Méthode APR - Université Lille 1

Plan
Problématique
Présentation
de la méthode
Conclusions et
perspectives
Résultats
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Journée thématique du GDR IFS
« Réduction de modèle en IFS »
ENSAM –Jeudi 18 mai 2006
Validation de l’approche de la réduction a
priori - POD sur l'équation de Burgers :
potentialités et limites
Verdon N. *, Hamdouni A. *,Ryckelynck D. **, Allery C. *, Beghein C. *
* LEPTAB, Université de La Rochelle
** LMSP, ENSAM Paris

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Plan
Problématique
Présentation
de la méthode
Résultats
Conclusions et
perspectives
Plan de la présentation
Problématique
Pourquoi un modèle réduit ?
Les limitations de la POD
Une alternative : la méthode APR
Présentation de la méthode APR
Les différentes étapes de l’algorithme
Le cas test : l’équation de Burgers 1D
Présentation
Résultats
Système dynamique
Conclusions et perspectives
Plan

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Plan
Problématique
Présentation
de la méthode
Résultats
Conclusions et
perspectives
Problématique
Les méthodes actuelles de CFD demeurent encore très
coûteuses en temps de calcul (DNS, LES) et limitent le champ
d’action des applications industrielles
Il faut donc un outil CFD peu coûteux et précis
Idée : modèle d’ordre réduit => POD
Avantages :
–Modes énergétiquement optimaux
–Très performant associée à un système dynamique
Inconvénients :
– Phase d’échantillonnage longue et coûteuse
–Manque de flexibilité des paramètres de contrôle
Alternative : Méthode APR (A Priori Reduction)
Échantillonnage pas nécessaire
Evolution dynamique de la base de l’écoulement
Problématique

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Plan
Problématique
Présentation
de la méthode
Résultats
Conclusions et
perspectives
Présentation de la méthode
La méthode APR est une méthode itérative combinant deux
techniques largement utilisées en mécanique des fluides :
La POD ou décomposition de Karhunen-Loève
Les techniques de sous-espace de Krylov
Les qualités requises pour l’algorithme sont :
Rapidité de calcul
Précision de la solution
Obtention d’une base de l’écoulement
Caractère a priori de la méthode
La méthode doit pouvoir s’adapter rapidement aux
variations de paramètres de contrôle (nombre de Reynolds,
etc..)
Présentation
de la méthode

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Plan
Problématique
Présentation
de la méthode
Résultats
Conclusions et
perspectives
Pour un système non-linéaire, ce sous-espace est
construit à partir de la jacobienne Jdu système :
Initialisation de la base
bAx 
rArArAr m.,,².,., 1 mK
bAxr
Présentation
de la méthode Si l’on considère le système linéaire suivant :
Et que l’on définit le résidu par :
Le sous-espace de Krylov d’ordre mest défini de la façon suivante :
010000 .,,².,., rJrJrJr m
0)u( 
h
F
On considère le système non-linéaire suivant :
On veut décomposer la vitesse sur une base Yi:
de taille N
 n
iixtxu 1a(t)).(),(
Idée : on initialise la base avec un sous-espace de Krylov