cours et exercices

Probabilités
C. Charignon
Table des matières
I
Cours
3
1 Dénombrements
1.1 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 union, intersection, soustraction . . . . . . . . . . .
1.1.3 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Cardinal d’une réunion . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Cardinal d’un produit cartésien . . . . . . . . . . .
1.3 Cardinaux classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 p-listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Fonctions injectives de F dans E / Arrangements .
1.3.3 Parties de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Combinaisons : parties de E à p éléments . . . . .
1.4 Ensembles de même cardinal . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Probabilités
2.1 La démarche scientifique, induction, déduction . . . . . .
2.2 Vocabulaire élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 L’univers et les événements . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Opérations sur les ensembles et interprétation pour
2.2.3 Mesure de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Les univers de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 l’ordre compte et les répétitions sont possibles . .
2.3.2 L’ordre compte, les répétitions sont impossibles . .
2.3.3 L’ordre ne compte pas, répétitions impossibles . .
2.3.4 Et le dernier... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Indépendance de deux événements . . . . . . . . .
2.4.2 Indépendance mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Probabilité conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . .
2.5.3 Formule des probabilités composées . . . . . . . .
2.5.4 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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les
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3 Méthode
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3
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4
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6
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6
7
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événements
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11
11
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12
12
12
13
13
14
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14
1
II
Exercices
15
1 Dénombrements
1
2 Modélisation
1
3 Exercices théoriques
2
4 Calculs par dénombrement
2
5 Indépendance
4
6 Probabilités conditionnelles
4
2
Première partie
Cours
Les probabilités présentent beaucoup de vocabulaire spécifique, mais la plupart des résultats sont très
simples. En fait toute la difficulté est de transformer une question posée en termes vagues (ex : un parachute
a fonctionné 10 fois de suite, quelle est la probabilité qu’il fonctionne une 11ème fois ? 1 ) en une véritable
assertion mathématique. Autrement dit, la plus grosse part du travail en probabilité est la modélisation. Une
fois défini le bon ensemble muni de la bonne probabilité, le calcul du résultat peut être très simple.
1
Dénombrements
1.1
1.1.1
Opérations sur les ensembles
Parties d’un ensemble
Définition 1.1. Si E est un ensemble, on note P(E) l’ensemble des sous-ensembles de E. On dit aussi
l’ensemble des « parties » de E.
cf exercice: ??
Les opérations de bases sur les ensembles sont l’intersection notée ∩, l’union notée ∪, et la soustraction
notée \ ou parfois −. Une définition rapide de cette dernière opération : si E et F sont deux ensembles, alors
E \ F (ou E − F , ou encore CE F ) se lit « E privé de F » et vaut :
E \ F = x ∈ E | x 6∈ F .
cf exercice: ??, ??,??
1.1.2
union, intersection, soustraction
1.1.3
Produit cartésien
Définition 1.2. (Produit cartésien)
Soient E et F deux ensembles. Alors le produit cartésien de E par F , noté E × F est l’ensemble des
couples (e, f ) avec e ∈ E et f ∈ F . En formules :
n
o
E × F = (e, f ) e ∈ E, f ∈ F .
Le produit cartésien E × E est également noté E 2 . Plus généralement, pour tout n ∈ N∗ , le produit
cartésien de n copies de E se note E n .
Remarque : Dans un couple, l’ordre compte : pour e ∈ E et f ∈ F , on a (e, f ) 6= (f, e) (sauf si e = f ). Et
donc E × F 6= F × E.
1.2
1.2.1
Cardinal
Définition
Définition 1.3. Soit E un ensemble et n ∈ N. On dit que E est de cardinal n lorsqu’il existe une fonction
ϕ : J1, nK → E qui soit bijective.
On note alors n = Card(E) (ou n = #E, ou n = |E|).
Lorsqu’il existe n ∈ N tel que E est de cardinal n, on dit que E est un ensemble fini.
1. l’auteur ignore la réponse à cette question, et ignore si une réponse existe.
3
Remarques :
• Card(∅) = 0
• Une telle fonction ϕ permet de compter les éléments de E : Penser que ϕ(1) est le premier éléments
compté, ϕ(n) le dernier.
Quand on compte les éléments de E, il ne faut pas oublier d’élément : ϕ doit être surjective. Et il ne
faut pas en compter un deux fois : c’est pourquoi ϕ doit être injective.
La fonction ϕ s’appelle une énumération de E.
• Exercice : Si E est de cardinal n, il y a n! énumérations possible de E.
• Pour calculer le cardinal d’un ensemble E en toute rigueur, il faut donc définir une bijection de J1, nK
vers E, ce qui peut être très long et compliqué. En accord avec le programme officiel, on pourra
souvent sauter les preuves et s’en tenir à une vision « intuitive ».
• Si E est un ensemble fini, on peut toujours écrire : « soit n = Card(E) et soient x1 , ..., xn les éléments
de E ». En effet, ceci revient à choisir l’énumération ϕ : i 7→ xi .
1.2.2
Cardinal d’une réunion
Définition 1.4. Soient E un ensemble et (A, B) ∈ P(E)2 . On dit que A et B sont disjoint lorsque A∩B = ∅.
Proposition 1.5. (union disjointe)
Soient A et B deux ensembles disjoints. Alors Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B).
(théorème admis)
Proposition 1.6. (cardinal du complémentaire)
Soit E un ensemble fini et A ∈ P(E). Alors :
Card(CE (A)) = Card(E) − Card(A).
Lorsque A et B sont des ensembles pas forcément disjoints, on déduit :
Proposition 1.7. (union quelconque)
Soient A et B deux ensembles finis. Alors :
Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B)
Exemple: Dans une classe de 44 élèves, 40 font de l’anglais et 15 de l’espagnol. Combien y a-t-il au
maximum et au minimum d’élèves qui étudient deux langues ?
Plus généralement :
Définition 1.8. (partition)
Soit E un ensemble, n ∈ N, et (A1 , ..., An ) ∈ P(E)n . On dit (A1 , . . . , An ) forment une partition de E
lorsque :
Sn
1. E = i=1 Ai
2. ∀(i, j) ∈ J1, nK2 tel que i 6= j, Ai ∩ Aj = ∅
Exemple: Lorsqu’on dit « Le monde se divise en deux catégories : ceux qui ont un pistolet chargé et ceux
qui creusent. », cela sous-entend que l’ensemble des personnes ayant un pistolet chargé et l’ensemble des
personnes qui creusent forme une partition de l’univers.
Proposition 1.9. (cardinal d’une partition)
Soit E un ensemble, n ∈ N, et (A1 , ..., An ) une partition de E. Alors :
Card(E) =
n
X
i=1
4
Card(Ai )
Exemple: Soit n ∈ N. On tire au hasard un nombre k entre 1 et n. Puis on tire un nombre l entre 1 et
k. Combien y-a-t-il de couples (k, l) de résultat possible ?
1.2.3
Cardinal d’un produit cartésien
Proposition 1.10. Soient A et B deux ensembles finis. Alors :
Card(A × B) = Card(A) × Card(B)
Remarque : C’est la raison pour laquelle le produit cartésien est noté par le symbole ×.
Exemple: On lance un dé de 12 et un dé de 6. Notons Ω l’ensemble des résultats possible, c’est l’ensemble
des couple formé de entier de J1, 12K et un entier de J1, 6K :
o
n
Ω = (a, b) a ∈ J1, 12K, b ∈ J1, 6K = J1, 12K × J1, 6K
et donc Card(Ω) = 12 × 6 = 72.
1.3
Cardinaux classiques
On fixe un ensemble fini E et on note n = Card(E).
1.3.1
p-listes
Par une récurrence immédiate, on obtient :
Proposition 1.11. Soit p ∈ N. Alors Card(E p ) = np .
Exemples:
• On lance p dés à n faces, en tenant compte de l’ordre (on distingue le premier dé, le second, etc...). Alors
l’ensemble des résultats possibles est J1, nKp , de cardinal np .
• Un octet contient 8 bits, chaque bit prend une valeur dans {0, 1}. Combien y-a-t-il d’octets différents ?
Un élément de E p est une suite (x1 , . . . , xp ) de p éléments de E. On l’appelle un p-uplet. (type « tuple »
en python : les anglais utilisent la lettre t au lieu de p.) On dit parfois une « p-liste ».
N.B. Dans un p-uplet, l’ordre compte : par exemple le 5-uplet (1, 2, 3, 4, 5) n’est pas le même que (1, 3, 4, 5, 2).
Choisir un p-uplet d’éléments de E signifie choisir p éléments de E, en comptant l’ordre, et en autorisant les
répétitions.
Typiquement : E pourrait être un ensemble de boules, et on tire p fois une boule dans E, en remettant à
chaque fois la boule tirée dans E (« avec remise »). E p représente l’ensemble des tirages possibles en comptant l’ordre et avec remise.
Remarque : choisir p éléments dans E revient à choisir une fonction f de J1, pK dans E (le premier élément
choisi est f (1), le second f (2),...). On a donc Card(F(J1, pK, E) = np .
Plus généralement, si F est un ensemble fini quelconque, Card(F(F, E)) = Card(E)Card(F ) .
Exemple: Une interro est notée sur 5, ce qui fait 10 notes possibles compte tenu des demi-points. Il y a
43 élèves. Combien y-a-t-il de possibilités pour la fonction « note » qui à chaque élèves associe sa note ?
5
1.3.2
Fonctions injectives de F dans E / Arrangements
Proposition 1.12. Soit p ∈ N. Le nombre de p-uplets de E formés d’éléments deux à deux distincts est :
0
n × (n − 1) × (n − p + 1) = n!
p!
si p > n
sinon
En particulier, si n = p, alors c’est n!.
N.B. Il s’agit du nombre de manières de choisir p éléments de E, en comptant l’ordre, sans répétition. Ceci
s’appelle un p-« arrangement » de E, et se note Anp (terme et notation pas au programme, mais presque).
Dans le cas p = n, nous prenons donc tous les éléments de E. Il s’agit juste de choisir dans quel ordre.
Ainsi, le nombre de moyens d’ordonner les éléments de E est n!.
Exemple: On dispose des lettres « A,V,C,E,R,Y,Z » au scrabble. Combien de mots peut-on former ? (Pas
forcément des mots figurant au dictionnaire.)
On rappelle que choisir un p-uplet d’éléments de E revient à choisir une fonction f de J1, pK (ou de tout
autre ensemble F de cardinal p) vers E. Le fait de choisir ces éléments deux à deux distincts revient à prendre
une fonction injective.
n!
sinon.
Donc le nombre de fonctions injectives de J1, pK dans E est 0 si p > n, et Apn =
p!
Exemple: Paradoxe des anniversaires.
Remarque : Le nombre d’énumérations d’un ensemble de cardinal E est donc n!, puisqu’il s’agit du nombre
de bijections entre J1, nK et E.
D’un autre point de vue, c’est le nombre de manière qu’il y a d’ordonner E (important en pratique).
cf exercice: 20
1.3.3
Parties de E
Proposition 1.13. Soit E un ensemble de cardinal fini et n = Card(E). Le nombre de parties de E (i.e.
de sous-ensembles de E) est 2n .
En effet, choisir un sous-ensemble X de E revient à choisir une fonction f : E → {0, 1}, en considérant
que pour tout x ∈ E, f (x) = 1 si x ∈ X, f (x) = 0 sinon. Autrement dit, f = 1X .
De manière formelle, il faut vérifier que l’application suivante est bijective :
ϕ:
P(E) → F(E, {0, 1})
X 7→ 1X
Exemple: On dispose de poires, bananes, oranges, pommes, melon. Combien de salades de fruits différentes peut-on préparer ?
1.3.4
Combinaisons : parties de E à p éléments
Définition 1.14. Pour tout p ∈ N, on note Pp (E) l’ensemble des parties de E contenant p éléments.
N.B. Dans une partie de E, l’ordre ne compte pas. Ainsi, si E = J1, 6K, les parties {1, 2, 3} ou {3, 1, 2} sont
les mêmes.
On rappelle que si X ∈ Pp (X), il y a p! ordres possibles sur les éléments de X, autrement dit il y a p!
manière d’écrire le même ensemble. Pour reprendre l’exemple ci-dessus : {1, 2, 3} = {1, 3, 2} = {3, 1, 2} =
{3, 2, 1} = {2, 3, 1} = {2, 1, 3}.
6
Proposition 1.15. Soit p ∈ N. Alors :
n.(n − 1) . . . (n − p + 1)
=
Card(Pp (E)) =
p!
n
p
!
Exemple: Un glacier propose 13 parfums. Combien y-a-t-il de coupes trois boules possibles ? (Le serveur
ne vous permet pas de choisir l’ordre des boules dans la coupe, et on ne prendra pas deux fois le même parfum.)
Interprétation combinatoire des formules sur les coefficients binomiaux :
1.4
Ensembles de même cardinal
Proposition 1.16. (lien avec l’inclusion)
Soient A et B deux ensembles finis tels que A ⊂ B. Alors :
1. Card(A) 6 Card(B)
2. Si Card(A) = Card(B), alors A = B.
7
2
Probabilités
2.1
La démarche scientifique, induction, déduction
Voici le plan général d’une démarche scientifique :
1. observer un phénomène
2. proposer quelques lois (plus ou moins) simples pour le modéliser
3. voir ce qu’on peut déduire de ces lois simples
• D’une part pour faire des prévisions utiles
• D’autre part pour tester le modèle
4. si les tests ne coïncident pas avec l’expérience, chercher un nouveau modèle.
Ce qu’on appelle déduction, ou les mathématiques, c’est l’étape 3.
L’étape 2 s’appelle « l’induction », ou la modélisation.
On précise ceci car dans le chapitre des probabilités, on vous demandera aussi la partie modélisation, qui
normalement, est dévolue aux autres sciences. Ainsi, l’état d’esprit dans lequel vous aborderez les questions
de modélisation sera différent de celui dans lequel aborder tout autre chapitre de mathématiques.
2.2
2.2.1
Vocabulaire élémentaire
L’univers et les événements
Lorsqu’on veut étudier une expérience aléatoire, on commence par choisir les « événements élémentaires ».
La seule règle est la suivante : il faut être sûr qu’à chaque expérience, un et un seul de ces événements
élémentaires se produit. L’ensemble de ces événements sera noté Ω.
Définition 2.1. On fixe un ensemble Ω, qui sera appelé « l’univers ».
Tout sous-ensemble de Ω sera appelé un événement. Un singleton sera appelé un événement élémentaires.
Si on veut insister, un événement non élémentaire pourra être appelé événement composé.
Remarque : En seconde année on verra des situations plus compliquées où toutes les parties de ω ne seront
pas des événements.
Exemple: On lance deux dés, et on se demande combien vaudra leur somme. On peut prendre pour Ω
l’ensemble de tous les couples de deux chiffres entre 1 et 6 :
Ω = {(1, 1), (1, 2), ..., (1, 6), (2, 1), ..., (1, 6), ..., (6, 6)}
(on a Card(Ω) = 36.) On s’imaginera que le premier nombre représente le résultat du premier dé, le second
chiffre le résultat du second dé.
Mais on pourrait tout aussi bien prendre :
Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
On imagine alors que chacun de ces nombres représente la somme des résultats indiqués par les deux dés.
Ou pourquoi pas :
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 0, −34}
mais dans ce cas, il y a des événements qui ne seront en réalité jamais réalisés. Cet univers est donc
inutilement compliqué.
Gardons le premier choix pour Ω. Un événement composé peut être A =« la somme des dés vaut 4 ». On
constate qu’il y a 3 événements élémentaires qui aboutissent à l’événement A. L’objet mathématique qu’on
appellera l’événement A sera l’ensemble de ces trois événements élémentaires :
A = {(1, 3), (2, 3), (3, 1)}
8
2.2.2
Opérations sur les ensembles et interprétation pour les événements
Soit (A, B) ∈ P(Ω)2 représentant deux événements qu’on note encore A et B. Alors :
• A ∩ B représente l’événement « A et B ».
• A ∪ B représente l’événement « A ou B ».
• Ω \ A représente l’événement « non A » i.e. « A n’est pas réalisé ». On note aussi Ā.
• Lorsque A ∩ B = ∅, i.e. les deux ensembles sont disjoints. On dit que les événements A et B sont
« incompatibles ».
• Lorsque A ∩ B = ∅ et A ∪ B = Ω, i.e. les ensembles A et B forment une partition de Ω. Du point de
vue des événements, on dit que les événements A et B sont un « système complet d’événements ».
• Plus généralement, soit n ∈ N et (A1 , . . .S, An ) ∈ P(Ω)n une famille d’événements. Lorsque ∀(i, j) ∈
n
J1, nK2 tel que i 6= j on a Ai ∩ Aj = ∅, et i=1 Ai = Ω, i.e. que les ensembles (A1 , ..., An ) forment une
partition de Ω, on dit que les événements A1 , . . . , An forment un « système complet d’événements ».
Exemple: On tire deux dés. On modélise l’expérience par l’univers Ω = J1, nK2 . Pour tout (a, b) ∈ Ω, a
représente le résultat du premier dé et b le résultat du second.
Si on pose pour tout i ∈ J1, 6K Ai l’événement « le premier dé a fait i ». Du point de vue ensembliste,
Ai = {(i, 1), (i, 2), . . . , (i, 6)}. Alors A1 , . . . , A6 forment un système complet d’événements.
2.2.3
Mesure de probabilité
À présent, on définit ce qu’est une probabilité. Il s’agit d’associer à chaque élément un nombre entre 0 et
1 qui représente le nombre de fois moyen que cet événement se réalise. En gros, on espère avoir la formule
suivante :
nombre de fois que A a été réalisé sur n expériences
.
P (A) = lim
n→∞
n
Définition 2.2. Une mesure de probabilité (ou plus simplement une probabilité) sur Ω est une fonction
P : P(Ω) → R+ , qui a toute partie de Ω, i.e. à tout événement, associe un nombre positif tel que :
1. Pour tout (A, B) ∈ P(Ω)2 , si A et B sont disjoints, alors P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
2. P (Ω) = 1.
Rappel : A et B sont dits disjoints lorsque A ∩ B = ∅.
Exemple: Soit P telle que ∀A ∈ P(Ω),
P (A) =
Card(A)
Card(Ω)
Alors P est une probabilité. Elle s’appelle la probabilité uniforme sur Ω.
Lorsque dans le langage courant on dit « au hasard », on sous-entend souvent qu’on utilise la probabilité
uniforme.
Proposition 2.3. Soit P une probabilité sur Ω. Alors :
(i) P (∅) = 0
(ii) Pour tout A ∈ P(Ω), P (Ω \ A) = 1 − P (A). Plus généralement, pour tout (A, B) ∈ P(Ω)2 , si A ⊂ B,
alors P (B \ A) = P (B) − P (A).
(iii) Pour tout (A, B) ∈ P(Ω)2 ,
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
9
Ainsi, si X est un ensemble, si (A1 , ..., An ) forment une partition de X, on a immédiatement :
P (A) =
n
X
P (Ai )
i=1
Une remarque importante : si P est une probabilité sur Ω, alors pour tout A ∈ P(Ω) :
X
P (A) =
P ({a})
a∈A
Autrement dit, il suffit de connaître P sur tous les événements élémentaires pour connaître complètement
P.
En pratique si on vous demande de donner une probabilité dans un devoir, il vous suffit de donner la
probabilité de chaque événement élémentaire.
Remarque : En fait, on essaie souvent de se passer de Ω en pratique. Lorsqu’on connaît la probabilité de
suffisamment d’événements, on arrive à en déduire la probabilité de l’événement qui nous intéresse sans
devoir connaître complètement P ni Ω.
2.3
Les univers de référence
De nombreuses expériences de probas reviennent à choisir des objets au hasard dans un certains ensembles. Dans une telle situation, on distingue 4 situations selon que les répétitions sont autorisées (peut-on
prendre plusieurs fois le même objet ?) et selon que l’ordre dans lequel les objets sont tirés est important ou
pas.
Dans cet partie, nous fixons un ensemble fini E, qui représentera l’ensemble dans lequel on tire des objets.
On notera n = Card(E). Par exemple si on tire à pile ou face, on pourra prendre E = {p, f }, si on lance un
dé à 6 faces, on prendra E = J1, 6K. Si on tire des cartes dans un jeu de 52 cartes, on prendre E l’ensemble
des cartes, donc n = 52. Si on tire des boules dans une urne, on prendra E comme étant l’urne, et n sera le
nombre de boules.
En outre, on notera p le nombre d’objets qu’on tire.
Voici alors l’univers adapté à chacune des 4 situations les plus fréquentes.
2.3.1
l’ordre compte et les répétitions sont possibles
Exemples:
• On tire n boules dans une urne les une après les autres, et remettant à chaque fois la boule tirée dans
l’urne avant le tirage suivant. L’urne contient p boules. « tirage avec remise ».
• On lance un dé de n faces p fois de suite.
On prend dans ce cas l’ensemble des p-uplets d’éléments de E.
L’univers est alors Ω = E p , de cardinal np .
cf exercice: 13, 18 , 20
2.3.2
L’ordre compte, les répétitions sont impossibles
Exemple: On tire n boules les unes après les autres dans une urne contenant p boules au départ. On ne
remet pas la boule tirée. « tirage sans remise ».
Dans ce cas, on prend l’ensemble des p-arrangements de E.
10
o
(b1 , ..., bp ) ∈ U p ∀(i, j) ∈ J1, pK2 tq i 6= j, bi 6= bj , de cardinal Anp = n.(n − 1).(n −
n!
2)...(n − p + 1), qui vaut 0 si p > n et
sinon.
(n − p)!
Remarque : Si vous n’arrivez pas à écrire proprement Ω comme ci-dessus, contentez vous d’écrire « on prend
n!
comme univers Ω l’ensemble des p-arrangements d’éléments de E, donc Card(Ω) = 0 si p > n et
(n − p)!
sinon.
cf exercice: 19
Exemple: A la bataille, je vais jouer une dame, un 8, et un valet. Quel est la probabilité que je me fasse
prendre chacune de ces cartes ?
L’univers est Ω =
2.3.3
n
L’ordre ne compte pas, répétitions impossibles
Dans ce cas, on utilise comme univers Pp (E) l’ensemble des parties de E de p éléments. Appelé aussi
l’ensemble des combinaisons
! de p éléments dans E.
Card(E)
De cardinal
.
p
Exemple: On tire p boules dans une urne, simultanément, sans remise. Si U est l’urne, on va utiliser
l’univers Ω = Pp (U ).
Exemple: On tire 5 cartes dans un jeu de 32 cartes.
Notons J le jeu de carte (un ensemble de 32 cartes).
!
32
On prendra l’univers Ω = P5 (J). De cardinal
.
5
cf exercice: 14, 17 , 21
2.3.4
Et le dernier...
Prenons maintenant le cas où l’ordre ne compte pas et les répétitions sont possibles.
Exemple: On lance trois dés simultanément.
Dans ce cas, il n’existe pas d’univers simple spécifiquement adapté !
On va décider de prendre quand même en compte l’ordre. Dans l’exemple du lancer de dé : on va juste
considérer qu’un des dés s’appelle le dé numéro 1, qu’un autre s’appelle le dé numéro 2, et que le dernier
s’appelle le dé numéro 3. Ceci ne devrait pas influer les probabilités obtenues (le fait de donner un nom aux
dés ne va pas changer leur comportement !)
Ainsi nous utilisons des p-uplets.
Dans l’exemple, nous prendrons Ω = J1, 6K3 , de cardinal 63 . Calculons alors les probabilités :
• d’obtenir 17
• d’obtenir un triple
• d’obtenir un double
2.4
2.4.1
Indépendance
Indépendance de deux événements
Définition 2.4. Soit (A, B) deux événements. On dit qu’ils sont indépendants lorsque :
P (A ∩ B) = P (A) × P (B)
Exemple: On lance un dé de 12 faces. On note :
• A : »le résultat est multiple de 2«
• B : »le résultat est multiple de 3«
• C : »le résultat est multiple de 6«
11
On constate que P (A) = 1/2, P (B) = 1/3 et P (C) = 1/6. Par ailleurs A ∩ B = C. On voit alors que A et
B sont indépendants, par contre, C n’est ni indépendant de A, ni de B.
Par exemple, on peut noter que P (C|A) = 1/3 > P (C). Et P (C|Ā) = 0 < P (C).
Exercice : reprendre ceci pour un dé de 8.
2.4.2
Indépendance mutuelle
Définition 2.5. Soit n ∈ N et A1 , . . . , An des événements. On dit que A1 , . . . , An sont mutuellement indépendants lorsque ∀k ∈ J1, nK, ∀(i1 , ..., ik ) ∈ J1, nKk deux à deux distincts, on a
P (Ai1 ∩ . . . Aik ) = P (Ai1 ) × · · · × P (Aik )
Par exemple, pour trois ensembles A, B, C, si on veut prouver que A, B, C sont mutuellement indépendant,
il faut vérifier les quatre conditions suivantes :
• P (A ∩ B) = P (A) × P (B) (i.e. A et B indépendants)
• P (A ∩ C) = P (A) × P (C) (i.e. A et C indépendants)
• P (B ∩ C) = P (B) × P (C) (i.e. B et C indépendants)
• et : P (A ∩ B ∩ C) = P (A) × P (B) × P (C).
Les trois premières conditions signifient que A, B, C sont deux à deux indépendants : cela ne suffit pas
pour déduire que P (A ∩ B ∩ C) = P (A) × P (B) × P (C) !
Remarque : Par contre, si on sait que les événements sont deux à deux indépendants et que A est indépendant
de B ∩ C, alors on peut faire le calcul suivant :
P (A ∩ B ∩ C) = P (A ∩ (B ∩ C))
= P (A) × P (B ∩ C)
= P (A) × P (B) × P (C)
car A est indépendant de B ∩ C
car B et C sont indépendants
Exemple: Un joueur de fléchette a une probabilité de 0,8 d’atteindre la cible. On suppose tous ses lancers
indépendants. Soit n ∈ N. Quelle est la probabilité qu’il atteigne la cible n fois de suite.
2.5
Probabilité conditionnelles
Lorsque deux événements A et B sont indépendants, il est donc facile de calculer P (A ∩ B). Voyons à
présent comment faire dans le cas de deux événements non indépendants.
Remarque : En pratique, il faut savoir déterminer dans quelle situation il est plausible de supposer que les
événements sont indépendants : ce n’est pas toujours écrit dans l’énoncé. Vous devez savoir prendre ce genre
d’initiatives. Cela fait partie de la « modélisation » .
2.5.1
Définition
Définition 2.6. Soit A un événement de probabilité strictement positive.
Pour tout événement B, on définit la probabilité de B sachant A, notée P (B|A) ou PB (A), ainsi :
P (B|A) =
P (A ∩ B)
P (A)
Lorsque A et B sont indépendants, on a P (A ∩ B) = P (A) × P (B). Mais lorsque A et B ne sont pas
indépendants, pour calculer P (A ∩ B) on utilise P (A ∩ B) = P (A) × P (B|A).
Notons que dans le cas où A et B sont indépendants, P (A|B) = P (A) = P (A|B̄), ce qui est tout à fait
intuitif.
12
On représente souvent la situation par un arbre. Dans les nœuds de l’arbre on écrit les événements
concernés. Sur les arrêtes, on indique les probabilités : sur l’arrête reliant X à Y on inscrit P (Y |X).
N.B. Quand vous dessinez un arbre, il faut que tous les événements écrits dans les nœuds aient été correctement définis auparavant.
La formule P (A ∩ B) = P (A) × P (A|B) s’interprète ainsi : la probabilité de parcourir la branche passant
par B puis par A est le produit des probabilités inscrites le long de cette branche.
Proposition 2.7. Soit B un événement de probabilité strictement positive. Alors PB est encore une probabilité sur Ω.
On peut donc utiliser les propriétés générales des probabilités, comme P (Ā|B) = 1 − P (A|B) etc...
2.5.2
Formule des probabilités totales
Proposition 2.8. Soit A un événement tel que P (A) > 0 et P (Ā) > 0. Alors pour tout autre événement
B :
P (B) = P (B|A) × P (A) + P (B|Ā) × P (Ā)
Démonstration:
Les événements B ∩ A et B ∩ Ā sont disjoints (incompatibles), et leur réunion vaut B. Autrement dit, B =
(B ∩ A) t (B ∩ Ā), ces deux événements forment une partition de B. Par conséquent :
P (B) =
=
P (B ∩ A) + P (B ∩ Ā)
P (B|A) × P (A) + P (B|Ā) × P (Ā)
définition de P (B|A) et de P (B|Ā)
La formule s’interprète alors ainsi : P (B) est la somme des probabilités de tous les chemins qui aboutissent à B.
On peut généraliser à une situation présentant plus de deux alternatives :
Proposition 2.9. Soit n ∈ N et A1 , . . . , An un système complet d’événements (i.e. une partition de Ω). On
suppose que pour tout i ∈ J1, nK, P (Ai ) > 0. Alors pour tout événement B :
P (B) =
n
X
P (B|Ai ) × P (Ai )
i=1
Ceci a toujours la même interprétation sur un arbre, simplement il y a plus que deux branches dans le
premier étage.
En résumé cette formule s’utilise dès qu’on dispose d’un système complets d’événements, i.e. dès qu’on
peut distinguer plusieurs alternatives dont on sait qu’une et une seule est toujours réalisée.
2.5.3
Formule des probabilités composées
La formule P (B ∩ A) = P (B|A).P (A) découle immédiatement de la définition de P (B|A). Elle correspondant à la probabilité d’une branche dans un arbre à deux étages. Nous pouvons la généraliser très facilement
pour un arbre à plus d’étages, i.e. pour calculer la probabilité de l’intersection de plus que deux événements.
Proposition 2.10. Soient n ∈ N et A1 , . . . , An n événements. Alors :
P(
n
\
i=1
Ai ) =
n
Y
P (Ai |A1 ∩ · · · ∩ Ai−1 )
i=1
13
D’un point de vue sylviculture : ici on suit une longue branche dans l’arbre.
Exemple: On tire 4 cartes dans un jeu de 32. Quelle est la probabilité d’avoir à chaque fois un cœur ?
Utilisation classique : plusieurs tirages successifs sans remise. Plus généralement, on effectue une suite
d’action, le résultat de chacune influe sur la probabilité de la suivante.
cf exercice: 28,37,38
2.5.4
Formule de Bayes
N.B. Étant donnés deux événements A et B tels que P (A) > 0 et P (B) > 0, il y a deux probabilités
conditionnelles P (A|B) et P (B|A). Celles-ci peuvent donner lieu à deux arbres différents. L’arbre qui utilise
P (A|B) est l’arbre où on regarde d’abord si l’événement B est réalisé. L’arbre correspondant à P (B|A) est
l’arbre où on regarde A en premier.
La formule suivante, formule de Bayes, sert à »inverser« une probabilité conditionnelle : si on connaît
P (A|B), on pourra en déduire P (B|A). cf exercice: 32
Le calcul est évident : soient A et B deux événements tels que P (A) > 0 et P (B) > 0, alors :
P (A ∩ B) = P (A) × P (B|A) = P (B) × P (A|B)
D’où :
P (A|B) =
P (A) × P (B|A)
.
P (B)
Maintenant, si on dispose de tout un système complet d’événements A1 , . . . , An , alors pour tout j ∈ J1, nK :
P (Aj |B) =
P (Aj ) × P (B|Aj )
P (Aj ) × P (B|Aj )
= Pn
P (B)
i=1 P (B|Ai ).P (Ai )
(par la formule des probabilités totales)
cf exercice: 36,33
3
Méthode
Quelques conseils pour résoudre un exercice de proba :
1. Commencer par définition clairement les événements qui seront utiles. Il y a l’événement dont on veut
calculer la probabilité bien sûr, mais aussi en général quelques événements intermédiaires, plus faciles
à étudier.
2. Traduire clairement les hypothèses de l’énoncé en formules.
3. Traduire également la question posée en formule (quelle probabilité cherche-t-on ?).
4. Va-t-on utiliser des probas conditionnelles, ou du dénombrement ? (Parfois les deux sont possibles !)
• Dans le cas dénombrement, 9 fois sur 10 on utilisera un des trois univers de référence. Il s’agit de
reconnaître qu’on tire un certain nombre d’objets (p dans le texte de la partie 2.3) dans un ensemble
d’objet (noté E dans 2.3).
Définir l’univers correspondant, rappeler son cardinal. Préciser qu’on utilise la probabilité uniforme
sur cet univers.
Après il reste à compter le cardinal des événements étudiés... (Pas forcément facile !)
• Dans le cas probas conditionnelles, on peut dessiner au brouillon un arbre, ou juste l’allure de l’arbre
s’il y a trop d’événements. On utilisera la formule des probas totales ou des probas composées.
Écrivez proprement cette formule, puis donnez la valeur, en la justifiant, de chaque probabilité
apparaissant dans la formule.
14
Remarque : Il est tout à fait possible qu’il faille utiliser un dénombrement (poser un univers etc...)
pour calculer certains des termes qui apparaissent dans la formule.
Deuxième partie
Exercices
15
Exercices : probabilités
1
Dénombrements
Exercice 1. * cardinal d’une intersection triple
Soit E un ensemble, soit (A, B, C) ∈ P(E)3 trois parties finies. Calculer Card(A ∪ B ∪ C) en fonction des
cardinaux de A, B, C et des intersections A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C, A ∩ B ∩ C.
Exercice 2. *** déplacement dans un quadrillage
On considère un rectangle de longueur ncm et de hauteur pcm, quadrillé tous les centimètres. Quel est le
nombre de chemins du coin en bas à gauche au coin en haut à droite, suivant les lignes du quadrillage, sans
jamais redescendre ni repartir vers la gauche ?
Exercice 3. *** nombre de fonctions strictement croissantes entre deux ensembles finis
Soit (n, p) ∈ N2 . Combien y-a-t-il de fonction strictement croissantes de J1, pK dans J1, nK ?
Exercice 4. *** Formule de Vandermond
!
!
X p
q
1) Soit (n, p, q) ∈ N3 . Démontrer :
.
=
k
n−k
k=0
!2
X n
2) En déduire
.
k
!
p+q
.
n
k=0
2
Modélisation
Exercice 5. * ! événements bien ou mal définis
Une urne contient des boules rouges et blanches. M X tire trois boules simultanément. Les événements
suivant sont-ils bien ou mal définis ?
1) La boule tirée est rouge.
2) Deux boules tirées sont rouges.
3) La première boule tirée est rouge.
Exercice 6. * ! Un exemple de chaque type basique d’univers
Calculer les probabilités suivantes. Écrire proprement si l’ordre compte, si les répétitions sont autorisée,
donner l’univers et son cardinal.
Parmi les exemples ci-dessous, il y a un exemple de chaque type d’univers de référence.
1. Boules et dés :
(a) On lance deux dés à 6 faces. Quelle est la probabilité que le premier donne un résultat pair, et le
second un résultat impair ?
(b) On lance deux dés à 6 faces. Quelles est la probabilité que l’un d’eux au moins donne 1 ?
(c) Une urne contient 6 boules numérotées de 1 à 6. On tire deux boules sans remise. Quelles est la
probabilité que la somme des nombres indiqués vaille 3 ?
(d) Même question avec remise. Comparer le résultat avec celui de la question précédente.
(e) Une urne contient 6 boules numérotées de 1 à 6. On tire deux boules sans remise. Quelle est la
probabilité que la seconde donne un de plus que la première ?
(f) même question avec remise.
2. Autres (**) :
1
(a) M. X pêche dans un lac dont on note n le nombre de poissons. Quelle est la probabilité que le
second soit plus grand que le premier ?
(b) Mme P. a trois couleurs de vernis à ongle qu’elle utilise aléatoirement sur chaque doigt. Quelle
est la probabilité que sa main droite soit d’une seule couleur ?
(c) M. Z corrige 42 copies. Quelle est la probabilité que deux copies consécutives aient la même note
(sur 20) ?
(d) On choisit deux élèves dans la classe. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse de deux élèves du
même sexe ?
Exercice 7. *** Raisonnement douteux sur un lancer de pièces
On lance trois pièces.
1) Quelle est la probabilité que les trois pièces tombent du même côté ?
2) M. X propose le raisonnement suivant : « Sur les trois pièces, il y en toujours au moins deux qui sont
tombés sur le même côté. Ensuite, il y a une chance sur deux que la dernière soit du même côté que les
deux premières. Au final, cela fait une chance sur deux d’avoir trois pièces du même côté. »
Qu’en pensez-vous ?
Exercice 8. ** poignée de jetons
Un sac contient N jetons. On en tire une poignée au hasard. On suppose toutes les poignées équiprobables,
quelle que soit leur taille.
1. Calculer la probabilité de tirer tous les jetons.
2. Pour n ∈ J0, N K calculer la probabilité de tirer n jetons.
3
Exercices théoriques
Exercice 9. * manipulation élémentaire d’une mesure de probabilité
Soit Ω un univers muni d’une mesure de probabilité P , et (A, B) ∈ P(Ω)2 . On suppose P (A) = 0,6 et
P (B) = 0,5.
Montrer que 0,1 6 P (A ∩ B) 6 0,5.
Exercice 10. * probabilité d’un et un seul événement
Soit Ω un univers muni d’une mesure de probabilité P , et (A, B) ∈ P(Ω)2 . Exprimer la probabilité qu’un
et un seul de ces deux événements se réalise en fonction de P (A), P (B), et P (A ∩ B).
4
Calculs par dénombrement
Remarque : De nombreux exercices peuvent être traités par dénombrement ou grâce aux probabilités conditionnelles : la délimitation de cette partie est donc un peu artificielle.
Exercice 11. ** deuxième lancer supérieur au premier
1. On lance 2 dés à n faces. Quelle est la probabilité que le second dé donne un résultat strictement
supérieur au premier ?
2. On mange deux frites dans un plat de n frites. Quelle est la probabilité que la seconde soit plus grande
que la première ? (On supposera les frites de taille deux à deux distinctes, ce qui est de toute façon
presque sûrement vrai si on mesure avec suffisamment de précision.)
2
Exercice 12. ** un paradoxe classique : « Monty Hall »
Vous participez au jeu suivant : devant vous sont trois boîtes, deux sont vides, la troisième contient un
lot. Vous choisissez une boîte au hasard. Ensuite, le meneur du jeu ouvre l’une des deux boîtes restantes,
qui est vide. Il vous laisse alors la possibilité, si vous le souhaitez, de changer d’avis et de choisir une autre
boîte.
Avez-vous intérêt à rester sur votre choix, à changer de boîte, ou est-ce que les deux choix sont équivalents ?
Exercice 13. ** classement dans un DS
Le professeur rend les DS à la classe. Pour simplifier, on supposera que les notes sont entières dans J0, 20K
et que les différentes notes sont équiprobables (ce qui est peu réaliste en réalité...)
Calculer les probabilités suivantes :
A : Que tous les élèves aient 20
B : Que tous les élèves aient (au moins) la moyenne
C : Que tous les élèves aient la même note
D : Que les deux premiers élèves (dans l’ordre alphabétique) aient la même note
E : Que la meilleure note soit 17, et soit obtenue par un seul élève
F : Que la meilleure note soit 17
Exercice 14. ** tirage de boules
Soit n ∈ N. Une urne contient 3 boules noires, 2 rouges, et n blanches. On tire au hasard deux boules.
1) Calculer la probabilité d’obtenir deux boules de la même couleur.
2) Quelle est la limite de cette probabilité lorsque n → ∞ ? Était-ce prévisible ?
3) Déterminer n pour que la probabilité d’obtenir 2 boules blanches soit 1/6.
Exercice 15. ** Une chance sur deux de faire 6
Combien de dés faut-il lancer pour avoir au moins une chance sur deux d’avoir (au moins) un 6 ?
Exercice 16. ** chaussettes trouées
Dans une colocation on met les chaussettes en commun. Il y a 20 paires dont 3 trouées dans le tiroir.
Vaut-il mieux être le premier ou le dernier à se servir ?
Exercice 17. ** loterie
Une loterie émet 500 billets, dont 2 sont gagnants. Combien de billets faut-il acheter pour avoir au moins
une chance sur deux de gagner ?
Exercice 18. ** circuit RLC
On dispose de 6 résistances de 1,2,3,4,5 et 6 ohms, de 6 bobines de 1,2,3,4,5 et 6 henry.
On lance deux dés à 6 faces, et on branche la résistance, la bobine correspondante, et on ajoute un
condensateur de capacité 1 Farad (le tout en série).
Quelle est la probabilité que le circuit obtenu présente des oscillations ? Qu’il soit en régime critique ?
Exercice 19. ** coefficients binomiaux
Soit n ∈ N∗ . Une urne contient n boules numérotées de 1 à n.
1) Soit p ∈ N∗ . On tire p boules dans l’urne.
1) Soit k ∈ Jp, nK, et Ak l’événement « le plus grand numéro tiré est k ». Calculer P (Ak ).
!
!
Pn
k−1
n
=
.
2) En déduire que k=p
p−1
p
2) Soit p ∈ N∗ . On tire p boules successivement. Déterminer la probabilité que le numéro sur la dernière
boule soit supérieur à ceux des p − 1 boules précédentes.
3
Exercice 20. ** ! Paradoxe des anniversaires
Soit n ∈ N. On considère un groupe de n personnes. Quelle est la probabilité que deux personnes aient
leur anniversaire le même jour ?
À partir de quelle valeur de n est-ce cette probabilité est > 0.9 ?
Exercice 21. ** poker
On considère un jeu de cartes, on note n son nombre de cartes. On tire 5 cartes au hasard. Calculer la
probabilité d’une couleur (**) puis d’un full (***).
Faire l’application numérique lorsque n = 32 puis n = 52.
Exercice 22. ** accords
Un groupe de musique tire 4 accords au hasard sans remise. Combien y-a-t-il de possibilités ?
Un petit groupe australien avec un guitariste en bermuda préfère tirer avec remise. Sur un album de 10
morceaux, combien de morceaux par album sont basés sur un seul accord ?
On notera N le nombres d’accords considérés.
Exercice 23. *** aux échecs
On dispose 8 tours sur un échiquier. Probabilité pour qu’aucune tour ne puisse en capturer une autre ?
5
Indépendance
Exercice 24. ** ! utilisation de l’indépendance
On lance deux dés à six faces. Calculer la probabilité qu’un l’un au moins des résultats soit pair, puis la
probabilité que l’un exactement soit pair.
Exercice 25. * ! indépendance mutuelle
On lance deux dés à 6 faces. On considère les trois événements suivants :
• A : « le premier dé a un résultat pair »
• B : « le deuxième dé a un résultat impair »
• C : « les deux dés ont la même parité »
Vérifier que A, B et C sont deux à deux indépendants, mais pas mutuellement.
Exercice 26. ** Indépendance et opérations
1) Soit A un événement. A est-il indépendant de A ? Et de Ā ?
2) Soit (A, B) deux événements. Montrer que A et B sont indépendants si et seulement si Ā et B̄ le sont.
3) Soient (A, B, C) trois événements mutuellement indépendant. Montrer que A est indépendant de B ∪ C.
Ceci reste-il vrai en supposant seulement que A, B, C sont deux à deux indépendants ?
Exercice 27. * ! n événements de probabilité 1/n
Lors d’une morsure de tique, on a une chance sur 10 de contracter la maladie de Lime. Une personne a
été mordue 10 fois, quelle est la probabilité qu’elle contracte la maladie ?
On supposera que les événements « contracter la maladie lors de la ième morsure », pour i ∈ J1, 10K sont
indépendants.
Exercice 28. ** avec pile ou face
Soit n ∈ N∗ . On lance n pièces équilibrés. On note A l’événement « on obtient face au plus une fois » et
B l’événement « on obtient face au moins une fois et pile au moins une fois »
Montrer qu’il existe une seule valeur de n pour laquelle A et B sont indépendants.
4
6
Probabilités conditionnelles
Exercice 29. * Exemple simple d’utilisation de la formule des probabilités composées
Une urne contient 5 boules rouges et 7 blanches.
1. On tire l’une après l’autre 3 boules. Quelle est la probabilité de changer de couleur à chaque tirage ?
2. On tire 3 boules. Quelle est la probabilité qu’elles soient toutes de la même couleur ?
3. (***) On tire encore 3 boules. Quelle est la probabilité qu’il y en ait 2 rouges ?
4. Trois élèves de la classe passent au tableau. Quelle est la probabilité que ça ne soit que des filles ? Qu’il
y ait exactement deux garçons ? Que le sexe change à chaque passage ?
Exercice 30. ** Le paradoxe des deux enfants
1) M. Jones a deux enfants, l’aînée est une fille. Quelle est la probabilité que le second soit aussi une fille ?
2) M. Smith a deux enfants, l’un d’eux est une fille. Quelle est la probabilité que l’autre soit aussi une fille ?
3) (bonus) Si on prend en compte le fait que la probabilité qu’un enfant ait un frère (ou une sœur) vrai
jumeau est de 0, 008, que deviennent ces résultats ?
Exercice 31. ** Deux méthodes : probabilités conditionnelles ou dénombrement
Un tiroir contient 3 paires de chaussettes (séparées). On tire trois chaussettes au hasard, quelle est la
probabilité de pouvoir reconstituer une paire ?
1) Résoudre le problème par dénombrement.
2) Résoudre le problème en calculant la probabilité de l’événement contraire grâce à la formule des probabilités composée.
Exercice 32. ** probabilités conditionnelles pour un tirage de cartes
On tire 5 cartes dans un jeu de 32.
1. Quelle est la probabilité d’avoir un roi ?
2. Même question en sachant qu’on a une figure.
3. Quelle est la probabilité d’avoir deux rois ?
4. Même question en sachant qu’on en a au moins un.
Exercice 33. * ! dépistage médical : formule de Bayes
On dispose d’un test de dépistage pour une certaine maladie. On considère un individu A. ON note :
• M l’événement « A est malade »
• + l’événement « le test est positif »
Les probabilités suivantes sont connues des médecins : P (M ), P (+|M ) et P (+|M̄ ).
1) Exprimer P (M |+) en fonction de ces trois probabilités.
2) Application numérique : Prenons P (M ) = 0, 001, P (+|M ) = 0, 95 et P (+|S) = 0, 03. Calculer alors la
probabilité qu’une personne dont le test est positif soit effectivement malade.
3) De même calculer la probabilité d’être sain lorsque le test est négatif, et donner l’application numérique.
Exercice 34. * formule de Bayes, deuxième exemple
30% des martiens ont des antennes, contre 15% des vénusiens. La navette Mars-Venus est remplie à 30%
de vénusiens et 70% de martiens. Je croise à la sortie de la navette un individu à antennes, quelle est la
probabilité qu’il soit martien ?
Exercice 35. *** recherche dans les tiroirs
M. C. recherche son stylo rouge. Son secrétaire a 7 tiroirs, la probabilité que le stylo y soit a priori est
notée p. Après l’ouverture de 6 tiroirs, M. C. n’a toujours pas trouvé son stylo. Quelle est la probabilité qu’il
soit dans le septième ?
5
Exercice 36. ** tirage de cartes
Dans un jeu de 52 cartes, on commence par en enlever 10. Ensuite on tire une carte parmi celles qui
restent. Quel est la probabilité d’obtenir le roi de cœur ?
Exercice 37. ** où les arbres montrent leur limites
On lance un dé de 10. Ensuite, si n est le résultat obtenu, on lance n dés de 6 et on additionne les
résultats.
1) Quelle est la probabilité d’obtenir 4 ?
2) Quelle est l’espérance du résultat ?
3) On a obtenu 4. Quelle est le résultat du premier dé le plus probable ? Calculer exactement cette probabilité.
Exercice 38. * exemple d’utilisation de la formule des probabilités composées
1
de réussir
M. T joue à un jeu vidéo comprenant N niveau. Pour tout n ∈ J1, nK, il a une probabilité
2n
le niveau n, à condition d’avoir réussi les n − 1 niveaux précédents. S’il échoue à un niveau, il ne peut pas
essayer les niveaux suivants.
Calculer la probabilité que M. T termine le jeu.
Exercice 39. ** ouvrir une porte en essayant les clés au hasard
M. X veut ouvrir une porte mais a oublié quelle est la bonne clé. Il utilise donc l’une après l’autre, au
hasard, chacune des clés à sa disposition. On note n le nombre de clés dont il dispose.
On suppose qu’il y a une et une seule bonne clé, et que M. X n’essaie jamais deux fois la même clé.
Quelle est la probabilité que M. X n’arrive à ouvrir la porte qu’à sa dernière tentative ?
Plus généralement, on note X la variable aléatoire donnant le nombre de tentatives nécessaires pour ouvrir
la porte. Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance.
Exercice 40. ** suite arithmético-géométrique
M. Z. est chargé de rechercher les pins du parc Beaumont infestés de chenilles processionnaires.
On note pour tout n ∈ N In l’événement « le n-ème arbre est infesté », et pn = P (Vn ).
On suppose que si un arbre est infesté, le suivant a une probabilité 0,6 de l’être aussi. Et si un arbre n’est
pas infesté, le suivant a une probabilité 0,9 de ne pas l’être non plus.
1. Soit n ∈ N. Trouver une relation entre pn et pn+1 .
2. En déduire pour tout n ∈ N la valeur de pn .
3. Préciser la limite en ∞ de p.
Quelques indications
1
2 Il s’agit de choisir quels déplacements parmi les n + p nécessaires seront vers le haut, et lesquels seront vers la
droite.
3 Vérifier que choisir une telle fonction revient à choisir son image, i.e. une partie de J1, nK de cardinal p
4 Interpréter à l’aide de parties d’un ensemble de cardinal p + q.
7
8 Notons S le sac, i.e. l’ensemble des jetons.
Prendre comme univers Ω = P(S). Attention : ce n’est pas un des trois univers de référence !
6
9 Utiliser le fait que A ∪ B ⊂ E.
10 On trouvera P (A) + P (B) − 2P (A ∩ B).
11 Une méthode par dénombrement est beaucoup plus rapide que par probabilités composées ici.
12 Pour chacune des stratégies « rester sur son choix » ou « changer d’avis » calculer la probabilité de gagner.
13 F : Pour tout k ∈ J1, nK, poser Fk : « k élèves ont eu 17, les autres ont eu 6 16 ».
14 1) L’événement « deux boules de la même couleur » peut être partitionné en « deux boules noires », « deux boules
rouges », ou « deux boules blanches » (i.e. ces trois événements forment un système complet d’événements pour
« deux boules de la même couleur »).
16 Si on prend l’univers des tirages de 3 paires de chaussettes, le résultat est évident.
17 Noter p le nombre de billets achetés, calculer la probabilité de gagner, puis résoudre l’équation « la proba de
gagner > 12 ».
Passer par l’événement contraire : « perdre » signifie que les p billets achetés sont tous parmi les 498 billets
perdant.
20 Étudier l’événement contraire. On pourra utiliser la formule des probabilités composées, ou directement la formule
des arrangements.
21 Pour le full : choisir la hauteur de la paire, la hauteur du brelan, et enfin, les cartes constituant cette paire et ce
brelan.
Pour la couleur : choisir la couleur, puis les cartes.
22
24 Introduire les événements « le premier dé donne un résultat pair » et « le deuxième dé donne un résultat pair ».
25
26 3) pour la deuxième question : reprendre le contre-exemple du cours.
27 Étudier l’événement contraire.
28 Pour calculer P (B), passer par B̄.
30 C’est un tirage où l’ordre compte, et les répétitions sont autorisées. Prendre comme univers Ω = {G, F }2 .
2) la difficulté est de définir des événements qui ont un sens.
33 Ce n’est rien d’autre que la formule de Bayes.
34 Utilisation classique de la formule de Bayes.
35 Supposé que chaque tiroir a la même probabilité de contenir le stylo.
37 On peut dessiner un arbre, mais il faudra au moins 14 branches. Il est plus simple d’écrire la formule des probabilités
totales.
38 Noter pour tout i ∈ J1, nK Ai : « M. T a réussi le ième niveau » et utiliser la formule des probabilités composée,
version générale (pour N événements).
39 Pour tout i ∈ J1, nK, noter Ai l’événement « ouvrir la porte à la ième tentative ». C’est la formule des probabilités
composées.
40 2) On pourra étudier la suite z telle que ∀n ∈ N, zn = pn − k, où k est la suite constante vérifiant la même relation
de récurrence que p.
7
Quelques solutions
1
2
3
n
p
4
5
6
1.
(a) Ordre et répétitions autorisées. Prenons Ω = J1, 6K2 , que nous munissons de la probabilité uniforme.
On a Card(Ω) = Card(J1, 6K)2 = 36.
Notons A l’événement « le premier dé donne un résultat pair, et le second un résultat impair ». Cet
événement correspond à l’ensemble {2, 4, 6} × {1, 3, 5} (l’ensemble des couples dont le premier élément est
pair, et le second impair). On a Card(A) = Card({2, 4, 6}) × Card({1, 3, 5}) = 9. (Cardinal d’un produit
cartésien.)
Card(A)
9
1
Alors P (A) =
=
= .
Card(Ω)
36
4
Remarque : On pouvait aussi appeler X l’événement « le premier dé donne un résultat pair », et Y :
« le second dé donne un résultat impair ». Il est raisonnable de supposer que les deux lancers de dé sont
indépendants, donc P (A) = P (X ∩Y ) = P (X)×P (Y ). Et on constate rapidement que P (X) = 21 = P (Y ).
(b) Ici les répétitions sont autorisées, et l’ordre n’est pas important. Cependant, il n’y a pas d’univers correspondant exactement à ce cas : nous sommes obligés de prendre quand même l’ordre en compte. Nous
appellerons un des deux dés le premier, et l’autre le second, et nous prenons Ω = J1, 6K2 , que nous
munissons de la mesure uniforme.
Soit B l’événement « un des deux dés au moins donne 1 ». En terme d’ensemble, B s’écrit ainsi :
B = (1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6),
(2, 1), (3, 1), . . . , (6, 1)
son cardinal est 6 + 5 = 11. (Ne pas compter le (1, 1) deux fois !)
11
.
Ainsi, P (B) =
36
(c) Pas d’ordre, pas de répétitions
: nous
sommes
avec des combinaisons. Notons U l’urne, et prenons Ω =
6×5
Card(U)
6
P2 (U). Donc Card(Ω) =
=
=
= 15.
2
2
2
1
L’événement étudié correspond à l’ensemble {1, 2} , de cardinal 1. Sa probabilité est donc
.
15
(d) Pas d’ordre, répétition. On est donc obligé de compter l’ordre, i.e. de considérer qu’une des deux boules
est tirée avant l’autre. Nous prenons Ω = J1, 6K2 , de cardinal 36.
2
1
L’événement étudié est (1, 2), (2, 1) , de cardinal 2. Donc la probabilité cherchée est
=
.
36
18
Remarque : La probabilité est donc plus faible avec remise que sans.
(e) Ordre et pas de répétition : nous sommes avec des arrangements. Prenons Ω =
n
o
(a, b) ∈ J1, 6K2 a 6= b ,
dont le cardinal est A62 = 6 × 5 = 30, et que nous munissons de la probabilité uniforme.
L’événement étudié correspond à l’ensemble {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}, de cardinal 5, donc sa probabilité est 5/30 = 1/6.
(a) Remarque : On se doute bien que la réponse est 12 ... Mais si on veut donner une modélisation complète, il
faut travailler un peu. Par ailleurs, il semble rationnel de supposer qu’il n’y a pas deux poissons qui ont
exactement la même taille.
8
Ordre et pas den répétions : arrangements.
Notons L l’ensemble des poissons du lac, donc CardL = n.
o
Prenons Ω = (a, b) ∈ L2 a 6= b (l’ensemble des couples de deux poissons distincts), de cardinal
An
2 = n.(n − 1).
Notons p1 , . . . , pn les n poissons du lac, triés du plus petit au plus grand. Notons A l’événement étudié.
Nous pouvons partitionner A ainsi : pour tout i ∈ J1, nK, soit Ai l’événement « le premier poisson péché
est pi , et le suivant est dans l’ensemble {pi+1 , . . . , pn } ». Formellement, Ai = {pi } × {pi+1 , . . . , pn }, et
plus simplement Ai = {(pi , pi+1 ), (pi , pi+2 ), . . . , (pi , pn )}. L’événement Ai est de cardinal n − i, et donc
n−i
.
de probabilité
n.(n − 1)
Les événements A1 , . . . , An forment un système complet d’événements pour A, donc :
P (A) =
n
X
P (Ai ) =
i=1
n
X
i=1
n
X
1
n−i
=
(n − i)
n.(n − 1)
n(n − 1)
i=1
Pn
Une petite astuce est possible pour simplifier le calcul de
n premiers entiers, mais écrite du plus grand au plus petit :
n
X
i=1
(n − i) : en fait c’est juste la somme des
(n − i) = n + (n − 1) + (n − 2 · · · + 2 + 1 + 0 = 0 + 1 + 2 + · · · + (n − 1) + (n − 2) =
i=1
n
X
i=0
i=
n(n + 1)
2
Et finalement,
P (A) =
n(n + 1)
1
1
×
= .
n(n + 1)
2
2
(b) Ordre et répétitions, il s’agit de 5-uplets (ou 5-listes). Notons a, b, c les trois couleurs de vernis de Mme. P.
. Prenons Ω = {a, b, c}5 . Par exemple le 5-uplet (a, a, b, a, c) signifie que le premier doigt est de la couleur
a, le second de la couleur a, le troisième de la couleur b, etc... Le cardinal de Ω est 35 .
3
L’événement étudié est {(a, a, a, a, a), (b, b, b, b, b), (c, c, c, c, c)}, de cardinal 3, et donc de probabilité 5 =
3
1
1
=
.
34
81
3
1
(c) Ordre et répétitions. Notons E = {0, , 1, , . . . , 20} l’ensemble des notes possibles. On a Card(E) = 21.
2
2
Prenons Ω = E 42 , de cardinal 2142 .
Soit A l’événement étudié, donc Ā est l’événement « aucune copie n’a la même note que la précédente ».
Calculons Card(Ā). Pour choisir un élément de Ā, il y a 21 choix pour la première note. Puis 20 choix
pour la seconde (ne pas reprendre la même que la première). Puis encore 20 choix pour la troisième etc...
Finalement cela donne 21 × 20 × · · · × 20 = 21.2041 choix possibles.
21.2041
Donc P (Ā) =
=
2142
20
21
Et P (A) = 1 − P (Ā) = −1
41
20
21
.
41
.
(d) Ni ordre, ni répétitions
: combinaisons. Notons C l’ensemble des élèves et Ω = P2 (Ω). Donc Card(Ω) =
42 × 41
Card(C)
42
=
=
= 21 × 41.
2
2
2
Soit A l’événement étudié. Il se partitionne en deux événements : A1 : « on a tiré deux filles » et A2 : « on
a tiré deux garçons ». Sachant qu’il y a 15 filleset 27
garçons dans la classe, Card(A
2 ) est le nombre de
15
27
manières de tirer deux filles parmi ces 15, c’est
= 15 × 7. Et Card(A1 ) =
= 27 × 13.
2
2
Au final,
27 × 13
15 × 7
P (A) = P (A1 ) + P (A2 ) =
+
.
21 × 41
21 × 41
7 1) On modélise par l’univers Ω = {P, F }3 , en pensant que P représente pile, et F face. On a Card(Ω) = 8. On
munit Ω de la probabilité uniforme. l’événement étudié est {(P, P, P ), (F, F, F )} de cardinale 2. Donc sa probabilité
2
est = 14 .
8
9
2) L’événement « la troisième pièce est du même côté que les deux premières » est mal défini ! Tout simplement car
les trois pièces peuvent être du même côté, auquel cas laquelle serait la troisième, lesquelles les deux premières ?
Donc cet événement n’existe pas, sa probabilité non plus, et tout raisonnement l’utilisant itou !
tentative de corriger le raisonnement :
On pourrait numéroter les trois pièces, et étudier les 3 événements : A1 : « les pièces 2 et 3 sont du même côté »,
A2 : « les pièces 1 et 3 sont du même côté » et A3 : « les pièces 1 et 2 sont du même côté ».
Alors effectivement, l’un de ces trois événements au moins est toujours réalisé : A1 ∪ A2 ∪ A3 = Ω.
Notons X l’événement cherché, à savoir que les trois pièces sont du même côté. Il alors exact que pour tout
i ∈ J1, 3K, P (X|Ai ) = 1/2.
Mais après ?
On pourrait vouloir utiliser la formule des probabilités totales :
P (X) =
3
X
P (X|Ai ).P (Ai ) =
i=1
3
X
1
i=1
2
n
.P (Ai ) =
1 X
1
1
.
P (Ai ) = .P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = .1
2
2
2
i=1
Il y a deux erreurs dans le calcul ci-dessus : lors de la première et de l’avant dernière étape. A chaque fois, le
problème est que A1 , A2 , A3 ne sont pas incompatibles, et donc ne forment pas un système complet d’événements !
8
9
10
11
12
13 Soit n le cardinal de la classe. On tire n nombres dans J0, 20K, les répétitions sont autorisées. On peut donc utiliser
l’univers Ω = J0, 20Kn , de cardinal 21n .
On munit Ω de la probabilité uniforme car l’énoncé indique que les notes sont équiprobables. Notons donc P la
probabilité uniforme sur Ω.
Notons A, B, C, D, E, F les événements donc on demande la probabilité, dans l’ordre utilisé dans l’énoncé.
1
1. A = {(20, 20, . . . , 20)} est de cardinal 1. Donc P (A) = n = 21−n
21
n
11
2. B = J10, 20Kn de cardinal 11n . D’où P (B) =
.
21
3. Card(C) = n × 17n−1 .
4.
5.
6. F1 , ..., Fn forment une partition de F . Donc Card(F ) =
P40
k=1
Card(Fk ) =
P40
k=1
n
17n−k = 18n − 17n .
k
14
15
16
17 Notons E l’ensemble des billets en jeu.
Donc
Card(E) = 500. Notons p le nombre de billets achetés. On prend
500
comme univers Ω = Pp (E), de cardinal
.
p
Notons enfin A l’événement « au moins un des
billets
achetés est gagnant ».
498
p
(500 − p)(499 − p)
498
=1−
.
On a Card(Ā) =
. D’où P (A) = 1 − p
500 × 499
500
p
10
18
19
20
21
22
8!
23 64
8
24
25
26 1) P (A ∩ A) = P (A) 6 P (A) × P (A), sauf si A est un événement certain ou presque impossible.
De même P (A ∩ Ā) = P (∅) = 0 6= P (A) × P (Ā) sauf si A est certain ou presque impossible.
2)
• On suppose A et B indépendants. Montrons que Ā et B̄ le sont aussi.
Il s’agit de démontrer que P (Ā ∩ B̄) = P (Ā) × P (B̄). Exprimons ces deux nombres à l’aide de P (A) et P (B).
D’une part :
P (Ā) × P (B̄) =
=
(1 − P (A)) × (1 − P (B))
1 − P (A) − P (B) + P (A)P (B)
Et d’autre part :
P (Ā ∩ B̄) =
=
=
=
=
P (A ∪ B)
1 − P (A ∪ B)
1 − (P (A) + P (B) − P (A ∩ B))
1 − P (A) − P (B) + P (A ∩ B)
1 − P (A) − P (B) + P (A).P (B)
car A et B sont indépendants
Les deux nombres sont bien égaux : P (Ā ∩ B̄) = P (Ā).P (B̄), ce qui signifie par définition que Ā et B̄ sont
indépendants.
• Réciproquement, supposons que Ā et B̄ sont indépendants.
Une astuce est possible ! on peut réutiliser le sens direct ave Ā et B̄.
¯ sont indépendants, i.e. que A
En utilisant le sens direct avec Ā et B̄ au lieu de A et B, on déduit que Ā¯ et B̄
et B sont indépendants.
27
28
On tire n fois un élément entre pile ou face. Les répétitions sont autorisée, on modélise donc l’expérience par des
n-uplets.
Soit Ω = {p, f }n , de cardinal 2n .
1+n
1
n
On trouve P (A) =
, P (B) = 1 − n−1 et P (A ∩ B) = n .
2n
2
2
n−1
Alors on obtient que A et B sont
indépendants ssi n + 1 = 2 . Une solution évidente est n = 3.
n−1
Ensuite, la suite 2
− n − 1 n∈N est strictement croissante, donc injective. Donc la solution est unique.
29
30
11
31
32 Soit E l’ensemble des cartes donc Card(E) = 32.
Pas d’ordre ni de répétition : on prend Ω = P5 (E) : ensembles des ensembles de 5 cartes.
1. Soit A l’événement : « on a tiré (au moins) un roi ».
Pour un événement de type « au moins », il est souvent pratique d’utiliser l’événement contraire.
Donc Ā : « on a tiré aucun roi ».
Réaliser Ā revient à tirer 5 cartes parmi les 28 cartes qui ne sont pas des rois. Donc Card(Ā) =
28
.
5
P (M ∩ +)
. Il nous reste donc à calculer P (+) et P (M ∩ +).
P (+)
• Pour P (+) : on utilise la formule des probabilités totales : sachant que M, M̄ est un système complet
d’événements, on a P (+) = P (M ) × P (+|M ) + P (M̄ ) × P (+|M̄ ).
P (+ ∩ M )
• Pour P (+∩M ) : on utilise P (+|M ) : par définition P (+|M ) =
d’où P (+∩M ) = P (M )×P (+|M ).
P (M )
En conclusion :
P (M ) × P (+|M )
P (M |+) =
P (M ) × P (+|M ) + P (M̄ ) × P (+|M̄ )
33 1) Par définition, P (M |+) =
2) Dans l’exemple proposé on obtient :
P (M |+) =
0.001 × 0, 95
' .03
0.001 × 0, 95 + 0.999 × 0, 03
un individu dont le test est positif a donc environ 3 chances sur 100 d’être effectivement malade !
3) On trouve
P (M̄ |+̄) =
P (M̄ ) × P (+̄|M̄ )
P (M̄ ) × P (+̄|M̄ ) + P (M ) × P (+̄|M )
Pour l’application numérique : P (+̄|M̄ ) = 1 − P (+|M̄ ) = 0, 97 et P (+̄|M ) = 1 − P (+|M ) = 0, 05, d’où
P (M̄ |+̄) ' 0, 99995
Le test est beaucoup plus efficace pour s’assurer qu’une personne est saine que pour détecter si une personne est
malade.
34 0,82
p
7 − 6p
Remarque : Vérifier la cohérence dans le cas p = 0 ou p = 1.
35
36
37
38
39
40
1. pn+1 = 0,5pn + 0,1
12