Cours4-Phy106

PHYS106B
Electrostatique - Magnétostatique- Induction Electromagnétique
L1 : Physique-Chimie-Mécanique-E2i
Cours du 08 Février 2007
1
Rappel: Champ et potentiel électrostatique d’une charge ponctuelle
M
A
x
r
x
qA

E A (M )
M’
x

E A (M ' )


1 q A AM
EA( M ) 
40 r 3
VECTEUR
1
qA
V (M ) 
40 r
SCALAIRE
2
Rappel: 1. Méthode de Coulomb en Electrostatique
Etude d’une distribution linéique de charges
dqi  dz
z
Axe de rotation C
Plan de symetrie
contenant le fil.

Fil unifomément chargé ()
(P// )
Plan de symetrie (P )
(plan médiateur du fil)
x
3
z
Champ crée par dz en A

dE A ( M ) 
+a
dz
dz
A
dE A’
z
O
dz
fil chargé ()

dE A ' ( M ) 
dE A
A’
1
dz AM
40
AM
3
Champ crée par dz en A’
x
M



1
dz A' M
40
A' M
3
Champ crée par dz en A et dz en A’
-a

dE A, A' ( M ) 



 




1  dz AM dz A' M 
1 2dz OM xu x
dz





3
3
3
4 0  AM 3
2 0 2
A' M  4 0 AM
2 2
x  z 


Champ crée par la tige de longueur 2a


xu x
E( M) 
20

dz
a
0
x
2
z
3
2 2



 sin 0 u x
E( M ) 
2 0 x
sin 0 
a
a2  x2
4
Calcul du potentiel électrostatique en un point de l’axe Ox (calcul direct)
Champ crée par la tige
Champ crée par dz en A
dV A ( M ) 
dz
V (M )  
40 x 2  z 2
dz
a
a
40 x 2  z 2
Par la relation différentielle champ - potentiel électrostatique


dV   E ( M ). dl  
adx
20 x a 2  x 2
V ( M )  
adx
20 x a 2  x 2
On détermine le potentiel en M à une constante près
que l’on fixe par la convention de Coulomb si applicable.
5
Cas particulier : Champ et Potentiel d’un fil chargé de longueur infinie
a
0 

2
Champ
Potentiel


 sin 0 u x
E( M ) 
2 0 x
sin 0 
a
a2  x2
Lignes de champ
d’une tige finie


0 u x
E( M) 
2 0 x


V ( M )    E ( M ). dl
.
dx

V ( M )  

Ln( x )  K
2 0 x
2 0
fil chargé infini
Lignes de champ
Surfaces équipotentielles et lignes de champ
d’une tige de longueur infinie
Surfaces équipôtentielles
6
Méthode de Coulomb : Distribution surfacique de charges
z
Oz : axe de rotation C

z
Plan de symétrie contenat Oz.
Disque
Chargé
en surface
(infinité de plans)
z
Axe de rotation C
 dS en A’:

dE A ( M ) 

dE A' ( M ) 
 dS en A et A’:
M(0,0,z)
 dS
A’
d
2
( 2
)
2
 dS en A:
d
Plan de symétrie
contenant le disque.
(unique)
O

1 dSAM
A
 dS
40 AM 3

1 dSA' M
40
A' M

dE A, A' ( M ) 

AM  A' M  2.OM  2.z.u z
3
dS
4 0 AM
3

2 zuz
7
 dS en A et A’

dE A, A' ( M ) 
dS
4 0 AM
3
z

2 zuz
Champ crée par une couronne
circulaire d’épaisseur dr
d
M(0,0,z)
A’
dr
A
A’
r
A

dE Couronne ( r ) ( M ) 
rdr
40 AM
3

2 zuz 
rdr
20 AM
3

zu
Champ crée par le disque

a rdr

z
Edisque( a ) ( M )  
z
u

z
3
0
2 0
 0 AM

a
0

  z
z
u


3 z
2 0  z
z2  a2
2
2 2
 0 (r  z )
rdr

u z


8
Calcul du potentiel électrostatique V(M), M étant un point de l’axe Oz



 
z

2
2
1 
 dz  V ( M )  
dV   E ( M ). dl  
z

z

R
K
2
2
20 
20
z R 


Cas d’un plan infini chargé uniformément en surface

 z 
E( M ) 
uz
2 0 z




dV   E ( M ). dl  
dz  V ( z )  
z K
2 0
2 0
9
10
Modélisation de l’activité électrique au sein de nuages
11
2 –Méthode (Théorème) de Gauss
Vecteur surface
S
Soient deux vecteurs concourants
la surface hachurée est définie par:
L2



 
S  L1  L2  L1 L2 sin( L1 , L2 )
Le vecteur surface est un vecteur de norme S
:
et de direction perpendiculaire au plan contenant
 

S  L1  L2
Cette définition est généralisable au cas de surfaces
élémentaires délimitée par des vecteurs élémentaires



dS  dL1  dL2

L1

dL1
et
(S)
L1

L2
et

dL2
12
Convention
Orienter la surface de l’intérieur vers l’extérieur
dS
dS
Surface fermée
dS'
Orientation de la surface selon
l’orientation de la boucle qui délimite
la surface (règle du tire-bouchon)
13
Flux d’un champ de vecteurs à travers une surface
Notion liée au débit de matière (flux de vitesse),
débit de charge (flux de charges= Intensité électrique)
z
E
z
°
Flux élémentaire
dS=z dx u
y
°
uz
u
(S)
y
ux
y
y
°
x
°
x
 E / S  


E ( M ). dS M
Flux=E.S
Flux nul
Si le champ et le vecteur surface sont uniformes sur toute la surface
 E / S
 
 
 E.S  E.S . cos( E, S )
14
Application de la notion de flux au champ électrostatique
Cas d’une charge ponctuelle à l’intérieur d’une surface fermée
E(M)
Surface
équipotentielle
M
dS


E ( M ). dS M  E ( M ). dS 
Q
Q


E / équipotentielle
4 0 r
2
dS


  E ( M i ). dS Mi  E ( M ) dS Mi 
Mi
Mi
Q
40 r
4r 
2
2
Q
0
Indépendant de la surface fermée choisie
15
Cas d’une charge ponctuelle située en dehors d’une surface fermée
dS''
M''
Q
dS'
M'
M
E(M)
dS




E ( M ). dS   E ( M '). dS '
Flux rentrant
Flux sortant
Si la charge est en dehors de la surface, le flux du champ électrostatique
à travers une surface est nul.
16
Enoncé du théorème de Gauss
Dans le vide, le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée
() est égale à la somme des charges intérieures à () divisée par 0.
Q
int.à
 E /  
0
dS
Charges
de densité 
Cas d’une distribution volumique de
charges
La surface fermée délimite les charges entre
des charges intérieures ou extérieures.
Surface fermée 
dS'
 E /  

Volume dé lim ité par 
0
dv
17
Cas d’une distribution de charges surfaciques
dS
Surface fermée
Charges (
 E /  
 dS

0
dS'
18