D - Free

publicité
Enseigner la géométrie
au cycle 3
Mercredi 6 février 2013
A quoi bon enseigner la
géométrie ?
1- Déterminer longueurs, angles, aires,
volumes….parallélisme, orthogonalité,
alignement
2- Travailler sur des représentations (d’objets
réels…ou d’objets mathématiques)
3- Apprendre à raisonner, à démontrer
4- Fournir des outils utiles aux
mathématiques, mais pas seulement!!!!
1- Déterminer des mesures
de grandeurs
étymologie du mot « géométrie »
γη (terre) μετρον (mesure)
Que mesure-t-on?
- longueurs, distances,
- angles,
- aires, superficies,
- volumes…
Longueurs et angles 1
La détermination de la mesure peut
être directe, grâce aux instruments
Longueurs et angles 2
Et si la mesure directe n’est pas possible, ou
n’est pas assez précise?
Quelques exemples:
- La distance, à vol d’oiseau, entre Lille et
Marseille
- La hauteur d’un arbre
- La distance de Paris à New York
Calculer une aire, un volume
Des formules en pagaille
bh
2
1
Ll h
3
 r  h
2
l L
2l  L 
Encore faut-il connaître la nature de
l’objet et ses « dimensions » pour les
utiliser…
2- Travailler sur des
représentations d’objets
mathématiques ou d’objets
réels
Lire un plan,
Construire ou reproduire une figure,
Ecrire un programme de construction,
Représenter un objet de l’espace,
Lire une représentation d’un objet de
l’espace,
Raisonner sur l’objet ou sur sa
représentation…..
3 - Apprendre à raisonner,
à démontrer
- Dans les manuels de CM2 on commence à lire :
« justifie la solution adoptée », « explique
comment tu as fait », dans des problèmes de
construction.
- Le raisonnement déductif est l’enjeu principal de
la formation mathématique au collège.
- Progressivement la démonstration se met en
place en fin de collège, puis au lycée.
- Les élèves développent ainsi des capacités
transférables à bien d’autres domaines que
les mathématiques
4- Fournir des outils utiles
aux mathématiques ….
…..mais pas seulement
- en sciences physiques, plus
précisément en optique
géométrique
- en histoire des arts
L’enseignement de la géométrie, de la
maternelle au collège
• A la maternelle : appropriation de l’espace et des
formes,
• A l’école élémentaire, en cycle 2 : poursuite
de l’appropriation de l’espace et des formes, première
approche d’objets mathématiques et des relations qu’ils
entretiennent (alignement, angle droit, axe de symétrie,
égalité de longueurs…);
Reconnaître, décrire, tracer…….
Utilisation d’un vocabulaire adapté….
L’enseignement de la géométrie, de la
maternelle au collège
• Au cycle 3, « l’objectif principal de l’enseignement de la
géométrie du CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer
progressivement d’une reconnaissance perceptive des objets à
une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de
mesure. » (objectifs généraux du programme).
Les éléments de géométrie dans l’espace et de géométrie plane
sont clairement identifiés. Les objets mathématiques, les relations et
propriétés sont de plus en plus présents ; les figures planes
classiques peuvent alors être définies, leurs propriétés étudiées. On
aborde les premières représentations des solides mathématiques de
l’espace. La modélisation de situations réelles est possible.
Reconnaître, décrire, reproduire, construire une figure, et aussi
vérifier, à l’aide des instruments, la nature d’une figure ; utiliser le
vocabulaire spécifique adapté.
La place des problèmes est soulignée.
L’enseignement de la géométrie, de la
maternelle au collège
Les objectifs généraux en 6ème : À l’école élémentaire, les élèves ont
acquis une première expérience des figures et des solides les plus
usuels, en passant d’une reconnaissance perceptive
(reconnaissance des formes) à une connaissance plus analytique
prenant appui sur quelques propriétés (alignement,
perpendicularité, parallélisme, égalité de longueurs, milieu, axes de
symétrie), vérifiées à l’aide d’instruments. Ils ont été entraînés au
maniement de ces instruments (équerre, règle, compas, gabarit) sur
des supports variés, pour construire des figures, en particulier pour le
tracé de perpendiculaires et de parallèles à l’aide de la règle et de
l’équerre.
Les travaux conduits en sixième prennent en compte les acquis
antérieurs […] et obéissent à de nouveaux objectifs. Ils doivent viser
d'une part à stabiliser les connaissances des élèves et d'autre part à
les structurer.
L’enseignement de la géométrie, de la
maternelle au collège
En sixième la résolution de problèmes a pour objectifs :
- de compléter la connaissance des propriétés des figures planes et
des solides usuels,
- de maîtriser les techniques de construction (utilisation des
instruments et logiciels adaptés, mobilisation des connaissances dans les
raisonnements implicites sous-jacents),
- de reconnaître les figures planes usuelles dans une configuration
complexe,
- de conduire sans formalisme des raisonnements simples utilisant les
propriétés des figures usuelles ou de la symétrie axiale,
- de passer d’un objet de l’espace à ses représentations (et
réciproquement).
En bref….
• Un cycle 2 tourné vers le réel ;
• Un cycle 3 permet de conceptualiser les objets
mathématiques, leurs relations et leurs propriétés, utilise
les outils de construction et de mesure pour construire
des figures ou vérifier leur nature….et aborde, en
géométrie dans l’espace, les premières représentations
des solides ;
• Le collège permet de consolider les acquis du
primaire, de mettre en place, progressivement, la
démonstration pour justifier les propriétés d’une figure (à
partir des données de l’énoncé, du codage des figures
ou de théorèmes) et de raisonner sur des solides à partir
de représentations.
L’école maternelle : le programme
• AGIR ET S’EXPRIMER AVEC SON CORPS
À la fin de l’école maternelle l’enfant est capable de :
……………………………………………..
- se repérer et se déplacer dans l’espace ;
- décrire ou représenter un parcours simple.
• DECOUVRIR LE MONDE
À la fin de l’école maternelle l’enfant est capable de :
…………………………………………………..
- se situer dans l’espace et situer les objets par rapport à soi ;
- se repérer dans l’espace d’une page ;
- comprendre et utiliser à bon escient le vocabulaire du repérage et
des relations dans le temps et dans l’espace.
L’appropriation des formes se fait souvent par des jeux utilisant des
solides qui sont des prismes (ayant une face triangulaire, carrée,
rectangulaire, etc….) et des cylindres
La géométrie plane à l’école élémentaire
•
•
•
•
•
•
•
•
•
L’alignement, les points, les droites,
Des morceaux de droite : demi-droite, segment,
La modélisation,
Angle droit, droites perpendiculaires (définition,
tracé),
Droites parallèles (définition, tracé),
Les angles,
Que faut-il justifier ? et si cela se voit ?
Retour sur les figures au cycle 3 : le cercle, le
rectangle
Les problèmes
A l’école élémentaire : les objets, les
relations et les propriétés géométriques
Point, droite, segment, demi-droite, angle
Alignement, perpendicularité, parallélisme, égalité de
longueurs, symétrie axiale, milieu d’un segment.
Alignement
• Travail sur l’alignement :
- Quand ? Sans attendre que cela figure dans le programme,
au cycle 2.
- Comment ? Par des activités de mise en rang,
d’alignement d’objets concrets, puis des activités de même
type s’appuyant sur des photos, par exemple. Pour approcher
l’idée de « point » on peut proposer des activités alignant des
objets de plus en plus petits.
- Quel instrument? La règle, ou ce qui peut en tenir lieu.
Alignement….. points, droites
Placer quatre points (F, G, H et I) alignés avec A et B ?
A
B
Dix points ? Peut-on en trouver plus ? Combien ?
Comprendre qu’une droite n’est pas le trait qui la
représente sur le tableau, mais un objet mathématique
« idéal » sans épaisseur, infini qui est un ensemble de
points.
La droite passant par A et B est constituée de tous les
points alignés avec A et B.
Un petit test pour voir s’ils ont un peu compris…
• Les deux droites représentées ci-dessous se
coupent-elles?
Les droites sont
sécantes, en un
point.
Des morceaux de droite : segment, demi-droite
Segment
C
A  [CB] ?
Demi-droite
A
B
A  (CB) ?
Ce n’est pas qu’un problème
d’écriture…la différence entre droite
et segment ne va pas de soi pour les
élèves
Deux demi-droite de
même origine,
définissent deux
angles.
Points et droites
Points, droites, segments et demi-droites et….cercles : des outils
pour la modélisation
-
Passer du monde réel à la modélisation mathématique.
-
L’objet réel / l’objet mathématique / l’objet graphique
Angle droit
Dans les progressions dès le CE1 on parle
d’angle droit, d’équerre ou de gabarit d’un angle
droit.
Dans la pratique, activités de repérage
« d’angles droits et d’angles qui ne sont pas
droits » :
- de façon perceptive dans l’environnement de
l’ élève : coin de la feuille, coin du puzzle,
coin de la table…etc
- à l’aide de l’équerre ou d’un gabarit,
sur une figure, ….lorsque ce n’est pas évident.
Figures et angles droits
Le travail de rejet est aussi important que
celui de sélection, pour ce genre
d’exercice il serait intéressant d’ajouter
« et marque un point bleu au sommet de
chaque angle qui n’est pas un angle
droit ».
Le travail de rejet est aussi important que celui de sélection, pour ce
genre d’exercice il serait intéressant de demander « marque un point bleu
au sommet de chaque angle qui n’est pas un angle droit ».
Angle droit, droites perpendiculaires
Quand dit-on que deux droites sont perpendiculaires?
De l’angle droit aux droites perpendiculaires…..
Que penser de la définition donnée?
Angle droit et perpendiculaires
• Deux difficultés souvent rencontrées au collège :
- Difficultés dans le maniement de l’équerre, en particulier utilisation du
mauvais angle); reproduire sur la feuille, dans un plan horizontal, les
gestes du professeur au tableau, dans un plan vertical, ne va pas de
soi.
- Confusion entre perpendiculaire et vertical.
Médiatrice de [AB] ????
(en 6ème)
A
B
• Deux conseils :
* Apprendre à rejeter qu’un angle est droit à l’œil nu s’il ne mesure pas
entre 80° et 100° et à utiliser l’équerre pour le vérifier et l’affirmer ou non
dans le cas contraire (cela ne se voit pas !).
*Éviter l’utilisation systématique de vertical-horizontal dans les exercices
proposés mais aussi dans les affichages lors du travail sur les angles
droits.
Tracer une, ou la, perpendiculaire à D
• D est une droite ; tracer une droite D’ perpendiculaire à D.
D’
D
• D est une droite et A est un point n’appartenant pas à D.
Tracer la droite D’ passant par A et perpendiculaire à la
droite D.
A
D’
Quel est l’intérêt de ces deux questions??
D
Droites parallèles
-
Qu’est-ce que des droites parallèles ?
Des droites qui ont même direction.
Des droites qui ne se coupent pas.
Des droites avec une distance mutuelle constante.
Des définitions mathématiquement équivalentes mais qui ne le sont pas
nécessairement pour les élèves de cycle 3…
La première est souvent liée aux images prototypiques avec des
parallèles horizontales ou verticales. Et le mot « direction » n’a pas la même
signification qu’en français courant.
La deuxième est pratique pour montrer que des droites ne sont pas
parallèles en nécessitant toutefois une bonne compréhension de ce qu’est une
droite car le point d’intersection peut-être hors du tableau ou de la feuille…et puis
elle n’est valable qu’en géométrie plane!
La troisième est sans doute assez naturelle et peut s’appuyer sur des
images concrètes : bords de la règle, rails de chemin de fer, traces laissées par un
véhicule, etc.
Droites parallèles
Tracer la droite parallèle à une droite donnée passant par un
point.
Exercice très technique…
Les élèves peuvent tracer deux perpendiculaires…
Propriétés des droites parallèles
Le travail mené en fin de cycle 3 doit préparer aux propriétés étudiées en
sixième :
-
Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elle sont parallèles entre
elles.
-
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elle sont
parallèles entre elles.
-
Si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l’une est
perpendiculaire à l’autre.
Les angles
Les angles
•
On peut essayer de visualiser concrètement
un angle à l’aide de l’ouverture d’une porte
ou de l’écartement d’un compas.
• Au cycle 3, les élèves doivent travailler avec des angles comme
« grandeur », une unité et donc une mesure ne seront introduites
qu’en sixième (le degré), les élèves apprendront alors à utiliser le
rapporteur, cette unité sera abandonnée au lycée pour le radian.
Comparaison d’angles : plus grand, plus petit, plus grand qu’un
angle droit, etc. Utilisation de gabarit pour comparer des angles
ou en construire : angle trois fois plus grand qu’un autre, etc.
• Comprendre qu’un angle ne dépend pas de la longueur des côtés
tracés.
Les angles
Les angles
-
-
Rappel du vocabulaire associé :
Angle
nul
Angle
saillant
Angle
plat
Angle
rentrant
Angle
plein
0°
0° à 180°
180°
180°à 360°
360°
Les angles saillants :
Angle aigu
Angle droit
Angle obtus
0° à 90°
90°
90° à 180°
Il n’y a pas d’exigences explicites relativement à ce vocabulaire, mais les élèves peuvent le
rencontrer (voir évaluation nationale de fin de CM2 en 2012).
« ça se voit ! »
C’est assurément un challenge important entre le cycle 2 et le cycle 3.
On affirmait qu’il s’agissait d’un carré, que des angles étaient droits, que des points
étaient alignés car cela se voyait.
Au cycle 3, on peut toujours affirmer que des angles ne sont pas droits ou que des
points ne sont pas alignés, cela peut « se voir » :
A
B
C
« ça se voit ! »
Par contre, on ne peut plus affirmer le contraire en prétextant que cela se voit, il
faut le vérifier avec les outils ad hoc.
Pour que cela prenne tout son sens et pour que les élèves en prennent conscience,
il faut présenter des situations ou la perception peut prêter à confusion…
Les points A, B et C sont-ils alignés ?
Le quadrilatère RSTU est-il un
rectangle ?
A
R
B
S
C
U
T
Des figures planes
Carré, triangle, rectangle, rond, triangle rectangle, losange,
cercle, triangle isocèle, triangle équilatéral, quadrilatère,
polygone, parallélogramme, trapèze, trapèze rectangle,
trapèze isocèle, pentagone, hexagone
Ce que disent les programmes
Les figures planes : le carré, le rectangle, le losange, le parallélogramme, le
triangle et ses cas particuliers, le cercle. Description, reproduction, construction ;
vocabulaire spécifique relatif à ces figures : côté, sommet, angle, diagonale, axe de
symétrie, centre, rayon, diamètre.
CP : Reconnaître et nommer un carré, un rectangle, un triangle.
S’initier au vocabulaire géométrique.
CE1 : Décrire, reproduire, tracer un carré, un rectangle, un triangle rectangle.
Connaître et utiliser un vocabulaire géométrique élémentaire approprié.
CE2 : Reconnaître, décrire, nommer et reproduire, tracer des figures géométriques:
carré, rectangle, losange, triangle rectangle.
Vérifier la nature d’une figure plane en utilisant la règle graduée et l’équerre.
Utiliser en situation le vocabulaire : côté, sommet, angle.
CM1 : Vérifier la nature d’une figure plane simple en utilisant la règle graduée,
l’équerre, le compas.
CM2 : Vérifier la nature d’une figure en ayant recours aux instruments.
Définir un cercle : activité
Placer quatre points C, D, E et F à 4 cm du point A.
C
A
F
E
D
En placer dix. Peut-on en trouver plus ? Combien ?
Dessiner un cercle ou un disque
Dessiner le cercle de centre A et de rayon 4 cm.
A
La définition nous amène à utiliser le compas.
Dessiner un cercle ou un disque
Dessiner le cercle de centre A et de rayon 4 cm.
A
Le cercle et le disque
Le vocabulaire du cercle
-
-
Le cycle 3 doit permettre le passage du rond (forme) au cercle objet
théorique, ensemble des points équidistants d’un point appelé centre
(cercle de centre A et de rayon R).
Même si un travail particulier peut être mené à un moment donné,
l’acquisition du vocabulaire ne peut se faire que par une rencontre
régulière des mots spécifique en contexte, et surtout par une
utilisation fréquente, à l’écrit et à l’oral, par les élèves.
-
Quelques obstacles :
-
-
Différence entre cercle et disque (périmètre du … = longueur du …) ;
Différence entre LE rayon et UN rayon ([OA] est … rayon du cercle, OA est … rayon
du cercle, LE rayon [OA] et UN rayon [OA]), être rigoureux sans « noyer » les
élèves…
Utilisation correcte de centre, milieu ou moitié (centre d’une figure (cercle, disque,
rectangle, losange, etc.), milieu d’un segment, moitié d’un nombre ou d’une
longueur) ;
Le matériel ?
Cahier de mathématiques
Cahier du jour
Ardoise
Cahier de brouillon
Feuille volante
Cahier pour les problèmes
Fichier
Manuel
Règle
Équerre
Compas
Gabarits
Entre cycle 2 et cycle 3 des changements
Qu’est-ce qu’un rectangle ?
Au cycle 2 ?
On reconnaît un rectangle parce qu’on voit que c’est un rectangle. Un
carré n’est pas un rectangle car, visuellement, il n’a pas la même
forme….
Au cycle 3 ?
La figure n’est plus globale, c’est un ensemble de points et on a des
côtés, des sommets et des angles. On va pouvoir le définir
Des définitions du rectangle????
Qu’est-ce qu’un rectangle ?
Au cycle 3 ?
Définir un rectangle
Qu’est-ce qu’un rectangle ?
Utiliser le verbe « être » pour définir :
Ainsi : « Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits »
(cela pourra être remplacé par 3 en sixième)
Le quadrilatère RSTU est-il un
rectangle ?
R
S
U
T
Des propriétés du rectangle
Par ailleurs on utilise le verbe avoir pour les « propriétés » :
« Un rectangle a ses côtés opposés de même longueur. »
« Un rectangle a ses côtés opposés parallèles. »
« Un rectangle a ses diagonales de même longueur et qui se coupent en
leur milieu. »
Est-ce ou n’est-ce pas un rectangle ?
Construire un rectangle
Construire un rectangle de longueur 8 cm et largeur 3 cm.
Vérifier qu’on a un rectangle
Tracer un cercle de rayon 5 cm. Construire deux diamètres [AB] et [RS].
Que peut-on dire du quadrilatère ARBS ?
A
R
S
B
Des exercices - Des problèmes
• Exercices de tracé adaptés au niveau : tracé de
droites parallèles, de droites perpendiculaires, de figures
particulières connaissant leurs dimensions…
• Exercices de reproduction de figures adaptés au
niveau de l’élève :
• Mais aussi des problèmes :
1. Trace un carré ayant le même périmètre que le
triangle ci-contre :
2. Détermine la
longueur BC.
B
O
C
4cm
A
7cm
D
Des problèmes plus ouverts
1. Trace un rectangle ayant un périmètre de 40cm. Combien y a-t-il de
rectangles possibles ?1, 2 ou beaucoup?
Parmi les rectangles ayant un périmètre de 40cm y a-t-il un rectangle
ayant une aire de 96 cm² ?
Le travail peut être organisé en petits groupes.
On peut poser la même question avec d’autres valeurs : un périmètre de
169,8 cm et une aire de 1400 cm² ? un périmètre de 23,87 cm et une
aire de 24 cm² ? Là les tâtonnements successifs sont plus « délicats ».
L’utilisation de l’outil informatique est pertinente.
Fichier tableur
Autre problème ouvert
Le problème
Un élève va de l’entrée, repérée par la marque jaune, à
l’arbre repéré par la marque rouge après être aller toucher
le mur situé à droite sur la photo de la cour.
A quel endroit doit-il toucher le mur pour que la distance
parcourue soit la plus petite possible?
Les étapes possibles :
- relevé des dimensions de la cour,
- élaboration d’un plan, à une échelle donnée,
- tracés de différents parcours possibles de l’élève,
- mesurage des différents parcours et détermination des
distances réelles…conclusion??
Utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique pour
confirmer, ou infirmer, le résultat trouvé…
Fin du problème
Utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique pour résoudre le
problème.
Fichier geogebra
L’enseignement de la
géométrie dans l’espace
La géométrie dans l’espace
- L’appropriation de l’espace à l’école
maternelle et premier contact avec les
formes,
- L’appropriation des solides classiques et
premières représentations à l’école
élémentaire,
- Développement de la vision de l’espace au
collège : représenter un solide,
reconnaître un solide à partir d’une
représentation et raisonner sur…le solide!
L’école primaire: le programme
CP – CE1 :
En géométrie, « Les élèves enrichissent leurs
connaissances en matière d’orientation et de
repérage. Ils apprennent à reconnaître et à
décrire des figures planes et des solides. »
En découverte du monde, « Les élèves découvrent
et commencent à élaborer des
représentations simples de l’espace familier
: la classe, l’école, le quartier, le village, la ville.
……….. Ils découvrent des formes usuelles de
représentation de l’espace (photographies,
cartes, mappemondes, planisphères, globe). »
L’école primaire: le programme
CE2 – CM1 – CM2
Les solides usuels :
cube, pavé droit, cylindre, prismes
droits, pyramide.
- reconnaissance de ces solides et
étude de quelques patrons ;
- vocabulaire spécifique relatif à ces
solides : sommet, arête, face.
Ce que disent les progressions
CP
Situer un objet et utiliser
le vocabulaire
permettant de définir des
positions (devant,
derrière, à gauche de, à
droite de...).
CE1
Reconnaître, décrire,
nommer quelques
solides droits : cube,
pavé...
CE2
Dans l’espace
- Reconnaître, décrire
et nommer : un cube, un
pavé droit.
- Utiliser en situation le
vocabulaire :
face, arête, sommet.
CM1
Dans l’espace
- Reconnaître, décrire
et nommer les solides
droits : cube, pavé,
prisme.
- Reconnaître ou
compléter un patron de
cube ou de pavé.
CM2
Dans l’espace
- Reconnaître, décrire
et nommer les solides
droits : cube, pavé,
cylindre, prisme.
- Reconnaître ou
compléter un patron de
solide droit.
Découvrir l’espace, avec des objets réels
• Dès la maternelle, l’élève explore son
environnement immédiat : la classe,
l’école, la cour de récréation sont objets
de déplacement, de repérage…etc…on
travaille alors beaucoup avec les mots ;
• Pour découvrir les formes le travail sur
des objets solides est privilégié, au moins
jusqu’au CP.
Pour découvrir les solides mathématiques
Tri, selon la forme
Jouer avec des solides
Pour découvrir les formes géométriques
Les jouets d’éveil permettent
de découvrir les formes
(carré, rond, rectangle,
triangle), avec des petits
solides.
Les tangrams permettent de
travailler avec des formes
qu’on décompose, qu’on
recompose, qu’on oriente
différemment…etc…
Les puzzles permettent
d’observer les formes, les
angles droits (les coins), les
côtés droits (les bords)….
A partir de ce moment…
• On a de nouveaux
objets géométriques,
les cubes, les
pavés…..qu’on peut
construire, qu’on peut
décrire, en utilisant
des mots tels que
face, arête,
sommet….
Travailler sur des représentations
Des images d’objets
Des plans : le plan de
l’école, qu’on peut dessiner,
compléter……sur lequel on
peut lire des informations
Travailler sur des représentations en
perspective
En CE1 les représentations
en perspective cavalière
apparaissent dans les
cahiers de géométrie…
Pratique critiquable!!
- Il y a souvent confusion
entre l’objet et sa
représentation:
Ex: retrouve tous les
cubes et tous les
pavés…comment savoir ?
Un problème : quelle quantité de
ruban pour faire le paquet?
La boite est un cube
de 25 cm de côté. Il
faut 60 cm de ruban
pour faire le nœud.
Quelle longueur de
ruban faut-il prévoir
pour faire le paquet
cadeau?
Reconnaître, compléter des patrons
Le bon patron pour résoudre un problème de
plus courte distance
L'araignée et la mouche.
(1857-1931) :
Récréation imaginée par Henry Ernest Dudeney
Une araignée veut rejoindre une mouche placée sur le mur opposé
par le chemin le plus court dans une pièce parallélépipédique. La
pièce a 30 pieds de longueur, 12 pieds de largeur et 12 pieds de
hauteur. L'araignée se trouve au centre d'un des murs les plus
petits à un pied du plafond tandis que la mouche est au centre du
mur opposé à un pied du plancher. Quel est le chemin le plus
court entre l'araignée et la mouche ?
Le bon patron pour résoudre un
problème de plus courte distance
1 + 30 +11
Et la réponse n’est pas… 42 pieds
mais 40 pieds
32
24
40
La place de la géométrie dans l’espace
dans les manuels de mathématiques….
Très faible, voire quasi inexistante (en CP).
En CM2 le travail consiste principalement à
reconnaître des solides à partir de dessins en
perspective cavalière et à reconnaître ou
compléter des patrons. Le mot « décrire »,
omniprésent dans les programmes n’apparaît
pas. On demande davantage aux élèves de
dire combien il y a de faces, d’arêtes…etc…ce
qui n’est pas « décrire ».
Des confusions à ne pas faire….
Dans un manuel de CM2
on lit :
« un dessin en
perspective est une
manière de représenter,
sur une feuille de
papier, des objets en
volume, la plus proche
possible de ce que voit
l’observateur »….faux
pour ce qui concerne
la perspective
cavalière .
Dans le même livre on
peut voir deux types
différents de
représentation
…à éviter !!!
Un manque de précision…
Lu dans un manuel de CM2 :
« Laquelle de ces figures est
représentée en 3 dimensions
?»
Dans le même manuel :
« Observe bien les
polyèdres suivants puis
complète le tableau »
Toujours sur la perspective cavalière…
Quels dessins en
perspective sont
ceux d’un cube?
Que voit-on alors?
Un cube vu de face,
au niveau des yeux,
en dessous, au
dessus…
Maîtrise de la langue
et géométrie
Au cycle 2, de façon
concomitante
Mise en place du langage courant et
de la langue utilisée en géométrie
La langage courant
L’école maternelle est le moment de l’appropriation,
par l’enfant, du langage oral.
Cette acquisition du langage oral se poursuit à
l’école élémentaire. Il est complété par la mise en
place du langage écrit (lecture, écriture).
La langue mise en place est la base de la langue
utilisée en géométrie. Viennent s’ajouter
cependant des usages particuliers à la géométrie.
Des activités avec le langage courant
Activités de repérage,
d’orientation….
Activités sur les formes
de solides
Maîtrise de la langue et géométrie
Les mots de la géométrie
Les phrases, en géométrie
Comment travailler la langue, en
géométrie : comprendre, dire et écrire
Décrire une figure, écrire un programme
de construction
Les mots de la géométrie
Un vocabulaire spécifique
- pour désigner des objets: un polygone, un carré, une
droite, un segment, une médiatrice, un rayon (ou le
rayon)….
- pour exprimer des propriétés : aligné, parallèle,
perpendiculaire, symétrique…
Un vocabulaire emprunté au langage courant
- milieu, centre, hauteur, sommet, point…
- droit, opposé, consécutif…
- qui passe par…
Des petits mots lourds de poids
- les articles définis et indéfinis, non + adjectif, et, ou,
donc, car, on…..
Une difficulté pour les élèves : la polysémie
des mots
-
utilisés aussi dans le langage courant ou dans
d’autres domaines :
point, est-ce celui qu’on utilise en ponctuation ?
milieu, de quel milieu s’agit-il?
sommet, quelle différence entre le sens courant
et la signification mathématique?
Droit
En mathématiques certains mots peuvent avoir plusieurs
significations : hauteur, rayon, diamètre…
Certaines expressions ont une signification très précise, beaucoup
plus que le langage courant : une droite passant par un point
donné, par exemple!
Le poids des déterminants
d est une droite et A est un point
n’appartenant pas à la droite d. Une
perpendiculaire à la droite d coupe cette droite
en formant un angle droit. D est la
perpendiculaire à d passant par le point A. Fais
une figure représentant d, A et D.
d
A
D
La difficulté de l’usage de la négation!!!!
• Lu dans un manuel de CE1: « avec quatre
points non alignés combien peut-on tracer de
droites passant par deux points ? »
• Que signifie, en mathématiques, « quatre points
non alignés »? L’usage courant donne-t-il la
même signification?
Deux cas de figure
• 6 droites
• 3…ou 4 droites
Les mots des consignes
Un exemple :
Réaliser la même figure,
une figure identique, une figure
semblable, une figure similaire…
Qu’est-ce que cela veut dire? Toutes ces
phrases signifient-elles la même chose ?
Une difficulté pour les professeurs :
l’absence de synonymie en mathématiques
Il n’y a pratiquement pas de synonymie en
mathématiques.
Pour expliquer, pour aider, on a souvent
recours à la reformulation....qui n’est pas
toujours très éclairante pour l’élève et
parfois difficile pour le professeur. Très
souvent cette reformulation fait appel à la
définition ou à des propriétés.
Les mots ne suffisent pas!!!
En géométrie aussi les mots s’organisent en
phrases; on ne peut pas se contenter de
mots qui viennent remplir les trous d’un
fichier!!! Les élèves doivent :
- Comprendre (à l’oral, à l’écrit)
- Produire (à l’oral, voire à l’écrit)
des phrases………..et
cela ne va pas de soi!……cela s’apprend!
Que doivent-ils comprendre ???
Le début d’un exercice lu dans un manuel de CM2 :
« Trace deux segments perpendiculaires [AB] et [CD]
de 5 cm de longueur et qui se coupent en leur milieu. »
* Comprendre les expressions utilisées et les
informations qu’elles donnent.
* Savoir comment utiliser les informations du texte
pour réaliser le tracé.
Pour permettre à l’élève de mieux comprendre on
peut formuler autrement ; pour s’assurer que
l’élève a compris on peut lui faire reformuler.
Des suggestions pour une autre formulation???
Comment faire?
- Introduire les mots, en même temps que les
notions qu’ils traitent ;
- Amener les élèves, par des questions, des QCM,
des fiches à trous , à utiliser correctement ces
mots ;
- Faire en sorte, en explicitant, en reformulant, que
les élèves comprennent des phrases utilisant ces
mots.
- Les amener progressivement à construire des
phrases pour s’exprimer à l’oral en :
•reformulant une partie d’énoncé de problème,
•expliquant ce qu’ils font (lors d’une construction),
•décrivant des figures, des solides,
•commençant à expliquer, à justifier
Quelle place pour l’écrit géométrique ?
Les écrits institutionnels : certaines définitions et
formules synthétiques qui officialisent le savoir
construit. Le « vocabulaire » géométrique doit
être consigné également.
Un élève en situation de recherche en géométrie
produit principalement des tracés et peu d’écrits.
Une exception cependant : les programmes de
construction (les lire d’abord, les écrire ensuite).
Décrire une figure géométrique
A
B
+O
C
D
Cela pose la question suivante :
qu’est-ce que décrire une figure?
Décrire : « il s’agit d’une conduite discursive
précise qui suppose des compétences langagières
bien particulières et qui est fortement sollicitée à
l’école. »
« Décrire suppose d’abord un travail minimal de
décentration.….pour décrire à quelqu’un
quelque chose, il faut savoir ce qu’il sait et ce
qu’il ne sait pas, ce qu’il voit et ce qu’il ne voit
pas. Il faut aussi connaître l’enjeu de cette
description : à quoi sert-elle? À faire reproduire à
l’identique? À créer une image mentale? »
Lire un programme de construction
• On commence à en voir en CE1, dans les
« documents » élève ;
un exemple :
« Sur ton cahier place deux points A et B.
a) Trace la droite qui passe par ces deux points.
b) Sur cette droite place un point C, situé entre A
et B.
c) Sur la même droite place ensuite un point D,
situé entre C et B. »
Produire un programme de construction,
à l’oral voire à l’écrit
Trace un rectangle
Trace un segment à
l’intérieur de ce
rectangle.
A éviter : pourquoi ?
Un autre programme de construction
• Vous devez écrire
un texte
permettant à un
élève de reproduire
la figure ci-contre,
sans l’avoir sous
les yeux.
• Quel travail pour
l’élève?
Deux propositions
1er programme
• Vous tracez un carré
de ….cm de côté ;
• Vous repérez le milieu
d’un des côtés de ce
carré ;
• Vous tracez le cercle
ayant pour diamètre
ce côté du carré.
2ème programme
• Vous tracez un cercle
de ….cm de rayon ;
• Vous tracez un
diamètre de ce cercle;
• Vous tracez un carré
ayant ce diamètre
pour un de ses côtés.
Qu’est-ce que cela change ?
C
B
O
A
D
• Tracer un carré
ABCD ;
• Repérer le milieu
du segment [CD],
l’appeler O ;
• Tracer le cercle de
centre O et
passant par le
point C.
Téléchargement