TES DS3 dérivation et continuité sur un intervalle S1 1

TES DS3 dérivation et continuité sur un intervalle S1
1
Exercice 1 : (3 points)
Dans un repère, est la courbe représentative d’une fonction f définie et dérivable sur I. Dans
chacun des cas, déterminer une équation de la tangente à au point d’abscisse a.
a) f(x) = 3x² - 5x + 1 a = 1
b) f(x) = -x² + x
3
a = 2
Exercice 2 : (4 points)
f est une fonction définie et dérivable sur Y , croissante
sur ]- ∞ ;0] et décroissante sur [0 ;+ ∞[ et strictement
positive sur [-1 ;+ ∞[.
Sa représentation graphique dans un repère est donnée
ci-contre.
a) Une des trois courbes ci-dessous représente la fonction f’. Laquelle ? Justifier la
réponse.
b) Une fonction g, définie et dérivable sur Y , admet pour dérivée la fonction f. Une seule
des courbes ci-dessous peut représenter la fonction g. Laquelle ? Justifier la réponse.

TES DS3 dérivation et continuité sur un intervalle S1
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Exercice 3 : règles de dérivation (6 points)
u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur Y par u(x) = 1 – 5x et v(x) = 3x² + 4.
Déterminer l’expression de la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
a) h = u×v
b) k = 2
v
c) l = u
v
Exercice 4 : (3 points)
p désigne un nombre réel.
f est la fonction définie sur l’intervalle [-2 ;2] par :
f(x) =
x – p si x ∈ [-2 ,0]
x² + 4 si x ∈ ]0 ,2]
a) Tracer la courbe représentative de la fonction f en prenant p = 0 à l’écran de la
calculatrice.
b) Que peut-on dire de la fonction f si p = 0 ?
c) Déterminer la valeur de p telle que f soit continue sur l’intervalle [-2 ;2].
Exercice 5 : (4 points)
f est la fonction définie sur [-2 ;3] par :
f(x) = x
3
- 3x² + 6
a) Dresser le tableau de variation de f.
b) Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle [-2 ;3].
c) En déduire le tableau de signes de f(x) sur [-2 ;3].
d) A l’aide de la calculatrice, déterminer l’arrondi de α au centième.

TES DS3 dérivation et continuité sur un intervalle S2
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Exercice 1 : (3 points)
Dans un repère, est la courbe représentative d’une fonction f définie et dérivable sur I. Dans
chacun des cas, déterminer une équation de la tangente à au point d’abscisse a.
a) f(x) = -3x² + 2x - 4 a = 2
b) f(x) = x² - x
3
a = 1
Exercice 2 : (4 points)
f est une fonction définie et dérivable sur Y , décroissante sur ]- ∞ ;-1]
et croissante sur [-1 ;+ ∞[ et strictement positive sur ]- ∞ ;-2[.
Sa représentation graphique dans un repère est donnée ci-contre.
a) Une des trois courbes ci-dessous représente la fonction f’.
Laquelle ? Justifier la réponse.
b) Une fonction g, définie et dérivable sur Y , admet pour dérivée la fonction f. Une seule des
courbes ci-dessous peut représenter la fonction g. Laquelle ? Justifier la réponse.

TES DS3 dérivation et continuité sur un intervalle S2
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Exercice 3 : règles de dérivation (6 points)
u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur Y par u(x) = 2 – 3x et v(x) = 4x² - 3.
Déterminer l’expression de la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
a) h = u×v
b) k = 2
v
c) l = u
v
Exercice 4 : (3 points)
p désigne un nombre réel.
f est la fonction définie sur l’intervalle [-3 ;3] par :
f(x) =
- x + p si x ∈ [-3 ,0]
x² + 1 si x ∈ ]0 ,3]
a) Tracer la courbe représentative de la fonction f en prenant p = 0 à l’écran de la
calculatrice.
b) Que peut-on dire de la fonction f si p = 0 ?
c) Déterminer la valeur de p telle que f soit continue sur l’intervalle [-3 ;3].
Exercice 5 : (4 points)
f est la fonction définie sur [-2 ;7] par :
f(x) = -x
3
+ 6x² + 5
a) Dresser le tableau de variation de f.
b) Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle [-2 ;7].
c) En déduire le tableau de signes de f(x) sur [-2 ;7].
d) A l’aide de la calculatrice, déterminer l’arrondi de α au centième.

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CORRECTION
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Exercice 1 : (3 points)
Dans un repère, est la courbe représentative d’une fonction f définie et dérivable sur I.
Dans chacun des cas, déterminer une équation de la tangente à au point d’abscisse a.
a) f(x) = 3x² - 5x + 1 a = 1
b) f(x) = -x² + x
3
a = 2
Une équation de la tangente à est y = f’(a)(x – a) + f(a).
a) f est une fonction polynôme
dérivable sur Y .
f’(x) = 3×(2x) – 5 = 6x – 5
Une équation de la tangente à au
point d’abscisse 1 est donc :
y = f’(1)(x – 1) + f(1) = (6×1 – 5)×(x
– 1) + 3×1² - 5×1 + 1 = x – 1 + 3 – 5 +
1 = x – 2
b) f’(x) = -2x + 3x²
Une équation de la tangente à au
point d’abscisse 2 est donc :
y = f’(2)(x – 2) + f(2)
y = (-2×2 + 3×2²)×(x – 2) – 2² + 2
3
Soit y = 8(x – 2) + 4 = 8x – 16 + 4
Soit y = 8x - 12
Exercice 2 : (4 points)
f est une fonction définie et dérivable sur Y ,
croissante sur ]- ∞ ;0] et décroissante sur [0 ;+ ∞[ et
strictement positive sur [-1 ;+ ∞[.
Sa représentation graphique dans un repère est donnée
ci-contre.
a) Une des trois courbes ci-dessous représente la fonction f’. Laquelle ? Justifier la
réponse.