TS 2016 Cours 1 Ch6. Probabilités Discrètes 1. Expérience, Univers

TS 2016
Cours 1
Ch6. Probabilités Discrètes
1. Expérience, Univers, Probabilité :
On appelle Expérience Aléatoire, une expérience dont on ne peut prédire le résultat, tout en pouvant décrire les issues.
Pour une expérience aléatoire donnée, on note Ω l’Univers l’ensemble des issues possibles.
On appelle Cardinal de l’univers le nombre total d’issues possibles, on note card(Ω) ou bien |Ω|.
On appelle Événement A, une issue élémentaire ou bien une union d’issues élémentaires.
A l’Événement Complémentaire, A ∩ A = ∅ et A ∪ A = Ω
Des Événements A et B sont Incompatibles, lorsqu’ils ne peuvent être réalisés en même temps. On note A ∩ B = ∅
Exemple :
Lancer un dé cubique, on ne peut dire le résultat obtenu, on peut décrire l’ensemble des issues : Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, |Ω| = 6
On note A l’événement obtenir un nombre pair, A est l’union des issues élémentaires {2} ∪ {4} ∪ {6}
Les événements obtenir 3 et A sont incompatibles
Pour une expérience aléatoire donnée, Ω = {ω1 ; ω2 ; ω3 ; ...; ωn } son univers, avec |Ω| = n, on peut définir une Probabilité p.
C’est à dire une fonction, qui à chaque issue de l’univers fait correspondre un nombre réel.
Définition : Soit une expérience aléatoire, d’univers Ω = {ω1 ; ω2 ; ω3 ; · · · ; ωn }, p est une probabilité si
p:
Ω → [0; 1]
ωi 7→ p(ωi ) = pi
Avec p1 + p2 + · · · + pn = 1
Conséquences :
p(Ω)
( = 1 et p(∅) = 0
(
A et B deux événements
A et B deux événements incompatibles
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
⇔ p(A ∪ B) = p(A) + p(B) ⇔ p(A ∩ B) = 0
On représente une expérience aléatoire munie d’une probabilité par un Arbre Pondéré, un arbre des possibles.
Exemple : Lancer deux fois successivement une même pièce truquée, p(F ) = 0, 6. On obtient l’arbre pondéré suivant :
F
0.6
0.6
b
F
La somme des probabilités, issues d’un même noeud vaut 1.
P
Une issue est représentée par la succession de branches, un chemin.
b
b
b
P
0.4
0.6
F
b
b
0.4
La probabilité d’une issue, est le produit des probabilités de chaque branches suivies
P
b
0.4
2. Variable Aléatoire Réelle, Discrète, et Loi de Probabilité :
Soit une expérience aléatoire, Ω son univers, p sa probabilité.
On appelle Variable Aléatoire, on note X, une fonction qui à chaque issue, élément de Ω, fait correspondre un nombre réel.
X est une Variable Aléatoire si
X: Ω →R
ωi 7→ X(ωi ) = xi
Exemple : Lancer deux fois successivement la même pièce truquée, p(F ) = 0, 6.
On définit la variable aléatoire X : si on obtient deux résultats identiques on gagne 2, sinon on perd 1.
On peut représenter l’expérience par l’arbre pondéré suivant.
F
0.6
L’univers est Ω = {(F ; F ); (F ; P ); (P ; F ); (P ; P )}
0.6
F, X = 2
b
b
P, X = −1
b
b
P
0.4
0.4
0.6
b
X prend les valeurs x1 = 2 et x2 = −1.
F, X = −1 On appelle Loi de Probabilité de X, la donnée de P (X = 2) ET P (X = −1).
b
b
0.4
P, X = 2
xi
pi = P (X = xi )
2
0,52
-1
0,48
P (X = 2) = 0, 6 × 0, 6 + 0, 4 × 0, 4
P (X = −1) = 0, 6 × 0, 4 + 0, 4 × 0, 6
Pour a et b réels, la variable aléatoire aX + b est celle qui vaut 2a + b si deux résultats identiques, et −1 × a + b sinon.
On appelle Fonction de Probabilité d’une variable aléatoire X,
on note F dP (X), la donnée de la loi de proba, P (X = k) pour tout k.
On appelle Fonction de Répartition d’une variable aléatoire X, on note F Rep(X), la donnée de P (X ≤ k) pour tout k.
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3. Espérance, Variance de Variable Aléatoire :
Soit une expérience aléatoire, Ω son univers, munie d’une probabilité. Soit X une variable aléatoire réelle discrète associée,
avec (xi )1≤i≤n les valeurs prises par X, et (pi = P (X = xi ))1≤i≤n sa loi de probabilité.
On appelle Espérance de X, on note E(X) la valeur moyenne de X que l’on peut espérer si l’expérience était répétée un
grand nombre de fois. Cette moyenne est pondérée par la loi de proba de X.
Définition : E(X) = x1 P (X = x1 ) + x2 P (X = x2 ) + · · · + xn P (X = xn ) = x1 p1 + x2 p2 + · · · + xn pn =
n
P
xi pi
i=1
Propriété : L’espérance est linéaire E(aX + b) = aE(X) + b
Preuve :
On appelle Variance de X, on note V (X) la valeur moyenne des carrés des distances entre chaque valeurs et E(X).
Cette moyenne est pondérée par la loi de proba de X.
2
2
2
Définition : V (X) = (x1 − E(X)) p1 + (x2 − E(X)) p2 + · · · + (xn − E(X)) pn =
n
P
i=1
2
Propriété 1 : V (X) = x21 p1 + x22 p2 + · · · + x2n pn − [E(X)] =
Preuve :
Propriété 2 : V (aX + b) = a2 V (X)
Preuve :
2/ 3
n
P
i=1
x2i pi
− [E(X)]
2
2
(xi − E(X)) pi
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4. Exemple de Loi discrète, finie : Loi Binomiale :
On considère une expérience aléatoire, du type : n répétitions indépendantes d’un même schéma de Bernouilli, succès ou
non succès, de paramètre p, la probabilité de succès.
n
k
Dans le cas de cette expérience, on appelle Coefficient Binomial
par k succès
Propriété : Pour tout n ≥ 1 et tout 0 ≤ k > n,
n+1
k+1
=
n
k
+
n
k+1
pour tout 0 ≤ k ≤ n, le nombre de chemins qui passent
. Construction du Triangle de Pascal.
On associe à l’expérience aléatoire, une variable aléatoire X qui prend pour valeur le nombre de succès obtenus.
La loi de probabilité de X est appelée Loi Binomiale de paramètres n et p.
On note cette loi binomiale B(n, p) .
Propriétés : Si une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(n; p),
. Alors pour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n : P (X = k) =
. E(X) = np et V (X) = np(1 − p) .
n
k
pk (1 − p)n−k
Preuve :
Représentation Fonction de Probabilité B(4; 0.25) :
Représentation Fonction de Répartition B(4; 0.25) :
TI : f (x) dans Y1 saisir binomF dp(4, 0.25, X)
déf table, puis table.
TI : f (x) dans Y1 saisir binomF Rép(4, 0.25, X)
déf table, puis table.
CASIO :
CASIO :
P2 (X = k)
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
1
P2 (X ≤ k)
1.0
2
3
0
4k
0
3/ 3
1
2
3
4k