TS 2016 Cours 1 Ch6. Probabilités Discrètes 1. Expérience, Univers

TS 2016 Cours 1 Ch6. Probabilités Discrètes
1. Expérience, Univers, Probabilité :
On appelle Expérience Aléatoire, une expérience dont on ne peut prédire le résultat, tout en pouvant décrire les issues.
Pour une expérience aléatoire donnée, on note Ω l’Univers l’ensemble des issues possibles.
On appelle Cardinal de l’univers le nombre total d’issues possibles, on note card(Ω) ou bien |Ω|.
On appelle Événement A, une issue élémentaire ou bien une union d’issues élémentaires.
Al’Événement Complémentaire,A∩A=∅et A∪A= Ω
Des Événements Aet Bsont Incompatibles, lorsqu’ils ne peuvent être réalisés en même temps. On note A∩B=∅
Exemple :
Lancer un dé cubique, on ne peut dire le résultat obtenu, on peut décrire l’ensemble des issues : Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6},|Ω|= 6
On note Al’événement obtenir un nombre pair, Aest l’union des issues élémentaires {2} ∪ {4} ∪ {6}
Les événements obtenir 3 et Asont incompatibles
Pour une expérience aléatoire donnée, Ω = {ω1;ω2;ω3;...;ωn}son univers, avec |Ω|=n, on peut définir une Probabilité p.
C’est à dire une fonction, qui à chaque issue de l’univers fait correspondre un nombre réel.
Définition : Soit une expérience aléatoire, d’univers Ω = {ω1;ω2;ω3;···;ωn},pest une probabilité si
p: Ω →[0; 1]
ωi7→ p(ωi) = pi
Avec p1+p2+···+pn= 1
Conséquences : p(Ω) = 1 et p(∅) = 0
(Aet Bdeux événements
p(A∪B) = p(A) + p(B)−p(A∩B)(Aet Bdeux événements incompatibles
⇔p(A∪B) = p(A) + p(B)⇔p(A∩B) = 0
On représente une expérience aléatoire munie d’une probabilité par un Arbre Pondéré, un arbre des possibles.
Exemple : Lancer deux fois successivement une même pièce truquée, p(F) = 0,6. On obtient l’arbre pondéré suivant :
F
0.6F
0.6
P
0.4
P
0.4
F
0.6
P
0.4
La somme des probabilités, issues d’un même noeud vaut 1.
Une issue est représentée par la succession de branches, un chemin.
La probabilité d’une issue, est le produit des probabilités de chaque branches suivies
2. Variable Aléatoire Réelle, Discrète, et Loi de Probabilité :
Soit une expérience aléatoire, Ω son univers, psa probabilité.
On appelle Variable Aléatoire, on note X, une fonction qui à chaque issue, élément de Ω, fait correspondre un nombre réel.
Xest une Variable Aléatoire si
X: Ω →R
ωi7→ X(ωi) = xi
Exemple : Lancer deux fois successivement la même pièce truquée, p(F) = 0,6.
On définit la variable aléatoire X: si on obtient deux résultats identiques on gagne 2, sinon on perd 1.
On peut représenter l’expérience par l’arbre pondéré suivant.
F
0.6
F, X = 2
0.6
P, X =−1
0.4
P
0.4
F, X =−1
0.6
P, X = 2
0.4
L’univers est Ω = {(F;F); (F;P); (P;F); (P;P)}
Xprend les valeurs x1= 2 et x2=−1.
On appelle Loi de Probabilité de X, la donnée de P(X= 2) ET P(X=−1).
xi2 -1 P(X= 2) = 0,6×0,6 + 0,4×0,4
pi=P(X=xi) 0,52 0,48 P(X=−1) = 0,6×0,4 + 0,4×0,6
Pour aet bréels, la variable aléatoire aX +best celle qui vaut 2a+bsi deux résultats identiques, et −1×a+bsinon.
On appelle Fonction de Probabilité d’une variable aléatoire X,
on note F dP (X), la donnée de la loi de proba, P(X=k) pour tout k.
On appelle Fonction de Répartition d’une variable aléatoire X, on note F Rep(X), la donnée de P(X≤k) pour tout k.
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3. Espérance, Variance de Variable Aléatoire :
Soit une expérience aléatoire, Ω son univers, munie d’une probabilité. Soit Xune variable aléatoire réelle discrète associée,
avec (xi)1≤i≤nles valeurs prises par X, et (pi=P(X=xi))1≤i≤nsa loi de probabilité.
On appelle Espérance de X, on note E(X) la valeur moyenne de Xque l’on peut espérer si l’expérience était répétée un
grand nombre de fois. Cette moyenne est pondérée par la loi de proba de X.
Définition : E(X) = x1P(X=x1) + x2P(X=x2) + ···+xnP(X=xn) = x1p1+x2p2+···+xnpn=
n
P
i=1
xipi
Propriété : L’espérance est linéaire E(aX +b) = aE(X) + b
Preuve :
On appelle Variance de X, on note V(X) la valeur moyenne des carrés des distances entre chaque valeurs et E(X).
Cette moyenne est pondérée par la loi de proba de X.
Définition : V(X) = (x1−E(X))2p1+ (x2−E(X))2p2+···+ (xn−E(X))2pn=
n
P
i=1
(xi−E(X))2pi
Propriété 1 : V(X) = x2
1p1+x2 2p2+···+x2
npn−[E(X)]2=n
P
i=1
x2
ipi−[E(X)]2
Preuve :
Propriété 2 : V(aX +b) = a2V(X)
Preuve :
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4. Exemple de Loi discrète, finie : Loi Binomiale :
On considère une expérience aléatoire, du type : nrépétitions indépendantes d’un même schéma de Bernouilli, succès ou
non succès, de paramètre p, la probabilité de succès.
Dans le cas de cette expérience, on appelle Coefficient Binomial n
kpour tout 0 ≤k≤n, le nombre de chemins qui passent
par ksuccès
Propriété : Pour tout n≥1 et tout 0 ≤k > n,n+1
k+1=n
k+n
k+1. Construction du Triangle de Pascal.
On associe à l’expérience aléatoire, une variable aléatoire Xqui prend pour valeur le nombre de succès obtenus.
La loi de probabilité de Xest appelée Loi Binomiale de paramètres net p.
On note cette loi binomiale B(n, p).
Propriétés : Si une variable aléatoire Xsuit une loi binomiale B(n;p),
. Alors pour tout entier ktel que 0 ≤k≤n:P(X=k) = n
kpk(1 −p)n−k
.E(X) = np et V(X) = np(1 −p) .
Preuve :
Représentation Fonction de Probabilité B(4; 0.25) :
TI : f(x) dans Y1saisir binomF dp(4,0.25, X)
déftable, puis table.
CASIO :
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 1 2 3 4k
P2(X=k)
Représentation Fonction de Répartition B(4; 0.25) :
TI : f(x) dans Y1saisir binomF Rép(4,0.25, X)
déftable, puis table.
CASIO :
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 1 2 3 4k
P2(X≤k)
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