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GPA750 – Ordonnancement
des systèmes de production
aéronautique
Cours # 4
Problème avec plusieurs
machines
• Machines en parallèles
• Complexité des problèmes avec plusieurs
machines.
• Environnement et Organisation (Atelier
mono-gamme vs Multigammes)
• Représentation réseau d’un calendrier
Machines Parallèles
Min Fmoy
• n commandes
• m machines en parallèles
• Toutes les commandes sont disponibles au
temps t=0
• Algorithme pour minimiser le temps de passage
moyen (Min Fmoy ) :
– Ordonner les commandes selon SPT;
– Prendre les commandes une à la fois et les assigner
sur la machine ayant le plus petit temps total
d’opération.
Exemple de SPT
• Exemple
j
pj
1
5
2
6
3
3
4
8
5
7
6
2
7
3
8
5
9 10
4
2
– Séquence SPT : 6-10-3-7-9-1-8-2-5-4
Fmoy = 8.1
Cmax = 18
Machines Parallèles : Min Cmax et Temps de
passage moyen (Fmoy )
• Heuristique pour minimiser Cmax :
– Ordonner les commandes selon LPT;
– Prendre les commandes une à la fois et les assigner sur la
machine ayant le plus petit temps total d’opération.
• Pour minimiser Cmax et Temps de passage moyen (Fmoy)
– Renverser les séquences sur les machines de sorte que l’on a
une séquence SPT.
• Exemple…
• Ne garantit pas l’optimalité
• Qualité de la solution
–
CMax ( LPT ) 4 1
 
Copt (OPT ) 3 3m
Exemple : Min Cmax et temps de passage moyen
Étape 1: LPT
Cmax = 16
Étape 2: SPT
Fmoy = 8.1
Machines Parallèles : Réduire T
• Heuristique 1: Min Tmax
– Ordonner les commandes selon EDD;
– Prendre les commandes une à la fois et les assigner
sur la machine ayant le plus petit temps total
d’opération.
• Heuristique 2 : Réduire T
– Ordonner les commandes selon SLACK (Marge);
• dj-pj
– Prendre les commandes une à la fois et les assigner
sur la machine ayant le plus petit temps total
d’opération.
• Exemples
• Ne garantit pas l’optimalité
Exemple pour Réduire T
Heuristique 1: EDD
Tmoy = 0.6
Tmax = 4
3 commandes en retard
Heuristique 2: SLACK
Tmoy = 1.3, Tmax = 5, 6 commandes en retard
Machines Parallèles :
Min le nombre de commandes en retard
• Etape 1: Appliquer l’algorithme EDD pour
les machines parallèles.
• Étape 2: Pour chaque machine, appliquer
l’algorithme de Moore pour minimiser le
nombre de commandes en retard sur une
machine.
• Exemple…
• Ne garantit pas l’optimalité
Sommaire
Problèmes avec une machine où toutes les commandes sont disponibles au
temps 0
Objectif
Algorithme
Observations
1 Min Fmoy
SPT
Calendrier optimal
2 Min Temps total pondéré
WSPT
Calendrier optimal
3 Min Lmax
EDD
Calendrier optimal
Min nbre de commandes
4 en retard
Algorithme de Moore
Calendrier optimal
Min Temps de passage
moyen avec chaînes de
5 préséance
SPT modifié
Calendrier optimal
Min Max j { γj(Cj) } avec
contraintes
6 de préséance
Algorithme de Lawler
Calendrier optimal
Min
7
T
J
j
Min SLACK en premier Ne garanti pas l’optimalité
Problèmes avec machines en parallèles
Objectif
1 Minimiser Fmoy
SPT
2 Min Cmax
LPT
LPT et ensuite SPT
3 Min Cmax et Fmoy
sur les machines
4 Min Tmax
EDD
Calendrier optimal
Ne garanti pas l’optimalité
Ne garanti pas l’optimalité
Ne garanti pas l’optimalité
Complexité des problèmes
• Procédures simples qui donnent la solution optimale pour certains
problèmes.
• Solutions approximatives pour d’autres…
– Peut-on trouver la solution optimale?
• Oui mais…
• Deux classes de Problèmes
– P vs NP
• ‘faciles’ vs ‘difficiles’
– P: On peut trouver une solution dans un temps polynomial
• Exemple: règle de Johnson.
– NP: Algorithme avec temps de résolution exponentiel
• Exemple: énumération complète ou implicite.
– Note : P est un sous-ensemble de la classe NP
• Donc la plupart des problèmes avec plus de 3 machines font partie
de la classe NP .
Complexité des algorithmes et
des temps de résolution
Une opération = 1 micro seconde
Complexité
Types d’environnements
Atelier Mono-gamme
Atelier Multi-gamme
Atelier Monogamme
(Flowshop)
• Pour une mesure de performance
régulière, il suffit de considérer les
calendriers avec la même séquence
sur les machines M1 et M2
– Preuve: Faire k avant i sur m1
– Ne change pas les temps de début
sur m2
• Il suffit de considérer les calendriers
ayant les mêmes séquences sur les
machines Mm-1 et Mm afin de
minimiser Fmax
– Preuve: Faire i avant k sur Mm
– ne change pas Fmax
• Donc, en pratique, on considère des
séquences de permutation
seulement dans les ateliers
monogammes.
Atelier Monogamme
Avec encours
• Séquence de permutation
• J1, …, Jn
– Formules pour calcul des temps de finition
• Pij – temps d’opération de la commande j sur la machine i
– Temps de finition de la première commande sur la machine 1
» Eq (1);
– Temps de finition de la kième commande sur la machine 1:
» Eq (2)
– Temps de finition de la kième commande sur la machine i
» Eq (3)
i
Ci , J 1   Pi , J 1 ,
i  1,..., m
(1)
Ci,Jk   P1, Jk ,
k = 1,...,n
(2)
Ci , Jk  max(Ci 1, Jk , Ci , Jk 1 )  Pi , Jk
i=2,...,m; k=2,...,n (3)
h 1
k
h 1
»
Représentation réseau
Cmax = Plus long chemin dans le réseau
Exemple
Atelier Monogamme
Pas d’encours
• Pas d’encours entre les machines
• Blocage des machines
– Représentation réseau
• Ajouter les nœuds (0,Jk), k=1,...,n
• Les autres nœuds (i, Jk), i=1,…,m, k=1,…,n
• le nœud (i, Jk), représente le temps de départ de la commande k
sur la machine i
• Le nœud (i, Jk) a deux arcs sortant:
– (i+1, Jk) avec comme valeur Pi+1,Jk
– (i-1, Jk+1) avec une valeur de Zero
– Note : Un problème avec encours limité peut être converti en un
problème avec zéro encours.
• Ajouter le nombre de machines nécessaires avec des temps
d’opération de zéro.
Atelier Monogamme
Pas d’encours
• Soit Dij le temps où la
commande j quitte la
machine i
• Di,J1 = h=1i Ph,J1
• Di,Jk = max(Di-1,Jk + Pi,Jk ,
Di+1,Jk-1 )
• Dm,Jk = Dm-1,Jk + Pm,Jk
•
Exemple – Sans encours
Atelier Monogamme
Pas d’encours
• Cas spécial 1:
– Deux machines sans encours
• Peut être converti en un cas spécial du problème
de commis voyageur
• Cas Spécial 2:
– Pas de temps d’attente entre deux opérations
de la même commande
– Solution…
• Plus tard
Atelier Multigamme
J1
J2
J3
J4
Représentation d’une séquence réalisable:
• Fixer les arcs sur les machines de sorte qu’il n’y ait pas de cycle