TP 4 Octave - Université Paul Sabatier

Université Paul Sabatier
Filières Méca. / G.Méca. / G. Civil / G. Ener.
L3 Informatique Scientifique
2016-2017
Travaux Pratiques n°4
Octave / Matlab
durée : 2h00 — Florian Bugarin, David Lo Jacono.
Exercice 1 : Dichotomie
Rappels :
La dichotomie est un algorithme classiquement utilisé pour la recherche des racines (ou du minimum) d’une fonction. On rappelle que si f : R → R est une fontion continue, x0 ∈ R est une racine
de f si et seulement si f (x0 ) = 0. Le principe de la dichotomie consiste à prendre un intervalle de
départ contenant une racine x0 , puis à le découper en deux et à conserver l’intervalle où l’on sait
que se trouve une solution. L’intervalle ainsi obtenu est ensuite découpé en deux à son tour et ainsi
de suite. L’algorithme produit ainsi une suite d’intervalles emboîtés de plus en plus petits contenant
x0 . L’algorithme s’arrête lorsqu’il obtient un encadrement satisfaisant de x0 . La difficulté principale
consiste donc à s’assurer, lors de chaque itération, que la racine est contenue dans l’intervalle courant.
Ceci peut être détecté à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires : soit f : R → R un couple
(a, b) ∈ R2 tel que 0 ∈ [f (a), f (b)], alors il existe x0 ∈ [a, b] tel que f (x0 ) = 0.
De manière schématique, la dichotomie fonctionne de la manière suivante :
1 soit une fonction f : R → R continue et un couple (a0 , b0 ) ∈ R2 tel que 0 ∈ [f (a0 ), f (b0 )]
a0 + b0
a0 + b0
2 si 0 ∈ f (a0 ), f
alors a1 ← a0 et b1 ←
2
2
a0 + b0
a0 + b0
3 si 0 ∈ f
, b1 alors a1 ←
et b1 ← b0
2
2
4 on ré-exécute les lignes précédentes avec le couple de réels (a1 , b1 ).
Aide : 0 appartient à un intervalle [u, v] si u.v < 0.
Questions :
On considère la fonction f = e3x − x2 , créer une fonction dichotomie.m qui prend en entrée :
— les valeurs d’un intervalle [a0 , b0 ]
— n le nombre d’itérations
et qui renvoie en sortie :
— 0 et un message d’erreur si une racine x0 ∈
/ [a0 , b0 ]
— la valeur approchée de x0 après n itérations si x0 ∈ [a0 , b0 ]
Modifier ensuite cette fonction afin de donner la valeur approchée de la racine lorsque |ai − bi | 6 ε, où
ε sera alors une variable d’entrée de la nouvelle fonction.
Exercice 2 : Câble en traction
Questions :
On considère un câble de longueur L et de section rectangulaire a × b encastré à son extrémité
supérieure. Ce dernier est soumis à son propre poids ainsi qu’à une force F appliquée à son extrémité
inférieure.
L’utilisateur doit fournir les données suivantes :
— les différents paramètres matériau du câble :
— la contrainte limite en traction σlim (en MPa)
— le module d’élasticité E (en MPa)
— la masse volumique en γ (en kN/m3)
— les caractéristiques géométriques du câble : a, b, et L
— les paramètres de chargement : F (en kN)
Le but est d’écrire un algorithme pour calculer le déplacement u(x), où x est une abscisse fournie par
l’utilisateur. Un tel programme s’appelle un schéma numérique. Il est basé sur la discrétisation du câble
en k intervalles sur lesquels le calcul s’effectue de proche en proche.
Rappels :
On rappelle que, théoriquement, le déplacement est égal à :
X
Z
u(X) =
εx (x)dx
0
avec :
σx (x)
S
N (x)
σx (x) =
S
N (x) = γ.a.b.(L − x) + F
εx (x) =
Pour déterminer effectivement les déplacements, il faut calculer le schéma numérique suivant :
Z
Xi
u(Xi ) = u(Xi−1 ) +
Xi−1
N (x)
dx
ES
On rappelle enfin que le calcul d’une intégrale se fait généralement avec la méthode dite des trapèzes ;
ici, pour l’intégrale de la formule précédente, on a :
Z
Xi
Xi−1
N (x)
(N (Xi ) − N (Xi−1 ))(Xi − Xi−1 )
dx =
ES
2ES
2