triangles semblables

Les triangles semblables
~
Les triangles semblables possèdent les propriétés suivantes:
- mêmes formes;
- mêmes mesures d’angles homologues;
- rapports des côtés homologues proportionnels.
Des triangles sont semblables si et seulement si ils possèdent à la fois ces
trois conditions.
Propriété CCC : Deux triangles possédant 3 paires de côtés
homologues proportionnels sont semblables.
A
D
5 cm
4 cm
10 cm
8 cm
B
3 cm
C
E
m AB
m DE
4
8
=
=
m BC
m EF
3
6
=
=
F
6 cm
m AC
m DF
5
10
=
1
2
Remarque: CCC est une abréviation; chaque C signifie une paire de côtés
homologues proportionnels.
Propriété CAC :
Deux triangles possédant 1 paire d’angles homologues
isométriques compris entre 2 paires de côtés homologues
proportionnels sont semblables.
Construisons deux triangles ayant une paire d’angles homologues congrus
compris entre deux paires de côtés homologues proportionnels
E
B
500
A
BAC ~
=
C
8 cm
EDF
F
de plus m ED
m AB
7,5
5
Remarque:
500
=
=
12 cm
D
m FD
m AC
12
8
=
3
2
CAC est une abréviation; chaque C signifie une paire de côtés
homologues proportionnels et le A signifie une paire d’angles
homologues isométriques.
Propriété AA:
Deux triangles possédant au moins deux paires d’angles
homologues isométriques sont semblables.
Construisons deux triangles ayant deux paires d’angles homologues
isométriques.
700
500
700
500
On ne pourrait donc pas fermer les triangles autrement.
Remarque: Pour démontrer que cette propriété assure des triangles semblables, il n’est
pas nécessaire de démontrer la 3e paire d’angles homologues isométriques
puisque la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800.
Il est donc certain que cette 3e paire d’angles homologues sont isométriques.
Problèmes: Démontre que les triangles suivants sont semblables.
B
A
Le
∆ ABC
et le
∆ BDC .
C
D
Affirmations
1) m
ABC = 900 et m
2) m
BCD = m
3)
∆ ABC
~
BCA
∆ BDC
BDC = 900
Justifications
1) Les triangles sont rectangles.
2) Il est commun aux deux triangles .
3) AA
Démontre que les triangles suivants sont semblables.
E
D
5,2
C
3
4,2
Le
∆ ECD
et le
∆ ACB .
7,28
A
B
Affirmations
1)
m CA
=
m CD
2) m
3)
ECD = m
∆ ECD
~
m CB
m CE
ACB
∆ ACB
Justifications
1)
4,2
3
=
7,28
5,2
= 1,4
2) Angles opposés par le sommet .
3) CAC
Démontre que les triangles suivants sont semblables.
D
Le
A
6
B
1)
et le
∆ ABC .
C
Affirmations
m AD
m BC
2)
∆ ADC
=
m DC
m AC
∆ ADC ~ ∆ ABC .
=
Justifications
m AC
m AB
1)
10,625
8,5
2) CCC
=
7,5
6
=
6
4,8
= 1,25
Démontre que les triangles suivants sont semblables.
D
Le
∆ AED
et le
∆ ACB .
B
A
E
C
Affirmations
1) m
ACB = 900 et m
2) m
A=m
3)
∆ AED
~
A
∆ ACB
AED = 900
Justifications
1) Les triangles sont rectangles.
2) Il est commun aux deux triangles .
3) AA
Démontre que les triangles suivants sont semblables.
D
15
Le
∆ ABC
et le
∆ ACD .
C
12
A
B
16
Affirmations
1) m AC =
1) m AC = 20
2) m
3)
ABC = 900 et m
m AC
m AB
4)
=
Justifications
m DC
m CB
∆ ABC ~ ∆ ACD .
ACD = 900
( m AB )2 + ( m CB )2
2) Les triangles sont rectangles.
3)
20
16
4) CAC
=
15
12
= 1,25
B
Dans la figure suivante, les triangles SAP et BDP
sont semblables.
Détermine les mesures des segments AP et PD.
S
15
Posons les expressions algébriques pour
représenter les segments AP et PD
9
Établissons les rapports des segments
homologues:
A
m SA
m BD
=
m AP
9
m PD
15
=
(18 – x)
x
P
18
x
(18 – x)
9 (18 – x) = 15x
162 – 9x = 15x
162 = 24x
6,75 = x
m AP = 6,75
m PD = 18 - 6,75 = 11,25
D