propriétés du triangle

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1.DONNÉESETNOTATIONS
¤3points ,,nonalignésd’unplana¢neeuclidien orientédefaçonàceque(
¡¡!
¡!  )soitdirecte.
¤,,,sommetsdutriangle  ;lesmêmeslettresdésignentlesmesuresdans [0]desanglesen ,,.
¤[][],[]lescôtés,delongueursrespectives ,,.
¤2=++,périmètredutriangle.
¤,airedutriangle.
¤,,,milieuxde[],[],[];cesontlespiedsdesmédianesissuesde ,,.
¤,,projetésorthogonauxde ,,sur(),()et();cesontlespiedsdeshauteurs(),
()et().
¤=
= =.
2.RELATIONSFONDAMENTALES
Unastérisque (¤)signi…equ’ilya2autresrelationsquis’obtiennentparpermutationdespoints.
Inégalitétriangulaire(quiestuneCNSd’existencedutriangle):
j¡j+(¤) 1
++=2
d’où
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
cos +cos +cos =1+4sin 
2sin  2sin  2
sin +sin +sin =4cos 
2cos  2cos  2
tan +tan +tan =tan tan tan 
tan 
2tan  2+tan  2tan  2+tan  2tan  2=1
=cos +cos (¤) 4
¯¯¯¯¯¯¯
cos =2+2¡2
2 (¤) 5 (formuled’AlKashi)
sin =2
 p(¡)(¡)(¡)(¤) 6 (formuledeHéron)
(¤) =1
2
(¤)
=1
2 sin =p(¡)(¡)(¡) 7
Laloidessinus:
sin = sin = sin = 28
Lesformulesdelamédiane:
9¯
¯
¯
¯
¯
2+ 2=1
2
2+22
(¤)
2¡2=2
(¤)
Indicationsdedémonstration:
1Utiliserlesconditionsd’intersectionde2cercles.
2Considérerla…gure:
4Projetersur().
5Résoudreen cos lesystèmeobtenudans 4oucalculer ³¡¡!  +¡! ´2
6Utiliser sin2=1¡cos2.
1
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7Pourlapremièreégalité,considérerla…gure:
Pourladeuxièmeégalité,utiliser sin =
=2  oubien ¡¡!
 ^¡!  =¡¡! ^¡¡!
8Sedéduitde 7.
9Utiliser 2=³¡¡! +¡¡!  ´ 2et 2=³¡¡! +¡¡! ´ .
3.TRIANGLESISOCÈLES
PROP =() =(utiliser 5)
DEFUntriangleestdit isocèle s’ila2cotés(ou2angles)égaux, équilatéral,s’ilatroiscôtéségaux(donc3anglesde
mesure 
3).
4.TRIANGLESRECTANGLES
PROP:=
2()  2= 2+ 2(théorèmedePythagore)
DEFUntriangleestdit rectangle s’ilaunangledroit.
5.CASD’ÉGALITEDESTRIANGLES
Ondevraitdirecasd’isométrie destriangles.
PROP:pour  et 0002triangles,lespropositionssuivantessontéquivalentes :
(a) 92()()=
0
()=
0
()=
0
(b) =0 =
0
 =
0
(c) =0=
0
=
0¤¤
(d) =0 =
0
 =
0¤¤
Dansletempsondisait,2trianglessontégauxs’ilsont3côtéscorrespondantségaux,ou2côtéségauxetunangle
égalou2angleségauxetuncotéégal.
Indication:démontrer ())())())())().
Les3dernièresimplicationsutilisentlesformules 5;pour 4)1utiliserlarotation telleque ()=
0et
¡!
(¡¡! )=¡¡¡!  00etcomposeréventuellementavecunesymétrie.
6.CASDESIMILITUDEDESTRIANGLES
PROP:pour  et 0002triangles,lespropositionssuivantessontéquivalentes:
(a) 92()()=
0
()=
0
()=
0
(b) 
0= 0= 0
(c) =0 =
0
 =0
Indication:prouver ())())()(utiliserlesformules 5);pour ())(),utiliserlescasd’égalité.
7.POINTSREMARQUABLESDUTRIANGLE
(a)Lesmédianessontconcourantesau centredegravité de .Ona¡!  =2
3
¡¡!
;estaussilepointrendant
minimumlafonctionscalairedeLeibniz:
()=2+2+2
(b)Lestroishauteurssontconcourantesenl’orthocentre dutriangle;utiliserparexemple:
82¡¡! ¡¡!  +¡¡! ¡!  +¡¡! ¡¡!  =0
(c)Centreducerclecirconscrit.
2
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i.Ilexisteununiquepoint équidistantdestroissommets;c’estlepointdeconcoursdesmédiatricesdestrois
côtés,etc’estlecentreducerclecirconscrit ()autriangle;onappelle 0
0 0lespointsdiamétralement
opposésà.
ii.Sachantque d (00 )=(théorèmedel’arccapable)montrerque sin =
2d’où:
sin = sin = sin =210
 =4 11
=
4p(¡)(¡)(¡)=
sin +sin +sin 12
=2
2sin sin sin 13
iii. estl’orthocentredutriangle .
iv. estlemilieude[
0
](¤)
v.Lessymétriquesorthogonauxdel’orthocentreparrapportauxcôtésappartiennentaucerclecirconscrit.
(Indication:si estlasymétrieorthogonaleparrapportà()montrerque (0)=etregarder
¡!
³¡¡¡¡! ()´oubienmontrerque d ()= d ()= d (()())).
(d)Centreducercleinscrit.
i.Ilexisteununiquepoint équidistantde ()()();cepointestlepointdeconcoursdes3bissectrices
intérieuresdesanglesgéométriquesdutriangle;appelons  lesprojetésorthogonauxde surlescôtés
[][][];onpose  = = =;lecercle ()decentre etderayon estle cercleinscrit
dansletriangle.
ii.Enajoutantlesairesdestriangles , et ,montrerque
= 14
iii.Montrerque  = =¡(¤)(poser = = et = etcalculer +++)
iv.Endéduire 2enfonction .
v.Soient  lespiedsdesbissectricesissuesde  surlescôtésopposés;montrerque
= = +
(utiliser 10 dans  et ).
8.LIENSENTRE ,et .CERCLEDES9POINTS
Soit l’homothétiedecentre etderapport 1
2;quelestletransformédutriangle  ?Enutilisantlec.duVII.
3.montrerque ()=0etendéduirelefaitque ,et sontalignés:leurdroitecommunes’appelleladroite
d’Eulerdutriangle.Montrer ¡¡!  =2
¡¡!
 .
Soit (0)=(()) ;montrerquesoncentre estlemilieude []etsonrayon 
2;montrerquel’homothétie 0de
centre etderapport 1
2transformeaussi ()en (0).Endéduireque (0)passepar:
(a)lespiedsdesmédianesdutriangle 
(b)lespiedsdeshauteurs
(c)lesmilieuxdessegmentsjoignantchaquesommetàl’orthocentre.
(0)s’appellele cercled’Euler ou cercledes9points dutriangle .
3
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9.COORDONNÉESBARYCENTRIQUESDECESPOINTSREMARQUABLES.
(a)Démontrerque
82det ³¡¡! ¡¡! ´¡¡!  +det ³¡¡! ¡¡! ´¡¡!  +det ³¡¡! ¡¡! ´¡¡!  =¡! 0
Endéduirequelescoordonnéesbarycentriquesde danslerepère ()sont
¯¯¯¯¯¯
aire()
aire()
aire()
(ils’agitdesaires”algébriques”).
(b) apourcoordonnéesbarycentriques ¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
1
1
.Endéduire3trianglesayantlamêmeaire.
(c) apourcoordonnéesbarycentriques ¯
¯
¯
¯
¯
¯
sin 
sin 
sin 
ou ¯
¯
¯
¯
¯
¯
(utiliser1.etlaformule 10 oubienutiliser7.(d).v.
(d) apourcoordonnéesbarycentriques ¯
¯
¯
¯
¯
¯
sin2
sin2
sin2
ou ¯¯¯¯¯¯
cos 
cos 
cos 
(utiliser ¡¡!  ^¡¡!  =2sin2).
(e) apourcoordonnéesbarycentriques ¯
¯
¯
¯
¯
¯
tan 
tan 
tan 
ou ¯¯¯¯¯¯
 cos 
 cos 
 cos 
(utiliser ¡¡!  =2
¡¡!
)
4
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