cours MPRI ordonnancement 2-24-1 devoir maison à rendre pour 8

cours MPRI ordonnancement
2-24-1
devoir maison
à rendre pour 8 novembre, peut être écrit à la main, ce devoir n'est pas à faire
en binôme
1 - Algorithme polynomial
L'algorithme de McNaughton trouve un ordonnancement optimal pour n
tâches avec préemption sur m machines parallẻles de même vitesse pour
minimiser la durée totale du makespan. Ce problème s'appèle P|pmtn|Cmax.
Maintenant on veut résoudre le même problème sur m machines parallèles,
mais qui fonctionnent à des vitesses données différerentes q1,..qm. Une
portion de tâche de durée p' met p'/qk unités de temps sur la machine k. Ce
problème s'appèle Q|pmtn|Cmax. Trouvez un algorithme polynomial pour ce
dernier.
2 - Problème NP-complet
Le problème 1|ri;Dj|- consiste en n tâches de durées pj différentes qui
viennent tous avec un intervalle [rj,Dj]. Le but est de trouver un
ordonnancement pour une machines qui exécute toutes les tâches j entre leur
date de relâchement rj et leur date limite Dj. Montrez que ce problème est
NP-dur.
3 - Graham
Trouvez un exemple sur lequel l'algorithme de Graham pour P||Cmax donne
une solution qui est (2-epsilon) fois l'optimum, pour un epsilon
arbitrairement petit.
Montrez que l'algorithme d'approximation de Graham pour P||C_max est
une 4/3 approximation quand les tâches sont traitées dans l'ordre
décroissant de leur taille.
4 - Programmation linéaire
Soient les vecteurs b (de longueur m), c (de longueur n) et la matrice A (m fois
n). Le dual du programme linéare LP1=[min c^T x t.q. Ax≥b, x≥0] est le
programme linéaire LP2=[max b^T y t.q. A^T y≤c, y≥0]. Montrez que la
solution optimal du LP1 a la même valeur objective que la solution optimale
du LP2.