Exercice 1. Un test de dépistage d`une maladie est positif chez 99

Université Claude Bernard - Lyon 1 2016-2017
Master mathématiques appliquées, statistique Probabilités
TD 1 : Événements, conditionnement, variables aléatoires.
Exercice 1. Un test de dépistage d’une maladie est positif chez 99%des personnes malades. Il
l’est également pour 5% des personnes indemnes de cette maladie. On suppose que la proportion
de personnes atteintes par cette maladie dans la population générale est p∈]0,1[.
Pour une personne donnée, le test est positif. Quelle est, en fonction de pla probabilité qu’elle
soit malade ?
Exercice 2. On dispose de trois urnes notées respectivement U1,U2et U3, contenant des boules
blanches et des boules vertes. On suppose que la proportion de boules vertes dans U1est 1/2,
qu’elle est égale à 1/3 dans U2, et à 1/4 dans U3.
On choisit une urne « au hasard », puis on pioche une boule et on note sa couleur. Quelle est
la probabilité de tirer une boule verte ? Sachant qu’on a obtenu une boule verte, quelle est la
probabilité qu’elle vienne de l’urne n◦1 ?
Exercice 3. Deux urnes U1et U2contiennent chacune initialement 4 boules blanches et 6 boules
noires. On tire au hasard une boule dans U1et sans la regarder on la place dans U2, puis on tire
au hasard une boule dans U2. On s’interesse à la couleur des deux boules tirées successivement.
1. Ecrire l’espace des issues ainsi que la probabilité associée à chaque issue.
2. Quelle est la probabilité que la deuxième boule soit de couleur blanche ?
3. Sachant que la deuxième boule est de couleur blanche, quelle est la probabilité que la
première soit de couleur noire ?
Exercice 4.
1. Soient A1, . . . , Annévénements, montrez
P(∪n
i=1Ai) = X
1≤i≤n
P(Ai)−X
1≤i<j≤n
P(Ai∩Aj)+ X
1≤i<j<k≤n
P(Ai∩Aj∩Ak)−. . .+(−1)n−1P(∩n
i=1Ai).
2. Dans chaque boîte de Corn Flakes on peut trouver un buste en plastique à l’effigie de l’un
des cinq derniers Présidents de la République. La probabilité qu’une boîte donnée contienne
un Président donné est 1
5indépendemment des autres boîtes. Montrer que la probabilité que
chacun des trois derniers Présidents soit obtenu dans un pack de 6 boîtes de Corn Flakes
est 1−3(4
5)6+ 3(3 5)6−(2 5)6.
Exercice 5. On lance nfois une pièce de monnaie avec laquelle la probabilité d’obtenir pile vaut
p∈]0,1[. On appelle Xnla v.a.r. correspondant au nombre de piles obtenus. Le but de l’exercice
est de calculer In=P(Xnest impair).
1. Donner la loi de Xn, et son espérance.
2. Soit Yn= (−1)Xn. Calculer E(Yn)à partir de la loi de Xn.
3. Donner la loi de Ynen fonction de In. Calculer E(Yn).
4. Déduire des précédentes questions la valeur de In. Que se passe-t-il lorsque n→+∞? S’y
attendait-on ?
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Exercice 6. Une urne contient bboules bleues et rboules rouges.
1. On procède à ntirages successifs avec remise. Quelle est la probabilité de tirer kfois une
boule bleue ?
2. On retire maintenant les boules une à une de l’urne sans les y remettre.
(a) Quelle est la probabilité que la première boule rouge à être retirée soit la k+ 1-ième
boule ?
(b) Quelle est la probabilité que la dernière boule à être retirée soit rouge ?
Exercice 7. Soit X: (Ω,Σ,P)→Rune variable aléatoire. Dans chacun des cas suivants, décrire
la fonction de répartition de X, définie par F(x) = P(X≤x), et calculer E|X|,E(X),E(X2),
Ee−λX et/ou EeiaX pour les variables aléatoires Xdont les lois sont données ci-dessous :
1. X(Ω) = {0,1}et P(X=1)=1−P(X= 0) = poù pest un réel de [0,1] fixé (loi de
Bernoulli).
2. X(Ω) = Net pour tout n∈N,P(X=n) = e−mmn/n!, où mest un réel positif fixé (loi de
Poisson).
3. dX(P) = 1[0,1](x)dx (loi uniforme sur [0,1]).
4. dX(P) = exp(−x2/2) dx/√2π(loi normale centrée réduite).
5. Faire de même pour toutes les lois usuelles.
Exercice 8. Soit X: (Ω,Σ,P)→Rune v.a. de carré intégrable.
0. Soit a∈Ret Yune variable aléatoire intégrable. Calculer Ea,E(Y+a),E(aY ).
1. Montrer que Xest intégrable.
2. On définit la variance de Xpar var (X) = E((X−EX)2).Démontrer la formule de Koenig :
var (X) = E(X2)−(E(X))2.
3. Soit a∈R. Calculer var (a),var (X+a)et var (aX).
Exercice 9. Soit Xune variable aléatoire de densité f. Déterminer, pour tout x∈R,P(X=x).
Exercice 10. (Loi Kappa)
Soit Xla variable aléatoire réelle de densité fXdéfinie par :
fX(x) = C xe−κx si x≥0;
0si x < 0;
où κest un paramètre inconnu strictement positif.
1. Déterminez en fonction de κla valeur de la constante Cpour que fXsoit effectivement une
densité de probabilité sur R.
2. Montrez que l’espérance de la variable aléatoire Xest égale à 2
κ.
3. Montrez que sa variance est égale à 2
κ2.
4. Calculez la probabilité que Xsoit supérieure à son espérance.
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Exercice 11. Soit aun réel strictement positif. Soit fla fonction définie sur Rpar :
f(x) = a−2x1[0,a/2](x)+(a−x)1[a/2,a](x), x ∈R.
1. Montrer que fest bien une densité.
2. Soit Xune variable aléatoire de densité fet bun réel vérifiant 0< b < a/2. Soient Aet B
les évenements définis par :
A=nX > a
2o, B =na 2−b < X < a 2+bo.
Les évenements Aet Bsont ils indépendants ?
3. Calculer l’espérance et la variance de X.
Exercice 12. Soit fla fonction définie par
f(x) = 
1/2 si x∈[−1; 0],
asi x∈]0,1],
0 sinon.
1. Déterminer apour que fdéfinisse bien une densité de probabilité.
2. Soit Xune variable aléatoire ayant pour densité f. On pose Z=X2. Quelles sont les valeurs
possibles de Z.
3. Calculer la fonction de répartition de Zet en déduire la densité de Z.
Exercice 13. Soit X: (Ω,Σ,P)→Rune variable aléatoire de densité f. On fixe deux constantes
a6= 0 et bet on note Y=aX +b. Montrer que Ya également une densité et l’expliciter.
Exercice 14. Soit Xune variable aléatoire de fonction de répartition Fet g:R→Rune fonc-
tion continue strictement croissante. Exprimer la fonction de répartition de la variable aléatoire
g(X)en fonction de Fet g.
Exercice 15. La fonction de répartition F:R→[0,1] d’une variable aléatoire X: (Ω,Σ,P)→
Rest supposée continue et strictement croissante. Déterminer la fonction de répartition des
variables aléatoires suivantes :
a)Y1=F(X)b)Y2=−ln F(X)
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