un outil mathématique pour la physique

La Transformée de Fourier :
un outil mathématique pour la physique
Joseph Fourier
1768 - 1830
La Transformée de Fourier :
un outil mathématique pour la physique
Plan
Joseph Fourier
- Introduction, Historique
- La fonction « delta » de Dirac
- La transformée de Fourier
- La transformée de Fourier inverse
- Application :
1768 - 1830
la propagation d’impulsions lumineuses en fibre optique
- Conclusion
Introduction
Joseph Fourier
Conduction de la chaleur
I
Tf
Tc
1768 - 1830
L
T f  T f
T
H  kT S
L
 Q  c m T
Loi de la conduction
T
c
 kT T
t
équation de diffusion

 cos ( x)dx  ?

L


cos ( x)dx
L
1
cos( x)
x
2L
L
1
 cos ( x)dx   sin( x)
L
L
L

1

[sin( L)  sin( L)]
sin( L)
sin(
 L)
cos(

x
)

2L
 2 L sinc( L)
2
1
L

x
Sinus cardinal
2L
 0 
zero à l’
x
sin( x)
sinc( x) 
x
 sin( x) 
lim sinc( x)   lim 

x 0
x 0
x


x
 lim    1
x 0 x
 
L
1
 cos ( x)dx   sin( x)
L
L
L
2
sin( L)


 2L
1

[sin( L)  sin( L)]
sin( L)
 2 L sinc( L)
L
sin( x)
sinc( x) 
x
Sinus cardinal
L
zero à l’
 0 
 cos ( x)dx  2 L sinc( L)
L
2L
x
 / L
0
 /L

L
1
 cos ( x)dx   sin( x)
L
L
L
2
sin( L)


 2L

[sin( L)  sin( L)]
sin( L)
 2 L sinc( L)
L
sin( x)
sinc( x) 
x

1
1
cos( x)
L
 cos ( x)dx  2 L sinc( L)
L
2L
x
2L
 / L
0
 /L

L
1
 cos ( x)dx   sin( x)
L
L
L
2
sin( L)


 2L

[sin( L)  sin( L)]
sin( L)
 2 L sinc( L)
L
sin( x)
sinc( x) 
x

1
1
cos( x)
L
 cos ( x)dx  2 L sinc( L)
L
2L
x
2L
 / L
0
 /L

L
1
 cos ( x)dx   sin( x)
L
L
L
2
sin( L)


 2L
1

[sin( L)  sin( L)]
sin( L)
 2 L sinc( L)
L
sin( x)
sinc( x) 
x
 0
cos( x)
1
L
 cos ( x)dx  2 L sinc( L)
L
2L
2L
 / L
0
 /L

L


cos ( x)dx  2 L sinc( L)

augmentation de L
2L
L
2L
 / L
0
 /L

 / L
2L
diminution de L
0
 /L

2
0
L
L 
 / L
0
 /L

2 L sinc( L)  ?
2L  
L
lim
L 
 cos ( x)dx  lim  2 L sinc( L)   2  ( )
L 
L


sin(ax)

 sinc(ax) dx   ax dx  a

 
 2 L sinc( L) d  2 L  L   2

2
0
L
 lim  2 L sinc( L) d  2

L 
2
2
Fonction de Dirac :
1
L

 ( )  lim  sinc( L) 
L  




  ( ) d  1
1902 - 1984

2L  
L
lim
L 
 cos ( x)dx  lim  2 L sinc( L)   2  ( )
L 
L

 cos ( x)dx  2  ( )

2
0
L
Fonction de Dirac :
L

 ( )  lim  sinc( L) 
L  




  ( ) d  1
1902 - 1984

2L  
L
lim
L 
 cos ( x)dx  lim  2 L sinc( L) 
L 
L

 cos ( x)dx  2  ( )



 cos (f(x))dx (0) cos(
dx  ?   0
 x)


2
0
L
1
x
Fonction de Dirac :
L

 ( )  lim  sinc( L) 
L  




  ( ) d  1
1902 - 1984

2L  
L
lim
L 
 cos ( x)dx  lim  2 L sinc( L) 
L 
L

 cos ( x)dx  2  ( )



 cos (f(x))dx () cos(
dx  ?   0
 x)


2
0
L
1
x
Fonction de Dirac :
L

 ( )  lim  sinc( L) 
L  




  ( ) d  1
1902 - 1984

2L  
L
lim
L 
 cos ( x)dx  lim  2 L sinc( L) 
L 
L
 ( )

 cos ( x)dx  2  ( )




f (0)

f ( )  ( ) dx  ?f (0)   ( ) d
0


2
0
L
f ( )

1
f ( )  ( ) dx  f (0)


 0
Fonction de Dirac :
L

 ( )  lim  sinc( L) 
L  




  ( ) d  1
1902 - 1984

Résumé :


 ( )
cos ( x)dx  2  ( )

  ( ) d  1




f ( )  ( ) dx  f (0)

0

La Transformée de Fourier

TF ( f )   f ( x) ei x dx  F ( )

f ( x)
exemple :

a
f ( x)  

0
L
TF ( f ) 

L
ae
si
x L
si
x L
i x
a
L
L
x
L
1 i x 

dx  a  e 
 i
L
2L
1  i L
sin( L)
sin( L)
i L 
TF ( f )  a
e
e
 2a
 2aL

i 

L
TF ( f )  2aL sinc( L)
La Transformée de Fourier

TF ( f )   f ( x) ei x dx  F ( )

exemple :TF (
2aL
f )  F ( )

a
f ( x)  

0
L
si
x L
si
x L
f ( x)
a
TF
L
x
L
1 i x 

FT ( f )   a e0
dx  a  e 
 / L
 /L
 i
L
L
i x
L
2L
1  i L
sin( L)
sin( L)
i L 
TF ( f )  a
e
e
 2a
 2aL

i 

L
TF ( f )  2aL sinc( L)
La Transformée de Fourier

TF ( f )   f ( x) ei x dx  F ( )

La Transformée de Fourier inverse :


F ( ) e i x d  ?g ( x ) 

F ( ) 





 
 
f ( x) ei x dx
f ( x) ei x dx ei x d
La Transformée de Fourier

TF ( f )   f ( x) ei x dx  F ( )

La Transformée de Fourier inverse :


F ( ) e i x d  ?g ( x ) 

g ( x) 


e


 
f ( x) ei x dx ei x d
 



i ( x x )
d 
f ( x)


ei xei x d dx





 cos[ ( x  x)] d  i  sin[ ( x  x)] d



ei ( x x ) d 




 cos[ ( x  x)] d  i  sin[ ( x  x)] d


 sin(f x()dx) (0 ) dx  ?


2
0
L
1
sin( x)
 0
x


ei ( x x ) d 





 cos[ ( x  x)] d  i  sin[ ( x  x)] d
( x ' x)

 cos ( x)dx  2  ( )



 sin(f x()dx) (0 ) dx  ?


2
0
L
1
sin( x)
 0
x

ei ( x x ) d 






 cos[ ( x  x)] d  i  sin[ ( x  x)] d

 cos ( x)dx  2  ( )




ei ( x x ) d 
( x ' x)

 cos[ ( x  x)] d  2  ( x ' x)

 ( x  x )
 (
x)
f ( x)
f ( x)
0

x
0
x
x
La transformée de Fourier inverse : récapitulatif

F ( ) e i x d  ?g ( x ) 



g ( x) 




 
f ( x) ei x dx ei x d
 
TF ( f )



e
g ( x)  2







 cos[ ( x  x)] d  i  sin[ ( x  x)] d
i ( x x )


ei xei x d dx

ei ( x x ) d 

f ( x)



 ( x  x )
d  2  ( x ' x)
f ( x)
f ( x)  ( x  x) dx
f ( x)

F ( ) ei x d  g ( x)  2 f ( x)
0
x
x
Résumé :
Transformée de Fourier

TF ( f )   f ( x) ei x dx  F ( )



F ( ) ei x d  2 f ( x)

Transformée de Fourier inverse
1
TF ( F ) 
2
1


F ( ) ei x d  f ( x)

TF 1[TF ( f )]  f ( x)
La Transformée de Fourier est une bijection dans l’espace des fonctions
TF
F
f
g
G
TF 1[TF ( f )]  f ( x)
TF ( f )  F
TF 1 TF ( f )  TF 1  F   f
TF ( g )  F
TF 1 TF ( g )  TF 1  F   f  g
Application : la propagation d’impulsions lumineuses en fibre optique
Laser : onde monochromatique
ik (0 ) z i0t
E ( z, t )  a e
0
e
k  k ( ) 

c
n( )
Laser
z
E ( z, t )  ?
Application : la propagation d’impulsions lumineuses en fibre optique
Laser : onde monochromatique
ik (0 ) z i0t
E ( z, t )  a e
e
k  k ( ) 
0
0 1 0 1 0

c
n( )
Laser
0
E (0, t )  a (0, t )e
modulateur
i0t
TF temporelle :

TF ( f ) 

1
TF ( F ) 
2
1
spectre
f (t ) eit dt  F ()

z
E ( z, t )  ?



F () e it d   f (t )
A()  TF [a(0, t )]
Application : la propagation d’impulsions lumineuses en fibre optique
Laser : onde monochromatique
ik (0 ) z i0t
E ( z, t )  a e

a0
a(0, t )  
0 1 0 1
0
0
0
Laser
e
for t  T
k  k ( )  n( )
for t  T c
T
TF [a(0, t )]  0 a0 eit dt i0t
modulateur
E (0,
t )  a (0, t )e
T
TF temporelle
TF[a(0, t: )]  2a0Tsinc(T ) 

TF ( f ) 

f (t ) eit dt  F ()

1
TF ( F ) 
2
1
A()



F () e it d   f (t )
a (0, t )
a0
2T
t
z
A( )E ( z , t )  ?
spectre
A()  TF [a(0, t )]
0
 /T  / T 
Application : la propagation d’impulsions lumineuses en fibre optique
Laser : onde monochromatique
ik (0 ) z i0t
E ( z, t )  a e
e
k  k ( ) 
0
0 1 0 1 0

c
n( )
Laser
0
E (0, t )  a (0, t )e
modulateur
i0t
TF temporelle :

TF ( f ) 

1
TF ( F ) 
2
1
spectre
f (t ) eit dt  F ()

z
E ( z, t )  ?



F () e it d   f (t )
A()  TF [a(0, t )]
a(0, t )  TF 1[ A()]
Application : la propagation d’impulsions lumineuses en fibre optique
Laser : onde monochromatique
ik (0 ) z i0t
E ( z, t )  a e
0
e
k  k ( ) 

0 1 0 1 0
c
n( )
Laser
0
E (0, t )  a (0, t )e
modulateur
1
E (0, t ) 
2
1
E (0, t ) 
2

 A() e



it
d e
z
E ( z, t )  ?
i0t
i0t
A() ei (0 )t d 
spectre
A()  TF [a(0, t )]
a(0, t )  TF 1[ A()]

Somme d’ondes monochromatiques
  0  
Paquet d’ondes :
1
i0t
E (0, t )  a(0, t )e

2
En (0, t )  An cos(nt )
t
t
t
t


A() ei (0 )t d 

1
-1/3
1/5
-1/7
Paquet d’ondes :
1
i0t
E (0, t )  a(0, t )e

2
0
a (0, t )
a0

A() ei (0 )t d 

0  

Laser
modulateur
2T

A( )
t
Propagation
k  k ( ) 

c
n( )
 /T
0
A( )
 /T 
E ( z, t )  ?
z
monochromatique :
a (0, t )  A() ei (0 )t
a ( z, t )  A() e
ik (0 ) z i (0 )t
e
Paquet d’ondes :
1
i0t
E (0, t )  a(0, t )e

2
1
E ( z, t ) 
2
Propagation




A() ei (0 )t d 

A() eik (0 ) z ei (0 )t d 

k  k ( ) 

c
n( )
E ( z, t )  ?
z
monochromatique :
a (0, t )  A() ei (0 )t
a ( z, t )  A() e
ik (0 ) z i (0 )t
e
Paquet d’ondes :
1
i0t
E (0, t )  a(0, t )e

2


A() ei (0 )t d 


ik (0  ) z i (0  )t
A
(

)
e
e
d

k0
k0
  dk 
approximation d’ordre 1: k (0  )  k (0 )  k (0 )  
k 

d




1
i ( k0  k0) z i (0 )t
E ( z, t ) 
A
(

)
e
e
d

2 
1
E ( z, t ) 
2
1
E ( z, t ) 
2


A() eik0z e it d  eik0 z ei0t

1
E ( z, t ) 
2



A() e i(t k0z ) d  eik0 z ei0t
1
E ( z, t ) 
2


A() e i(t k0z ) d  eik0 z ei0t
a (0, t )

a(0, t  k0 z )
1
a(0, t ) 
2


A() eit d 

t
0
a(0, t  k0 z )
E ( z, t )  a(0, t  k0 z ) eik0 z ei0t
k ( ) 
0

c
0
n( )
T  k0 z t
E ( z, t )
z
1
dk
z

vg  
T k0 d 
1
0
Conclusion
Joseph Fourier
La Transformée de Fourier est un outil mathématique puissant
naturellement adapté à la description de la nature
0
0  
Laser
modulateur
A( )
- Optique et électromagnétisme
- Thermodynamique
- Dynamique des fluides
- Mécanique quantique
- Théorie de l’information
- etc…
1768 - 1830