Probabilités

Probabilités
Objectifs:
- Exprimer et appliquer des probabilités.
- Etudier une expérience à deux épreuves.
Le calcul de probabilités s'est développé à partir du
16ème siècle.
Les interrogations de ses débuts portaient sur les jeux
de hasard.
Pierre de Fermat (1601-1665) et Blaise Pascal (16231662), mathématiciens célèbres, posèrent les bases des
probabilités.
Pierre de Fermat
Blaise Pascal
I. Vocabulaire
1) Expérience aléatoire
Une expérience est dite « aléatoire » si elle vérifie deux
conditions :
- Elle conduit à des résultats possibles que l’on peut nommer.
- On ne peut pas prévoir ces résultats.
Remarque : Le résultat d'une expérience aléatoire
s'appelle aussi une issue.
Exemple : On lance un dé à 6 faces et on regarde
quel nombre on obtient.
Cette expérience est bien une expérience aléatoire car :
- Les résultats (ou issues) possibles sont 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6.
- Quand on lance le dé, on ne sait pas sur quelle face on va tomber.
2) Evénement
Un événement dans une expérience aléatoire est
constitué de plusieurs issues (ou résultats).
Exemple : On dispose des cinq cartes suivantes.
On tire une carte au hasard parmi les cinq.
Obtenir une reine est un événement.
Obtenir un cœur est un autre événement.
II. Probabilités
1) Probabilité et fréquence
Lorsqu’on répète une expérience aléatoire un grand nombre
de fois, la fréquence de n’importe quel évènement de cette
expérience finit par se stabiliser autour d’un nombre :
la probabilité de cet événement.
Le lien fût établi par le mathématicien
suisse Jacques Bernoulli (1654-1705)
Exemple : On dispose d’une pièce de monnaie.
Si on lance un très grand nombre de fois cette pièce,
et que l’on compte le nombre de fois qu’elle donne pile
et le nombre de fois qu’elle donne face,
la fréquence de ces deux résultats
va se stabiliser autour de ½.
Remarque : La probabilité d’un événement est en quelque
sorte la chance que cet événement se produise.
Avec l’exemple ci-dessus, on a 1 chance sur 2
d’obtenir face…
2) Calculer une probabilité
Quand les résultats d'une expérience aléatoire ont tous la même
probabilité alors la probabilité d'un événement E est égale au quotient:
P(E) =
Nb de résultats favorables à l’événement
Nb de résultats possibles
Exemple : On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6.
Quelle est la probabilité d'obtenir un chiffre pair ?
Quand on lance un dé, il y a 6 résultats possibles.
Le résultat favorable à l'événement « obtenir un chiffre pair »
est « obtenir un 2, un 4, un 6 » donc il y a 3 résultats favorables.
On a alors P (« obtenir un chiffre pair ») = 3/6
ou encore
1/2
Remarques : - La probabilité d'un événement est toujours comprise
entre 0 et 1.
- La somme des probabilités associées à chaque issue
est égale à 1.
L'événement contraire de
l'événement A est celui qui
se réalise quand A n'a pas lieu.
On a alors
P( non A ) = 1 - P(A)
Exemple : On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6.
L'événement « non 2 » est constitué de 5 issues
« 1 », « 3 », « 4 », « 5 », « 6 ».
On a
P(2) = 1/6
Donc P(non 2) = 5/6
3) Etude d’une expérience à deux épreuves
On lance deux fois de suite une pièce de monnaie.
Calculer la probabilité de l’évènement E :
« On obtient au moins une fois PILE. »
On schématise les différentes issues avec un arbre de probabilités.
1
2
1
2
On a
P
F
1
2
P
(P ; P)
1
1
1


2
2
4
1
2
F
(P ; F)
1
1
1 (probabilité d’obtenir pile puis face)


2
2
4
P
(F ; P)
1
1
1 (probabilité d’obtenir face puis pile)


2
2
4
1
2
1
2
(probabilité d’obtenir deux piles)
F
Sur un même chemin, on multiplie les probabilités.
1
1
1
3


P(E ) =
=
4
4
4
4
La probabilité que l’évènement E se réalise est de
¾.