DIVISIBILITE ET CONGRUENCES

Chapitre 01 Divisibilité et congruences Terminale S Spécialité
DIVISIBILITE ET CONGRUENCES
I- Divisibilité dans Z
1. Multiples et diviseurs d’un entier relatif
Rappels sur les ensembles de nombres :
Nest l’ensemble des entiers naturels.
Zest l’ensemble des entiers relatifs.
Qest l’ensemble des nombres rationnels.
Rest l’ensemble des nombres réels.
Cest l’ensemble des nombres complexes.
On a : N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.
Définition Soient aet bdeux entiers relatifs.
Dire que bdivise asignifie qu’il existe un entier relatif ktel que a=k×b.
On note b/a.
On dit aussi que best un diviseur de aou que aest un multiple de b.
Exemples
• −153 = 17 ×(−19), 17 divise −153.
•Pour tout entier relatif n,n+ 1 divise n2−1, en effet, n2−1 = (n−1)(n+ 1) et
(n−1) est un entier relatif.
•La somme de trois entiers relatifs successifs est divisible par 3.
En effet, trois entiers consécutifs peuvent s’écrire n−1 , n,n+ 1, où nest un entier
relatif.
(n−1) + n+ (n+ 1) = 3ndonc la somme est bien divisible par 3.
•Raisonnement par disjonction des cas (on sépare le problème en plusieurs cas in-
dépendants, chacun d’eux étant plus facile à résoudre)
Pour tout entier naturel n,A=n(n2+ 1) est pair.
Un entier naturel est soit pair, soit impair.
1er cas nest pair, alors n= 2k, où kest un entier naturel.
Alors A= 2k(4k2+ 1), k(4k2+ 1) est un entier naturel donc Aest pair (2 divise
A)
2ème cas nest impair, alors n= 2k+ 1 , où kest un entier naturel.
Alors A= (2k+ 1)[(2k+ 1)2+ 1] = (2k+ 1)(4k2+ 4k+ 2) = 2(2k+ 1)(2k2+ 2k+ 1).
(2k+ 1)(2k2+ 2k+ 1) est un entier naturel, donc Aest pair.
Remarques
•Tout entier relatif adivise 0 (0 = 0 ×a) mais 0 ne divise aucun autre entier relatif
que 0.
•1 et −1 divisent tout entier relatif a, en effet et a=a×1 et a= (−a)×(−1).
•Tout entier relatif non nul admet un nombre fini de diviseurs.
En effet, il en admet au plus 2|a|:−|a|,··· ,−1,1,··· ,|a|.
2. Propriétés de la divisibilité dans Z
Propriété 1 Pour tous entiers relatifs a,b,cnon nuls, si adivise bet si bdivise c, alors
adivise c. On dit que la relation « divise »est transitive.
Démonstration
1

Chapitre 01 Divisibilité et congruences Terminale S Spécialité
Si adivise b, alors il existe un entier relatif ktel que b=k×a.
Si bdivise c, alors il existe un entier relatif k′tel que c=k′×b.
On a alors c=kk′×a, donc adivise c.
Propriété 2 Si aet bsont deux entiers relatifs et si adivise b, alors, pour tout entier
relatif m,adivise mb.
Démonstration
Si adivise b, alors il existe un entier relatif ktel que b=k×a.
On a donc mb =mk ×a.mk est un entier relatif, donc adivise mb.
Propriété 3 Si a,bet csont trois entiers relatifs tels que adivise bet adivise c, alors,
pour tous entiers relatifs met m′,adivise mb +m′c.
On dit que : si adivise bet c, alors il divise toute combinaison linéaire de bet c.
Démonstration
Si adivise b, il existe un entier relatif ktel que b=k×a.
Si adivise c, il existe un entier relatif k′tel que c=k′×a.
Alors mb +m′c=mk ×a+m′k′×a= (mk +m′k′)×a.
mk +m′k′est un entier relatif donc adivise mb +m′c.
Exemple
Déterminer tous les entiers relatifs ntels que ndivise n+ 8.
•Si ndivise n+ 8, comme ndivise également n, alors ndivise (n+ 8) −n= 8.
•Réciproquement, si ndivise 8, comme ndivise également n, alors il divise n+ 8.
Les entiers relatifs répondant à la question sont donc exactement les diviseurs de 8.
L’ensemble des solutions est S={−8; −4; −2; −1; 1; 2; 4; 8}.
II- Division euclidienne dans Z
Exemple
Division euclidienne dans N
356 = 17 ×20 + 16 est la division euclidienne de 356 par 17.
356 est le dividende, 17 le diviseur.
20 est le quotient, 16 est le reste.
Le reste est un entier naturel strictement inférieur au diviseur.
Théorème et définition
Soient aet bdeux entiers relatifs avec b > 0.
Il existe un unique couple d’entiers relatifs (q;r) tel que a=bq +ravec 0 6r < b.
Effectuer la division euclidienne de apar b, c’est déterminer le couple (q;r).
Démonstration
Existence
Considérons l’ensemble des multiples de bdans Z:
··· ;−kb ;··· ;−2b;−b; 0 ; b ; 2b ; ··· ;kb ;···
Soit ql’entier relatif tel que bq soit le plus grand entier inférieur ou égal à a.
On a alors bq 6a < b(q+ 1) et 0 6a−bq < b.
On pose r=a−bq, on a bien a=bq +r, avec 0 6r < b.
Unicité
2

Chapitre 01 Divisibilité et congruences Terminale S Spécialité
On suppose qu’il existe deux couples (q;r) et (q′;r′) d’entiers relatifs tels que a=bq +r=
bq′+r′avec 0 6r < b et 0 6r′< b .
On a alors, par soustraction membre à membre b(q−q′) = r′−r.
r′−rest un multiple de bstrictement compris entre −bet b(on soustrait membre à
membre les encadrements de ret r′), donc r′−r= 0, soit r=r′et par conséquent
q=q′.
Remarque
bq 6a < b(q+ 1) donc q6a
b< q + 1.
qest la partie entière du réel a
b.
Exemples
•Effectuer la division euclidienne de −356 par 17
La partie entière de −356
17 est −21.
−356 = −21 ×17 + 1 , on a bien 0 61<17.
•ndésigne un entier naturel non nul.
Quel est le reste de la division euclidienne de :
a) de (n+ 2)2par n+ 4 ? b) de 2n2+npar n+ 1 ?
a) (n+ 2)2=n2+ 4n+ 4 = n(n+ 4) + 4.
Pour tout entier naturel nnon nul, 0 64< n + 4 donc 4 est le reste de cette
division euclidienne.
b) 2n2+n= 2n2+ 2n−n= 2n(n+ 1) −(n+ 1) + 1 = (2n−1)(n+ 1) + 1.
Pour tout entier naturel nnon nul, 0 61< n + 1 donc 1 est le reste de cette
division euclidienne.
•ndésigne un entier relatif et A=n(n2+ 5). Montrer que Aest divisible par 3.
Les restes possibles de la division euclidienne de npar 3 sont 0, 1 et 2.
Donc ns’écrit 3k, 3k+ 1 ou 3k+ 2, kétant un entier relatif.
1er cas n= 3k
alors A= 3 ×k(9k2+ 5) ; k(9k2+ 5) est un entier relatif, donc Aest divisible par 3.
2ème cas n= 3k+ 1
alors A= (3k+ 1)(9k2+ 6k+ 6) = 3(3k+ 1)(3k2+ 2k+ 2) ; (3k+ 1)(3k2+ 2k+ 2) est
un entier relatif, donc Aest divisible par 3.
3ème cas n= 3k+ 2
alors A= (3k+ 2)(9k2+ 12k+ 9) = 3(3k+ 2)(3k2+ 4k+ 3) ; (3k+ 2)(3k2+ 4k+ 3)
est un entier relatif, donc Aest divisible par 3.
Conclusion Pour tout entier relatif n,n(n2+ 5) est divisible par 3.
III- Congruences dans Z
ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Définition
Soient aet bdeux entiers relatifs. Si aet bont le même reste dans la division euclidienne
par n, on dit qu’ils sont congrus modulo n, on note a≡b(n) (on lit « acongru à bmodulo
n»)
Exemples
3

Chapitre 01 Divisibilité et congruences Terminale S Spécialité
•x≡1(7) signifie x= 7k+ 1, k∈Z.
•Soit n∈N,npair ⇔n≡0(2) , nimpair ⇔n≡1(2)
Propriété
Soient aet bdeux entiers relatifs.
a≡b(n) si et seulement si ndivise a−b.
Démonstration
a≡b(n) signifie que aet bont le même reste dans la division euclidienne par n.
Division euclidienne de aet bpar n:
a=nq +ret b=nq′+r′avec 0 6r < n et 0 6r′< n.
•Si a≡b(n), alors r=r′,a−b=n(q−q′), avec q−q′∈Z, donc ndivise a−b.
•Réciproquement,en utilisant les divisiosn euclidiennes ci-dessus, on a .
a−b=n(q−q′) + (r−r′).
ndivise a−bdonc ndivise (a−b)−n(q−q′) = r−r′.
Or, −n < r −r′< n, donc r−r′= 0, soit r=r′.
On a bien montré que si ndivise a−b, alors a≡b(n).
Exemple
−62 ≡13(25), en effet, 13 −(−25) = 75 = 3 ×25
Conséquences immédiates
•a≡0(n) si et seulement si aest un multiple de n.
•a≡a(n) pour tout a∈Z, on dit que la relation de congruence est réflexive.
•Si a≡b(n), alors b≡a(n), on dit que la relation de congruence est symétrique.
•Si a≡b(n) et b≡c(n), alors a≡c(n), on dit que la relation de congruence est
transitive.
Théorème (compatibilité avec les opérations)
Soient a,b,c,dquatre entiers relatifs.
a) si a≡b(n) et c≡d(n), alors a+c≡b+d(n)
b) si a≡b(n) et c≡d(n), alors ac ≡bd(n)
c) pour tout entier naturel pnon nul, si a≡b(n), alors ap≡bp(n).
Démonstration
a) si a≡b(n) et c≡d(n), alors a−b=kn et c−d=kn′où ket k′sont deux entiers
relatifs.
(a+c)−(b+d) = (a−b) + (c−d) = kn +kn′= (k+k′)ndonc a+c≡b+d(n).
b) si a≡b(n) et c≡d(n), alors a−b=kn et c−d=kn′où ket k′sont deux entiers
relatifs.
ac −bd =a(c−d) + d(a−b) = ak′n+dkn = (ak′+dk)n, donc ac ≡bd(n).
c) démonstration par récurrence
•vrai pour p= 1
•a≡b(n)
soit pun entier naturel supérieur ou égal à 1
on suppose que la propriété est vraie au rang p
on a donc ap≡bp(n) (hypothèse de récurrence)
d’après b), a×ap≡b×bp(n), soit ap+1 ≡bp+1(n)
la propriété est donc vraie au rang p+ 1
•on en conclut que, pour tout p∈N∗, si a≡b(n), alors ap≡bp(n).
4

Chapitre 01 Divisibilité et congruences Terminale S Spécialité
Exemple
Reprenons l’exemple traité plus haut.
ndésigne un entier relatif et A=n(n2+ 5). Montrer que Aest divisible par 3.
•si n≡0(3), alors n(n2+ 5) ≡0(3)
•si n≡1(3) , alors n2≡1(3) et n2+ 5 ≡6(3), or 6 ≡0(3) donc n2+ 5 ≡0(3) et
n(n2+ 5) ≡0(3).
•si n≡2(3), alors n2≡4(3) et n2+ 5 ≡9(3) , or 9 ≡0(3) donc n2+ 5 ≡0(3) et
n(n2+ 5) ≡0(3).
5