Transformée de Fourier Discrète définition

TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE
transformée de fourier discréte
1
Transformée de Fourier Discrète
introduction
Signaux Déter min istes et Continus : x(t ); X ( f )
t , f , x(t ), X ( f ) sont des var iables et fontions continues


On veut des signaux numériques : x (tn ), X ( f m )


x et X sont des fonctions prenant des valeurs discrétes(en nbr fini) :
 quantification
tn  n.t , temps discret, n entier; t période d ' échantillonnage
 échantillonnage temporel, critère de Shannon
f m  m.f , fréquence discret, m entier, f résolution en fréquence
 échantillonnage fréquentiel
Autres Contra int es :
dans la pratique on ne peut travailler qu ' avec des tranches des signaux
de durée lim itée (n  )
transformée de fourier discréte
2
Transformée de Fourier Discrète
Théorème de Shannon
• Signal à bande limitée
X(f)
x(t)
-fmax
t
+fmax
f
• X(f)=TF (x(t));
X(f)=0 pour
-fmax < f < +fmax
• pour échantillonner le signal x(t) sans perdre d ’information (ie,
reconstruction sans erreur), il faut que :
f e  2 f max
fe
fréquence d ' échantillonnage ; T  1 / f e
période d ' échantillonnage
• sinon on observe un repliement de spectre
transformée de fourier discréte
3
Transformée de Fourier Discrète
périodisation de la TFC par échantillonnage temporel
x (t ) continue en t
x (t  nT ) la version échantillonnée T période d ' échantillonnage
e


n  
n  
x (nT )  x (t ).   (t nT )   x (t ) (t nT )
e


t  
n  
X ( f )   (  x (t ) (t nT ))e
e
 2 jft
dt
 X ( f )   x (nT ).e 



df
 x (nT )  T  X ( f )e

conclusion :
x (nT )  X ( f ) est une fonction périodique en f de période (1 / T )

e
 2 jf ( nT )
n  
1 / 2 T
1 / 2 T
 2 jf ( nT )
e
e
transformée de fourier discréte
4
Transformée de Fourier Discrète
repliement de spectre dans le domaine fréquentiel
x(t )
x(nT )
Xe( f )
pas de repliement
f max  1 / 2T
 1 / 2T
 f max
x(t )
x(nT )
1/ 2T
 f max
Xe( f )
repliement
f max  1 / 2T
 1 / 2T
 f max
transformée de fourier discréte
1/ 2T
 f max
5
Transformée de Fourier Discrète
définition
on cherche une fonction discréte en f , ie :
x(nT )  X (mf );
n   N / 2, N / 2;
m   N / 2, N / 2
signaux de longueur finie
on discrétise X e ( f ) :
X e ( f )  X (mf )
f  1 / NT résolution en fréquence

1  N / 21
x(nT )e 2 jnm / N
 X (mf ) 

N n N / 2


 N / 21

 2 jnm / N
x
(
n

T
)

X
(
m

f
)
e



m N / 2
remarque :
x(n) est une fonction périodique de période N T
transformée de fourier discréte
6
Transformée de Fourier Discrète
propriétés
 linéarité
 A ( n )  A
 (n) élément neutre
 A  A ( m )
constante
1
m
 x (an)  W ( )
chg d' échelle de temps
a
a
 x ( n  k )  X ( f )e 
retard temporel
 x (  n)  X (  m )  X ( m )
renversement du temps
 x (n) cos(2kn / N )  1 / 2 X (m  k )  X (m  k ) modulation d' amplitude
 x ( n) * x ( n)  X ( m ) X ( m )
convolutio n cyclique
 2 jk
*
1
2
1
2
 x ( n) x ( n)  X ( m ) * X ( m )
1
2
1
2
 X  réel(X(m)) paire
R
 X  imag(X(m))
I
multiplication
[réel(X(N - m))  Re(X(m))]
impaire
[Imag(X(N - m))  Imag(X(m)) ]
transformée de fourier discréte
7
Transformée de Fourier Discrète
discrétisation T/F=Périodisation T/F (1)
x(t )
x(t )
TF continue
séries de Fourier
x(nT ) échantillonnage temporel
x p (nT )
TF Discrète
transformée de fourier discréte
X(f )
cn
Xe( f )
X (mf )
8
Transformée de Fourier Discrète
discrétisation T/F=Périodisation T/F (2)
• TEMPS
• continu
FREQUENCE
continu
– non périodique
• continu
- Fourier Continue
discret
– périodique
• discret
- Série de Fourier
continu
– Fourier
• discret
- périodique
discret
– périodique
- périodique
– T.Fourier Discrète
transformée de fourier discréte
9
Transformée de Fourier Discréte
résolution fréquentielle
• x(nT) signal
–
–
–
–
n = [-N/2, N/2-1] 
N points
T période d ’échantillonnage,
fe=1/ T fréquence d ’échantillonnage.
fe1/(2fmax) Shannon
• X(m f) = TFD [(x(n T)]
– N points en fréquence
– f = 1/N T
résolution en fréquence
• si N  f 
• si N  f 
transformée de fourier discréte
10
Transformée de Fourier Discrète
signaux de longueur finie: fenêtres (1)
T  1
Le signal est de durée finie
 on tronque le signal x ( n)
on étudie donc en fait :
~
x ( n)  x ( n).w ( n)
n   /2, /2
N
R
avec
w ( n)  1 ; n   N / 2, N / 2,  0 ailleurs
N
R
N
w ( n) est appelée fenêtre Rectangulaire.
 TFD( ~
x (n))  X ( m ) * W ( m ); convolutio n en fréquence
R
N
R
Conclusion :
- la troncature du signal revient à convoluer le spectre discret
avec la TFD de la fenêtre.
- le choix de la fenêtre rectangulaire devient arbitraire
puisqu' on s' intéresse au domaine spectral
 il existe plusieurs types de fenêtres dont le choix est
déterminé par ce que l' on recherche sur spectre
transformée de fourier discréte
11
Transformée de Fourier Discrète
signaux de longueur finie: fenêtres (1)
• Exemple de troncature d’un signal par une fenêtre rectangulaire
1500
1000
500
0
-500
-1000
-1500
0
500
1000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
1500
1000
500
0
-500
-1000
-1500
0
transformée de fourier discréte
N/2
12
Transformée de Fourier Discrète
effet d ’une fenêtre rectangulaire sur une sinusoïde (2)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
50
100
150
200
transformée de fourier discréte
250
300
13
Transformée de Fourier Discrète
effet d ’une fenêtre de Hanning sur une sinusoïde (3)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
50
100
150
200
transformée de fourier discréte
250
300
14
Transformée de Fourier Discrète
effet des fenêtres sur une sinusoïde (4)
2
1
10
0.5
1
10
0
0
10
-0.5
-1
-1
0
100
200
300
10
0
50
100
150
0
50
100
150
5
1
10
0.5
0
10
0
-5
10
-0.5
-1
-10
0
100
200
300
10
transformée de fourier discréte
15
Transformée de Fourier Discrète
résumé : échantillonnage temps/fréquence/fenêtre
•
temps
fréquence
Convolution/fenêtre
(fuites)
Multiplication/fenêtre
transformée de fourier discréte
16
Transformée de Fourier Discrète
étude de l ’effet de convolution :Fenêtre rectangulaire(1)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
0
10
-2
10
tesd
o
n
rsSéried
u
eco
ou
F
rie
-4
10
20
40
60
80
100
120
wr(nT)=1 pour n=[0,N-1]
Wr(mf)= sin(N.2.pi.mf)/sin(2.pi.m. f) pour m=[0,N-1]
transformée de fourier discréte
17
Transformée de Fourier Discrète
convolution par une fenêtre rectangulaire: sinusoïde(2)
• Cas d ’une sinusoïde :
–
–
–
–
N points, T période d ’échantillonnage,
fe=1/ T, f=1/ NT
la TFD sera définie pour 0, f, 2. f , 3.f,….k. f …N/2. f
soit x(n T ) = a.sin(2.pi.f0.n/N)
• cas 1:
• cas 2:
f0 = k. f
k.f  f0  (k+1).f
transformée de fourier discréte
18
Transformée de Fourier Discrète
convolution par une fenêtre: cas d ’une sinusoïde(3)
0
10
W(k-1)
-1
10
-2
10
-3
10
-4
10
20
40
60
80
100
120
0
10
W(k)
-1
10
-2
10
-3
10
-4
10
20
40
60
80
100
120
0
10
W(k+1)
-1
10
-2
10
-3
10
-4
10
20
40
X(k f)
60
80
100
120
f(k)=f0
f(k-1)
f(k+1)
transformée de fourier discréte
19
Transformée de Fourier Discrète
convolution par une fenêtre: cas d ’une sinusoïde(4)
0
10
W(k-1)
-1
10
-2
10
-3
10
-4
10
20
40
60
80
100
120
0
10
W(k)
-1
10
-2
10
-3
10
-4
10
20
40
60
80
100
120
0
10
-1
10
W(k+1)
-2
10
-3
10
-4
10
20
40
X(k f)
60
80
100
120
f(k)
f(k-1)
f(k+1)
transformée de fourier discréte
20
Transformée de Fourier Discrète
Fenêtres et leur transformée de Fourier résumé (1)
Rectangulaire
10
0.5
10
0
10
1
Hanning
-4
0
10
20
30
40
0
10
20 40 60 80 100 120
-2
10
0
10
-4
0
10
20
30
40
0
10
20 40 60 80 100 120
-2
0
10
-2
10
1
Gaussienne
-2
0.5
2
Blackman
0
1
-4
0
10
20
30
40
0
10
20 40 60 80 100 120
-2
0.5
10
0
10
-4
0
10
20
30
40
20 40 60 80 100 120
notes de cours Série de Fourier
transformée de fourier discréte
21
Transformée de Fourier Discrète
propriétés des fenêtres : résumé (2)
•
•
Fenêtre
•
•
•
•
•
•
•
Rectangulaire
Hanning
Hamming
Kaiser-Bessel
Flattop
Gaussienne
1er lobe
secondaire
décroissance
lobes secondaires
largeur lobe
principal
(dB)
(dB/décade)
(*f)
-13
-32
-43
-69
-93
-69
-20
-60
-20
-20
0
-20
1.
1.5
1.36
1.8
3.7
1.9
– rectangulaire : bonne résolution en fréquence, dynamique faible
– Hanning : compromis (utilisée en analyse du bruit et vibrations)
transformée de fourier discréte
22
Transformée de Fourier Discrète
Algorithmes rapides : FFT (Fast Fourier Transform)-(1)
X ( m) 
N 1
 x(n)e2jnm / N ,
m  0, N  1
n 0
•  N Multiplications complexes, (N-1) additions pour chaque m
•  N² multiplications complexes
• exemple : N= 1000 pts  1.000.000 (X) !!
• Algorithme FFT
• N=2k 
 N.log2(N)= k.N
• exemple : N=1024

10. 000 (X)
• Plusieurs types d ’algorithmes
transformée de fourier discréte
23
Transformée de Fourier Discrète
Algorithmes rapides : FFT (Fast Fourier Transform)-(2)
• Principe :
WN  e 2 / N

N 1

n.k
 X (m)   x(n).WN , m  0, N  1

n 0
or (WN ) N  1; (WN ) N / 2  1; (WN ) 2  WN / 2
• plusieurs algorithmes et architectures associés permettent
de réaliser les calculs en temps réel.
transformée de fourier discréte
24