Méthode APR - Université Lille 1
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Journée thématique du GDR IFS « Réduction de modèle en IFS » ENSAM – Jeudi 18 mai 2006 Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Validation de l’approche de la réduction a priori - POD sur l'équation de Burgers : potentialités et limites Verdon N. *, Hamdouni A. *,Ryckelynck D. **, Allery C. *, Beghein C. * * LEPTAB, Université de La Rochelle ** LMSP, ENSAM Paris 1 Plan de la présentation Plan Problématique Présentation de la méthode Problématique Pourquoi un modèle réduit ? Les limitations de la POD Une alternative : la méthode APR Résultats Présentation de la méthode APR Conclusions et perspectives 2 Les différentes étapes de l’algorithme Le cas test : l’équation de Burgers 1D Présentation Résultats Système dynamique Conclusions et perspectives Problématique Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives 3 Les méthodes actuelles de CFD demeurent encore très coûteuses en temps de calcul (DNS, LES) et limitent le champ d’action des applications industrielles Il faut donc un outil CFD peu coûteux et précis Idée : modèle d’ordre réduit => POD Avantages : – Modes énergétiquement optimaux – Très performant associée à un système dynamique Inconvénients : – Phase d’échantillonnage longue et coûteuse – Manque de flexibilité des paramètres de contrôle Alternative : Méthode APR (A Priori Reduction) Échantillonnage pas nécessaire Evolution dynamique de la base de l’écoulement Présentation de la méthode Plan La méthode APR est une méthode itérative combinant deux techniques largement utilisées en mécanique des fluides : Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives 4 La POD ou décomposition de Karhunen-Loève Les techniques de sous-espace de Krylov Les qualités requises pour l’algorithme sont : Rapidité de calcul Précision de la solution Obtention d’une base de l’écoulement Caractère a priori de la méthode La méthode doit pouvoir s’adapter rapidement aux variations de paramètres de contrôle (nombre de Reynolds, etc..) Initialisation de la base Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives On considère le système non-linéaire suivant : de taille N F (u ) 0 Si l’on considère leh système linéaire suivant : On veut décomposer la vitesse sur une base Yi : Ax b u ( x, t ) ( x).a(t) n Et que l’on définit le i i 1 résidu par : r Ax b Idée : on initialise la base avec un sous-espace de Krylov Le sous-espace de Krylov d’ordre m est défini de la façon suivante : Km r , A.r , A².r ,, Am1.r Pour un système non-linéaire, ce sous-espace est construit à partir de la jacobienne J du système : 5 0 r 0 , J .r 0 , J ².r 0 ,, J m1.r 0 Projection des équations, résolution et reconstruction Plan On a l’expression de la vitesse sur la base Yi (Krylov) : n u ( x, t ) i ( x).a(t) Problématique i 1 Présentation de la méthode Résultats u .a où encore en notation matricielle : (Y de taille N x n) Le système d’équation est ensuite projeté : Conclusions et perspectives ou encore : T .Fh (.a ) 0 f (a ) 0 de taille n << N nouvelles inconnues : coefficients temporels a(t) déterminés par Newton-Raphson par exemple La solution est alors reconstruite : n 6 ur ( x, t ) i ( x).a(t) i 1 Adaptation de la base Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Elle comprend deux étapes principales : Une phase d’amélioration de la base existante Collection des données temporelles Décomposition de Karhunen-Loève sur ces données Amélioration de la base Une phase d’expansion de la base améliorée 7 Résidu calculé à chaque pas de temps Choix du résidu à conserver Calcul de vecteurs de base à rajouter (Krylov) Phase d’amélioration : formulation du problème Plan Les coefficients temporels sont stockés à chaque pas de temps : Problématique Présentation de la méthode E a(t1 ), a(t2 ), , a(tM ) où M est le nombre de pas de temps Résultats Conclusions et perspectives On réalise une décomposition de Karhunen-Loève sur cet ensemble Le problème à résoudre s’écrit : Où C est la matrice de covariance n x n définie par : 8 C M Cij ai (t k ).a j (t k )T k 1 Phase d’amélioration : sélection des modes propres Plan Problématique Présentation de la méthode On obtient alors n valeurs propres solutions du problème rangées dans l’ordre décroissant : 1 2 n Résultats Conclusions et perspectives Sélection des h valeurs propres significatives , ,, 1 2 On forme la matrice d’amélioration V dont les colonnes sont les h vecteurs propres conservés 9 La base est enfin améliorée : ~ V (de taille N x h) Phase d’expansion Plan Les résidus sont calculés à chaque pas de temps : Problématique r k Fh (ur (tk )) Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Ne satisfait plus le critère de convergence Choix du résidu Résidu conservé = résidu du pas de temps tK rK Formation de l’espace de Krylov correspondant : exp r K , J .r K , J ².r K ,, J m1.r K 10 Formation de la nouvelle base Plan La nouvelle base est alors formée de : La base améliorée Problématique ~ V Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives La base obtenue par expansion avec sous-espace de Krylov exp r K , J .r K , J ².r K ,, J m1.r K 11 Nouvelle base pour l’itération suivante : ~ , exp Algorithme global Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Problème initial discrétisé Initialisation de la base Fh (u ) 0 0 r 0 , J .r 0 , J ².r 0 ,, J m1.r 0 Amélioration Mise ~ à jour de la base V ur ( x, t ) solution du problème Expansion ~ K exp r K , J .rK , J ².,r ,exp , J m1.r K OK pas OK Critère de convergence 12 Projection des équations f (a ) 0 Résolution du système réduit et reconstruction de la solution complète n ur ( x, t ) i ( x).a(t) i 1 Cas-test : Equation de Burgers 1D Plan Problématique Présentation de la méthode Rappel de l’équation : Conditions aux limites et conditions initiales Résultats Conclusions et perspectives u 2u u 2 u t x x u ( x,0) sin( x) x ]0,1[ u (0, t ) u (1, t ) 0 t 0 Solution analytique u ( x, t ) 2 a e n 1 n 2 2 t n a0 an e n sin( n x) n 2 2 t cos( n x) n 1 avec 0 13 a0 exp (2 ) 11 cos( x) dx 1 an 2 exp (2 ) 11 cos( x) cos(n x)dx 1 0 Résultats : solution de référence Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives 0.1 Résultat qualitatif correct 14 Calcul de l’erreur Plan Méthode Problématique Newton-Raphson A Priori Reduction 5.38e-3 5.43e-3 N 50 Présentation de la méthode 60 L’erreur est calculée 4.46e-3 en norme L2 : 4.51e-3 Résultats 70 Conclusions et perspectives 15 80 3.81e-3 e max ur ( x, t ) u( x, t ) tT 3.32e-3 3.86e-3 L2 3.37e-3 90 2.95e-3 3.0e-3 100 2.64e-3 2.69e-3 150 1.74e-3 1.79e-3 200 1.29e-3 1.34e-3 Comparaison des temps de calcul Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Temps de calcul jusqu’à 100 fois plus faible 16 Evolution avec la viscosité Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives 10 4 La méthode APR fournit la même solution que Newton-Raphson 17 Système dynamique Plan Après calcul, on dispose d’une base Y de l’écoulement La vitesse est décomposée sur cette base de la façon suivante : n ur ( x, t ) i ( x).a(t) Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives i 1 Idée : on construit un système dynamique comme avec la base POD Cas de l’équation de Burgers 1D Équation récrite en utilisant la décomposition de la vitesse : n d j dai d 2 i n n i ai ai a j i 2 dx dx i 1 dt i 1 i 1 j 1 n Après projection sur la base Y, après orthogonalisation des modes : n n n d 2j dai dk i , a i , j a j ak 2 j dt dx dx j 1 j 1 k 1 C Bij ijk Les coefficients B et C sont calculés une fois pour toute, on a juste un système de n équations différentielles à résoudre (RK4, etc..) 18 Calcul très rapide Système dynamique : Résultats Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives L’équation de Burgers est résolue par système dynamique sur 3 secondes à partir de la solution obtenue par la méthode APR sur 0.1 secondes e ≈ 2.5e-3 => précision du même ordre de grandeur que dans l’échantillonage 19 Travaux en cours Plan L’algorithme est en train d’être implémenté sur le code Volumes Finis 2D CAFFA (Peric&Ferziger) Problématique L’exemple choisi est la cavité entraînée : Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives Validations préalables : U u=U,v=0 Re=400 Re=16000 u=0,v=0 20 u=0,v=0 u=0,v=0 Travaux en cours Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives MODIFICATIONS Algorithme employé APPORTEES par CAFFA PAR LA METHODE APR 1. Détermination d’une base de Équations de Navier-Stokes : U=(u,v) l’écoulement et résolution du div (U ) 0 système par la méthode APR N U 1 u r ( x, t ) i ( x).a(t) U U U grad P dt i 1 Initialisation des variables Linéarisation des équations v r ( x, t ) Résolution du système algébrique (écrit en flux) APP Anbnb Q N ( x).a(t) i 1 i nb E, W, N, S nb => on détermine les composantes u et v Traitement de la pression : résolution de l’équation de Poisson : 2. Projection de la pression P f ( u , v ) 21 n P( x, t ) i( x).b(t ) i 1 Conclusions Plan Problématique Présentation de la méthode Résultats Conclusions et perspectives 22 L’algorithme de réduction a priori possède de nombreuses qualités : Rapidité de calcul Précision du résultat peu altérée Fournit une base de l’écoulement Potentialités : Couplé à un système dynamique, il permet d’obtenir une solution précise sur des temps bien plus long que celui nécessaire pour construire la base Le gain de temps devrait être encore plus intéressant en 2D Limites : Le traitement du terme de pression va poser des problèmes Choix de la base de projection pour la pression important Un problème de stockage va intervenir lorsque l’on échantillonne les vecteurs solutions de l’équation réduite
