PCEM1 : Physique 1.4.3

PCEM1 : Physique 1.4.3
Notes de cours et démonstrations prises
D’après le cours du Pr. Boiteux de l’université RENE DESCARTES (Paris V)
Cours rédigés et illustrés par Meryl de Lachomette, Frédéric Chevallier, et Bertrand de Boysson, d’après les cours du professeur Boiteux, année
2004/2005. Sous licence Creative commons CC-BY-NC 3,0
1

Physique
Plan :
I. Electricité :
I.1. Loi de Coulomb :
I.2.
F
⃗
=-
grad
⃗
Ep
I.3.
E
⃗
=-
grad
⃗
V
I.4. Potentiel à grande distance
I.5. Potentiel d’un dipôle
I.6. Ep du dipôle dans un champ électrique extérieur
I.7.
grad
⃗
en coordonnées polaires
I.8. Champ et potentiel à la surface d’un conducteur
I.9. Capacité d’un condensateur plan dans le vide (cylindrique et sphérique)
I.10. Energie emmagasinée dans un condensateur
I.11. Loi d’ohm
I.12. Règles d’intensité et de tension
I.13. Modèle de Drude
I.14. Charge et décharge d’un condensateur dans le cadre de la modélisation d’une membrane
II. Physique Quantique (Bonus, surtout utile pour le second semestre)
II.1. Atome de Bohr
II.2. Laser
III. Optique
III.1. Formules
III.2. Chemin optique :
III.3. Loi de Snell-Descartes :
III.4. relation de conjugaison du dioptre sphérique :
III.5. Conjugaison et grandissement avec origine au foyer ; la formule de Newton :
III.6. Grandissement axial d’un dioptre :
III.7. Le grandissement transversal d’un dioptre, cad dans un plan parallèle au dioptre
III.8. Grandissement axial d’une lentille mince :
III.9. Grandissement transversale d’une lentille mince :
III.10. (con)vergence = puissance :
III.11. Formule de conjugaison d’une lentille mince dans l’air :
III.12. Image d’un point hors de l’axe, pour une lentille mince :
III.13. additivité des convergente pour les lentilles minces :
III.14. Grossissement/grandissement angulaire d’un instrument d’optique :
III.15. définitions d’optique (complément):
IV. Mécanique des fluides :
IV.1. Définitions à connaître :
IV.2. Relation de Base de l’hydrostatique :
IV.3. Fluide dans un champ de pesanteur :
IV.4. Applications : Tube de Torricelli, pression du sang
IV.5. Poussée d’Archimède d’un solide « s » dans un fluide « f » :
IV.6. Hydrodynamique, éléments à connaître : (cf feuille de définition)
IV.7. théorème de Bernoulli :
IV.8. loi de variation de la pression dans une section perpendiculaire aux lignes de courant :
IV.9. Quelques applications intéressantes de l’hydrodynamique :
IV.10. Surface libre : lieu des points tel que P = cst
IV.11. Description d’un fluide réel :
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IV.12. Chute d’un objet sphérique dans un liquide :
IV.13. Ecoulement laminaire/turbulent.
IV.14. Ecoulement laminaire d’un liquide dans u conduit cylindrique horizontal :
IV.15. Ecoulement laminaire d’un liquide dans u conduit cylindrique horizontal :
IV.16. Perte de charge (
P
):
IV.17. Résistance hydraulique (
h
R
):
IV.18. Nombre de Reynolds :
IV.19. Précisions :
IV.20. comparaison Loi de Poiseuille/ loi d’Ohm :
V. Ondes
VI. Annexes : constantes (cte = cst), relations de base, valeurs particulières
N.B. : parfois il est présenté plusieurs démonstrations. Cela a été fait pour que chacun puisse choisir
celle qu’il comprend le mieux.
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I. ELECTRICITÉ :
I.1. Loi de Coulomb :
2
electrique
r
q.q'
k.F
q et q’ sont les 2 charges en interaction (en coulomb),
avec k =
0
4π
1
= 9.109r est la distances entre les 2 charges (en m).
0
= permittivité du vide (Cf : annexes)
I.2.
F
⃗
=-
grad
⃗
Ep :
Calcule des forces :
On cherche à exprimer la force
F
⃗
dans un champ défini par une énergie potentielle Ep.
Le champ (ex : champ électrique) est une grandeur vectorielle, définie en tout point de l’espace.
Il permet d’exprimer l’influence d’un ou plusieurs éléments (ex : charges électriques) en un point
donné.
Démonstration 1 :
Localement :
δWAB =
F
⃗
.
dl
⃗
= F.
u
⃗
.
dl
⃗
= F.u.dl.cos θ (
u
⃗
étant un vecteur unitaire, donc de module 1 :
u
⃗
=
1)
Or u.dl. cosθ = dl.cosθ ; cosθ =
l
r
d
d
Donc
rl.u dd
⃗
δWAB = F.dr Þ dWAB = F.dr
En faisant la somme (l’intégrale) de tous ces travaux infinitésimaux :
WAB =
B
A
ò
F.dr =
2
'
B
A
Kqq
r
ò
dr = Kqq’ (
1
a
r
-
1
b
r
)
WAB = Ep a – Ep b = - ∆ WAàB = - Wopp
-dW
b
a
= dWopp= -
F
⃗
.
dl
⃗
= dEp
F
⃗
.
dl
⃗
= F(
i
⃗
+
j
⃗
+
k
⃗
).(dx .
i
⃗
+dy .
j
⃗
+dz .
k
⃗
) =
Ep
x
d
d
dx +
Ep
y
d
d
dy +
Ep
z
d
d
dz
F
⃗
.
dl
⃗
= -
grad
⃗
Ep.
dl
⃗
Þ
F
⃗
= -
grad
⃗
Ep
Démonstration 2 :
De façon générale, un travail (W) d’une charge q, se déplaçant
dans un champ électrique produit par q’ placé a une distance r
respecte les 2 formules ci-dessous :
*
u
r
q.q'
kF
2
⃗
⃗
le point 0 porte la charge q ; rA = 0A ; rB = 0B
*
l.FW d
⃗
: le point A porte la charge q’ ;
d’où
l.u.
r
'.
kW
2
d
qq
⃗
(on reste ici à l’échelle infinitésimale : c’est
un travail élémentaire)
En l’appliquant à notre cas, A est porteur de q’ se déplace en B
(quel que soit la trajectoire pourvu qu’il n’y ai pas de frottements)
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l.cosθu.l.u dd
⃗
Or cos  =
l
r
d
d
et
u
⃗
=1
Donc
rl.u dd
⃗

)
11
'.(.. r
r
1
'...WWW
2
B
A
BA
rB
rA
rB
rA
rr
qqkdqqk
= W particule (pour la particule)
(On effectue ici la somme des travaux infinitésimaux sur des trajets infiniment courts pour négliger
les frottements)
Notion d’énergie potentielle :
L’énergie potentielle en un point est le travail à fournir par l’opérateur à l’élément pour l’amener
depuis l’infini jusqu’à sa position finale.
Donc, pour calculer l’énergie potentielle Ep(A), on déplace q’ de l’infini au point A :
Ep(A) =
)
r
1
r
1
.(kWWW
A
A
particuleopérateur
.q.q'
)Ep(-Ep(A)
r
'.
k-
r
'.
k
A
qqqq
Cela correspond à considérer qu’en l’infini, l’énergie potentielle de la charge est nulle. Ep (∞) = 0
Les charges électriques sont supposées être sans interactions à l’infini.
Donc WAB = -(EpB-EpA) = - DEp
(on dérive) dW = - dEp =
l.Ep dgrad
et dW =
l.F d
⃗
Donc
F
⃗
= -
grad
⃗
Ep
I.3.
E
⃗
=-
grad
⃗
V :
Calcule du champ : Relation entre le champ
E
⃗
et le potentiel V.
Démonstration :
Sachant que
F
⃗
=q
E
⃗
et Ep=qV
Ep F grad
)V.(q Eq. grad
⃗
E
⃗
= -
grad
⃗
V car q = cst
I.4. Potentiel à grande distance (en M) produit par plusieurs charges qi que l’on rapportera au
point 0 :
Démonstration 1 :
V(
i
r
⃗
) = k
i
i
q
r
Formule de Taylor :
2
0
0 0 0 0
( )
( ) ( ) '( ).( ) ''( ). ...
2!
x x
f x f x f x x x f x
-
= + - + +
pour x  x0
pour f(x)=V(
i
r
⃗
) et
i
r
⃗
r
⃗
sachant que
E
⃗
=-
grad
⃗
.V = -
u.
r
)rV(
⃗
d
d
i
V(
i
r
⃗
)  V(r) +
grad
⃗
.V(
i
r
⃗
-
r
⃗
)  V(r) +
grad
⃗
.V(-
i
R
⃗
) + …
Vi(
i
r
⃗
) » k
i
q
r
å
+
E
⃗
.
i
R
⃗
= k
i
q
r
å
+ k
3
q.r
r
⃗
å(qi .
i
R
⃗
) + …
V(M) = k.
r
q
N
1i i
+ k.
3
r.p
r
⃗ ⃗
+... où
p
⃗
=
N
1i i
i
R.q
Cours rédigés et illustrés par Meryl de Lachomette, Frédéric Chevallier, et Bertrand de Boysson, d’après les cours du professeur Boiteux, année
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5
Remarque :
B
A
ff(A)-f(B)fd