Eun ensemble et (A, B)∈ P(E)2. On dit que Aet Bsont disjoint lorsque A∩B=∅.
Proposition 1.5. (union disjointe)
Soient Aet Bdeux ensembles disjoints. Alors Card(A∪B) = Card(A) + Card(B).
(théorème admis)
Proposition 1.6. (cardinal du complémentaire)
Soit Eun ensemble fini et A∈ P(E). Alors :
Card(CE(A)) = Card(E)−Card(A).
Lorsque Aet Bsont des ensembles pas forcément disjoints, on déduit :
Proposition 1.7. (union quelconque)
Soient Aet Bdeux ensembles finis. Alors :
Card(A∪B) = Card(A) + Card(B)−Card(A∩B)
Exemple: Dans une classe de 44 élèves, 40 font de l’anglais et 15 de l’espagnol. Combien y a-t-il au
maximum et au minimum d’élèves qui étudient deux langues ?
Plus généralement :
Définition 1.8. (partition)
Soit Eun ensemble, n∈N, et (A1, ..., An)∈ P(E)n. On dit (A1, . . . , An)forment une partition de E
lorsque :
1. E=Sn
i=1 Ai
2. ∀(i, j)∈J1, nK2tel que i6=j,Ai∩Aj=∅
Exemple: Lorsqu’on dit « Le monde se divise en deux catégories : ceux qui ont un pistolet chargé et ceux
qui creusent. », cela sous-entend que l’ensemble des personnes ayant un pistolet chargé et l’ensemble des
personnes qui creusent forme une partition de l’univers.
Proposition 1.9. (cardinal d’une partition)
Soit Eun ensemble, n∈N, et (A1, ..., An)une partition de E. Alors :
Card(E) =
n
X
i=1
Card(Ai)
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Exemple: Soit n∈N. On tire au hasard un nombre kentre 1 et n. Puis on tire un nombre lentre 1 et
k. Combien y-a-t-il de couples (k, l)de résultat possible ?
1.2.3 Cardinal d’un produit cartésien
Proposition 1.10. Soient Aet Bdeux ensembles finis. Alors :
Card(A×B) = Card(A)×Card(B)
Remarque : C’est la raison pour laquelle le produit cartésien est noté par le symbole ×.
Exemple: On lance un dé de 12 et un dé de 6. Notons Ωl’ensemble des résultats possible, c’est l’ensemble
des couple formé de entier de J1,12Ket un entier de J1,6K:
Ω = n(a, b)a∈J1,12K, b ∈J1,6Ko=J1,12K×J1,6K
et donc Card(Ω) = 12 ×6 = 72.
1.3 Cardinaux classiques
On fixe un ensemble fini Eet on note n= Card(E).
1.3.1 p-listes
Par une récurrence immédiate, on obtient :
Proposition 1.11. Soit p∈N. Alors Card(Ep) = np.
Exemples:
•On lance pdés à nfaces, en tenant compte de l’ordre (on distingue le premier dé, le second, etc...). Alors
l’ensemble des résultats possibles est J1, nKp, de cardinal np.
•Un octet contient 8 bits, chaque bit prend une valeur dans {0,1}. Combien y-a-t-il d’octets différents ?
Un élément de Epest une suite (x1, . . . , xp)de péléments de E. On l’appelle un p-uplet. (type « tuple »
en python : les anglais utilisent la lettre tau lieu de p.) On dit parfois une « p-liste ».
N.B. Dans un p-uplet, l’ordre compte : par exemple le 5-uplet (1,2,3,4,5) n’est pas le même que (1,3,4,5,2).
Choisir un p-uplet d’éléments de Esignifie choisir péléments de E, en comptant l’ordre, et en autorisant les
répétitions.
Typiquement : Epourrait être un ensemble de boules, et on tire pfois une boule dans E, en remettant à
chaque fois la boule tirée dans E(« avec remise »). Epreprésente l’ensemble des tirages possibles en comp-
tant l’ordre et avec remise.
Remarque : choisir péléments dans Erevient à choisir une fonction fde J1, pKdans E(le premier élément
choisi est f(1), le second f(2),...). On a donc Card(F(J1, pK, E) = np.
Plus généralement, si Fest un ensemble fini quelconque, Card(F(F, E)) = Card(E)Card(F).
Exemple: Une interro est notée sur 5, ce qui fait 10 notes possibles compte tenu des demi-points. Il y a
43 élèves. Combien y-a-t-il de possibilités pour la fonction « note » qui à chaque élèves associe sa note ?
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