Document

2. Optimisation sans contrainte
Fonctions à une seule variable
2.1. Méthodes n’utililisant que les valeurs des
fonctions
• Méthode de Fibonacci
Hypothèse: La fonction f est définie sur l’intervalle [a, b] et est unimodal;
i.e., f ne possède qu’un seul minimum local dans [a, b]
• L’approche consiste
– à choisir un certain nombre de points selon une stratégie basée sur les
nombres de Fibonacci
– à évaluer séquentiellement la valeur de la fonction à ces points
– avec l’objectif de réduire la longuer de l’intervalle contenant le
minimum local en se basant sur la propriété d’unimodalité de la
fonction
• Étant données les valeurs de la fonction en deux points de l’intervalle,
l’unimodalité permet d’identifier une partie de l’intervalle où le minimum
ne peut se retrouver
a
x1
x2
f  x1   f  x2 
et
x*   a, x2 
b
a
x1
x2 b
f  x1   f  x2 
et
x*   x1 , b 
a
x1
x2 b
f  x1   f  x2 
et
x*   x1 , x2 
a
x3
x1
x4
x2
b
Choisir deux points x1 et x2 symétrique et à la même distance
de chaque extrémité de l’intervalle [a, b]
Choisir le prochain point symétriquement par
rapport au point déjà dans l’intervalle résultant.
a
x3
x1
x4
x2
Choisir le prochain point symétriquement par rapport
au point déjà dans l’intervalle résultant.
b
Stratégie optimale de sélection des
points d’évaluation
• Notation:
d1 = b – a, la longueur de l’intervalle initial
dk = longueur de l’intervalle après avoir utilisé k points d’évaluation
{Fk} la suite des nombres de Fibonacci définie comme suit:
F0 = F1 = 1
Fn = Fn-1 + Fn-2
n = 2, 3, ….
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …}
Stratégie optimale de sélection des
points d’évaluation
Supposons que nous décidons au départ d’utiliser N points d’évaluation.
Procédure se résume comme suit:
i.
 FN 1 
 d1
 FN 
Les deux premiers points sont choisis symétriques à une distance 
de chacune des extrémités de l’intervalle [a, b]. Une partie de
l’intervalle est éliminée en se basant sur l’unimodalité de la fonction.
 FN 1 
Il en résulte un intervalle de longueur d 2  
 d1.
 FN 
ii.
Le troisième point est choisi symétriquement par rapport au point déjà
dans l’intervalle résultant. Ceci engendre un intervalle de longueur
 FN 2 
d3  
 d1
F
 N 
Stratégie optimale de sélection des
points d’évaluation
i.
Les deux premiers points sont choisis symétrique à une distance
 FN 1 

 d1
F
 N 
de chacune des extrémités de l’intervalle [a, b]. Une partie de
l’intervalle est éliminée en se basant sur l’unimodalité de la fonction.
 FN 1 
Il en résulte un intervalle de longueur d 2  
 d1.
 FN 
ii.
Le troisième point est choisi symétriquement par rapport au point déjà
dans l’intervalle résultant. Ceci engendre un intervalle de longueur
F 
d3   N 2  d1
 FN 
iii.
En général le point suivant est choisi symétriquement par rapport au
point déjà dans l’intervalle résultant.
iii.
En général le point suivant est choisi symétriquement par rapport au
point déjà dans l’intervalle résultant.
Note: Selon iii. , le dernier point N devrait être placé au centre de l’intervalle
superposé à celui s’y trouvant déjà. En effet, puisqu’en utilisant cette
stratégie de sélection des points d’évaluation, nous avons que
FN  k 1
dk 
d1
FN
k  2,3,
,N
Note: Selon iii. , le dernier point N devrait être placé au centre de l’intervalle
superposé à celui s’y trouvant déjà. En effet, puisqu’en utilisant cette
stratégie de sélection des points d’évaluation, nous avons que
FN  k 1
dk 
d1
FN
k  2,3,
,N
il s'ensuit que
FN ( N 1) 1
F2
2 
d N 1 
d1 
d1 
d1 
FN
FN
FN 
1

d

d N 1.

N
2
FN  N 1
F1
1

dN 
d1 
d1 
d1

FN
FN
FN

Pour remédier à cette situation, le dernier point N est plutôt placé
à une distance  (à gauche ou à droite) de celui s'y trouvant déjà.
•
En utilisant cette stratégie de sélection des points d’évaluation,
FN  k 1
dk 
d1
FN
k  2,3,
,N
et il est possible de démontrer que
dN 
FN  N 1
F
d
d1  1 d1  1
FN
FN
FN
est le plus petit intervalle qu’il est possible d’obtenir en utilisant N
points d’évaluations
•
En utilisant cette stratégie de sélection des points d’évaluation,
FN  k 1
dk 
d1
FN
k  2,3,
,N
FN  N 1
F1
d1
dN 
d1 
d1 
FN
FN
FN
Ainsi, lorsque le nombre de points d’évaluation N devient très grand
pour tendre vers l’infini, la suite des valeurs
d   0
k
plus rapidement qu’en utilisant toute autre stratégie.
0
3
8
N=5
{1, 1, 2, 3, 5, 8}
F51
5
d2 
d1 
F5
8
1
5
8
FN 1 F4 5


FN
F5 8
dk 
FN  k 1
d1
FN
k  2,3,
,N
0
2
8
3
8
1
5
8
N=5
{1, 1, 2, 3, 5, 8}
F5 2
3
d3 
d1 
F5
8
dk 
FN  k 1
d1
FN
k  2,3,
,N
0
1
8
2
8
3
8
5
8
1
N=5
{1, 1, 2, 3, 5, 8}
F53
2
d4 
d1 
F5
8
dk 
FN  k 1
d1
FN
k  2,3,
,N
0
1
8
2
8
3
8
1

8
1
5
8
N=5
{1, 1, 2, 3, 5, 8}
F5 4
1
d5 
d1 
F5
8
dk 
FN  k 1
d1
FN
k  2,3,
,N
• Méthode de la section dorée
( nombre d’or τ = 1.618…)
La méthode de la section dorée utilise la même stratégie que la méthode de
Fibonacci pour selectionner les points d’évaluation, mais le nombre de
points d’évaluation n’est pas spécifié au départ.
Pour spécifier les deux premiers points, nous procédons comme dans la
FN 1
méthode de Fibonacci en les prenant symétriques à une distance
d1
FN
de chaque extrémité en considérant que N → ∞.
• La méthode de la section dorée utilise la même stratégie que la méthode de
Fibonacci pour selectionner les points d’évaluation, mais le nombre de
points d’évaluation n’est pas spécifié au départ.
Pour spécifier les deux premiers points, nous procédons comme dans la
FN 1
méthode de Fibonacci en les prenant symétrique à une distance
d1
FN
de chaque extrémité en considérant que N → ∞.
FN 1 1
 .
FN 
Par conséquent les deux premiers points sont choisis symétriquement à
1
une distance d1 de chaque extrémité.
Il est possible de démontrer que lim
N 

• Méthode de bisection (ou de bipartition)
Méthode pour identifier le 0 d’une fonction g(x) sur un intervalle [a, b].
Si g  x   f   x  , alors la méthode de bisection peut être utilisée pour
identifier un point où la dérivée d’une fonction s’annule.
Hypothèse: Sur l’intervalle [a, b], la fonction g est continue et telle que

g(a) g(b) < 0 (i.e., il existe x   a, b où g x  0).
• Principe de la méthode: à chaque itération, réduire la longueur de
l’intervalle contenant x en la divisant en deux.
Étape 0: Soit a et b tel que g  a  g  b   0. Soit  le niveau de tolérance
sur la longueur de l'intervalle contenant la racine x à la fin de
l'algorithme.
ab
le point milieu de l'intervalle  a,b  .

2
Si g  c   0, alors x  c et l'algorithme s'arrête.
Si g  c  g  a   0  i.e., g  c  et g  a  sont de même signe  ,
alors a : c. Autrement b : c.
Étape 1: Soit c 
Étape 2: Si b  a   , l'algorithme s'arrête. Autrement, reprendre l'étape 1.
• Puisque par hypothèse g est continue sur [a, b] et g(a) g(b) < 0,
– g change de signe entre a et b
– g s’annule en un point entre a et b
– la méthode génère une suite d’intervalles de longueur décroissante
jouissant de la même propriété
• La suite des valeurs des longueurs des intervalles est la suivante:
 L L L
 L, , , ,
 2 4 8
,
L
,
n
2



où L  b  a
Étape 0: Soit a et b tel que g  a  g  b   0. Soit  le niveau de tolérance
sur la longueur de l'intervalle contenant la racine x à la fin de
l'algorithme.
ab
le point milieu de l'intervalle  a,b  .

2
Si g  c   0, alors x  c et l'algorithme s'arrête.
Si g  c  g  a   0  i.e., g  c  et g  a  sont de même signe  ,
alors a : c. Autrement b : c.
Étape 1: Soit c 
Étape 2: Si b  a   , l'algorithme s'arrête. Autrement, reprendre l'étape 1.
g
a
c
b
Étape 0: Soit a et b tel que g  a  g  b   0. Soit  le niveau de tolérance
sur la longueur de l'intervalle contenant la racine x à la fin de
l'algorithme.
ab
le point milieu de l'intervalle  a,b  .

2
Si g  c   0, alors x  c et l'algorithme s'arrête.
Si g  c  g  a   0  i.e., g  c  et g  a  sont de même signe  ,
alors a : c. Autrement b : c.
Étape 1: Soit c 
Étape 2: Si b  a   , l'algorithme s'arrête. Autrement, reprendre l'étape 1.
g
a
c
b
Étape 0: Soit a et b tel que g  a  g  b   0. Soit  le niveau de tolérance
sur la longueur de l'intervalle contenant la racine x à la fin de
l'algorithme.
ab
le point milieu de l'intervalle  a,b  .

2
Si g  c   0, alors x  c et l'algorithme s'arrête.
Si g  c  g  a   0  i.e., g  c  et g  a  sont de même signe  ,
alors a : c. Autrement b : c.
Étape 1: Soit c 
Étape 2: Si b  a   , l'algorithme s'arrête. Autrement, reprendre l'étape 1.
g
c
a
b
Étape 0: Soit a et b tel que g  a  g  b   0. Soit  le niveau de tolérance
sur la longueur de l'intervalle contenant la racine x à la fin de
l'algorithme.
ab
le point milieu de l'intervalle  a,b  .

2
Si g  c   0, alors x  c et l'algorithme s'arrête.
Si g  c  g  a   0  i.e., g  c  et g  a  sont de même signe  ,
alors a : c. Autrement b : c.
Étape 1: Soit c 
Étape 2: Si b  a   , l'algorithme s'arrête. Autrement, reprendre l'étape 1.
g
a
b
La suite des valeurs des longueurs d'intervalle est la suivante:
L
 L L L

où L  b  a
 L, , , , , n , 
2
 2 4 8

Le nombre n d'itérations requises pour atteindre une longueur
inférieure ou égale à l :
À la fin de l'itération k la longueur de l'intervalle est
L
egale à k .
2
Si n représente le nombre d'itérations requises, alors
L
L
L
n

l

2


n

log
2 
.
n
2
l
l
Donc en prenant n égale au plus petit entier plus grand ou
L
égale à log 2   , la longueur après n itérations sera
l
inférieure ou égale à l. Ainsi

 L 
n  log 2    .
 l 

• La suite des valeurs des longueurs d’intervalle est la suivante:
 L L L
 L, , , ,
 2 4 8
L
, n,
2



où L  b  a
La suite des longueurs des intervalles converge vers 0:
L
lim
 0.
n
n 
2
La convergence est linéaire avec un rapport de convergence de
L
0
k 1
L 2k 1
2
lim
 lim k 1
 .
k 
k

L
2 L 2

0
2k
1
:
2
Hypothèse g(a) g(b)<0 est essentielle
Étape 0: Soit a et b tel que g  a  g  b   0. Soit  le niveau de tolérance
sur la longueur de l'intervalle contenant la racine x à la fin de
l'algorithme.
ab
 le point milieu de l'intervalle  a,b .
2
Si g  c   0, alors x  c et l'algorithme s'arrête.
Si g  c  g  a   0  i.e., g  c  et g  a  sont de même signe  ,
alors a : c. Autrement b : c.
Étape 1: Soit c 
Étape 2: Si b  a   , l'algorithme s'arrête. Autrement, reprendre l'étape 1.
a
c
b
Hypothèse g(a) g(b)<0 est essentielle
Étape 0: Soit a et b tel que g  a  g  b   0. Soit  le niveau de tolérance
sur la longueur de l'intervalle contenant la racine x à la fin de
l'algorithme.
ab
 le point milieu de l'intervalle  a,b .
2
Si g  c   0, alors x  c et l'algorithme s'arrête.
Si g  c  g  a   0  i.e., g  c  et g  a  sont de même signe  ,
alors a : c. Autrement b : c.
Étape 1: Soit c 
Étape 2: Si b  a   , l'algorithme s'arrête. Autrement, reprendre l'étape 1.
a
c
b
Hypothèse g(a) g(b)<0 est essentielle
Étape 0: Soit a et b tel que g  a  g  b   0. Soit  le niveau de tolérance
sur la longueur de l'intervalle contenant la racine x à la fin de
l'algorithme.
ab
 le point milieu de l'intervalle  a,b .
2
Si g  c   0, alors x  c et l'algorithme s'arrête.
Si g  c  g  a   0  i.e., g  c  et g  a  sont de même signe  ,
alors a : c. Autrement b : c.
Étape 1: Soit c 
Étape 2: Si b  a   , l'algorithme s'arrête. Autrement, reprendre l'étape 1.
a
c
b
Hypothèse g(a) g(b)<0 est essentielle
Étape 0: Soit a et b tel que g  a  g  b   0. Soit  le niveau de tolérance
sur la longueur de l'intervalle contenant la racine x à la fin de
l'algorithme.
ab
 le point milieu de l'intervalle  a,b .
2
Si g  c   0, alors x  c et l'algorithme s'arrête.
Si g  c  g  a   0  i.e., g  c  et g  a  sont de même signe  ,
alors a : c. Autrement b : c.
Étape 1: Soit c 
Étape 2: Si b  a   , l'algorithme s'arrête. Autrement, reprendre l'étape 1.
Uniquement l’intervalle initial
contient la racine
a
b
2.2 Méthode utilisant les dérivées
• Méthode de Newton
Rappel: Formule de Taylor d’ordre n
Il existe un point z entre x et x k tel que
f  x  f  x   f  x
k

k
f ( n 1)  x k 
 n  1!
 x  x  
k
x  x 
k
n 1

f   x k 
2!
x  x 
f (n)  z 
n!
k
2
x  x 
k

n
• Méthode de Newton
Hypothèses: Aux points d'évaluation x k , il est possible d'évaluer
f  x k  , f   x k  , f   x k  , et de plus f   x k   0.
Étant donné un point d'évaluation x k , considérons
l'approximation quadratique suivante de f à x k :
qk  x   f  x   f   x
k
f  x  f  x   f  x
k
k
k
 x  x  
k
 x  x  
z entre x et x k
k
f   x k 
2!
f   z 
2!
x  x 
 x  xk 
k
2
2
qk  x   f  x k   f   x k  x  x k  
f   x k 
2!
qk  x   f  x   f   x k  x k  x k  
k
k
 x  xk 
f   x k 
2!
x
k
2
x
k

2
 f  xk 
qk  x   f   x k   2
qk  x k   f   x k   2
qk
f   x k 
2!
f   x k 
qk  xk   f   xk 
xk
k
k
k
k

x

x

f
x

  
qk  x   f   xk 
f
2!
x  x 
La méthode itérative de Newton determine le prochain point
d'évaluation x k 1 en remplaçant f par qk et en annulant qk  x  :
0  qk  x k 1   f   x k   f   x k  x k 1  x k  
x k 1  x k  
f   xk 
f   x
k


x k 1  x k 
qk
f
xk+1
xk
f   xk 
f   x k 
Convergence de la méthode de Newton
Théorème 2.1: Soit f une fonction possédant des dérivées continues
d'ordre 3. Supposons que x * satisfait les conditions f   x *  0 et
f   x *  0. Si x 0 (le point initial) est choisi suffisemment près de x*,
alors la suite des points  x k  générés par la méthode de Newton
converge vers x * avec un ordre de convergence d'au moins 2.
Preuve. Soient k1  0 et k2  0 tels que f   x *  k1 et f   x *  k2 .
Par continuité de f  et de f , il existe un scalaire 1  0 tel que pour
tout   B1  x *   :   x *  1
f     k1 et f     k2 .
Preuve. Soient k1  0 et k2  0 tels que f   x *  k1 et f   x *  k2 .
Par continuité de f  et de f , il existe un scalaire 1  0 tel que pour
tout   B1  x *   :   x *   1
f     k1 et f     k2 .
Puisque f   x *  0, alors la relation définissant x k 1
k

f
x


k 1
k
x x 
f   x k 
devient
k

f
x
 f   x *


k 1
k
x x 
f   x k 
k

f
x
 f   x *


k 1
k
x  x*  x  x * 
f   x k 
k
k
k


f
x
x

x
*

f
x
 f   x *





k 1
x  x* 
.
k
f   x 
 2.1
x k 1  x* 
f   x k  x k  x *  f   x k   f   x *
.
 2.1
f   x 
Se référant à la formule de Taylor d'ordre 2 appliquée à f ,
il existe un  entre x * et x k tel que
f    
k
k
k
k 2



f  x *  f  x   f  x  x *  x  
x * x 

2!
ce qui s'écrit également
f    
k
k
k
k 2



 f  x   x *  x   f  x   f  x * 
x * x 

2!
ou encore
f    
k
k
k
k 2
f   x  x  x *  f   x   f   x * 
x * x  .

2!
Substituant dans  2.1 ,
1 f    
1 f    
k 1
k 2
k 1
k 2
x  x* 
x * x   x  x * 
x *  x  .  2.2 

k 
k
2 f   x 
2 f   x 
k
1 f    
1 f    
k 2
k 1
k 2
x  x* 
x
*

x

x

x
*

x
*

x
.  2.2 



k 
k
2 f   x 
2 f   x 
Posons maintenant
 2k 
  min 1 , 2  .
k1 

Démontrons maintenant que partant de n'importe lequel point x 0  B  x * ,
nous convergeons vers x * et que la convergence est d'ordre au moins 2.
En effet si x k  x *   , alors
i) le point  dans la formule de developpement de Taylor a la propriété que
  B1  x * , et ainsi (par définition de k1 et k2 )
k 1
Se référant à la formule de Taylor d'ordre 2 appliquée à f ,
il existe un  entre x * et x k tel que
f    
k
k
k
k 2



f  x *  f  x   f  x  x *  x  
x * x 

2!
Convergence de la méthode de Newton
Théorème 2.1: Soit f une fonction possédant des dérivées continues
d'ordre 3. Supposons que x * satisfait les conditions f   x *  0 et
f   x *  0. Si x 0 (le point initial) est choisi suffisemment près de x*,
alors la suite des points  x k  généréspar la méthode de Newton
converge vers x * avec un ordre de convergence d'au moins 2.
Preuve. Soient k1  0 et k2  0 tels que f   x *  k1 et f   x *  k2 .
Par continuité de f  et de f , il existe un scalaire 1  0 tel que pour
tout   B1  x *   :   x *  1
f     k1 et f     k2 .
1 f    
1 f    
k 2
k 1
k 2
x  x* 
x
*

x

x

x
*

x
*

x
.  2.2 



k 
k
2 f   x 
2 f   x 
Posons maintenant
 2k 
  min 1 , 2  .
k1 

Démontrons maintenant que partant de n'importe lequel point x 0  B  x * ,
nous convergeons vers x * et que la convergence est d'ordre au moins 2.
En effet si x k  x *   , alors
i ) le point  dans la formule de developpement de Taylor a la propriété que
  B1  x * , et ainsi (par définition de k1 et k2 )
f      k1 et f      k2 .
k 1
Puisque x k  x *   , alors également x k  B1  x * et
f   x k   k1 et f   x k   k2 .
Substituant dans  2.2  ,
1 k1
k 1
k 2
x  x* 
x * x  ;

2 k2
 2k 2 
  min 1 ,

k
1 

En effet si x k  x *   , alors
i ) le point  dans la formule de developpement de Taylor a la propriété que
  B1  x * , et ainsi (par définition de k1 et k2 )
f      k1 et f      k2 ,
Puisque x k  x *   , alors également x k  B1  x * et
f   x k   k1 et f   x k   k 2 .
Substituant dans  2.2 
x
k 1
1 k1
k 2
 x* 
x * x  ;

2 k2
ii ) également
2k 2
x  x*   
k1
k
x
k 1
1 k1
k 2
 x* 
x * x  ;

2 k2
ii ) également
2k 2
x  x*   
k1
et par conséquent
1 k1
k
x  x*
 1.
2 k2
Il s'ensuit que
1 k1
1 k1
k 1
k 2
k
k
x  x* 
x * x  = x  x * x  x *

2 k2
2 k2
x k 1  x *  x k  x * ,
et la méthode converge.
De plus, la convergence est d'ordre au moins 2 puisque
x k 1  x * 1 k1

.
k 2
2 k2
x * x
k
• Note: hypothèse f   x *  0 assure que x * est un maximun ou un
minimum de f , et qu'il est possible d'utiliser un k2  0.
• Méthode également utilisée pour déterminer un point où la fonction
s’annule. Il suffit de considérer la fonction g  x   f   x 
f
x k 1  x k 
g
f   xk 
f   x k 
x k 1  x k 
g  xk 
g   xk 

g  xk 
g   xk 
ou encore
g   xk  
g  xk   0
x k  x k 1
 x k  x k 1
f
x k 1  x k 
g
f   xk 
x k 1  x k 
f   x k 
g  xk 
g   xk 
ou encore
g   xk  
x k  x k 1
Interprétation géométrique:
g
g   xk 
g  xk 
g  xk   0
x k 1 choisi de telle sorte que
de la droite passant par les


points x k , g  x k  et  x k 1 , 0 
a pour pente g   x k  , celle de
x k 1
xk
g au point x k .
xk 1 à l'intersection de l'axe des x et la tangente de g au point xk
• Importance de l’hypothèse que x0 soit suffisemment près de x*
g
x1
x0
• Importance de l’hypothèse que x0 soit suffisemment près de x*
g
x1
x 02
x
• Importance de l’hypothèse que x0 soit suffisemment près de x*
g
x13
x
x2
• Importance de l’hypothèse que x0 soit suffisemment près de x*
g
x3
x 24
x
• Importance de l’hypothèse que x0 soit suffisemment près de x*
g
x 2 k 1
x2k
• Importance de l’hypothèse que x0 soit suffisemment près de x*
g
x
2 k 1
x2k 2
• Méthode de la fausse position
Hypothèses: Aux points d'évaluation x k , il est possible d'évaluer
f  xk  , f   xk .
Étant donné un point d'évaluation x k , considérons
l'approximation quadratique suivante de f à x k
ne nécessitant pas la connaissance de f   x k  :
k 1
k


f
x

f
x




1
k
k
k
k 2
qk  x   f  x   f   x  x  x  
xx 

k 1
k
2
x x
f  x   f  x k   f   x k  x  x k  
z entre x et x k
f   z 
2!
x  x 
k
2
qk  x   f  x k   f   x k  x  x k  
f   x k 
2!
x  x 
k
2
La fonction
k 1
k


f
x

f
x



 x  xk 2
1
qk  x   f  x k   f   x k  x  x k  


2
x k 1  x k
a les propriétés
k 1
k


f
x

f
x




1
k
k
k
k
k
k
k 2
i ) qk  x   f  x   f   x  x  x  
x x 

k 1
k
2
x x
qk  x k   f  x k 
ii )
qk  x   f   x k  
qk  x k   f   x k  
qk  x k   f   x k 
iii ) qk  x k 1   f   x k  
qk  x k 1   f   x k 1 
f   x k 1   f   x k 
x k 1  x k
f   x k 1   f   x k 
x  x 
x k 1  x k
f   x k 1   f   x k 
x k 1  x k
k
x
k
x
 xk 
k 1
 xk 
La méthode itérative de la fausse position determine le prochain point
d'évaluation x k 1 en remplaçant f par qk et en annulant qk  x  :
k 1
k


f
x

f
x




1
k
k
k
k 2

qk  x   f  x   f  x  x  x  
xx 

k 1
k
2
x x
k 1
k


f
x

f
x




k
k


qk  x   f  x  
x

x


k 1
k
x x
k 1
k


f
x

f
x




k 1
k
k 1
k
0  qk  x   f   x  
x

x



k 1
k
x x
k 1
k


x

x
k 1
k
k
x  x   f  x  

k 1
k 
 f   x   f   x  


x k 1  x k
k 1
k
k
x  x  f  x  
k 1
k 
 f   x   f   x  
Convergence de la méthode
de la fausse position
Théorème 2.2: Soit f une fonction possédant des dérivées continues
d'ordre 3. Supposons que x * satisfait les conditions f   x *  0 et
f   x *  0. Si x 0 et x1 (les points initiaux) sont choisis suffisemment près de x*,
alors la suite des points  x k  générés par la méthode de la fausse position
converge vers x * avec un ordre de convergence égal à  =1.618 (le nombre d'or).
Preuve: voir le livre de Luenberger p. 222.
Méthode également utilisée pour déterminer un point où la fonction s'annule.
Il suffit de considérer la fonction g  x   f   x 
f
k 1
k


x

x
k 1
k
k
x  x  f  x  
k 1
k 


f
x

f
x
   
 
g
k 1
k
k 1
k




x

x
x

x
k 1
k
k
k
k
k 1
x  x  g x 

g
x

x

x





k 1
k
k 1
k
g
x

g
x
g
x

g
x







 



ou encore
g  xk   0
x k  x k 1
 g  x k 1   g  x k  


k 1
k
x

x


g
k 1
k


x

x
k 1
k
k
x  x  g x 
k 1
k 
 g  x   g  x  
ou encore
g  xk   0
x k  x k 1
 g  x k 1   g  x k  


k 1
k
x x


Interprétation géométrique:
g  xk 1 
x k 1 choisi a l'intersection
de la droite passant par les

g  xk 
et de l'axe des x.
x k 1 x k
 
points x k , g  x k  et x k 1 , g  x k 1 
g
x k 1

• Importance de l’hypothèse que x0 et x1 soit suffisemment près de x*
g
x1
x0