Étude de la fonction tangente : correction

TS-Mme Morel 1
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Etude de la fonction tangente : correction
1. tan xest d´efinie ⇔cos x6= 0 ⇔x6=±π
2+ 2kπ,k∈Z. Donc tan xest d´efinie
pour tout x6=π
2+kπ,k∈Z. Donc le domaine de d´efinition de tan est D=
R− {π
2+kπ, k ∈Z}.
2. •Le domaine de d´efinition de la fonction tan est sym´etrique par rapport `a 0:
x6=π
2+kπ ⇔ −x6=π 2+k
0
π,k∈Zet k0∈Z.
•Soit x∈D. Alors tan(−x) = sin(−x)
cos(−x)=−sin(x) cos x=−tan x.
La fonction tan est donc impaire.
3. Soit x∈D. Alors, tan(x+π) = sin(x+π)
cos(x+π)=−sin x −cos x= tan x.
4. •Pout tout x∈D,tan(x+π) = tan x. La fonction tangente est donc p´eriodique
de p´eriode π. Par suite, on peut ´etudier la fonction tangente sur un intervalle de
longueur π. Le reste de l’´etude se d´eduira par une translation de vecteur π−→ i.
Par exemple, on peut r´eduire l’´etude `a l’intervalle ]−π
2;π 2[.
•La fonction tangente est impaire. On peut donc se contenter d’´etudier les varia-
tions sur la partie positive de D, le reste se d´eduira par une sym´etrie par rapport
`a l’origine. Par cons´equent, on r´eduit le domaine d’´etude `a l’intervalle [0; π
2[.
(a) Les fonctions sinus et cosinus ´etant d´erivables sur D, la fonction tangente est
d´erivable sur Det on a, pour tout xde D:
(tan)0 x=cos2x+ sin 2(x)
cos2x=1 cos2x= 1 + tan2x > 0. La fonction tangente
est donc strictement croissante sur [0; π
2[.
(b) lim
x→π
2,x> π 2
tan x= lim
x→π
2,x> π 2
sin x
cos x.
Or, lim
x→π
2,x> π 2
sin x= 1 et lim
x→π
2,x> π 2
cos x= 0 avec cos x > 0pour 0< x < π
2.
D’o`u, lim
x→π
2,x> π 2
tan x= +∞.
(c) Le tableau de variations de la fonction tangente est alors donn´e par :
x0π
2
(tan)0x+
+∞
tan %
0
(d) La tangente en O`a (T)a pour coefficient directeur (tan)0(0) = 1. De plus,
tan 0 = 0. Donc ∆a pour ´equation : y=x.
(e) Pour tout x∈[0; π
2[, on pose d(x) = tan x−x. La fonction dest d´erivable
sur [0; π
2[comme somme de fonctions d´erivables sur cet intervalle et d0(x) =
tan2x > 0pour x > 0. Donc dest strictement croissante sur [0; π
2[. De plus,
d(0) = 0. Donc pour tout x > 0,d(x)>0.(T)est donc au-dessus de ∆sur
[0; π
2[. On en d´eduit alors, par sym´etrie par rapport `a Oque (T)est en-dessous
de ∆sur ]−π
2; 0].
Voir aussi le livre p 68-69.