TP 4 Octave - Université Paul Sabatier

Université Paul Sabatier L3 Informatique Scientifique
Filières Méca. / G.Méca. / G. Civil / G. Ener. 2016-2017
Travaux Pratiques n°4
Octave / Matlab
durée : 2h00 — Florian Bugarin, David Lo Jacono.
Exercice 1 : Dichotomie
Rappels :
La dichotomie est un algorithme classiquement utilisé pour la recherche des racines (ou du mini-
mum) d’une fonction. On rappelle que si f:R→Rest une fontion continue, x0∈Rest une racine
de fsi et seulement si f(x0)=0. Le principe de la dichotomie consiste à prendre un intervalle de
départ contenant une racine x0, puis à le découper en deux et à conserver l’intervalle où l’on sait
que se trouve une solution. L’intervalle ainsi obtenu est ensuite découpé en deux à son tour et ainsi
de suite. L’algorithme produit ainsi une suite d’intervalles emboîtés de plus en plus petits contenant
x0. L’algorithme s’arrête lorsqu’il obtient un encadrement satisfaisant de x0. La difficulté principale
consiste donc à s’assurer, lors de chaque itération, que la racine est contenue dans l’intervalle courant.
Ceci peut être détecté à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires : soit f:R→Run couple
(a, b)∈R2tel que 0∈[f(a), f(b)], alors il existe x0∈[a, b]tel que f(x0) = 0.
De manière schématique, la dichotomie fonctionne de la manière suivante :
1 soit une fonction f:R→Rcontinue et un couple (a0, b0)∈R2tel que 0∈[f(a0), f(b0)]
2 si 0∈f(a0), f a0+b0
2 alors a1←a0et b1←a0+b0 2
3 si 0∈fa0+b0
2, b1alors a1←a0+b0 2et b1←b0
4 on ré-exécute les lignes précédentes avec le couple de réels (a1, b1).
Aide : 0appartient à un intervalle [u, v]si u.v < 0.
Questions :
On considère la fonction f=e3x−x2, créer une fonction dichotomie.m qui prend en entrée :
— les valeurs d’un intervalle [a0, b0]
—nle nombre d’itérations
et qui renvoie en sortie :
—0et un message d’erreur si une racine x0/∈[a0, b0]
— la valeur approchée de x0après nitérations si x0∈[a0, b0]
Modifier ensuite cette fonction afin de donner la valeur approchée de la racine lorsque |ai−bi|6ε, où
εsera alors une variable d’entrée de la nouvelle fonction.

Exercice 2 : Câble en traction
Questions :
On considère un câble de longueur Let de section rectangulaire a×bencastré à son extrémité
supérieure. Ce dernier est soumis à son propre poids ainsi qu’à une force Fappliquée à son extrémité
inférieure.
L’utilisateur doit fournir les données suivantes :
— les différents paramètres matériau du câble :
— la contrainte limite en traction σlim (en MPa)
— le module d’élasticité E(en MPa)
— la masse volumique en γ(en kN/m3)
— les caractéristiques géométriques du câble : a,b, et L
— les paramètres de chargement : F(en kN)
Le but est d’écrire un algorithme pour calculer le déplacement u(x), où xest une abscisse fournie par
l’utilisateur. Un tel programme s’appelle un schéma numérique. Il est basé sur la discrétisation du câble
en kintervalles sur lesquels le calcul s’effectue de proche en proche.
Rappels :
On rappelle que, théoriquement, le déplacement est égal à :
u(X) = ZX
0
εx(x)dx
avec :
εx(x) = σx(x)
S
σx(x) = N(x)
S
N(x) = γ.a.b.(L−x) + F
Pour déterminer effectivement les déplacements, il faut calculer le schéma numérique suivant :
u(Xi) = u(Xi−1) + ZXi
Xi−1
N(x)
ES dx
On rappelle enfin que le calcul d’une intégrale se fait généralement avec la méthode dite des trapèzes ;
ici, pour l’intégrale de la formule précédente, on a :
ZXi
Xi−1
N(x)
ES dx =(N(Xi)−N(Xi−1))(Xi−Xi−1) 2ES
2