Partiel_Méca Flu_14_15

Licence de Physique 2014-15
L3 Mécanique
L3 Physique et Applications Mécanique des fluides
Partiel
Mardi 4 Novembre 2014
Durée: 2h. Sans documents. Calculettes autorisées.
Barème indicatif: I= 5, II= 8 et III= 7 points/20. Tous les résultats doivent être justifiés
par un raisonnement. Vérifiez les dimensions de tous vos résultats. Tout résultat
numérique devra être donné avec une unité.
N.B.: Lorsqu’il est demandé d’exprimer fen fonction de aet bil faut comprendre exprimer
fen fonction notamment de aet b. Autrement dit, selon les cas, d’autres grandeurs pourront
intervenir dans l’expression de f.
On donne: p0= 105Pa (pression atmosphérique), ρ= 103kg/m3(masse volumique de l’eau),
ρa'ρ/800 (masse volumique de l’air) et g= 9,8m/s2(accélération de la pesanteur).
En coordonnées cylindriques on rappelle que:
rotationnel: −→ ∇ ∧ −→ A=1
r
∂Az
∂ϕ −∂Aϕ ∂z ,∂Ar ∂z −∂Az ∂r ,1 r
∂(rAϕ)
∂r −1 r
∂Ar
∂ϕ 
I- Récipient à fond conique
Un réservoir de forme cylindrique placé au sol contient de l’eau de masse volumique ρsur une
hauteur H. Le rayon du réservoir est R. On supposera que la pression de l’air environnant est
constante égale à p0. On rappelle que le volume d’un cône de rayon aet de hauteur best πa2b/3.
1) a) Exprimer le gradient de pression dans l’eau. En déduire l’expression de la pression en tout
point à l’intérieur du réservoir (figure de gauche).
b) Exprimer alors la résultante −→ F1des forces de pression dues à l’eau s’exerçant sur le réservoir.
Représenter −→ F1sur un schéma.
2) On considère à présent que la base du cylindre comporte un évidement de forme conique (figure
de droite). On peut considérer que cet évidement est soumis aux mêmes forces de pression que
celles d’un cône immergé dans l’eau.
a) Question préliminaire: soit un cône de hauteur het de rayon à sa base Rccomplètement
immergé dans l’eau. En appliquant le théorème d’Archimède, exprimer la force de pression −→ Fc
exercée par l’eau sur le cône.
b) En déduire la force de pression due à l’eau s’exerçant sur l’évidement conique du réservoir.

c) De même qu’au 1), exprimer alors la résultante −→ F2des forces de pression dues à l’eau qui
s’exercent sur le réservoir avec le fond évidé. Comparer F1et F2en commentant.
II- Ecoulement parabolique
On étudie ici l’écoulement d’un fluide parfait, incompressible de masse volumique ρen régime
permanent. Dans le référentiel du laboratoire R, cet écoulement a une symétrie de révolution
autour de Oz et on utilisera les coordonnées cylindriques (r, ϕ, z)avec les vecteurs de base
(−→ er,−→ eϕ,−→ ez). Un point Mde l’écoulement est ainsi repéré par −−→ OM =−−−→ OM1+−−−→ M1Mavec −−−→ M1M=
z−→ ez. On définit l’écoulement par des lignes de courant qui sont regroupées en nappes de courant
définies par
r=λ(z≤0)
r=λ1 + z2
b2(z > 0) (1)
où λest un paramètre désignant une nappe de courant et bune constante donnant leur forme.
La figure ci-dessous représente l’intersection de quelques nappes de courant avec le plan yOz.
Chaque ligne de courant est plane définie par la donnée de ϕet la vitesse dans l’écoulement
d’écrit −→ v=vr−→ er+vz−→ ez. On suppose que pour z≤0la vitesse du fluide est uniforme et partout
égale à v0−→ ez.
Figure 1: Intersection de nappes de courant avec différents λavec le plan yOz. L’axe Ox est perpendic-
ulaire au plan de la feuille. Les courbes orientées représentées sont des lignes de courant. La courbe en
tirets gris représente le volume Ddélimité par les surfaces S0,S1et Sl.
1) Montrer que vr=2λz
b2vz.
2) On cherche à exprimer complètement −→ ven écrivant la conservation de la masse sur le volume
Ddélimité par les tirets sur la figure et fixe dans R.Dest l’espace délimité par les surfaces S0,
S1et Sl.Slest une portion de nappe de courant définie par λ=R0. Les surfaces S0et S1sont
des disques d’axe Oz et de rayons R0et R1.S0est centré en Oet la cote de S1est z.
a) Etant donné une section droite S, rappeler la définition du débit volumique QV.
b) Exprimer R1en fonction de R0et de z.
c) Sachant que vzest constante dans la section S1, exprimer la conservation de la masse au
travers de D. En déduire l’expression de vzpour z > 0en fonction de z.
d) Exprimer alors vrpour z > 0en fonction de zet λpuis en fonction de zet r.

3) Connaissant maintenant la vitesse −→ ven tout point de l’espace,
a) comment peut-on montrer que cet écoulement est incompressible ? (ne pas faire la dé-
monstration).
b) Déterminer le vecteur tourbillon (ou vorticité) −→ Ωdans cet écoulement et commenter.
III- Pompe à cylindre
On s’intéresse au fonctionnement en régime permanent d’une pompe à cylindre représentée sur la
figure ci-dessous. La pompe prélève de l’eau depuis une profondeur hmaintenue constante. Dans
le cylindre, un piston aspire et refoule de l’eau par un mouvement de va-et-vient. L’aspiration a
lieu lorsque le piston se déplace vers la gauche: la soupape 1 laisse alors passer l’eau si la pression
dans le cylindre pvérifie p<p0. Le refoulement se fait par mouvement du piston vers la droite
et la soupape 2 laisse passer l’eau si p>p0. Pendant le fonctionnement de la pompe toutes les
parties représentées en grisé sur la figure sont en permanence remplies d’eau. On supposera que
l’air environnant la pompe est à pression constante égale à p0.
On note Spl’aire du piston, sl’aire des tuyaux d’aspiration-refoulement et Qle débit massique.
Les dimensions du cylindre sont très petites devant het on supposera donc la pression pdans
le cylindre uniforme. L’eau est considérée comme incompressible et on néglige les effets de la
viscosité.
Données: h= 5 m, Sp= 100 cm2,s= 5 cm2,Q= 10 kg/s.
1) Lors de l’aspiration le piston est tiré à vitesse constante v0.
a) En appliquant le théorème de Bernoulli, exprimer la pression pdans le cylindre en fonction
de Qet h.
b) A quelle condition sur pla pompe fonctionnera-t-elle ? En déduire le débit maximal Qm
puis la vitesse maximale vmdu piston.
c) Calculer Qmet vm.
2) Lors du refoulement, le piston est repoussé à vitesse constante v0. L’eau est alors éjectée à
l’air libre avec la vitesse v1.
a) Comment se traduit la conservation de la masse dans cet écoulement ? Exprimer alors la
vitesse v1.
b) Exprimer la pression pdans le cylindre en fonction de Sp,s,Qet h.