DIVISIBILITE ET CONGRUENCES

Chapitre 01 Divisibilité et congruences
Terminale S Spécialité
DIVISIBILITE ET CONGRUENCES
I- Divisibilité dans Z
1. Multiples et diviseurs d’un entier relatif
Rappels sur les ensembles de nombres :
N est l’ensemble des entiers naturels.
Z est l’ensemble des entiers relatifs.
Q est l’ensemble des nombres rationnels.
R est l’ensemble des nombres réels.
C est l’ensemble des nombres complexes.
On a : N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Définition Soient a et b deux entiers relatifs.
Dire que b divise a signifie qu’il existe un entier relatif k tel que a = k × b.
On note b/a.
On dit aussi que b est un diviseur de a ou que a est un multiple de b.
Exemples
• −153 = 17 × (−19), 17 divise −153.
• Pour tout entier relatif n, n + 1 divise n2 − 1, en effet, n2 − 1 = (n − 1)(n + 1) et
(n − 1) est un entier relatif.
• La somme de trois entiers relatifs successifs est divisible par 3.
En effet, trois entiers consécutifs peuvent s’écrire n − 1 , n, n + 1, où n est un entier
relatif.
(n − 1) + n + (n + 1) = 3n donc la somme est bien divisible par 3.
• Raisonnement par disjonction des cas (on sépare le problème en plusieurs cas indépendants, chacun d’eux étant plus facile à résoudre)
Pour tout entier naturel n, A = n(n2 + 1) est pair.
Un entier naturel est soit pair, soit impair.
1er cas n est pair, alors n = 2k, où k est un entier naturel.
Alors A = 2k(4k 2 + 1), k(4k 2 + 1) est un entier naturel donc A est pair (2 divise
A)
2ème cas n est impair, alors n = 2k + 1 , où k est un entier naturel.
Alors A = (2k + 1)[(2k + 1)2 + 1] = (2k + 1)(4k 2 + 4k + 2) = 2(2k + 1)(2k 2 + 2k + 1).
(2k + 1)(2k 2 + 2k + 1) est un entier naturel, donc A est pair.
Remarques
• Tout entier relatif a divise 0 (0 = 0 × a ) mais 0 ne divise aucun autre entier relatif
que 0.
• 1 et −1 divisent tout entier relatif a, en effet et a = a × 1 et a = (−a) × (−1).
• Tout entier relatif non nul admet un nombre fini de diviseurs.
En effet, il en admet au plus 2|a| : −|a|, · · · , −1, 1, · · · , |a|.
2. Propriétés de la divisibilité dans Z
Propriété 1 Pour tous entiers relatifs a, b, c non nuls, si a divise b et si b divise c, alors
a divise c. On dit que la relation « divise »est transitive.
Démonstration
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Chapitre 01 Divisibilité et congruences
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Si a divise b, alors il existe un entier relatif k tel que b = k × a.
Si b divise c, alors il existe un entier relatif k ′ tel que c = k ′ × b.
On a alors c = kk ′ × a, donc a divise c.
Propriété 2 Si a et b sont deux entiers relatifs et si a divise b, alors, pour tout entier
relatif m, a divise mb.
Démonstration
Si a divise b, alors il existe un entier relatif k tel que b = k × a.
On a donc mb = mk × a. mk est un entier relatif, donc a divise mb.
Propriété 3 Si a, b et c sont trois entiers relatifs tels que a divise b et a divise c, alors,
pour tous entiers relatifs m et m′ , a divise mb + m′ c.
On dit que : si a divise b et c, alors il divise toute combinaison linéaire de b et c.
Démonstration
Si a divise b, il existe un entier relatif k tel que b = k × a.
Si a divise c, il existe un entier relatif k ′ tel que c = k ′ × a.
Alors mb + m′ c = mk × a + m′ k ′ × a = (mk + m′ k ′ ) × a.
mk + m′ k ′ est un entier relatif donc a divise mb + m′ c.
Exemple
Déterminer tous les entiers relatifs n tels que n divise n + 8.
• Si n divise n + 8, comme n divise également n, alors n divise (n + 8) − n = 8.
• Réciproquement, si n divise 8, comme n divise également n, alors il divise n + 8.
Les entiers relatifs répondant à la question sont donc exactement les diviseurs de 8.
L’ensemble des solutions est S = {−8; −4; −2; −1; 1; 2; 4; 8}.
II- Division euclidienne dans Z
Exemple
Division euclidienne dans N
356 = 17 × 20 + 16 est la division euclidienne de 356 par 17.
356 est le dividende, 17 le diviseur.
20 est le quotient, 16 est le reste.
Le reste est un entier naturel strictement inférieur au diviseur.
Théorème et définition
Soient a et b deux entiers relatifs avec b > 0.
Il existe un unique couple d’entiers relatifs (q; r) tel que a = bq + r avec 0 6 r < b.
Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est déterminer le couple (q; r).
Démonstration
Existence
Considérons l’ensemble des multiples de b dans Z :
· · · ; −kb ; · · · ; −2b ; −b ; 0 ; b ; 2b ; · · · ; kb ; · · ·
Soit q l’entier relatif tel que bq soit le plus grand entier inférieur ou égal à a.
On a alors bq 6 a < b(q + 1) et 0 6 a − bq < b.
On pose r = a − bq, on a bien a = bq + r, avec 0 6 r < b.
Unicité
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Chapitre 01 Divisibilité et congruences
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On suppose qu’il existe deux couples (q; r) et (q ′ ; r′ ) d’entiers relatifs tels que a = bq + r =
bq ′ + r′ avec 0 6 r < b et 0 6 r′ < b .
On a alors, par soustraction membre à membre b(q − q ′ ) = r′ − r.
r′ − r est un multiple de b strictement compris entre −b et b (on soustrait membre à
membre les encadrements de r et r′ ), donc r′ − r = 0, soit r = r′ et par conséquent
q = q′ .
Remarque
a
< q + 1.
b
a
q est la partie entière du réel .
b
bq 6 a < b(q + 1) donc q 6
Exemples
• Effectuer la division euclidienne de −356 par 17
356
est −21.
La partie entière de −
17
−356 = −21 × 17 + 1 , on a bien 0 6 1 < 17.
• n désigne un entier naturel non nul.
Quel est le reste de la division euclidienne de :
a) de (n + 2)2 par n + 4 ?
b) de 2n2 + n par n + 1 ?
a) (n + 2)2 = n2 + 4n + 4 = n(n + 4) + 4.
Pour tout entier naturel n non nul, 0 6 4 < n + 4 donc 4 est le reste de cette
division euclidienne.
b) 2n2 + n = 2n2 + 2n − n = 2n(n + 1) − (n + 1) + 1 = (2n − 1)(n + 1) + 1.
Pour tout entier naturel n non nul, 0 6 1 < n + 1 donc 1 est le reste de cette
division euclidienne.
• n désigne un entier relatif et A = n(n2 + 5). Montrer que A est divisible par 3.
Les restes possibles de la division euclidienne de n par 3 sont 0, 1 et 2.
Donc n s’écrit 3k, 3k + 1 ou 3k + 2, k étant un entier relatif.
1er cas n = 3k
alors A = 3 × k(9k 2 + 5) ; k(9k 2 + 5) est un entier relatif, donc A est divisible par 3.
2ème cas n = 3k + 1
alors A = (3k + 1)(9k 2 + 6k + 6) = 3(3k + 1)(3k 2 + 2k + 2) ; (3k + 1)(3k 2 + 2k + 2) est
un entier relatif, donc A est divisible par 3.
3ème cas n = 3k + 2
alors A = (3k + 2)(9k 2 + 12k + 9) = 3(3k + 2)(3k 2 + 4k + 3) ; (3k + 2)(3k 2 + 4k + 3)
est un entier relatif, donc A est divisible par 3.
Conclusion Pour tout entier relatif n, n(n2 + 5) est divisible par 3.
III- Congruences dans Z
n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Définition
Soient a et b deux entiers relatifs. Si a et b ont le même reste dans la division euclidienne
par n, on dit qu’ils sont congrus modulo n, on note a ≡ b(n) (on lit « a congru à b modulo
n »)
Exemples
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Chapitre 01 Divisibilité et congruences
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• x ≡ 1(7) signifie x = 7k + 1, k ∈ Z.
• Soit n ∈ N, n pair ⇔ n ≡ 0(2) , n impair ⇔ n ≡ 1(2)
Propriété
Soient a et b deux entiers relatifs.
a ≡ b(n) si et seulement si n divise a − b.
Démonstration
a ≡ b(n) signifie que a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.
Division euclidienne de a et b par n :
a = nq + r et b = nq ′ + r′ avec 0 6 r < n et 0 6 r′ < n.
• Si a ≡ b(n), alors r = r′ , a − b = n(q − q ′ ), avec q − q ′ ∈ Z, donc n divise a − b.
• Réciproquement,en utilisant les divisiosn euclidiennes ci-dessus, on a .
a − b = n(q − q ′ ) + (r − r′ ).
n divise a − b donc n divise (a − b) − n(q − q ′ ) = r − r′ .
Or, −n < r − r′ < n, donc r − r′ = 0, soit r = r′ .
On a bien montré que si n divise a − b, alors a ≡ b(n).
Exemple
−62 ≡ 13(25), en effet, 13 − (−25) = 75 = 3 × 25
Conséquences immédiates
• a ≡ 0(n) si et seulement si a est un multiple de n.
• a ≡ a(n) pour tout a ∈ Z, on dit que la relation de congruence est réflexive.
• Si a ≡ b(n), alors b ≡ a(n), on dit que la relation de congruence est symétrique.
• Si a ≡ b(n) et b ≡ c(n), alors a ≡ c(n), on dit que la relation de congruence est
transitive.
Théorème (compatibilité avec les opérations)
Soient a, b, c, d quatre entiers relatifs.
a) si a ≡ b(n) et c ≡ d(n), alors a + c ≡ b + d(n)
b) si a ≡ b(n) et c ≡ d(n), alors ac ≡ bd(n)
c) pour tout entier naturel p non nul, si a ≡ b(n), alors ap ≡ bp (n).
Démonstration
a) si a ≡ b(n) et c ≡ d(n), alors a − b = kn et c − d = kn′ où k et k ′ sont deux entiers
relatifs.
(a + c) − (b + d) = (a − b) + (c − d) = kn + kn′ = (k + k ′ )n donc a + c ≡ b + d(n).
b) si a ≡ b(n) et c ≡ d(n), alors a − b = kn et c − d = kn′ où k et k ′ sont deux entiers
relatifs.
ac − bd = a(c − d) + d(a − b) = ak ′ n + dkn = (ak ′ + dk)n, donc ac ≡ bd(n).
c) démonstration par récurrence
• vrai pour p = 1
• a ≡ b(n)
soit p un entier naturel supérieur ou égal à 1
on suppose que la propriété est vraie au rang p
on a donc ap ≡ bp (n) (hypothèse de récurrence)
d’après b), a × ap ≡ b × bp (n), soit ap+1 ≡ bp+1 (n)
la propriété est donc vraie au rang p + 1
• on en conclut que, pour tout p ∈ N∗ , si a ≡ b(n), alors ap ≡ bp (n).
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Chapitre 01 Divisibilité et congruences
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Exemple
Reprenons l’exemple traité plus haut.
n désigne un entier relatif et A = n(n2 + 5). Montrer que A est divisible par 3.
• si n ≡ 0(3), alors n(n2 + 5) ≡ 0(3)
• si n ≡ 1(3) , alors n2 ≡ 1(3) et n2 + 5 ≡ 6(3), or 6 ≡ 0(3) donc n2 + 5 ≡ 0(3) et
n(n2 + 5) ≡ 0(3).
• si n ≡ 2(3), alors n2 ≡ 4(3) et n2 + 5 ≡ 9(3) , or 9 ≡ 0(3) donc n2 + 5 ≡ 0(3) et
n(n2 + 5) ≡ 0(3).
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