Détection et diagnostic par combinaison d'un banc de filtres et de l'algorithme séquentiel DCS O. Mustapha1; M. Khalil1,2; G. Hoblos3; H. Chafouk3; D. Lefebvre4 1 Université Islamique du Liban 2 Université Libanaise 3 Ecole Supérieure d’Ingénieurs Généralistes 4 Université du Havre > EXIT Plan de la présentation - Position du problème - Formulation du problème de détection - Décomposition par banc de filtres - Algorithmes de détection CUSUM et DCS - Détectabilité de la DCS associée au banc de filtres (type MA) et algorithme - Résultats sur le TCEP 2 Plan de la présentation < > MAIN MENU EXIT Position du problème x(t) = x1(t) avant le point de changement x(t) = x2(t) après le point de changement 3 Position du problème < > MAIN MENU EXIT Formulation du problème de détection Le problème consiste à détecter une éventuelle rupture dans des caractéristiques spécifiques du signal observé x(t) et à estimer l'instant k de son apparition. Ce problème se ramène à un test d'hypothèse. H0 : Θ = Θ0, Θ0(t) et H1 : Θ = Θ1 , Θ1(t) 8 H1 : Θ = Θ1 H0 : Θ = Θ0 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Le problème revient à détecter le passage d'une distribution Θ0(t) à la distribution Θ1(t). Formulation du problème < > MAIN MENU 4 EXIT Formulation du problème de détection Le rapport de vraisemblance : ( x) p( x / H1) p( x / H 0) détermine le degré de similarité de deux signaux Sachant que: Alors: p( x / H 0) p ( H 0 / x) p ( x) p( H 0) et p( x / H1) p( H 1 / x) p( x) p( H1) p ( x / H 1) p ( H 0) x H1 p ( x / H 0) p ( H 1) et p ( x / H 1) p ( H 0) x H0 p ( x / H 0) p ( H 1) 5 Formulation du problème < > MAIN MENU EXIT Formulation du problème de détection L’algorithme de détection est caractérisé en général par deux paramètres: La probabilité de fausse alarme p p ( )d fa H0 0 pd La probabilité de détection. p H 1 ( ) d 0 L'algorithme sera optimal s’il maximise la probabilité de détection pour une probabilité de fausse alarme donnée. 6 Formulation du problème < > MAIN MENU EXIT Décomposition par banc de filtres Un banc de filtres est formé de plusieurs filtres passe-bandes : Signal Filtre passe-bande fréquence centrale F1 Composante spectrale m1 Filtre passe-bande fréquence centrale F2 Composante spectrale m2 . . . . Filtre passe-bande fréquence centrale FN Composante spectrale mN H(jf) in dB fs/2N f f1 fm fN Courbes de réponse du banc de filtres. Décomposition par BF < > MAIN MENU 7 EXIT Algorithme de CUSUM L’algorithme CUSUM se présente comme suit: j j f1 ( xi / xi 1 ,..., x1 ) i 1 i 1 f 0 ( xi / xi 1 ,..., x1 ) S si Ln j 1 L’intérêt de cette somme est qu’elle change de signe après l’instant de rupture, c.à.d. : EH 0 ( si ) 0 EH1 ( si ) 0 8 CUMSUM < > MAIN MENU EXIT Algorithme de CUSUM j i g S min S La fonction de détection est: j 1 1 1i j L’instant d’arrêt est : ta = min {j : gj h} L’instant de changement est défini par : k = max {j : gj =0} 9 CUMSUM < > MAIN MENU EXIT Algorithme de CUSUM Si les échantillons successifs sont indépendants, suivent une loi gaussienne, de moyenne nulle, et présentent uniquement des changements en variance: 0 0 1 1 et Les densités de probabilité peuvent s'écrire: x et x 1 2 i f 0 ( xi ) 2 0 e 2 02 f1 ( xi ) 1 2 1 e 2 i 2 12 L'expression du logarithme de vraisemblance est alors: 1 12 1 1 si [ Ln 2 xi2 ( 2 2 )] 2 0 0 1 10 CUMSUM < > MAIN MENU EXIT Résultats de CUSUM 10 original signal (x) H0 H1 5 0 -5 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 1200 1400 1600 1800 2000 10000 5000 cumulative sum (s) 0 -5000 0 200 400 10000 k ta detection function (g) 5000 0 threshold 0 200 400 600 800 1000 Résultat : Changement de la valeur moyenne CUMSUM < > MAIN MENU 11 EXIT Résultats de CUSUM 10 original signal (x) H0 H1 0 -10 0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 1400 1600 1800 2000 cumulative sum (s) -500 -1000 600 0 200 400 k detection function (g) ta 400 200 threshold 0 0 200 400 600 800 1000 1200 Résultat : Changement de l’amplitude CUMSUM < > 12 MAIN MENU EXIT Algorithme de DCS Hypothèses : les paramètres des segments sont inconnus j Soient les hypothèses dynamiques H aj ( after j ) et H b ( before j ) estimées en utilisant deux fenêtres de longueur N avant et après l’instant j comme suit : H bj : xi ; i { j N ,..., j 1} suit une loi de probabilité de densité f1 xi H aj : xi ; i { j 1,..., j N } suit une loi de probabilité de densité f 0 xi 13 DCS < > MAIN MENU EXIT Algorithme de DCS a) Exemple de signal contenant un seul point de changement k. b) Evolution de la somme cumulée dynamique autour du point de changement. 14 DCS < > MAIN MENU EXIT Algorithme de DCS La DCS est la somme des logarithmes des rapports de vraisemblance à partir du début du signal jusqu’à l’instant j: j DCS ( H , H ) Ln j a j b i 1 f ^i ( xi ) a i f ^ ( xi ) b j ^ s i i 1 La fonction de détection utilisée pour estimer l’instant de changement est exprimée par: g j max DCS H ai , H bi DCS H aj , H bj 1i j L’instant d’arrêt est: ta = inf {j : gj h} Le vrai instant de changement est estimé par: k = sup {j>1 : gj = 0} 15 DCS < > MAIN MENU EXIT Résultats de DCS Résultat : Changement de la variance en fonction du temps. DCS < > MAIN MENU 16 EXIT Détectabilité après filtrage MA La détectabilité est la capacité à détecter un changement. 50 H0 40 H1 30 tM (Point of change) 20 xt-N xt xt+N 10 0 Sb Sa -1 0 xtM xtM+1 x1 -2 0 xn -3 0 -4 0 -5 0 0 200 E [s]=0 0 400 60 0 800 100 0 120 0 E [s]>0 140 0 160 0 180 0 E [s]<0 200 0 E [s]=0 1 17 Détectabilité < > MAIN MENU EXIT Détectabilité après filtrage MA L’équation aux différences d’un filtre MA est: n y (t ) b(0) x(t ) b(1) x(t 1) ... b(n) x(t n) b(i) x(t i) i 0 L’équation aux différences à chaque niveau m est: n y ( m) (t ) b ( m) (i). x(t i) i 0 Après filtrage MA le logarithme des rapports de vraisemblance sera: (t ) 2 ( y (t ) ) 2 ( a(t ) ) 2 ( y ) 1 s t log( st ) [ Log (t ) 2 (t ) 2 (t ) 2 )] 2 ( a ) ( b ) ( b ) ~ 18 Détectabilité-MA < > MAIN MENU EXIT Détectabilité après filtrage MA L’espérance mathématique de log(st) est: n E[( y ) ] E[ (t ) 2 n b(i) x(t i)] E[b (0) x (t ) b (1) x (t 1) b (2) x (t 2) ... b (n) x (t n)] b (i)E[ x (t i)] 2 2 2 2 2 2 2 2 i 0 2 2 i 0 Après filtrage MA le logarithme des rapports de vraisemblance à chaque niveau m sera: ( a(t ) ) 2 1 1 s t log(st ) Log (t ) 2 2 2 ( b ) ~ n 1 1 b 2 (i) x 2 (t i) (t ) 2 2 ( a ) i 0 n b 2 (i) x 2 (t i) i 0 1 ( b(t ) ) 2 19 Détectabilité-MA < > MAIN MENU EXIT ) Détectabilité après filtrage MA Pour t < tM-W, les segments alors: ( 0(t ) ) 2 1 1 E 0 [s] E 0 [ Log (t ) 2 2 2 ( 0 ) ~ n S a(t ) 1 b (i) x (t i) (t ) 2 2 ( 0 ) i 0 2 1 et 2 S b(t ) sont identiques, n b (i) x 2 i 0 2 (t i) 1 ( 0(t ) ) 2 )] 0 a and b TM Xt-N Xt Sb X t+N Sa H0 H1 E [s]=0 0 20 Détectabilité-MA < > MAIN MENU EXIT Détectabilité après filtrage MA Pour tM-W < t < tM , les segments pas identiques, alors: ( a(t ) ) ~ 1 E [s] E [ Log (t ) 2 ( 0 ) ( 0(t ) ) 2 n 1 b (i) (t ) 2 2 ( a ) i 0 Xt-N 2 Xt Sb n S a(t ) 0(t ) ) 2 b (i) ( 2 i 0 et (t ) 2 0 ) S b(t ) ne sont ] 0 a and b Xt+ N Sa TM H0 H1 E [s]>0 21 Détectabilité-MA < > MAIN MENU EXIT Détectabilité après filtrage MA Pour tM < t < tM+W , les segments S a(t ) et S pas identiques, alors: ~ E [s] E [ Log ( 1(t ) ) ( b(t ) ) 1 2 n b 2 (i) i 0 ( 1(t ) ) 2 ( 1(t ) ) 2 X t-N 1 2 n i 0 Xt Sb TM b 2 (i) ( 1(t ) ) 2 ( b(t ) ) 2 (t ) b ne sont ] 0 a and b Xt+N Sa H0 H1 E [s]<0 22 Détectabilité-MA < > MAIN MENU EXIT Détectabilité après filtrage MA Pour t > tM-W, les segments alors: ( 1(t ) ) 2 1 1 E 1[s] E 1[ Log (t ) 2 2 2 ( 1 ) ~ n 1 b (i) x (t i) (t ) 2 2 ( 1 ) i 0 2 1 S a(t ) 2 et S b(t ) sont identiques, n b 2 (i) x 2 (t i) i 0 Xt-N TM H0 1 ( 1(t ) ) 2 Xt Sb )] 0 a and b Xt+ N Sa H1 E 1 [s]=0 23 Détectabilité-MA < > MAIN MENU EXIT Détectabilité après filtrage MA E [s]<0 E [s]>0 E [s]=0 0 E [s]=0 1 Un changement dans un paramètre est équivalent à un changement dans le signe de la moyenne du logarithme du rapport de vraisemblance. 24 Détectabilité-MA < > MAIN MENU EXIT Détectabilité après filtrage MA Le filtrage cause un retard de N points: DCS sera décalé N points à gauche. TM t H0 xJ H1 n y ( j ) b(i) x ( j i ) i 0 yJ- 2N TM yJ Sb Sa t H0 H1 Delay= N 25 Détectabilité-MA < > MAIN MENU EXIT Algorithme BF + DCS L’algorithme comporte les étapes suivantes : Signal Segmentation séquentielle du signal. Décomposition des segments par un banc de filtres. Détection par la méthode DCS. Segmentation/décomposition du signal par un Banc de filtres Détection des segments par la méthode DCS Résultats 26 Banc de filtres et DCS < > MAIN MENU EXIT Algorithme BF + DCS Organigramme de l’algorithme Start On-line signal reading (sample by sample) Signal Decomposition using N-channels band-pass filters bank Applcation of the DCS using windowing technique (Ha and Hb) around each sample Plotting the curves showing the points of change of parameters. Interpretation of results End 27 Banc de filtres et DCS < > MAIN MENU EXIT Algorithme de détection un Banc de filtres et le DCS Les bancs de filtres servent à extraire les caractéristiques fréquentielles et énergétiques du signal. Signal d’origine simulé présentant un changement fréquentiel à tr=1000s(b,c,d) les 3 composantes du signal avec de filtres de type MA 28 Banc de filtres et DCS < > MAIN MENU EXIT Algorithme BF + DCS Application de la DCS sur un signal avec un changement fréquentiel. a) Signal d’origine b) DCS appliquée au signal Résultats après une décomposition de type MA. a) Signal d’origine présentant un changement fréquentiel b) DCS appliquée directement sur le signal d’origine (c,d,e) : Décomposition en 3 composantes (m=1,2,3) (f,g,h) : Fonctions de détection correspondantes aux composantes 29 Banc de filtres et DCS < > MAIN MENU EXIT Application : TECP Tennessee Eastman Challenge Process Processus chimique (Downs and Vogel, 1993) 2 produits G et H 4 reactifs A,C,D, E 7 modes opératoires 41 variables mesurées 12 variables commandées 20 perturbations (IDV1 to IDV20) 30 Application : TECP Tennessee Eastman Challenge Process 31 Application : TECP Tennessee Eastman Challenge Process Commande neuronale adaptative robuste (Zerkaoui et al., 2007) * 4 entrées : T° du réacteur P du réacteur niveau du séparateur niveau du purificateur * 4 sorties : vanne de purge vanne du séparateur vanne CWR du condenseur vanne CWR du réacteur * 8 + 8 neurones * CI nulles 32 Application : TECP Tennessee Eastman Challenge Process La commande neuronale adaptative robuste : (1) stabilise le système dans un mode donné (2) permet de changer de mode opératoire (3) compense les perturbations 17 / 20 Objectif : détecter l’apparition des perturbations en boucle fermée 33 Application sur le TECP Tennessee Eastman Challenge Process Décomposition par un banc de 3 filtres passe - bandes + algorithme DCS fréquences centrales : 1.38e-5 Hz 6.25e-4 Hz 1.04e-3 Hz 34 Résultats pour IDV2 35 Application < > MAIN MENU EXIT Résultats pour IDV11 W=300 , tr=600 a Original signal tecp-avec-idv11,numerosignal=12 55 50 tc= 45 0 b 20 10 0 -10 c 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 2453 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 1 2 0 -2 f 616 0.5 0 0 1000 2000 3000 0 2 d 0 1000 2000 3000 1 g -2 0.5 615 0 0 1000 2000 3000 0 1000 2000 3000 1 1 e 0 -1 h 615 0.5 0 0 1000 2000 3000 0 1000 2000 3000 36 Application < > MAIN MENU EXIT Synthèse des résultats 37 Application < > MAIN MENU EXIT Evaluation de performances Les performances d’une technique de détection sont toujours évaluées par la capacité de la technique à bien détecter un défaut (probabilité de détection) et la limitation de fausses alarmes (probabilité de fausses alarmes). La courbe COR (Caractéristique Opérationnelle de Réception) représente la probabilité de détection en fonction de la probabilité des fausses alarmes. 38 Application < > MAIN MENU EXIT Perspectives et travail en cours Détectabilité dans le cas d’un filtre ARMA + DCS Détermination systématique de l’ordre des filtres Détermination du seuil de détection Classification des événements après décomposition détection. Mise en œuvre temps réel et application sur des mesures issues de processus pilotes. 39 Perspectives < > MAIN MENU EXIT Quelques communications Travaux de la thèse [1] MUSTAPHA O., KHALIL M., HOBLOS G., CHAFOUK H., LEFEBVRE D., “On-Line Fault Detection by Using Filters Bank and Artificial Neural Networks”, ICTTA’06, Damascous, Syria, April 23-27, 2006 [2] MUSTAPHA O., KHALIL M., HOBLOS G., CHAFOUK H., LEFEBVRE D., On-Line Change Detection by Using Filters Bank/Wavelet Transform and Dynamic Cumulative Sum Method. LEFK 2006, Turkey, November 30- December 1, 2006. [3] MUSTAPHA O., KHALIL M., HOBLOS G., CHAFOUK H., LEFEBVRE D., Fault Detection Algorithm Using DCS Method Combined with Filters Bank Derived from the Wavelet Transform. 4th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics, Angers, France, May 9-12, 2007. [4] MUSTAPHA O., KHALIL M., HOBLOS G., CHAFOUK H., LEFEBVRE D., About the detectability of DCS algorithm combined with Filters Bank, Qualita’07, Tanger, Morocco, March 20-22 2007. 40 Position du problème < > MAIN MENU EXIT