y(t 0 )

LE PLAN DU COURS : TROIS CHAPITRES
I. Bases de logique , théorie des
ensembles
II. Nombres entiers, rationnels,
réels et complexes ; suites de réels
III. Fonctions numériques et
modélisation (intégration,équations
différentielles,…)
III. Fonctions numériques et
modélisation
• Limite d’une fonction en un point de R ou de la
•
•
•
•
•
•
•
droite réelle achevée
Continuité d’une fonction en un point et sur un
ensemble
Opérations sur les fonctions continues
Fonctions strictement monotones sur un
intervalle
Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle
Quelques fonctions classiques et leurs inverses
Aires, intégration, primitives
Équations différentielles
Limite d’une fonction en un point
de R ou de la droite réelle achevée
Cas 1
D
DlR
R
f
_
aeD
f admet une limite finie l e R au point a si et
seulement si, pour toute suite (xn)n de
points de D :
lim (xn)n = a
lim (f(xn))n = l
f admet une limite finie l e R au point a
Pour tout e >0,
il existe h >0 , tel que :
(x appartient à D et |x-a| < h )
|f(x) – l | < e
Le cas particulier où le point a
est un point de D
• f : D ----> R
• a point de D
• lima f existe dans R (et vaut
nécessairement f(a))
f est continue en a
Limite d’une fonction en un point
de R ou de la droite réelle achevée
Cas 2
D
DlR
R
f
_
aeD\D
f tend vers + l’infini au point a si et
seulement si, pour toute suite (xn)n de
points de D :
lim (xn)n = a
lim (f(xn))n =+ l’infini
f tend vers + l’infini au point a
Pour tout A >0,
il existe h >0 , tel que :
(x appartient à D et |x-a| < h )
f(x) > A
Limite d’une fonction en un point
de R ou de la droite réelle achevée
Cas 3
D
DlR
R
f
_
aeD\D
f tend vers - l’infini au point a si et
seulement si, pour toute suite (xn)n de
points de D :
lim (xn)n = a
lim (f(xn))n =- l’infini
f tend vers - l’infini au point a
Pour tout A >0,
il existe h >0 , tel que :
(x appartient à D et |x-a| < h )
f(x) < - A
Limite d’une fonction en un point
de R ou de la droite réelle achevée
Cas 4
D
DlR
R
f
_
+infinie D \ D
f tend vers l lorsque x tend vers + infini si
et seulement si, pour toute suite (xn)n de
points de D
lim (xn)n = +infini
lim (f(xn))n =l
f admet une limite finie l e R en + l’infini
Pour tout e >0,
il existe B >0 , tel que :
(x appartient à D et x > B )
|f(x) – l | < e
Limite d’une fonction en un point
de R ou de la droite réelle achevée
Cas 5
D
DlR
R
f
_
+infinie D \ D
f tend vers + infini lorsque x tend
vers + infini si et seulement si, pour toute
suite (xn)n de points de D
lim (xn)n = +infini
lim (f(xn))n =+ infini
f tend vers + l’infini lorsque x tend
vers + l’infini
Pour tout A >0,
il existe B >0 , tel que :
(x appartient à D et x > B)
f(x) > A
f tend vers - l’infini lorsque x tend
vers + l’infini
Pour tout A >0,
il existe B >0 , tel que :
(x appartient à D et x > B)
f(x) < - A
Composition des limites (1)
lima (g o f) = L
D
R
f
_
aeD
E
f(D) l E
_
lima f=l e E
R
g
_
liml g=L e R
Composition des limites (2)
lima (g o f) = L
D
R
f
E
f(D) l E
_
aeD
_
lima f=+infini e E
R
g
_
lim+infini g=L e R
Composition des limites (3)
Lim+l’infini(g o f) = L
R
E
D
f
f(D) l E
R
g
_
+ infini e D \ D
lim+ l’infini
_
f=+infini e E
_
lim+infini g=L e R
Attention aux formes indéterminées !
x2 – x
?
(log x) /x = (1/x) x log x
quand x tend vers + l’infini
Lim (a0 xp + a1 x p-1 + … + ap) =
+ l’infini si a0 > 0
- l’infini si a0 < 0
?
Attention aux formes indéterminées !
P(x)/Q(x)
?
(P(x))1/k – Q(x) , k dans N*, en + l’infini
(a0 xp + a1 x p-1 + … + ap)1/k =
a01/k xp/k ( 1 + (a1/a0) x-1 + … )1/k
b0 xq + b1 xq-1 + … + bq =
b0 xq (1+ (b1/b0)x-1 + …)
?
Rappel de règles
concernant les limites
de suites
Limite à droite en un point a
• a est adhérent à
Va+:= {x dans D ; x >a}
• La restriction de f à Va+ admet pour
limite l au point a
Limite à gauche en un point a
• a est adhérent à
Va-:={x dans D ; x <a}
• La restriction de f à Va- admet pour
limite l au point a
« Une fonction monotone (c’est-à-dire
croissante ou décroissante) sur un
intervalle ouvert ]a,b[ (borné ou non)
admet une limite à gauche et à droite
en tout point de ]a,b[»
Fonction continue en un point
(rappel)
• f : D ----> R
• x0 point de D
• limx0 f existe dans R (et vaut
nécessairement f(x0))
Continuité à droite
(si existence de la limite à droite, égale nécessairement à f(x0))
Continuité à gauche
(si existence de la limite à gauche, égale nécessairement à f(x0))
Fonctions continues sur un
segment [a,b]
I. Une fonction f continue sur un segment
[a,b] (c’est-à-dire en tout point de ce
segment) et à valeurs réelles est à la
fois minorée et majorée sur [a,b].
II. Les deux bornes inf [a,b] f et sup[a,b] f
sont atteintes par f en des points de [a,b]
Théorème des valeurs
intermédiaires
Une fonction f continue sur un segment
[a,b] (c’est-à-dire en tout point de ce
segment) prend (sur ce segment) au moins
une fois toute valeur intermédiaire
y du segment [inf [a,b] f , sup [a,b] f] .
Preuve par l’absurde !
Fonctions strictement monotones et
continues sur un intervalle (1)
M = sup {f(x), x dans I}
I intervalle de R
f(I) intervalle de R
(du même type)
f(I)
I
m=inf {f(x), x dans I}
f : I  f(I) bijective
f admet une application inverse f-1 : f(I)  I
Fonctions strictement
monotones sur un intervalle (2)
f-1 strictement monotone (même type que f)
y
f(I)
I
f continue
f-1 continue
f-1(y-) =
c f-1(y)=c f-1(y+)
Fonction réciproque d’une
fonction strictement monotone
f : I  J=f(I)
[(x e I) et (y=f(x))]
[(y e J) et (x=f-1(y))]
Graphe (f) =
{(x,y) e I x J ; y =f(x)}
Graphe (f-1) = {(y,x) e J x I ; y=f(x)}
Droite ‘miroir’
y=x
(x0,y0)
(y0,x0)
Dérivabilité en un point et sur
un intervalle
• f définie dans un intervalle ouvert
contenant un point donné x0
• f(x0+h) = f(x0) + a(x0) h + h e(h)
pour tout h de valeur absolue assez
petite
• e défini dans un intervalle ]-h,h[
(privé de 0) et lim0 e = 0
Interprétation géométrique
(x0+h, f(x0+h))
(x0, f(x0))
y=a(x0)(x-x0)+ f(x0)
Dérivabilité en un point
Continuité en ce point
Isaac Newton
(1643-1727)
Opérations sur les fonctions
dérivables
f et g dérivables en x0
f+ g dérivable en x0 , (f+g)’(x0)= f’(x0)+g’(x0)
fg dérivable en x0 , (fg)’(x0)= f’(x0) g(x0)+g’(x0) f(x0)
Dérivabilité de x  xn
n>0
(x0+h)n = x0n + n x0n-1 h + o(h)
n > 0 et x0 non nul
(x0+h)-n = x0-n - n x0n-1 h + o(h)
Règle de Leibniz
f définie au voisinage de x0 et dérivable en x0
G.W. von Leibniz
(1646-1716)
g définie au voisinage de f(x0) et dérivable en f(x0)
g o f dérivable en x0 car :
(gof)’(x0)
(g o f) (x0+h) = g (f(x0+h))
= g (f(x0) + h f’(x0) + o(h))
= g(f(x0)) + h g’(f(x0)) x f’(x0) + o(h)
Opérations sur les fonctions
dérivables
f et g dérivables en x0 et g(x0) non nul
f/g dérivable en x0 et
(f/g)’(x0)
=
f’(x0) g(x0) - g’(x0) f(x0)
______________________
(g(x0))2
Dérivabilité de la fonction inverse
Soit f une fonction strictement monotone
sur un intervalle ouvert I de R, dérivable
sur I
On suppose f’ R
0 sur I (f’>0 ou f’<0)
f-1 : f(I)  I est dérivable sur f(I)
(f-1)’(y0) =
1
-------------f’ ( f-1 (y0))
y= y0 + f’(x0) (x-x0)
(x0,y0)
x= y0 + f’(x0) (y-x0)
(y0,x0)
Remarque : un énoncé admis
Une fonction dérivable sur un intervalle
ouvert I , de dérivée identiquement nulle
sur I , est constante sur I.
Attention cependant
Aux escaliers du diable !
La fonction exponentielle
lim (ex/xn) = + l’infini
en +l’infini
k=n
x
k=0
k!
S
k
---> exp (x)
lim (ex xn) = 0
en - l’infini
exp (x1+x2) = exp (x1) x exp (x2)
La méthode d’Euler
exp ’ = exp
Étape 0 : Choix d’un « pas » : 1/N (entre 0 et x)
u0 = 1
un+1-un
1/N
Dérivée « discrète »
= un
(1+ x/N)N ---> exp (x)
lorsque N tend vers + l’infini
La fonction logarithme (1)
x
e R et y = exp (x)
y
> 0 et x = log (y)
lim0 (|y| log |y|) =0
lim+infini (log y /y) =0
log (y1 y2) = log (y1) + log (y2)
La fonction logarithme (2)
• log’ = [ y ---> 1/y] sur { y ; y > 0 }
• (log |y-a|)’ = [y ---> 1/(y-a)] sur R \ {a}
Remarque : pour tout entier n de Z
différent de -1, on a sur R \{a} :
[
(y-a)n+1
n+1
]’
=[ y ---> (y-a)n]
Les fonctions puissance
e R  ax := exp (x log a)
x
• (ax ) x = a x x
• ax +x =ax ax
• (ab)x = ax bx
• a-x = (1/a)x
1
1
2
2
1 2
1
x
2
x
[ x  ax]’ = [x  log(a)
x
ax ]
a>0
La fonction cosinus
xeR
S
k=n
(-1)k
k=0
cos 0 = 1
cos 2 <-1/3
x
2k
(2k) !
cos s’annule en au
moins un point de [0,2]
---> cos (x)
(suites adjacentes)
p := 2 inf{x>0, cos x=0}
La fonction sinus
S
k=n
k=0
(-1)k
x
xeR
2k+1
---> sin (x)
(2k+1) !
(suites adjacentes)
Relations entre fonctions
trigonométriques
• cos (x1 + x2) = cos (x1) cos (x2) – sin (x1) sin (x2)
• sin (x1+ x2) = cos (x1) sin (x2) + sin (x1) cos (x2)
•
cos’ = - sin
•
sin’ = cos
• cos2 x + sin2 x =1
• cos (x+ 2p)=cos x
• sin (x+2p) = sin x
(0,0)
1
(cos (x), sin (x))
( pour x e [0, 2p[)
paramétrage bijectif du cercle de
centre (0,0) et de rayon 1
Fonctions trigonométriques
inverses
• Arcos : [-1,1] --- > [0, p]
• Arcsin : [-1,1] --- > [-p/2 , p/2]
• sur ]-1,1[ Arcsin’ = 1/(cos(Arcsin)) = [y  (1-y2)-1/2]
• sur ]-1,1[ Arcos’ = -1/(sin(Arcos)) = [y  - (1-y2)-1/2]
Arcsin (y) + Arcos (y) = p/2 pour y e [-1,1]
La fonction tangente
tan x := sin (x) / cos (x)
-3p/2
-p
-p/2
0
p/2
p
3p/2
tan’ = 1 + tan2
La fonction Arctan (Arc-tangente)
x e ]-p/2 , p/2[ et y =tan (x)
y e R et x= Arctan (y)
1
1
Arctan’(y) = ------------------------ = ---------1 + tan2 (Arctan y)
1 + y2
Quelques relations importantes
• cos (t) = 2 cos2 (t/2) -1
= (1-u2)/(1+u2)
• sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2)
= 2u/(1+u2)
t e ]-p, p[
u= tan (t/2) , t = 2 Arctan u
1-u2
2u
--------- , ------1+u2
1+u2
(-1,0)
(0,0)
1
Un paramétrage rationnel du cercle unité privé d’un point
Les fonctions hyperboliques
• cosh x : = (ex+e-x)/2 , x e R
• sinh x : = (ex – e-x)/2 , x e R
cosh2 x – sinh2 x = 1
cosh’ = sinh
sinh’ = cosh
Intersection d’un plan et d’un cône :
hyperbole, ellipse ou parabole
hyperbole
(2 branches)
ellipse
les Coniques
Le paramétrage de la demi-hyperbole
x = cosh t , t
eR
x2 – y2=1 , x>0
y = sinh t , t
eR
La fonction argsinh : R  R
x e R et y = sinh x
y e R et x=argsinh y
variable auxiliaire
argsinh’ (y) = 1/cosh(argsinh(y)) = (1+y2)-1/2
sinh x = y
{
X = ex
X2 – 2y X - 1 =0
x = argsinh y = log [y + (1+y2)1/2]
La fonction argcosh :
{y ; y r 1}  {x ; x r 0}
xr0 et y = cosh x
yr
1 et x=argcosh y
variable auxiliaire
argcosh’ (y) = 1/sinh(argcosh(y)) = (y2 -1)-1/2
cosh x = y
{
, y>1
X = ex
x r 0 (donc X r1)
X2 – 2y X +1 =0
x = argcosh y = log [y + (y2 -1)1/2]
La fonction tangente hyperbolique
•
tanh : x e R  tanh x := sinh x / cosh x
• tanh’ : x e R  1 – tanh2 x = (cosh x)-2
x e R et y = tanh x
y e ]-1,1[ et x= argtanh y
argtanh’ y = 1/(1-y2)
= (1/2) x 1/(y+1) - (1/2) x 1/(y-1) , y e ]-1,1[
argtanh y = log (|y+1|/|y-1|)1/2
, y e ]-1,1[
Notion d’intégrale :
Comment calculer l’aire d’un sous-ensemble
borné A du plan ?
-Les méthodes « probabilistes »
(Monte Carlo)
-Les méthodes numériques
-Les formules exactes
Le cas des unions de
rectangles
Méthode de Monte Carlo
Nombre de points tombant dans D/ Nombre de points « jetés »
Un exemple d’ensemble fractal
(de la difficulté de mesurer tout et
n’importe quoi !)
Mesure « extérieure » d’un ensemble borné du plan
m*(A) = inf ( mesure des unions de pavés recouvrant A)
On peut « mesurer » A si et seulement si :
Pour tout
e >0 , il existe une union de pavés Re telle que :
m* (A D Re) < e
aire (A) = inf (m*(unions de pavés contenant A))
Le cas des fonctions continues positives sur un segment
[a,b]
S
(b-a)/N
k (supIk f – infIk f)  0
Ik
a xN,1 xN,2
b
(b-a)/N (f(xN,1)+ f(xN,2)+…+ f(xN,N))  aire de {(x,y) ; 0 b
y b f(x
Définition de l’intégrale d’une
fonction continue sur [a,b]
f = sup (f,0) – sup (-f,0) = f+ - f-
!
f(t) dt := aire {(x,y); 0 b y b f+(x)} – aire {(x,y) ; 0 b y b f-
[a,b]
b
!
f(t) dt
a
+
-
+
Le cas des fonctions à valeurs
complexes
• f = Re (f) + i Im (f)
b
b
! ! !
f(t) dt
a
=
Re (f(t)) dt +i
a
b
Im (f(t)) dt
a
Propriétés de l’intégrale
b
linéarité
! !
! !
b
|! | !
b
!
(l f(t)+ m g(t)) dt = l
a
b
f(t) dt
+m
g(t) dt
a
a
b
b
fb
g sur [a,b]
f(t) dt
a
f(t) dt
a
g(t) dt
b
a
b
b
| f(t) | dt
a
monotonie
Relation de Chasles
b
!
f(t) dt
=
a
! !
! !
c
b
f(t) dt +
g(t) dt
c
a
x
y
avec la convention :
lorsque y < x
f(t) dt = -
x
f(t) dt
y
(f continue sur I , a, b, c étant trois points de I)
Le théorème « fondamental »
de l’analyse
Soit f une fonction continue sur un intervalle ouvert I
de R et a un point de I . La fonction :
x
x e I  F(x) :=
!
f(t) dt
a
est dérivable sur I, de dérivée F’=f sur I
F primitive de f sur I
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle
ouvert I, de dérivée continue sur I
Soit [a,b] un segment inclus dans I ; alors :
b
!
f’(t) dt = f(b) – f(a)
a
Application 1 : la formule
d’intégration « par parties »
Soit I un intervalle ouvert de R , f et g deux fonctions
dérivables sur I, avec f’ et g’ aussi continues sur I ;
si [a,b] est un segment de I :
b
b
!
f’(t) g(t) dt
a
= f(b) g(b) – f(a) g(a) -
!
f(t) g’(t) dt
a
Application 2 : la formule de
changement de variables
Soit I et J deux intervalles ouverts de R
Soit u : I  J , strictement monotone, dérivable et
de dérivée continue sur [a,b] c I avec c := u(a), d:= u(b) ;
alors:
d=u(b)
!
f(s) ds
c=u(a)
b
=
!
f( u(t)) u’(t) dt
a
pour toute fonction continue f : J  R
Quelques exemples
d’application de ces méthodes
•
•
•
•
•
Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques
Expressions rationnelles en les fonctions trigonométriques hyperboliques
Fonctions dont une dérivée à un certain ordre est une fraction rationnelle
Fonctions du type t  tn exp ( l t)
Fonctions du type t  tn cos (l t) ou t  tn sin (lt)
• Fonctions du type x  F(x, (ax2+bx+c)1/2)
Expressions rationnelles en les
lignes trigonométriques
• cos (t) = 2 cos2 (t/2) -1
= (1-u2)/(1+u2)
• sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2)
= 2u/(1+u2)
t e ]-p, p[
u= tan (t/2) , t = 2 Arctan u
u = tan (t/2)
t = 2 Arctan u
[a,b] c ]-p, p [
tan (b/2)
b
!
tan a
(a/2)
1- u2
-----1+u2
2u
-----1+u2
P(cos t, sin t)
1- u2
-----1+u2
2u
-----1+u2
Q(cos t, sin t)
2du
-----1+u2
dt
Linéarisation des polynômes trigonométriques
!
P (cos q , sin q) dq = aa0 0 q +
j=N
S
j=1
aj sin (kj q) – bj cos (kj q)
(a
j cos (kj q) + bj sin (kj q))
--------------------------------kj
Expressions rationnelles en les lignes trigonométriques
hyperboliques
u = exp (t)
[a,b] c R
t = log u
exp(b)
b
!
exp a(a)
u +(1/u)
---------2
u-(1/u)
-------2
P( cosh t , sinh t )
u+(1/u)
---------2
u-(1/u)
--------2
Q(cosh t, sinh t )
du
-----u
dt
Intégrales abéliennes
b2- 4 ac
!
F(
• a >0,
x
,
D=-d2
V
ax +2 -bx
+ c2]
a [(x+b/2a)
D/4a
<0
x = -b/2a + (d/2a) sinh u
• a > 0 , D = d2 >0
x = -b/2a + (d/2a) cosh u
ou
x = -b/2a - (d/2a) cosh u
2
) dx
• a < 0 , D=d2 > 0
x = -b/2a + (d/2a) cos u
ou
x = -b/2a - (d/2a) sin u
Primitives de fractions
rationnelles
S
!
P(x)
---- dx =
Q(x)
k=N
k=0
ak xk+1
--------ak xk
k+1
!
?
+
R(x)
----Q(x)
dx
deg R < deg (Q)
Cas particuliers : deg (Q) = 1 et deg (Q) =2
Premier cas : b2-4ac >0
!
a x+b
dx
aa (x
x2 –x
+ bx
+ c 2)
1) (x-x
||
u1
u1 log |x-x
-----1|
x-x1
u2
log |x-x2|
+ u2------x- x2
Second cas : b2-4ac = 0
!
a x+b
dx
a ax2(x+–x
bx0)2+ c
||
a log |x-x
a 0|
--------------------a a(x-x0)
+
-a(a
0 + b)
x0x+b
----------------------(x-x
a a(xx0)0)2
Troisième cas : b2-4ac = -d2 < 0
!
a x+b
dx
2 + (d2/4a2)]
a [(x
+(b/2a)
)
2
a x + bx + c
||
x + (b/2a)
u log [ (x+(b/2a))2 + (d2/4a2)]
u -----------------------------------------------------2 + (d2/4a2)
2
(x +(b/2a))
+
v
2av
x + (b/2a)
---Arctan 2a ---------------------------------d
d
(x+(b/2a))2 + (d2/4a2)
Equations différentielles
ordre 1
F ( t , y(t) , y’(t)) = 0 , t e I
Temps
vitesse
position
F ( t , y(t) , y’(t) , y’’ (t)) = 0 , t e I
ordre 2
accélération
Equations linéaires d’ordre 1
y’ (t) = a(t) y(t) + b(t) , t e I
(a et b fonctions continues de I dans R ou C)
+
Condition « initiale » : y(t0) = y0
(t0 e I , y0 e R ou C)
L’approche numérique :
méthode d’Euler
• Se fixer des conditions initiales t0, y0
• Choisir un pas de temps t
• Choisir T = « durée de vie » tel que
[t0, T] soit inclus dans I
ut,0 = y0
approximation de y(t0 + nt)
ut,n+1 = ut,n + t ( a(t0 + nt) ut,n + b(t0+nt))
(tant que t0 + nt b
T)
Le théorème de Cauchy
Hypothèses :
- I intervalle ouvert de R
- a et b fonctions continues de I dans R (ou C)
- t0 e I
y0 e R ou C (données initiales)
Conclusion :
Il existe une unique courbe intégrale de
Il
existe une
unique fonction
l’équation
différentielle
y : I  R (ou C) telle que :
y’(t)= a(t) y(t) + b(t)
y’ (t)= a(t) y(t) + b(t) pour t dans I
y(t0par
) = yle0 point
(condition
passant
(t0,y0) initiale)
L’attaque du problème :
étape 1 : résolution de l’équation homogène
= 0
y ’ (t) = a(t) y(t) + b (t)Y Y
=’ constante
t
A (t) =
!
a(t) dt
t0
fonction auxiliaire : Y(t) = y(t) exp (-A (t))
1 degré de liberté
y (t) = C exp (A (t))
L’attaque du problème :
étape 2 : recherche d’une solution particulière de l’équation complète
y ’ (t) = a(t) y(t) + b (t)
variation de la constante
y (t) = C(t) exp (A (t))
(C’(t) + a(t) C(t)) exp(A(t)) = a(t) C(t) exp (A(t)) + b(t)
t (-A (t))
C’ (t) = b(t) exp
y
exp(A(t))
part (t)==C
C(t)
+
!
t0
b(u) exp (-A(u))
Le bilan final
Solutions de l’équation y’(t)=a(t) y(t)+ b(t) :
avec condition initiale : y(t0) = y0
t
y(t) = exp(A(t))
(zC + !b(u) exp(-A(u)) du )
0
t0
z0=y0 exp(-A(t0))=y0
Condition initiale : y(t0) = y0
Les équations de J. Bernouilli
a
y’(t)
=
a(t)
y(t)
+
b(t)
[y(t)]
z’(t) = (1-a) a(t) z(t) + (1-a) b(t)
(a e R \ {0,1})
Condition initiale : y(t
z(t00)) =
= yy001-a
>0
Fonction auxiliaire : z(t) = [y(t)] 1-a
Equations linéaires d’ordre 2
y’’ (t) = a(t) y’(t) + b(t) y(t) + c(t) , t e I
(a,b,c fonctions continues de I dans R ou C)
+
Conditions « initiales » : y(t0) = y0
y’(t0)=v0
(t0 e I , y0 , v0 e R ou C)
Un exemple de motivation : une
cellule electronique d’ordre 2
i 
(UA – UC ) (t) = R i(t) + L di/dt
y(t) = Uc –UD (t)
c (UC-UD)’ (t) = i (t)
f(t) = UA –UB (t)
Lc y’’ (t) + R c y’(t) + y(t) = f(t)
L’approche numérique :
méthode d’Euler
• Se fixer des conditions initiales t0 , y0 , v0
• Choisir un pas de temps t
approximation de y(t0 + nt)
• Choisir T = « durée de vie » tel que
[t0, T] soit inclus dans I
ut,0 = y0 , ut,1=y0 + t v0
ut,n+2 = ut,n (t2 b(t0+nt) –t a(t0+nt)-1)
+ ut,n+1 ( t a(t0 + nt) + 2) + t2 c(t0+nt)
(tant que t0 + nt b
T)
Le théorème de Cauchy
Hypothèses :
- I intervalle ouvert de R
- a , b , c fonctions continues de I dans R (ou C)
- t0 e I
y0 , v0 e R ou C (données initiales)
Conclusion :
Il existe
existeune
une
unique
fonction
Il
unique
courbe
intégrale de
l’équation
différentielle
y : I  R (ou
C) telle que :
y’’(t)=
y’’ (t)=a(t)
a(t)y’(t)
y’(t)+
+b(t)
b(t)y(t)
y(t)++c(t)
c(t) pour t dans I
y(t0) = y0 , y’(t0)=v0 (conditions initiales)
passant par le point (t0,y0) et ayant au point
(t0,y0) une tangente de pente v0
Le cas « à coefficients constants »
Hypothèses :
- I intervalle ouvert de R
- a , b e R ou C , c fonction continue de I dans R (ou C)
- t0 e I
y0 , v0 e R ou C (données initiales)
Conclusion :
Il existe
existeune
une
unique
fonction
Il
unique
courbe
intégrale de
l’équation
différentielle
y : I  R (ou
C) telle que :
y’’(t)=
++
c(t)
y’’ (t)=aay’(t)
y’(t)++bby(t)
y(t)
c(t) pour t dans I
y(t0) = y0 , y’(t0)=v0 (conditions initiales)
passant par le point (t0,y0) et ayant au point
(t0,y0) une tangente de pente v0
L’attaque du problème :
étape 1 : résolution de l’équation homogène
y’’(t) – a y’ (t) – b y(t) = 0 , t e R
a,b eC
?
y(t) = exp ( w t) solution ?
w2 – a w – b = 0
X2 – a X – b = 0 (équation
= (X- w1) (X-w
caractéristique)
2)
cas 1 : a2 + 4 b non nul
w1 et w2 distinctes
y = C1 exp(w1t) + C2 exp (w2 t) OK
cas 2 : a2 + 4 b = 0
w1= w2 =w
y = C1 exp(w t) + C2 t exp (w t) OK
L’attaque du problème :
résolution de l’équation homogène (cas complexe (2))
a , b complexes + conditions initiales (y0 , v0 e C)
cas 1 : a2 + 4 b non nul
w1 et w2 distinctes
y = C1 exp(w
y1(t) 1t) + C2 exp
y2(t)
(w2 t) OK
cas 2 : a2 + 4 b = 0
w1= w2 =w
y = C1 exp(w
y1(t) t) + C2 t yexp
2(t)(w t) OK
C1 y1(t0) + C2 y2(t0) = y0
C1 y’1(t0) + C2 y’2(t0) = v0
solution (C1,C2)
système de Cramer !
unique !!
l= a/2 <0 : oscillationsl=
amorties
a/2 >0 : oscillations amplifiées
L’attaque du problème :
l’équation homogène dans le cas réel (1)
y’’(t) – a y’ (t) – b y(t) = 0 , t e R
a,b eR
X2 – a X – b = 0 (équation
= (X- l1) caractéristique)
(X-l2)
cas 1 : a2 + 4 b > 0
inf(lj)>0 : « explosion »
l1 et l2 réels distincts y = C1 exp(l1t) + C2 exp (l2 t) OK
cas 2 : a2 + 4 b = 0
sup(lj)<0 : « extinction »
l>0 : « explosion »
l racine réelle double y = C1 exp(l t) + C2 t exp (l t) OK
a2
l<0 : « extinction »
cas 3 :
+4b<0
racines l +/- i w y = exp(l t) (C1 cos(wt) + C2 sin (w t)) OK
L’attaque du problème :
résolution de l’équation homogène (cas réel (2))
a , b réels + conditions initiales (y0 , v0 e R)
cas 1 : a2 + 4 b > 0
y1(t) 1t) + C2 exp
y2(t)
y = C1 exp(l
(l2 t) OK
cas 2 : a2 + 4 b = 0
y = C1 exp(l
exp
y1(t) t) + C2 t y
2(t)(l t) OK
cas 3 : a2 + 4 b < 0
y = C1 exp(lyt)
sin (w t) OK
(t)(w t) + C2 exp (ly2t) (t)
1 cos
C1 y1(t0) + C2 y2(t0) = y0
C1 y’1(t0) + C2 y’2(t0) = v0
solution (C1,C2)
système de Cramer !
unique !!
Recherche d’une solution particulière
de l’équation « avec second membre »
!
!
{
t
C
(t) =
C11’(u)
y2 (u) c(u)
du
I . Méthode de « variation
des constantes
-----------------(y1 y2’ – y2 y1’)(u)
-
y’’(t)=at y’(t) + b y(t) +
+ c(t)
c(t)
0
t
y1 (u)
OK dès que
: c (u)
C
(t) =
C22’(u)
système de Cramer !
------------------ du
C’1 (y
y11 y+
C’y22 yy
2’ –
1’)(u)
2 = 0
t01 y’1 + C’2 y’2 = c Solution unique (C1’,C2’)
C’
ypart
(t) =CC11
y(t)
(t)
y1(t) + C2(t) y2(t)
Bilan : la solution du problème de
Cauchy (cond. initiales : y0,v0)
solution générale de l’équation
y’’(t) – a y’(t) – by(t)=0
t
!
y (t) = C1 y1(t) + C2 y2 (t) +
c(t) (y1(u) y2 (t) – y2 (u) y1 (t))
------------------------------------ du
y1(u) y2’(u) – y2(u)y1’(u)
t0
C1 y1(t0) + C2 y2 (t0) = y0
C1 y1’(t0) + C2 y2’(t0) = v0
solution particulière de l’équation
y’’ (t) – a y’(t) – b y(t) = c(t)
Remarque
II. Une autre méthode pour la recherche d’une solution
particulière de y’’(t) – a y’(t) – by(t) = c(t)
Si le second membre c est de la forme :
P(t) exp(w t) , w e C
P(t) cos (wt) , w e R
P(t) sin (wt) , w e R
On cherche une solution particulière de la forme :
ypart(t) = Q (t) exp (wt), deg (Q) b deg (P) +2
(par exemple par identification)
Fin du Chapitre 3