PCEM1 : Physique 1.4.3

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PCEM1 : Physique 1.4.3
Notes de cours et démonstrations prises
D’après le cours du Pr. Boiteux de l’université RENE DESCARTES (Paris V)
Cours rédigés et illustrés par Meryl de Lachomette, Frédéric Chevallier, et Bertrand de Boysson, d’après les cours du professeur Boiteux, année
2004/2005. Sous licence Creative commons CC-BY-NC 3,0
1
Physique
Plan :
I. Electricité :
I.1.
Loi de
Coulomb
:




⃗
⃗ 
I.2.
F =- grad Ep




⃗

⃗ 
I.3.
E =- grad V
I.4.
Potentiel à grande distance
I.5.
Potentiel d’un dipôle
I.6.
Ep
du





⃗ dipôle dans un champ électrique extérieur
I.7.
grad en coordonnées polaires
I.8.
Champ et potentiel à la surface d’un conducteur
I.9.
Capacité d’un condensateur plan dans le vide (cylindrique et sphérique)
I.10. Energie emmagasinée dans un condensateur
I.11. Loi d’ohm
I.12. Règles d’intensité et de tension
I.13. Modèle de Drude
I.14. Charge et décharge d’un condensateur dans le cadre de la modélisation d’une membrane
II. Physique Quantique (Bonus, surtout utile pour le second semestre)
II.1. Atome de Bohr
II.2. Laser
III. Optique
III.1. Formules
III.2. Chemin optique :
III.3. Loi de Snell-Descartes :
III.4. relation de conjugaison du dioptre sphérique :
III.5. Conjugaison et grandissement avec origine au foyer ; la formule de Newton :
III.6. Grandissement axial d’un dioptre :
III.7. Le grandissement transversal d’un dioptre, cad dans un plan parallèle au dioptre
III.8. Grandissement axial d’une lentille mince :
III.9.
III.10.
III.11.
III.12.
III.13.
III.14.
III.15.
Grandissement transversale d’une lentille mince :
(con)vergence = puissance :
Formule de conjugaison d’une lentille mince dans l’air :
Image d’un point hors de l’axe, pour une lentille mince :
additivité des convergente pour les lentilles minces :
Grossissement/grandissement angulaire d’un instrument d’optique :
définitions d’optique (complément):
IV. Mécanique des fluides :
IV.1. Définitions à connaître :
IV.2. Relation de Base de l’hydrostatique :
IV.3. Fluide dans un champ de pesanteur :
IV.4. Applications : Tube de Torricelli, pression du sang
IV.5. Poussée d’Archimède d’un solide « s » dans un fluide « f » :
IV.6. Hydrodynamique, éléments à connaître : (cf feuille de définition)
IV.7. théorème de Bernoulli :
IV.8. loi de variation de la pression dans une section perpendiculaire aux lignes de courant :
IV.9. Quelques applications intéressantes de l’hydrodynamique :
IV.10. Surface libre : lieu des points tel que P = cst
IV.11. Description d’un fluide réel :
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2
IV.12.
IV.13.
IV.14.
IV.15.
IV.16.
IV.17.
IV.18.
IV.19.
IV.20.
Chute d’un objet sphérique dans un liquide :
Ecoulement laminaire/turbulent.
Ecoulement laminaire d’un liquide dans u conduit cylindrique horizontal :
Ecoulement laminaire d’un liquide dans u conduit cylindrique horizontal :
Perte de charge ( P ):
Résistance hydraulique ( R h ):
Nombre de Reynolds :
Précisions :
comparaison Loi de Poiseuille/ loi d’Ohm :
V. Ondes
VI. Annexes : constantes (cte = cst), relations de base, valeurs particulières
N.B. : parfois il est présenté plusieurs démonstrations. Cela a été fait pour que chacun puisse choisir
celle qu’il comprend le mieux.
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I. ELECTRICITÉ :
I.1. Loi de Coulomb :
q.q'
Felectrique  k. 2
r
avec k =
1
= 9.109
4π 0
q et q’ sont les 2 charges en interaction (en coulomb),
r est la distances entre les 2 charges (en m).
 0 = permittivité du vide (Cf : annexes)




⃗
⃗ 
I.2. F =- grad Ep :
Calcule des forces :
⃗
On cherche à exprimer la force F dans un champ défini par une énergie potentielle Ep.
Le champ (ex : champ électrique) est une grandeur vectorielle, définie en tout point de l’espace.
Il permet d’exprimer l’influence d’un ou plusieurs éléments (ex : charges électriques) en un point
donné.
Démonstration 1 :
Localement
:⃗ 
⃗
⃗
⃗ 
δWAB = F . dl = F. u . dl = F.u.dl.cos θ
1)
⃗
( u étant un vecteur unitaire, donc de module 1 :
Or
dr
dl
u.dl. cosθ = dl.cosθ
;
Donc u⃗.dl  dr
cosθ =
⃗
u
=
δWAB = F.dr Þ dWAB = F.dr
En faisant la somme (l’intégrale) de tous ces travaux infinitésimaux :
B Kqq '
1 1
B
WAB = ò F.dr = òA 2 dr = Kqq’ ( - )
A
ra rb
r
WAB = Ep a – Ep b = - ∆ WAàB = - Wopp
⃗
⃗ 
b
-dW a = dWopp= - F . dl = dEp
⃗
⃗
d Ep
⃗ ⃗ ⃗
⃗
⃗
⃗ 
d Ep
d Ep
dx +
dy +
dz
F . dl = F( i + j + k ).(dx . i +dy . j +dz . k ) =
dy
dx
dz





⃗




⃗
⃗

⃗
⃗ 
⃗ 
F . dl = - grad Ep. dl Þ F = - grad Ep
Démonstration 2 :
De façon générale, un travail (W) d’une charge q, se déplaçant
dans un champ électrique produit par q’ placé a une distance r
respecte les 2 formules ci-dessous :
⃗
q.q' ⃗
* Fk 2 u
le point 0 porte la charge q ; rA = 0A ; rB = 0B
r
⃗
* W  F.dl :
le point A porte la charge q’ ;
q.q ' ⃗
⃗
d’où W  k 2 .u.dl (on reste ici à l’échelle infinitésimale : c’est
u.dl  u.dl.cosθ
r
dr
un travail élémentaire)
Or cos  =
et
dl
En l’appliquant à notre cas, A est porteur de q’ se déplace en B
⃗
Donc u
.dl  dr
(quel que soit la trajectoire pourvu qu’il n’y ai pas de frottements)
⃗
u
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=1
4
W  WAB 

rB
rA
1
1
1
dr  k .q.q '.(  )
2
rA r
rA rB
W  k .q.q '.
rB
= W particule
(pour la particule)
(On effectue ici la somme des travaux infinitésimaux sur des trajets infiniment courts pour négliger
les frottements)
Notion d’énergie potentielle :
L’énergie potentielle en un point est le travail à fournir par l’opérateur à l’élément pour l’amener
depuis l’infini jusqu’à sa position finale.
Donc, pour calculer l’énergie potentielle Ep(A), on déplace q’ de l’infini au point A :
A
Ep(A) = Wopérateur   Wparticule   W   k.q.q' .(
1
1
 )
r rA
q.q '
q.q '
k
-k
 Ep(A) - Ep( )
rA
r
Remarque :
 df  f(B) - f(A)  f
B
A
Cela correspond à considérer qu’en l’infini, l’énergie potentielle de la charge est nulle. Ep (∞) = 0
Les charges électriques sont supposées être sans interactions à l’infini.
Donc WAB = -(EpB-EpA) = - DEp
⃗
(on dérive) dW = - dEp = grad Ep.dl et dW = F.dl




⃗
⃗ 
Donc F = - grad Ep




⃗

⃗ 
I.3. E =- grad V :

⃗
Calcule du champ : Relation entre le champ E et le potentiel V.
Démonstration
:⃗
⃗ 
Sachant que F =q E et Ep=qV
F   grad Ep
⃗
 q.E   grad (q.V )




⃗
⃗ 
 E = - grad V car q = cst
I.4. Potentiel à grande distance (en M) produit par plusieurs charges qi que l’on rapportera au
point 0 :
Démonstration 1 :
qi
⃗
V( ri ) = k
ri
( x - x0 ) 2
Formule de Taylor : f ( x ) = f ( x0 ) + f '( x0 ).( x - x0 ) + f ''( x0 ).
pour x  x0
+ ...
2!




⃗
⃗
⃗ ⃗
⃗ 
dV(ri ) ⃗
pour f(x)=V( ri ) et ri  r
sachant que E =- grad .V = .u
dr
⃗





⃗





⃗
⃗
⃗ ⃗
V( ri )  V(r) + grad .V( ri - r )  V(r) + grad .V(- R i ) + …
⃗
⃗
⃗
⃗
q.r
qi ⃗
qi
å
å
r
Vi( i ) » k
+ E . R i = k
+ k 3 å(qi . R i ) + …
r
r
r
V(M) = k.

N
q
i 1 i
r
⃗⃗
⃗
r.p
N
+ k. 3 +... où p = i 1 q i .R i
r
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5
Remarque : grad
F
⃗
peut être considéré comme la dérivée de F (x,y,z) dans les 3 dimensions, ce
qui correspond bien à notre approche vectorielle dans un espace à 3 dimensions.
Cas 1 : Si qi = q  0,
⃗
q k N
N
V(r )  i1 k. ⃗i  ⃗ i1 q i
r r
Tout se passe comme si toutes les charges étaient rassemblées en O.
⃗⃗
⃗
⃗
⃗
N
⃗
N q i .ri . r
P. r
Cas 2 : Si qi = 0,
V( r )  k.i 1
 k. 3 . où P  i 1 (q i . ri )
3
r
r
⃗
On retrouve la formule du potentiel d’un dipôle ( P étant le moment dipolaire).
Dans la démonstration qui suit, le dipôle est considéré comme 2 charges très proches l’une de
l’autre, ce qui rejoint notre hypothèse « à grande distance ».
I.5. Potentiel en M d’un dipôle (les charges sont en N et P) :
q
q
;
VN/M = - k
PM
NM
1
1
V(M) = kq(
)
PM NM
1
1
NM - PM
=
PM NM
NM.PM
VP/M = k
NM = NK2+OM
et PM = OM-PK1
a
NM-PM = NK2 + PK1 = 2. cos θ = a.cos θ
2
NM.PM = (NK2+OM).(OM-PK1)
= OM² - OM.PK1 + OM.NK2 - NK2.PK1
= OM² + OM.( NK2-PK1 ) - NK2.PK1= OM² - (
NM.PM = OM2Þ V(M) = kq(
V(M) » k.(
k1k2 : arc de cercle de centre M.
Comme le rayon est très grand, cet
arc de cercle est assimilable à une
droite.
a
cos θ)²
2
a2
cos2 θ » OM2 car a² très petit devant OM²
4
1
1
NM - PM
a.cos θ
)» kq.(
» kq.(
)
PM NM
OM²
OM²
q.a.cos θ
)
OM²
I.6. Ep du dipôle dans un champ électrique extérieur constant :
Ep = qVA - qVB = q.( VA -VB )
⃗
B
B ⃗ 


⃗
⃗



⃗ 
⃗ 
Ep = q.( ò dV ) = -q ò E . dl = - E .q. AB or q. AB = P
A
A
⃗
⃗ 
Ep= - E . P





⃗
I.7. grad en coordonnées polaires :
 1ère approximation :
Origine loin du repère, de loin les droites  et ’
'
⃗
eq
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⃗
er
6

⃗
⃗
semblent parallèles, d’où dl = r.tan(dθ). eq + dr. er
⃗
⃗
eq et er sont des vecteurs unitaires.
 2e approximation :
Pour dθ très petit : tan dθ = Opp / r » dθ
Þ r.dθ  Opp
⃗
⃗
D’où dl » r.(dθ). eq + dr. er






⃗
df = grad f . dl





⃗





⃗





⃗ ⃗
⃗
⃗
⃗
df = grad f . (r.dθ. eq + dr. er ) = grad f. r. eq .dθ + grad f. er . dr
Or df =
f
f
dr 
dθ
r
θ
On identifie les termes en dr et en dθ :





⃗ ⃗





⃗ ⃗
1 f
f
grad f. eq .r dθ =
dθ Þ grad f. eq = .

r 





⃗





⃗
⃗ f
⃗ f
grad f. dr . er =
. dr Þ grad f. er =


Application au dipôle électrique :





⃗
f ⃗ 1 f
grad f =
. er + .

r 
⃗⃗
P. r
P.cos θ
Vk 3 k
r
r2
P.cos θ
P.sin θ
1 V
 (k
)
2
et  .
= -1
= k.
r
.
r θ
r3
r
θ
⃗
V ⃗ 1 V ⃗
er  .
e θ = E avec
Si f = V : - grad V  
r
r θ
 (V)
 (k
=r
P.cos θ
P.2.cos θ
)
= k.
r2
r3
r
⃗
P.2.cos θ ⃗
P.sin θ ⃗
E  k.
.e r  k.
.e θ
3
r
r3
⃗
soit E
P.2.cos θ ⃗
k. 3 selon e r
r
=
⃗
P.sin θ
k. 3 selon eθ
r
I.8. champ et potentiel à la surface d’un conducteur :
⃗ s ⃗
E= e n
0 : permittivité du vide,
0
r :permittivité du milieu, caractéristique de ce dernier
 = charge surfacique (en coulomb par unité de surface : C . m-2)
En régime permanant (régime établi), un conducteur isolé n’a pas de déplacement macroscopique
de charges (Si elles existaient, elles seraient freinées par effet joules, et on ne serait plus en régime
⃗
permanant). E est perpendiculaire à la surface du conducteur. Sinon, il y aurait des mouvements
macroscopiques de charges ( équilibre car le champs magnétique déplacerait les charges…).
Exemples :
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7
⃗
⃗
Quand E int  0
Vint = cst


cage de Faraday
(int = à l’intérieur du conducteur)
un fil électrique a une tension nulle
 Pour un plan chargé :
Q
é
ù
é Q ù ê r2 ú é s ù
s
⃗
[E] = ê 2 ú = ê
= ê ú Þ E= A
expérimentalement A= 1 2 = cste
ú
e
e
r
e
e
0
ë 0 û ê 0 ú ë 0û
ë
û
⃗ s
E = 2.e
0
Remarque : on peut démontrer la valeur de A par l’application du théorème de Gauss (hors
programme).

Dans un conducteur métallique :
On isole par la pensée un élément de surface ∆S sur un conducteur métallique de surface totale S.
⃗ DS
s ⃗
⃗
Alors E int
=n où n est un vecteur unitaire.
2.e 0
Dans tout conducteur métallique, le champs total est nul (cage de Faraday)
⃗
⃗
s ⃗ ⃗ DS
⃗ ⃗ DS ⃗S-DS
Donc ESint = 0 = E int
+ E int
Þ ESint-DS =
n = E ext
2.e 0
⃗S
⃗S-DS ⃗ DS s ⃗
n
Þ E ext = E int + E ext =
e0
I.9. Capacité d’un condensateur plan dans le vide (cylindrique et sphérique) :
Remarque : Si on n’est pas dans le vide, la constante diélectrique du milieu  devient 0 . r où r
est une grandeur caractéristique du milieu
Démonstration
1:


⃗
⃗ 
⃗
n . AB = n.AB car n est // à AB ; AB = e (distance entre les 2 armatures)
⃗
⃗
n : vecteur unitaire tel que n = 1
dl : vecteur infinitésimal (ici parcourant la distance AB)
⃗
⃗
VA-VB =  dV =  - E.dl = - E  .dl
A
Or B .dl = BA Car, la somme des vecteurs infinitésimaux de B à A forment le vecteur BA
A
B
A
B
A
B
σ ⃗
σ ⃗
.n. BA =
.n. AB =
ε0
ε0
Qe
U
VA-VB = S
or Q = CU Þ Q =
0
VA-VB = 
σ
.AB
ε0
avec
σ=
Q
S
1
C
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VA -VB
e
= S
Q
0
Þ
=
Démonstration 2 :
⃗
E   grad V et dv 
ò
B
A
B
1
C
donc C 
S 0
e
⃗
donc dv   E.dl
grad V.dl
⃗
dV = - ò E.dl
A
⃗
Or E 
⃗ σ ⃗
σ ⃗
n pour un plan dans le vide, donc E 
n entre les armatures
2.ε 0
ε0
⃗ B
E
A
du condensateur (cf. schéma).
B
B
VB-VA= ò dV =  A
A
 ⃗
.n.dl
0
 Si on est dans le cas1 :
o U (tension) = VA(le potentiel le plus grand) -VB (le potentiel le plus petit)
o

B
A
dl  AB (considérer
ici
ò
B
A
comme la somme de vecteurs dl infinitésimaux entre A et B)
⃗
⃗
E et AB sont colinéaire donc n.dl  1
σ
σ
o D’où U   . AB   .e
[e : la distance entre les 2 armatures]
ε0
ε0
 Si on considère le cas 2 (polarité du condensateur inversé) :
o U (tension) = VA(le potentiel le plus grand) -VB (le potentiel le plus petit)
⃗
⃗
o  dl  AB ; E et AB ont le même sens mais une direction opposée donc n
.dl  1
B
A
o D’où - U  ( 
σ
σ
. AB )  U   .e
ε0
ε0
· Donc dans les 2 cas :

Q.e
.e =
U= VA-VB =
0
S.ε 0
S.ε 0
Donc C =
e
Or Q = C.U =
Remarque : on peut appliquer E 
S.ε 0
.U
e
Q
à tous les types de condensateurs, seul va changer
S.ε 0 .ε r
l’expression de la surface (r2 pour un carré, π.r 2 pour une sphère, 2 π.r.l pour un cylindre) ; ε r
est la permittivité du milieu, dans le vide (en général) il vaut 1 donc n’apparaît pas.
I.10. énergie emmagasinée dans un condensateur (U) :
Démonstration 1 :
dWel = (VA-VB).dQ = -dWop
Q dQ
en intégrant
C
ΔV
Or dans un condensateur : E =
donc
e
dU = dWop = (VB-VA).dQ =
U=
ò
Q
0
Q
1 Q 2 cv 2 ε 0S 2
dQ = .
.V
=
=
C
2 C
2e
2
1
U= 0.e.S.E2
2
Démonstration 2 :
⃗
W  F.dl  F.dr  dW
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9
W
AB
W
AB


B
A
⃗
F.dl 
 k.q.q' 
B
A

B
A
F.dr
1
1
1
dr.  k.q.q'.(  )  (VB  VA ).q  (VA  VB ).q
2
rA rB
r
Cela correspond à l’évolution de l’énergie électrique d’une charge q déplacée d’un lieu A où règne
un potentiel VA , à un lieu B où règne VB.
[Remarque : W A B   W opérateur ; dans le cadre du condensateur dans un circuit électrique,
l’opérateur est le générateur. L’énergie stockée correspond à W A B .]
d W A B  d W sto  (VA  VB ).dq
D’où d W sto 
(or C =
W
sto

q
.dq on intègre
C
Or Q = C.U = C.(VA-VB)
d W
sto

1
. q.dq 
C 
W
sto

1 q2
.
2 C
1
S.ε 0
d’où Wsto = 0.e.S.E2 ; on peut passer à des formules équivalents avec Q = C.U :)
2
e
1
.C.U 2
2
I.11. Loi d’Ohm :
- Loi d’Ohm locale :
⃗
⃗ ⃗
o v=μ.E
v : vitesse de déplacement des charges
⃗
⃗
⃗
o j=n.q.v
j : débit de charges q élémentaires par unité de surface (densité de
courant)
⃗
⃗
Þ j=n.q.μ.E ;
on pose  (la conductivité) = n.q.
⃗
⃗
Þ la loi d’Ohm locale : j = . E
- Loi d’Ohm macroscopique :
Soit d = z2-z1 étant la distance entre les 2 points dont on
o
mesure la tension/différence de potentiel.
U (tension) = V1-V2
o
⃗
⃗
⃗
⃗
v  v.u z
et
E  E.u z
o
V  V1 ⃗
V  V1 ⃗
⃗
dV ⃗
V ⃗
U ⃗
⃗
.u z   ( 2
).u z  ( 2
).u z  (
).u z  .u z
* E   grad V = E.u z  
dz
z 2  z1
d
d
d
⃗
* un autre façon plus légère de le dire est que : E   grad V comme la seule variable est z (un fil à
un temps donné n’a qu’une dimension), et comme on peut considérer le gradient comme une dérivé
V2  V1 V1  V2 U


de vecteur, on a E = 
z 2  z1
z 2  z1
d
j
1 d
* On sait que I = j.∆S et j = .E ; U=- ∆V = E.d = .d = .
.I = R .I
s
s ΔS
U=(
1 d
1 d
.
).I Þ R = .
s ΔS
s ΔS
Remarque :
1
 ρ (résistivité, pas charge volumique)
σ (conductivité)
1
G (conductance) =
( -1 ou siemens)
R (resistance)
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1
I.12. modèle de Drude :
 Formules utiles :
⃗
⃗
⃗
⃗
I ⃗
j   n i .q i .v i  .n  ρ.v  ρ.μ.E  σ.E ; v =  (mobilité) .E ;  (conductivité) = n.q.v
S
n (nombre de charges par unité de volume).q =  (charge volumique).
 On suppose un conducteur où les porteurs de charge sont soumis à l’action de 2 forces :
⃗
⃗
- force de frottement : f = k. v
(ici k < 0 car cette force s’oppose au mouvement)


⃗
⃗
- force électrique :
Fe = q. E
 RDF (relation fondamentale de la dynamique) :
⃗
⃗
dv
⃗
dv ⃗ qτ ⃗
⃗
⃗
(
forces
)
= k. v +q. E = m
= m. a Þ 
-v=
å
E
dt
dt
m
k
;
m
t est le temps de relaxation
où t =
 Équation différentielle :
-
⃗
dv ⃗ qτ ⃗
t
-v=
E
dt
m
Solution générale sans second membre :
⃗
t
v =. e- τ
⃗
⃗ qτ ⃗
Solution particulière avec second membre ( v 0 est cst): v 0 =
E
m
⃗
qτ
t
Solution mathématique générale avec second membre : v(t) =. e- τ +
m
[On peut aussi apprendre que les équation du type : a.
⃗
- b.t/a

ont pour solution : v(t)  k.e
(1)
(2)
⃗
E
(1) + (2)
⃗
⃗
dv
 b.v  c
dt
c
]
b
-
Conditions initiales : à t = 0, v = 0 elles vont permettre d’établir la solution physique
unique (à opposer à la solution mathématique).
⃗
qτ ⃗
qτ ⃗
-t
= v(t) =
E
E (1- e τ )
m
m
Remarque 1, en multipliant par « n.q » l’équation différentielle initiale, on obtient :
⃗
⃗
⃗
⃗
dv
⃗
dv ⃗ qτ ⃗
⃗
⃗
d j ⃗ n.q.τ ⃗
.F
m
-k. v = q. E Û  - v =
- j=
car j = n.q. v
E 
m
dt
dt
dt
m
⃗ n.q 2 .τ
⃗
t
dont la solution est j =
. (1- e - τ ). E
m
(l’équation au quelle cette solution correspond s’appelle l’équation de transport)
Au bout d’un temps suffisamment long :
⃗ n.q 2 .τ ⃗
⃗
⃗
n.q 2 .τ
j
j=

=.
où

=
On retrouve la loi d’Ohm locale.
E
E
m
m
t
Remarque 2, t est le temps de relaxation. Pour t > 5.t, e- τ est négligeable (inférieur à 0,01). Entre
t = 0 et 5.t on est dans le régime transitoire, après on atteint le régime permanent (en »10-14 s). Dans
le régime permanent les porteur de charges (pas forcément des électrons, mais aussi des ions :cf.
⃗
cours sur les semi conducteur,ou la méthode d’électrophorèse) atteignent une v limite (de même
direction mais de sens opposé au champ pour les électrons ).
Dans les conditions finales :
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1
⃗
⃗
v limite= . E avec  (la mobilité du porteur de charge) =
q
q.τ

k (coef de frottement)
m
I.13. Règles d’intensité et de tension :
 Association de résistances / condensateurs
En Série :
Résistance
R = R 1 + R2
Condensateur
1
1
1


C C1 C 2
Condensateur
C = C1 + C2
En parallèle :
Résistance
1
1
1


R R1 R 2

Comment la tension dépend des composants d’un circuit électrique :
du
i  c. c (uc aux bornes du condensateur)
Condensateur :
dt
Résistance :
U = R.i
En Série :
En parallèle :
UAB = UAC + UBC ;
i = cst
(U : analogie avec un rivière, il s’agit de la pente )
(i : analogie avec un rivière, il s’agit du courant )
UAB = cst
; i0=i1+i2+i3 mais i0i1i2i3
I.14. Charge et décharge d’un condensateur dans le cadre de la modélisation d’une membrane :
 R1 + R 2 = R
 Pour trouver l’équation en charge du
condensateur :
dq 1 dq 2 dq 3


Þ i1 = i2 + i3
dt
dt
dt
- Application de la loi des mailles :
UAC = ∆U = UAB + UBC
q
q
∆U = Ri1 + ri2 = Ri1 + 3 (en effet Uc = UBC = 3 )
C
C
q
dq
dq
dq
= R. 1 + r. 2 Þ ∆U = R. 1 + 3 (1)
dt
dt
dt
C
q
dq
q
dq
 r. 2 = 3  i2 = 2 = 3
dt
r.C
C
dt
- Et de la loi des nœuds (i1 = i2 + i3), on déduit :
dq
dq 1 q 3
=
+ 3
dt
r.C
dt
dq 1
On remplace la valeur de
dans la loi des mailles (1)
dt
q
dq 3
q
q
dq
R
∆U = R.( 3 +
) + 3 = 3 .( +1) + R. 3
r
r.C
dt
C C
dt
On pose
R
Rr 1
+1=
=
r
r

Þ ∆U =R.
dq 3 q 3
dq 3
+
 .C.∆U = a.C.R.
+q3
dt  C
dt
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1
Þ équation différentielle de la charge d’un condensateur :
dq 3
.C.∆U = a.C.R.
+q3 où q3 est une fonction du temps t
dt
_________________
 a- Solution de l’équation différentielle sans 2nd membre : a.C.R.
dq 3
+q3 = 0
dt
de la forme q3(t) = .e-t/(a.R.C)
 b- Solution particulière de l’équation différentielle avec 2nd membre :
On prend q3 à t = ∞, car q3(∞) = cte
dq 3
Þ a.C.R.
+ q3(∞) = .C.∆U  q3(∞) = .C.∆U
dt
└─┘=0
· c- Solution générale de l’équation différentielle avec 2nd membre :
q3(t) = .e-t/(a.R.C) + .C.∆U
· d- Solution particulière de l’équation différentielle, en partant des conditions initiales (t = 0) :
q3(0) = 0 car à t = 0, le condensateur n’est pas chargé.
q3(0) = l.e-0/(a.R.C) + .C.∆U = 0
donc  = -a.C.∆U
_________________
D’où la solution de l’équation différentielle de la charge d’un condensateur est :
dq 3 U -t/(a.R.C)
q3(t) = a.C.U.(1- e-t/(a.R.C))
i3(t) =
=
.e
R
dt
On peut alors exprimer i2 et i1 (car i1 = i2 + i3 et on connaît i3(t) ) :
C
 .r.U
dq 2 q 3
i2 =
=
=
(1- e-t/(a.R.C))
 .(R  r)
dt
r.C r.C
i2(t) =
U
(1- e-t/(a.R.C))
(R  r)
donc
Remarque :
o A t = ∞ : i2(∞) =
i1= ΔU .(
r
1
+
.e-t/(a.R.C) ) (cf. ci-après pour le détail)
R.(R
 r)
Rr
U
Rr
q3
dq 3
r.C
dt
┌───────┐ ┌─────────┐
i1 = i2 + i3 =
i1(t)
i1(t) =
q3
C
 .r.U -t/(a.R.C)
dq
U
+ 3 =
e
+
(1- e-t/(a.R.C))
r
.
C

.R
r

R

r.C
dt
=
R
U -t/(a.R.C)
[e
+ (R  r) .(1- e-t/(a.R.C))]
R
=
R
R
U
[ (R  r) + e-t/(a.R.C).(1- (R  r) )]
R
=
R
r
U
[ (R  r) + e-t/(a.R.C).( (R  r) )]
R
R
Rr
R
r
or 1- (R  r) = (R  r) - (R  r) = (R  r)
R
r
U
[ (R  r) + ( (R  r) ).e-t/(a.R.C)]
R
o A t = ∞ : i1(∞) =
U
= i2 (∞) ; [i1 = i2 + i3 or i3() = 0 donc i1 = i2]
R 1
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1
o On peut aller plus vite en posant dès le départ que  
∆U = Ri1 + uc
i1 = i2+i3
i3 = C.
du c
dt
r
Rr
uc=r.i2
uc
du
du
Rr
r
r
. c ) or  
+ C. c ) + uc=
.(uc+ RC.
r
Rr
r
dt
R  r dt
du
Donc ∆U. = uc+ RC.α. c
dt
La solution générale de la charge est du type uc(t) =A+B.e-t/(a.R.C)
Cas de la charge :
à t=0, uc = 0 ;
à t=∞, uc = ∆U.
à t=0, uc = 0 =A+B  A=-B ;
à t=∞, ∆U = A(1-e-t/(a.R.C)) =A
∆U =R.(i2+i3) + uc = R.(
donc uc = .∆U. (1-e-t/(a.R.C))
u
α.ΔU
i2 = c =
.(1-e-t/(a.R.C))
r
r
i3 = C.
 Δu -t/(a.R.C) Δu -t/(a.R.C)
du c α
 .C
=
.e
=
.e
α

R
 .R.C
dt
1  -t/(a.R.C)
Δu -t/(a.R.C) α.ΔU
ΔU
1
.e
+
.(1-e-t/(a.R.C)) =
+ ∆U.  
e
R
r
rR
 R R  r 

 -t/(a.R.C)
r
ΔU
ΔU
r
=
+ ∆U. 
=
[ 1  . e-t/(a.R.C)]
e
R(R

r)
rR
rR
R


i1= i2+i3=
__________________
Pour la décharge du condensateur :
∆U est alors nul : on peut faire le schéma suivant
On a Ur = Uc
Mais attention : le condensateur a été chargé, et il joue maintenant le rôle d’un générateur en
libérant l’énergie accumulée dans la résistance r (le reste du circuit est ouvert). Le sens du courant
est inversé par rapport à celui de la charge (les électrons se déplacent alors dans l’autre sens) Þ On
q
(attention au signe moins ;-)
C
a alors Uc = 
Depuis Ur = Uc Þ
r.dq q
+ =0
dt
C
Ur - Uc = 0
Þ
Þ Ur +
q
=0
C
r.C.dq
+ q =0
dt
Solution de l’équation différentielle de décharge du condensateur :
q(t) = le-t/(r.C)
À
t = 0 : q(t=0) en décharge = q3(t=∞) en charge = a.C.∆Uch
Þ le-0/(r.C) = l = q(t=0)decharge = a.C.∆Uch
Þ q(t) = a.C.∆Uch. e-t/(r.C)
en décharge
Remarque : à t=0 la tension dans le circuit = ur = uc =∆U.
; à t=∞ ur = uc =∆U.
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1
II. PHYSIQUE QUANTIQUE (Bonus, surtout utile pour le second semestre)
II.1. atome de Bohr :
(utile pour le second semestre)
1) une orbitale est stable ssi (si et seulement si) l’onde correspondant à l’électron (on peut
avoir, comme pour la lumière soit une approche corpusculaire [particulaire] comme
d’habitude ou ondulatoire [c’est ici le cas] ) se boucle pour un nombre entier de longueur
d’onde : (schéma d’une onde faisant le tour d’un noyau :
)
2r :
:
n:
2r = n .
Périmètre du cercle correspondant à l’orbite circulaire de l’électron
Longueur d’onde représentant l’électron
n  I* (ensemble des entiers naturels privé de 0 soit 1,2,3,…)
2) Relation de De Broglie : λ 
h
(h constante de Planck, ℏ = h 2π constante de Planck
m.v
réduite.)
3) Donc 2r = n . =
n.h
d’où m.v.r =
m.v
n.h
2π
 n.ℏ
: quantification de l’énergie
4) Dans la vision classique, les électrons sont soumis à 2 forces classiques qui se compensent :
Force centrifuge :
F=
m.v
r
Attraction coulombienne :
q.q'
F’= k.
(q = e et q’= Z.e)
r2
2
1
e.(Z.e)
Z.e 2
m.v 2
= k.
=
= F’ (mais F et F’ ont des directions opposées)
4. . 0
r
r2
r2
1
1
Z.e 2
Z.e 2
D’où m.v 2 =
Û Ec = (½) m.v 2 =
.
4. . 0
8. . 0
r
r
F=
5) L’Ep de l’électron correspond à l’opposé de l’énergie qu’il faudrait pour l’expulser (à
l’infini). C’est donc une valeur négative.
r
Ep = 
⃗ ⃗
Fel .u dr
Z.e 2
=  k. 2 dr =

r
r
r

1
Z.e 2
1
Z.e 2 

.

.
=


4.π. 0
r
r 
 4.π. 0
6) L’énergie totale : Et = Ec + Ep =
1
1
Z.e 2
Z.e 2
1
Z.e 2 
.
.
.
=
8. . 0
4.π. 0
r
4.π. 0 .r 2
r
(1)
7) On veut tout exprimer en r et faire disparaître v :
n 2 .h 2
→ m.v.r = n.h 2π Û m.v 2 
4.π 2 .m.r 2
→ m.v 2 =k.
Donc k.
Z.e 2
r
n 2 .h 2
n 2 .h 2
Z.e 2
= m.v 2 
Û
r
=
r
4.π 2 .m.r 2
4.π 2 .m.k.Z.e 2
(2)
8) (1) + (2) :
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l’adresse : [email protected]
1
Et = 
2
Z.e 2
1
4.π 2 .m.k.Z.e 2 k.Z.e 2
2.k 2 .Z 2 .e 4 .π 2 .m
. =  1 . k.Z.e = 
=
=
.

4.π. 0 .r 2
r
2
2
n 2 .h 2
n 2 .h 2
2.k 2 .e 4 .π 2 .m Z 2
. 2
h2
n
2
Z
2.k 2 .e 4 .π 2 .m
Et =  E 0 . 2 avec E0=
=13,6 eV
n
h2

9) Divers :
Z
n
2
 La formule E(en ev)  13,6.( ) ne s’applique en fait de façon rigoureuse uniquement pour
l’atome d’hydrogène car il ne possède qu’un électron. En effet la présence d’électrons s’interposant
entre l’électron considéré et le noyau diminue la force d’attraction des charges positives du noyau.
On peut prendre compte de cet effet en « corrigeant » la formule par l’ajout d’une constante
d’écran : k déterminé empiriquement (d’après nos connaissances). E(ev)  13,6.(
Z-k 2
)
n
 Un atome au repos va recevoir une énergie qui ne sera pas suffisante pour éjecter l’électron
considéré et donc provoquer une ionisation ; ils va y avoir une excitation : l’électron va rejoindre un
couche de plus haute énergie. En se désexcitant il va retourner sur une couche d’énergie plus basse
(pas forcément celle de départ, car un autre électron du cortège peut déjà l’avoir remplacé) pour que
l’atome ait globalement une configuration « au repos ». Simultanément il y aura émission de
l’énergie en surplus (photon, ou aussi thermique …)
Les séries (Lyman, Balmer …) sont caractérisées par la couche où l’électron va atterrir en se
désexcitant.
II.2. Laser :
Le principe du laser consiste à émettre des ondes identiques en phases, ce qui permet d’amplifier
l’onde résultante. Pour cela on utilise les propriétés des noyau de se désexciter en émettant des
ondes d’une longueur d’onde λ donné / des photons d’énergie E (il s’agit d’un valeur très précise 
constante) .
Si un noyau excité est atteint par un photon identique à celui qu’il emmétrait, il se désexcite en
émettant les 2 photons d’énergie E. Il s’agit donc d’une émission simultané des de photons
identiques et en phase.
Cependant un laser ne peut marcher avec uniquement 2 niveaux d’énergie pour les électrons (un de
repos E1, et l’autre un état excité E2). Sinon il ne pourrait pas y avoir d’inversion de population ( en
nombre d’électrons E2>E1). Il faut un troisième niveau d’énergie (E3) pour vider le niveau au
« repos », et ainsi permettre l’inversion de population nécessaire pour qu’un photon d’une certaine
longueur d’onde, en rencontrant un noyau, ait plus de chances de rencontrer un noyau déjà excité (et
ainsi catalyser la désexcitation ; schéma 1) qu’un noyau au repos (et être absorbé en excitant ce
noyau ; schéma 2).
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l’adresse : [email protected]
1
Schéma 1
Schéma 2
E3
E2
E1
Schéma 3 : le laser
Dissipation de cette énergie faible
car E3 et E2 sont très proches.
(chaleur …) puis :
Remarque : Il y a aussi des électrons qui passent directement sur E1 en libérant un photon. Cela
n’empêche pas l’inversion de population. On peut considérer une analogie (+ ou – juste) en
considérant les couches comme des « réservoirs » :
Le débit de la pompe n’est pas suffisant pour vider E1 alors qu’il
se remplit via E2 (si on enlève E3). La seule façon pour que E1
soit moins rempli que E2 est d’ajouter un étage supplémentaire.
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1
III.OPTIQUE :
Il sera utilisé la nomenclature suivante : A’ est l’image de A par le système optique.
III.1.
formules
Longueurs d’ondes du visible : intervalle400-800 nm
E (ev) =
Energie du photon en fonction de la longueur d’onde du rayonnement
électromagnétique.
12400
o
λ (A)
E (énergie) = h. [cf. divers] = ℏ . =
n (indice du milieu) =
h.c
λ
;  = /(2.)
;
ω
 v ; ( P = ℏ .k)
k
c (vitesse de propagation dans le vide)
v (vitesse de propagation dans le milieu)
Remarque : c  v car « c » est la vitesse maximale, donc n  1
III.2.
chemin optique :
Soit n l’indice du milieu ou de fait le trajet entre A et B.
(AB) =  n(s). ds = (BA) (principe du retour inverse de la lumière : pour une trajectoire
donnée
d’un rayon, les 2 sens sont possibles.)

AB
(AB) = 

AB
c
1
.ds  c. 
.ds  c.  dt  c.t ( temps de parcours)
v(s)
 v(s)

AB
(car v(s) =
AB
ds (une distance)
)
dt
(AB) = distance qu’aurait parcouru la lumière dans le vide
(AB) : le chemin optique de A à B
(BA) : le chemin optique de B à A
 ds : somme de A à B des segments infinitésimaux ds,dans un sens comme dans l’autre(valeur
absolue)

AB
III.3.
Loi de Snell-Descartes :
· Pour la réfraction :
n1.sin(i1) = n2.sin(i2)
na : indice du milieu a
ia : angle que forme le rayon avec la normale,
du coté du milieu a
· Il y a réflexion totale à partir du moment ou le rayon réfracté l’est parallèlement / dans l’épaisseur
du plan tangent à la surface réfléchissante.
C'est-à-dire n1.sin(i1) = n2 sin (i2=90°) = 1  i2 (de sortie) = 90° donc parallèle au plan tangent,
puisque l’angle part de la normale. Cela correspond à l’espace entre surface du cône de réfraction
(ce que l’on vient de calculer) jusqu’à la surface réfléchissante.
Il est intéressant de noter qu’il ne peut y avoir réflexion que lorsque que l’on passe d’un milieu
d’indice n1 à un milieu d’indice n2, quand n1 > n2 .
· Pour la réflexion (miroir) :
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1
n1 = n2 (on reste dans le même milieu)
i1=-i2
Le champ est la zone de l’espace dans laquelle on peur voir l’objet en regardant le miroir.
Remarque : si on prend la formule du dioptre sphérique
n1
SA

n2
SA'

n1  n 2
SC
(cf. ci-après) , et que
l’on remplace n2 par – n1, on trouve la formule correspondant à la réflexion générale (miroir
sphérique,sauf si SC   où il s’agit d’un miroir plan.)
III.4.
relation de conjugaison du dioptre sphérique :
Le rayon lumineux part de A, l’objet. Il suit
alors la droite noire jusqu’au dioptre, se réfracte
et enfin, le rayon suit la droite grise (comme
l’indique la flèche). Un observateur regardant
le dioptre dans la direction SA, aura
l’impression que le rayon provient de A’,
qui est donc bien l’image de A.
tan  =
tan 1=
tan 2=
HI
w
CH
HI
» 1
AH
HI
» 2
A' H
[approximation  petit (<20° ) : rayons presque parallèles à l’axe optique
car faisceau de faible ouverture. Cela constitue l’hypothèse des faibles
ouvertures]
n2.sin i2 = n1.sin i1 Þ n2.i2 » n1.i1
car les angles sont petits
w = a1-i1 = a2-i2
[ La valeur absolue de la sommes des angles (orientés dans un même sens) d’un triangle vaut 180° :
a1-i1+wx = 180

a1-i1 = 180-wx = w ]
HI
CH
HI
HI
- i1 =
- i2
AH
A' H
 HI
 HI
HI 
HI 
n 1 .


 = n 1 .
=
 AH CH 
 HC HA 
=
n1.i1 =
 1
1 
 1
 HI
HI 


 A' H CH 
n2.i2 = n 2 .
 HI
HI 


 HC HA' 
= n 2 .
1 


soit n 1 .
= n 2 .
car H et S sont pratiquement confondus
 SC SA 
 SC SA' 
d’où :
n1
SA

n2
SA'

n1  n 2
SC
_____________
n1
SA

n2
SA'

n1  n 2
SC
= -C (convergence/vergence en dioptrie, δ)
n1
n1  n 2
n1
f étant la distance focale objet du dioptre
f
SA
SC
n
n  n2
n
 2
· Si SA     2  1
f ’ étant la distance focale objet du dioptre
f'
SA'
SC


· Si
SA'  

· Si
SC  
Þ formule du dioptre plan
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1
A savoir pour les tracés :
- un rayon qui passe par le centre du dioptre n’est pas dévié
- normalement la surface focale est un arc de cercle, mais, en général, on fait l’approximation qu’il
s’agit d’un plan : le plan perpendiculaire à l’axe optique principal qui le coupe au même endroit que
la surface focale.
III.5.
Conjugaison et grandissement avec origine au foyer ; la formule de Newton :
F est le foyer objet, F’ le foyer image.
A est un points, A’ est son conjugué.
S est le sommet de la calotte, le point d’intersection entre l’axe optique principal et le dioptre.
C est le centre du dioptre, il est équidistant de tous les points de la surface du dioptre.
n1
SA

n2
SA'
Mémo :

n1  n 2
SC

n 1 .SC
n 1 .SC
1
1
.

.
1
(n 1  n 2 ) SA (n 1  n 2 ) SA'
Û
SF
SF'

1
SA SA'
or
(n 1 - n 2 )
SC

n1
SF

n2
SF'
Û SF.SA'  SF'.SA  SA.SA'
Û SA'.(SF  SA)  SF'.SA
Û SA'.(SF  SA)  SF'.SA
Û SA'.AF  AF.F' S  - SF'.SA  AF.F' S
Û AF.F' A'  F' S.SF  SF'.SA  F' S.AS
Û FA.F' A'  F' S.FS
FA.F' A'  FS.F' S' or S’=S donc on retrouve la formule
La formule de Newton s’applique aux dioptres sphériques et aux lentilles minces.
III.6.

Grandissement axial d’un dioptre :
AA1  AF  FA1  FA1  FA  d FA
A' A 1 '  A' F  FA1 '  FA1 '  FA'  d FA'
·
or Newton :
·
Donc d( F' A'.FA ) =
= d ( F' S.FS) = 0
a
FA.F' A'  F' S.FS
d ( F' A').FA  F' A'.d ( FA)
( =0 car F,F’ et S sont constants, ils ne bougent pas)
d (F' A')
F' A'


d (FA)
FA
III.7.
Le grandissement transversal d’un dioptre, cad dans un plan parallèle au dioptre
A' B CA'
=
or CA'  CS  SA'  R  p' et CA  CS  SA  R  p
AB
CA
A' B
p'-R
p' 1  (R p')
p' [1 R ]  [1 p']

 .
 .
(1)
pR
p 1  ( R p)
p [1 R ]  [1 p]
AB
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2
Or
n 1 n 2 (n 1  n 2 ) n 1 n 2


 
P P'
R
R R
Donc (
1 1
1
1
 ).n 1  (  ).n 2
R P
R P'
t 
A' B'
AB
=
P' n 1
.
P n2
t 
A' B'
AB
=
SA' n 1 P' n 1
.
 .
P n2
SA n 2
III.8.
1 1
 )
R P'  n 1
que l’on réinjecte dans (1)
1 1
n2
(  )
R P
(

Grandissement axial d’une lentille mince :
· FA.F' A'  FS.F' S
· FB.F' B'  FS.F' S
On soustrait membre à membre :
FA.F' A'  FB.F' B'  0
 FB.F' A'  FB.F' A' + FA.F' A'  FB.F' B'  0
 F' A'.(FA  FB)  FB.( F' B'  F' A')  0
 F' A'.BA  FB.B' A'  0
D’où
a 
A' B'
F' A'
F' A'



AB
FB
FB
III.9.
t 
A' B'
AB

F' A'
a
FA
Grandissement transversale d’une lentille mince :
(par définition)
Soit
t 
or
A' B' OA' P'


P
AB
OA
A' B' P'
=
P
AB
III.10.
(con)vergence = puissance :
Pour les dioptres
n -n
n
n
C = 2 1 = 1   2
en dioptries δ
r
f
f'
C>0
C<0
[f =
: dioptre convergent
: dioptre divergent
OF est
Remarque :
Lentilles
(Thalès dans les triangles OAB et OA’B’)
la distance focale objet, f’=
attention au signe de r (en mètres)
(un truc con : C < 0
C>0
OF' est
)
la distance focale image ]
divergentes = bords épais
 biconcave
 plan concave (que l’on peut retourner, grâce au principe de retour
inverse de la lumière)
 ménisque divergent
convergentes = bords minces
 bi concave
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2


Plan convexe
Ménisque convergent
Remarques diverses :
Pour une lentille convergente, f et f’ ne peuvent être simultanément virtuels.
Pour une lentille divergente, f et f’ ne peuvent être simultanément réels.
 Ne jamais confondre lentille et dioptre, les formules sont différentes
III.11.
Formule de conjugaison d’une lentille mince dans l’air :
On part de la relation de conjugaison d’un dioptre sphérique. Une lentille est constituée de 2
dioptres (1 et 2) de rayon respectivement S1C1 et S 2 C 2 , séparé par un milieu d’indice n2, plongé
dans un milieu n1 [en général de l’air n =1].
n1
S1 A1
n2

S2 A i

n2
S1 A i
n1
S 2 A'


n1  n 2
Ai est l’image intermédiaire.
S1C i
n 2  n1
Or S1 et S2 sont confondue (hypothèse de la lentille mince).
S2C 2
_________________
n1
OA

n1
OA'
 (n 2  n 1 ).(
On addition membre à membre puis on simplifie.
n1
R2

n1
R1
)  C
Dans l’air n2 = n et n1=1 :
1
1
1
1

 ( n  1).(

)  C
OA
OA'
OC 2
OC1
Comme les indices de part et d’autre de la lentille sont identiques,
OF  OF'
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2
III.12.
Image d’un point hors de l’axe, pour une lentille mince :
[ Noter que :
AB  OI ; A' B'  OI' ;
OF'  OF
car les milieux de part et d’autre de la lentille sont égaux.]
A' B' OA'

·
(Thalès dans ABO et A’B’O)
or AB  OI
AB
AO
A' B'
OI
F' A'


donc
(pour la dernière égalité, Thalès dans IOF’
AB
AB
OF'
· D’autre part, A' B'  OI' donc
A' F'
OF'
A' F'

OF'
A' F'

OF'
· Enfin
Donc
Donc
· Soit
A' B'
OI'
OF


AB
AB FA
et A’B’F’)
(pour la dernière égalité, Thalès dans I’OF et ABF)
OF
et
Propriété mathématique
AF
OF A' F'  OF

or OF'  OF
AF
OF'  AF
OF A' F'  OF' A' O


AF
OF'  AF'
AO

:
a c a.n  c.e
 
b d b.n  d.e
A' B'
A' F'
OF
A' O



AB
OF'
AF
AO
III.13.
additivité des convergente pour les lentilles minces :
Ctotale = Clentille 1+ Clentille 2
C’est aussi vrai pour une lentille mince et une lentille sphérique (ex : œil corrigé par des lunettes)
III.14.
Aberration :
- Chromatique :
cv  cr n v  n r 1


c : convergence de la lentille pour le vert (idem pour rouge et jaune)
cj
n j 1
v v
nv : indice de la lentille pour le vert (idem pour rouge et jaune)
v : constringence du verre ; 1/v : pouvoir dispersif
[formule utilisé dans l’égalité ci-dessus : C  (n  1)(
-
1
1
 )]
r1 r2
Géométrique : (en coussinet ou barillet)
III.15.
Puissance d’un instrument d’optique:
L’œil en 0’ voit A’B’ sous l’angle a’
Sans la lentille, l’œil en 0’ verrait
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2
AB sous l’angle a.
Démonstration :
· tan a’ =
A' B' A' B' AB
A' B' AB

.

.
A'0'
AB A'0'
AB D
· Thalès dans les triangles F’A’B’ et F’OI :
A' B' D - ε
A' B' A' F'


Û
f'
AB
AB
OF'
A' B' A' F'

OI
OF'
Û
soit tan a’ =
A' B' AB D - ε AB
.
= f' . D
AB D
(or
(car
OI  AB )
A' F'  D  ε
et
OF'  f ' ,
f’ étant la distance
focale image)
· si a’<< 1, tan a’ » a’ :
donc
D - ε AB
a’ » f' . D
tan α'
α'

(unité SI le dioptrie, δ)
AB
AB
D-ε 1
1

α'
D - ε AB 1
P
» f' . D .
» f' . D » f' .(1  D ) » P
AB
AB
Puissance : P 
· d’autre part :
1
Puissance intrinsèque : P   f ' (œil dans le plan focal image, ou A’ au Pr)
III.16.
Grossissement/grandissement angulaire d’un instrument d’optique :
α'
α'
G  = P (puissance de l’instrument d’optique, P 
).d (distance de vision à l’œil nu, A0' )
α
AB
a’ : angle de vision de l’image (A’B’) de l’objet à travers de l’instrument d’optique.
a : angle de vision de l’objet (AB) à l’œil nu.
0’ : observateur
Démonstration :
a » tan a =
Donc G 
AB
A0'
=
AB
d
et
P=
tan α'
α'

AB
AB
d
α'
= P.AB.
= P.d
α
AB
III.17.
définitions d’optique (complément):
Rayon lumineux : portion de droite orienté dans le sens de propagation de la lumière.
Faisceau : ensemble continu de rayons. Un faisceau peut être convergent, divergent ou encore
parallèle. (ces propositions s’excluent mutuellement)
Source de lumière :
- cohérente (ondes en phases)
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2
- incohérentes (ondes non en phases)
Système optique : juxtaposition de dioptres et de miroirs.
Système centré : si il existe un axe de symétrie appelé axe optique.
A et B sont dits conjugués : si tout rayon de A traversant le système passe par B. Si cela se fait sans
approximation, on dit qu’il s’agit d’un stigmatisme rigoureux.
Stigmatisme approché : si l’objet est perçu comme ponctuel (tous les rayons issus d’un point
arrivent sur une région sensible [pixel d’un capteur CCD, cône/bâtonnet de la rétine …] ).
Aplanétisme : l’image d’un petit morceau de plan centré sur A est un petit morceau de plan centré
sur A’.
Miroir possède une symétrie gauche-droite,
un trièdre direct a pour image un trièdre indirect.
Dioptre sphérique :
C : Centre du dioptre
Calotte du dioptre
 : Axe principal
’ : Axe secondaire
S : sommet de la calotte
Angle d’ouverture : c’est l’angle formé par (extrémité de la lentille - Ĉ - S )
Points de Weierstrass :
Dans le dioptre sphérique, il existe 2 points en conjugaison rigoureuse, l’un avec l’autre, en lumière
monochromatique, en plus de la surface du dioptre et de son centre (qui sont leur propre conjugué).
Ce sont les points de Weierstrass. En lumière polychromatique, il n’y a plus qu’une conjugaison
approchée, car le dioptre a une focale légèrement différente selon la longueur d’onde (ce qui est
illustré par le prisme).
La démonstration de cette conjugaison rigoureuse n’est pas à connaître par cœur.
Approximation de Gauss :
- le rayon arrive dans le centre du dioptre (pour avoir un système que l’on peut considérer
comme centré)
- le rayon doit être peut incliné par rapport à l’axe
Achromat : association de lentilles divergentes et convergentes pour limiter les aberrations
chromatiques.
L’œil :
Je ne fais ici qu’un bref rappel car son cours ne me semble poser aucun problème.
· Connaître le modèle de Listing (modèle Simplifié de l’œil). Cependant il est inutile de connaître
les tailles et les indices, ils vous seront donnés si nécessaires.
· Savoir ce qu’est un œil :
- emmétrope : normal ou presbyte (joue seulement sur la capacité à accommoder)
savoir situer :
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2
o Le Pp : punctum proximum, le point le plus proche que l’œil puisse voire, cad dans
un état d’accommodation maximum. (0,25 m pour l’œil emmétrope)
o Le Pr : punctum remotum, le point le plus loin que l’œil puisse voire, cad dans un
état de repos = accommodation nulle. ( pour l’œil emmétrope)
Amétrope
(savoir situer le Pp, le Pr)
o Hypermétrope : œil trop petit ou pas assez convergent.
Pr derrière la rétine
o Myope
: œil trop grand ou trop convergent.
Pr devant la rétine
-
S’entraîner à tracer l’image d’un objet, sur la rétine d’un œil amétrope ; avec ou sans correction ;
pas forcément sur l’axe optique principal.
_________
Une dernière chose, soignez les tracés car ça tombe souvent au concours :
Ne pas négliger la nomenclature (traits _ . _ pour les axes ; traits en pointillés pour les rayon ou
objets virtuels, trait plein pour les réels ; les rayons doivent êtres orientés)
Ne pas oublier de dire sur le dessin avec la nomenclature approprié si la lentille mince est
convergente ou divergente.
S’entraîner régulièrement pour ne pas perdre la main.
Le modèle de Listing modélise l’œil comme un dioptre sphérique, puis un milieu d’indice n (proche
de l’eau) et enfin une rétine plane ou courbe (ça ne change rien, même si elle est dessiné en arc de
cercle, l’image qu’il y est projeté peut être dessiné de façon rectiligne).
Ne pas oublier qu’un rayon qui passe par le centre C d’un dioptre sphérique n’est pas dévié, et que
pour une lentille mince, le rayon n’est pas dévié si il passe par O, le centre de la lentille.
Si les rayon arrivent tous avec un angle d’incidence non nul par rapport à l’axe optique, tracer un
axe optique secondaire. Il vous faut y reporter les points F et F’ et les règles sont les même que pour
l’axe optique principal.
Pour voir si vos calculs sont bons, comparer avec des ordres de grandeur. Cela vous permettra de
détecter une erreur bête qui a pourtant un impact important sur le résultat. (c’est vrai pour tout)
L’œil normal à une accommodation de » 4 δ, C » 58 δ
______________
Calcul de l’amplitude d’accommodation d’un œil amétrope ou emmétrope :
·
n1
SA

n2
SA'

n1  n 2
SC
=-C
1
n
1 n


=-C
SA SA'
SC

Formule du dioptre sphérique appliqué au modèle de Listing (n1= nair=1 ; n2 =nœil = n)
· L’œil au repos :
SA  SPr  
;
1
n
n


 C Pr
 SR
SR
(1)
(Que l’œil soit sain ou non, par définition, quand il regarde au Pp ou au Pr, l’image se forme sur la
rétine, R. D’autre part SR est indépendant de l’état de convergence du cristallin. )
· L’œil au maximum d’accommodation :
· (1) – (2) :
SA  SPp
1
n
; SP  SR  C Pp
p
(2)
1
 C Pp  C Pr  ΔC
SPp
Pour l’œil normal, le Pp est à 0,25 m ce qui correspond à C = 4
______________
Renseignez vous : normalement le crayon est interdit mais les crayons de couleurs sont parfois
tolérés.
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2
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2
IV. MÉCANIQUE DES FLUIDES :
Nomenclature :
v : vitesse
V : volume
S : surface
<v> = v : vitesse moyenne (la barre au dessus signifie moyen)
En général dans les formules j’indique les l en italique pour éviter toute confusion avec le chiffre 1.
IV.1.
Définitions à connaître :
fluide compressible (ex : l’air)
P = .g.z
z :hauteur de la colonne de fluide ;
P.V= n.R.T
P : pression (en Pascal) ;
n : quantité de matière en mol ;
T : température en Kelvin ;
-
-
g : constante d’attraction gravitationnelle ;
 : masse volumique ;
V : volume en m3 ;
R : constante des gaz parfaits ;
fluide incompressible (ex l’eau)
r = f(P,T)
Le volume est indépendant de la pression.
Notion de particule fluide : on ne suit pas les particules une à une, mais on considère un
ensemble statistique de particules, ce qui permet de « supprimer » l’agitation thermique de
nos calculs.
r (masse volumique, kg.m-3) =
dm
dV
d (densité, sans unité) =
ρ liquide
ρ eau
reau = 1 kg.dm = 10 kg.m (par cœur )
- Capsule de Marey : moyen permettant de mesurer la pression dans une direction. On
constate qu’ à une altitude donnée, la pression est identique quelle que soit la direction
choisie.
3
-
-3
Pression :
-3
P=
⃗
dF
dS
grandeur scalaire
(en Pascal, kg.m-1.s-2)
-
Pression de jauge : excédent de pression par rapport à la pression de atmosphérique (Patm=P0)
Pjauge = P (mesuré) - Patm
IV.2.
Relation de Base de l’hydrostatique :
· vitesse de la particule
fluide ⃗= 0 (hydrostatique)
⃗
⃗
⃗
F

0
d
F
(les forces de pression et extérieurs se compensent à

ext  dFp  0
l’équilibre)
⃗
⃗
⃗
⃗
Projection sur x : (dFext ) x  (dFp ( x  dx)) x  (dFp ( x)) x  0
négatif
positif
⃗
dy.dz
Or (dFp ( x  dx)) x . dy.dz   dP(x  dx, y, z).dy.dz car P =
dF
dS
⃗
⃗
dy.dz
(dFp ( x)) x .
 dP(x, y, z).dy.dz
dy.dz
Donc ( dFext ) x  dP( x  dx, y, z ).dy.dz  dP( x, y, z ).dy.dz  0
⃗
(dFext ) x dP( x, y, z )  dP( x  dx, y, z )
On divise par dV = dx.dy.dz :

0
dV
dx
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2

⃗
( dFext ) x
P
Soit

dV
x
⃗
( dFext ) x dP( x  dx, y , z )  dP ( x, y , z ) P


dV
dx
x
⃗
dFext
 grad P
dV

(de même pour les autres axes)
IV.3.
⃗
Fluide dans un champ de pesanteur :
⃗
⃗
⃗
⃗
dFext  d ( m.g)  -d (m.g.z) car (  F  m.a )
⃗
⃗
· selon l’axe des x et y, (dFext ) y , x  0
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
· donc dFext  ( dFext ) z  d ( m.g)  -d ((  .V).g.z)  -  .dV.g.z
car ρ est
indépendant de z
D’où
⃗
dFext
dP
 -  .g 
dV
dz
·  dP 
 -  .g.dz
Fluides incompressibles (ρ = cst) :
Fluides compressibles :
○ P.V=n.R.T
  -  .g. dz    .g.z  cst
m
m
P.M
.R.T    
M
V
R.T
P.M.g
.dz 
○ dP  R.T
dP
M.g
 P  - R.T . dz
M.g
.z +cst
 ln P  R.T
P   .g.z  cst
P.V=
R : constante des gaz parfaits (J.K-1.mol-1)
m : masse (g) du volume V (m3) de gaz
considéré.
M : masse molaire du gaz considéré
(g.mol-1)
T : température en Kelvin
g : accélération de la pesanteur (m.s-2)
M.g
 P  k.e - R.T .z
k est en fait P0 car
pour z=0, P=P0 (pression de référence)
P  P0 .e
-
M.g
.z
R.T
IV.4.
Applications : Tube de Torricelli, pression du sang
· Pa  ρ.g.z a  Pb  ρ.g.z b
dans le cas du tube de Torricelli (ci-contre)
Pa=P0 ; Pb=0
·
P (pascal)
ρ (kg.m-3)
g (m.s-2)
h (m)
· Pression du sang : pression de jauge (relativement à la pression atmosphérique, Psyst = Pjauge +
Patm ) en cm Hg (cm de mercure).
Nomenclature : Psystole/Pdiastole
(systole le cœur se contracte, diastole il se relâche)
IV.5.
Poussée
d’Archimède d’un solide « s » dans un fluide « f » :
⃗
⃗
A l’équilibre :  F  0 (hydrostatique)
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
 F
 m.g  - ρ .V.g
Fpoid  Farch  0  F
Attention : ne pas confondre la poussé d’Archimède avec sa résultante (avec le poids).
arch
poid
f
Hors de l’équilibre :
Cours rédigés et illustrés par Meryl de Lachomette, Frédéric Chevallier, et Bertrand de Boysson, licence CC-BY-NC. Contactez nous à
l’adresse : [email protected]
2
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
Résultante : R  Fpoid  Farch    f .V.g   s .V.g  R  (    ).V.g
IV.6.
Hydrodynamique, éléments à connaître : (cf. feuille de définition)
- vitesse d’un fluide
- ligne de courant
- tube de courant
- filet de courant
- écoulement permanent (stationnaire) : en un point donné la vitesse en fonction du temps
v(t) est constante.
Attention cela est différent des dénominations écoulement laminaire ou turbulent !
- fluide parfait
- fluide réel
- équation de continuité : loi de conservation du débit volumique (concerne forcément un
fluide incompressible)
⃗
s
-
débit : Q (débit en m3) = S (m2).v (vitesse en m.s-1) =
f
dV (volume, m 3 )
dt (temps, s)
(écoulement permanant)
IV.7.
théorème de Bernoulli : (fluide parfait)
Conservation de l’énergie mécanique des fluides parfaits :
- le long d’une ligne de courant
- fluide incompressible
(1)
- fluide parfait
- écoulement permanant
· (1) VAB = VA’B’  VAA’+VA’B=VA’B+VBB’ donc VAA’= VBB’
or Q=
dV
dt
donc QA=QB
· DEc = Ec(t+dt)-Ec(t) = EcA’B’ -EcAB =
1
m.(v 2B  v 2A )
2
· travail des forces de pesanteur :
W1  g.m.(z B  z A ) ; signe – car il s’agit d’un travail résistant, z B  z A  0
[L’énergie en B > énergie en A Þ EA-EB>0 donc W1<0 : travail résistant car z est opposé à g]
· Forces de pression : moteur en A, résistant en B (s’exerçant sur la portion AB)
La résultante : DW2=PA.SA.vA.dt-PB.SB.vB.dt or SA.vA.dt =SB.vB.dt = dV
DW2= (PA – PB).dV
· Théorème de l’énergie cinétique :
Ec= ΣW
1
.m.( v 2B  v 2A )  W1  W2
2
= -g.m.(zB-zA)+(PASAvA- PBSBvB).dt
1
1
Soit
.m.vA2+m.g.zA+PASAvA.dt =
.m.vB2+m.g.zB+PBSBvB.dt
or m= ρ.Dv
2
2
1
D’où
.ρ.vA2+ ρ.g.zA+PA = cst (fluides parfaits) = E (charge du fluide)
2
Ep≡
P*= P+ ρ.g.z pression motrice (statique des fluides)
Ec≡
1
.Ρ.v2
2
P*
ρ.g
pression dynamique (dynamique des fluides)
hauteur piezzométrique (tube de Torricelli)
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3
Bernoulli : conservation de la charge du fluide (énergie volumique) E = Ec+Ep
IV.8.
loi de variation de la pression dans une section perpendiculaire aux lignes de
courant :
· v = cst si le fluide est non visqueux
v2
· an =
R
⃗
⃗
Or F  m.a
Donc
or R = ∞ donc an = 0 car la trajectoire est rectiligne.
et
⃗
F  - grad Ep
⃗
F  m.0  - grad Ep

(relations générales)
dEp
0
dx
Ep = cst
Donc P + ρ.g.z = cst (analogue à la loi de l’hydrostatique)
IV.9.
Quelques applications intéressantes de l’hydrodynamique :
(elles sont en général vue comme application en cours, mais il faut les posséder sans les
apprendre par coeur)
· artériosclérose
· anévrisme
· Formule de Torricelli :
Le point A est soumis à la pression atmosphérique P0.
Si le débit en B est petit ou le rapport diamètre du trou
sur le diamètre du récipient est petit, la vitesse du point A
à la surface du fluide est nulle.
Donc A (P0, v ≈ 0, zA ).
Le point B est lui aussi à l’interface entre le liquide et l’air. [ On suppose que la pression
atmosphérique à la hauteur de A est la même que celle à la hauteur de B. Ce qui à notre échelle
est tout à fait raisonnable !]. Comme B est en contact avec l’air, malgré la colonne d’eau, la
pression qui y règne est P0. C’est justement cette différence de pression qui pousse l’eau à
sortir. Par contre, l’eau à ce niveau a une vitesse vA.
Donc B (P0,vA, zB) .
On considère que le liquide est parfait (pas de perte de charge), et qu’il est incompressible (ce
qui est le cas de l’eau et de la majorité des liquides) . On applique la formule de Bernoulli :
1
1
1
1
.ρ.vA2+ ρ.g.zA+PA = .ρ.vB2+ ρ.g.zB+PB 
.ρ.02+ ρ.g.zA+P0 = .ρ.vB2+ ρ.g.zB+P0
2
2
2
2
 vB =
2.g.h
· Tube de Pitot (permet de déterminer la vitesse du fluide) :
PA’ = PB’= P0
vA : vitesse du liquide
zA = zB
vB = 0
vA’ = vB’ = 0
Mais PA ≠ PB même si ils sont sur la même ligne de courant. C’est d’ailleurs du fait de cette
différence de pression que A’ et B’ ne sont pas à la même hauteur.
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3
On est toujours dans le cas d’un liquide parfait incompressible, on peut donc appliquer la
formule de Bernoulli :
1
1
1
1
.ρ.vA2+ ρ.g.zA+PA = .ρ.vB2+ ρ.g.zB+PB 
.ρ.vA2 +PA = .ρ.vB2 +PB
2
2
2
2
1
1

.ρ.vA2 +PA = .ρ.02 +PB
2
2
2.(PB  PA )
 vA =
ρ
Or PA=PA’+ρ.g.hA=P0+ρ.g.hA
Donc PB-PA = ρ.g.( hB - hA)
car zA = zB
et de même PB =P0+ρ.g.hB
 vA =
2.g.(h B  h A ) 
2.g.h
· Effet Venturi :
zA = zB
vA<vB
Soit SA la section au niveau de A, et SB celle au niveau de B
On est toujours dans le cas d’un liquide parfait incompressible, on peut donc appliquer la
formule de Bernoulli :
1
1
1
1
.ρ.vA2+ ρ.g.zA+PA = .ρ.vB2+ ρ.g.zB+PB 
.ρ.vA2 +PA = .ρ.vB2 +PB
2
2
2
2
1
 PA - PB = .ρ.(vB2 -vA2)
2
car zA = zB
Q = cst = vA.SA = vB.SB donc vA = Q/ SA et vB = Q/ SB
 PA - PB =
PA = P0 + ρ.g.(zA’-zA) = P0 + ρ.g.hA
Pareil PB = P0 + ρ.g.(zB’-zB) = P0 + ρ.g.hB
Donc PA - PB = ρ.g.(hA-hB) = ρ.g.Δh
1
1
1
.ρ.( 2 - 2 ).Q2
SB SA
2
avec hA = zA’-zA
avec hB = zB’-zB
 ρ.g.Δh =
1
1
1
.ρ.( 2 - 2 ).Q2
SB SA
2
1
1
1
 Δh = 2.g .( 2 - 2 ).Q2
S
SA
⃗B
Attention au signe de Δh ! Δh peut être négatif si le sens de z et inversé.
IV.10.
Surface libre : lieu des points tel que P = cst
PA = PB
Quel que soit ce qu’il y ait
au bout du tuyau.
Fluides réels :
IV.11.
Description d’un fluide réel :
(Cf. feuille de définition)
· au niveau microscopique, il y a un échange d’énergie et de quantité de mouvement entre les
molécules (chocs). Cela est dû à l’agitation thermique.
· au niveau microscopique , il existe une force de freinage entre filets de courant voisins.
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3
Transfert d’énergie mécanique  chaleur  force de frottement visqueux
Cette force de frottement, dirigée dans le sens contraire au mouvement, s’exprime par la
formule suivante :
Fη  η.S.
⃗
dv
dr
η : cœfficient de viscosité, unité SI : Pa.s (poiseuille)
S : surface de contacte entre les couches
⃗
dv
dr
: gradient radial de vitesse, r étant le rayon du tube
IV.12.
Chute d’un objet sphérique dans un liquide :
(équation aux dimensions, cf. cours.)
Grandeur pertinentes :
F[force de frottement],
η[cœf. de viscosité],
v [vitesse relative de l’objet et du liquide], r[rayon de la
sphère] )
On utilisera
Fη  η.S.
⃗
dv
dr
pour connaître la dimension de η.
On trouve F= A. η.r.v
où A est une constante adimensionnée.
Par l’expérience (et/ou probablement d’autres démonstrations), on montre que F= 6. η.r.v ,
F étant dans le sens opposé à v.
IV.13.
Ecoulement laminaire/turbulent.
A faible vitesse, l’écoulement d’un fluide est laminaire, les différentes couches de fluides
glissent les unes sur les autres sans se mélanger. Il existe une vitesse critique vc, au delà de
laquelle l’écoulement du fluide est turbulent ; les différentes couches du fluide ne sont plus
parallèles entre elles.
IV.14.
Ecoulement laminaire d’un liquide dans un conduit cylindrique horizontal :
· Fp (la résultante des forces de Pression) =
= FB (force de pression en B)- FA (force de pression en A)
= [PA (pression en A) – PB (pression en B)].S
S étant la surface du disque constituant la section du cylindre,
et R étant son rayon.
· S = π.R2 (tube circulaire)
· Fη   η.S.
·⃗
dv
(car les forces de frottement vont dans le sens opposé au sens du mouvement)
dr
Equilibre des cylindres (fluide incompressible) : pour un tube de courant de rayon r
mouvement uniforme)
⃗
⃗
FP  Fη  0 (car
(PA– PB).π.r2 + η. [2. π.r] .l.
Périmètre
D’où
dv
=0
dr
longueur du tube
<0 car opposé au mouvement
(P  PB )
dv
.r
= A
2.l .η
dr
(P  PB ) 2
.r  cst
v=  A
4.l.η
Or à r = R (au niveau des parois du tubes), v = 0 : v(r) =
(PA  PB )
.( R 2 - r 2 )
4.l.η
[(PA– PB) : c’est la perte de charge entre les points A et B]
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3
· débit :
Q = S.v  dQ= v.dS + S. dv
or pour une petite « tranche » v = cst
dQ = v(r).dS
R
Q = 0 v(r).dS
Or dS = d(π.r2) = π.r.dr+ π.r.dr = 2.π.r.dr (car d(u.v)= u.dv + v.du )
(dS : variation de la tranche)
R
Q = 0
2.π.
v(r).2.πrdr
R
= 2.π 0
(PA - PB )
.(R 2 - r 2 )rdr =
4.l.η
(PA - PB ) R
. (r.R 2 - r 3 )dr
0
4.l.η
R
(P - PB )  R 4 R 4 
(PA - PB )  r 2
r4 

. 2.

.( .R 2 )  = 2.π. A
4.l.η 
4
4 
4.l.η
4 0
 2
(P - P ) 4
Q = π. A B .R
8.l.η
= 2.π.
·
Fluide Newtonien : ⃗
- η indépendant de v
- incompressible
Vitesse moyenne ( v ) :
2
.π.R

.v
Q= 2
S
d‘où
v
or Q = π.
(PA - PB ) 4
.R = 2.π.R 2 .v
8.l .η
(PA - PB ).R 2
8.l.η
remarque : v max (0, donc au centre) 
(PA - PB ).R 2
 2.v
4.l.η
Attention : ici on ne peut pas dire que v 
R
1
. v(r).dt (formule de la moyenne avec
0
(R  0)
l’intégrale) car c’est en 2D (cylindre). Il faudrait faire une intégrale double.
┌
│
└

IV.15.
Perte de charge ( P ):
· Conservation du débit : SA.VA= SB.VB
or SA = SB
donc VA = VB
· z A = z B on considère que la côte/hauteur est la même pour pouvoir négliger la
pesanteur.
ω= v
E P
1

( .ρ.0 2  ρ.g.0)
l
l
2
Par analyse dimensionnelle : ω =
(
car Δv = v A -v B = 0 et Δz = z A -z B = 0
P η.Q 8
 4 .
l
R π
8
étant un coef. adimensionné dans l’analyse dim. )
π
IV.16.
Résistance hydraulique ( R h ):
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3
R h  ω.l 
P
Q
IV.17.
Nombre de Reynolds :
R e (sans dimension ) 
2.v.R.ρ
v.D.ρ

R : rayon du tube, D son diamètre.
η
η
R e = 2000 est la limite entre un écoulement laminaire (en dessous de 1500) et turbulent (au
dessus). [Précision : Entre ces 2 valeurs on a un régime intermédiaire qui peut être localement
turbulent. A priori ce n’est pas quelque chose à savoir pour le concours. Garder en tête
uniquement la valeur limite. ]
IV.18.
Précisions :
Vocabulaire : hématocrite : vitesse de sédimentation du sang (lié à sa viscosité : car la somme
de forces = masse. accélération)
Hydrostatique :
P(A) = P(A’) = P(A’’)
La pression ne dépend que de la hauteur de la colonne de fluide)
P
F
La pression est le rapport d’une force sur une surface.
S
La pression est constante en A,A’,et A’’ mais la surface inférieur des récipients est de taille
variable, don la force exercé par ces récipients sur le support où ils sont posés varie.
Hydrodynamique :
Laminaire ( les lignes de courant restent parallèles les unes aux
Écoulement stationnaire
autres)
Turbulent ( les lignes de courant se coupent)
o ne dépend pas du temps
o v(t) = cst pour un point donné.
· Conservation du débit
·
- Si fluide parfait :
Bernouilli : la charge (E) est cst ; E = cst =
1
.ρ.vA2+ ρ.g.zA+PA
2
o sur une même ligne de courant
o si le fluide est incompressible (ex : eau)
- Si fluide réel/visqueux, il faut inclure la perte de charge (ΔP):
1
1
.ρ.v12= P2 + ρ.g.h2+ .ρ.v22+ ΔP
2
2
Pour un tube : ΔP = R h Q (≡ U=RI cf. ci après comparaison Loi de Poiseuille/ loi d’Ohm)
P1 + ρ.g.h1+
( PA  PB ).r 2
(P  P ).
 S. A 2 B
= R h .S.
h
8.η.l
π.r
[<v> est une autre notation pour la vitesse moyenne.
8.η.l
R h est la résistance hydraulique,
Rh 
π.r 4
cf. comparaison Loi de Poiseuille/ loi d’Ohm]
=Rh.
π.r 4
=
8.η.l
R .S.  v 
IV.19.
comparaison Loi de Poiseuille/ loi d’Ohm :
Loi de Poiseuille :
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3
Dans la canalisation la vitesse est
parabolique.
Q
Loi d’Ohm :
Dans le fil, la vitesse est uniforme
 .R 4
8.η.n
Q : débit du fluide
ΔP : perte de charge ou différence de
pression
Δn : c’est l, la longueur du cylindre pour
une canalisation cylindrique
R h : la résistance hydraulique
R h .Q  P
8.η.l
Rh 
π.r 4
I
π.R 2
ρ el .n
I : intensité du courant
ΔV : chute de tension ou différence de
potentiel
Δn : c’est l, la longueur du fil
R.I = ΔV
ρ ..l
ρ ..l
R  el 2 ( R  el )
S
π.r
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3
V. ONDES
Une onde est la propagation de l’excitation d’une grandeur physique, sans déplacement
notable de matière, mais avec transfert d’énergie. (Il peut y avoir un mouvement de
matière si l’état final est identique à l’état initial. exemple : dans une vague les molécules
d’eau on un trajet circulaire, ou le cas des ondes sonores)
· Les ondes diffèrent les unes des autre par plusieurs critères :
► Selon le support peut-être :
- Matériel
o Les gaz
(remarque, le son : onde de compression dilatation)
o Les liquides
o Les solides
(la vitesse du son dans les gaz < vitesse liquides < vitesse solides )
- Immatériel (pouvant se propager dans le vide), ce sont les rayonnements
électromagnétiques.
o champ magnétique
(détectables par une boussole)
o champ électrique
(dans les circuits électriques, cf. la terminale)
o champ électromagnétique (lumière pour la gamme des longueurs
d’ondes du visible, mais aussi les rayons X, rayons γ)
► Selon le type de déformation :
- transversale : la déformation est perpendiculaire à l’axe de propagation de l’onde.
-
longitudinale :la déformation est parallèle à l’axe de propagation de l’onde.
► Selon la nature scalaire ou vectorielle : (dépend de la nature de ce qui varie)
- scalaire
o les pression (gaz,… donc le son)
-
vectorielle
o la direction d’un champ (magnétique…)
Ce qui distingue une grandeur scalaire d’une grandeur vectorielle, c’est le comportement
de la grandeur en 1 point par rapport à un repère :
la valeur scalaire est constante quel que soit le repère, alors que la valeur vectorielle
dépend des normes du repère choisi.
► On peut aussi les classer selon leurs spécificités de leur graphe x = f (t) :
(Ici du plus général au plus particulier)
- ondes périodiques :
Elles possèdent un motif, répété en boucle :
période temporelle (T) dans le cas de f(t) = x ,
période spatiale () pour f(x)=t ,
\________/ T
Elles sont du type : (w.t + k.x + j)
- ondes sinusoïdales / oscillations harmoniques:
Elle est la solution de l’Equation générale des vibrations harmoniques qui provient de la
mise en équation d’un oscillateur harmonique (ex. ressort ):
d 2y
 ω2 y  0
dont la solution est y(t)  A.cos(t.ω  k.x   ) . (ou sinsus)
dt 2
Son tracé est une sinusoïde en amplitude et en temps.
λ : longeur d’onde,
T : période temporelle
La fonction cos peut être replacé à tout moment par une fonction sin (ou l’inverse) par
l’ajout d’une phase. (cos x = sin [x-π/2])
Il s’agit du type d’onde qui sera le plus traité.
· Pour les oscillations périodiques non harmoniques :
La décomposition de Fourier (opération mathématique) permet de les décomposer en une
superposition de mouvements harmoniques de périodes sous multiples de la période
d’oscillation. Cela permet de recréer l’oscillation périodique non harmonique sur un
espace défini (approximation) ou sur tout l’espace considéré (le nombre de fonctions
périodiques harmoniques nécessaires pour la recréer est alors égal au nombre
d’extremum de la fonction périodique non harmonique).
► D’autre part, une onde peut être de 2 types :
- soit progressive
- soit stationnaire
(cf. description dans quelques pages)
· description du trajet de l’onde :
* Émetteur = source :
oscillateur générant l’onde
* Milieu de propagation
(correspond à des oscillateurs mis bout à bouts
qui permettent la propagation de l’onde)
* récepteur : oscillateur qui permet
de détecter l’onde en produisant un graphe
position du point en fonction du temps.
· La source impose la période temporelle ainsi que la nature de la déformation.
Le milieu de propagation : impose la nature matérielle ou non et la longueur d’onde par
l’intermédiaire de la vitesse de propagation.
Le récepteur : Mesure l’amplitude de l’onde au cour du temps.
· La surface d’onde est l’ensemble des points atteint simultanément par le même front
d’onde.
· Un milieu dissipatif ne restitue pas l’intégralité de l’énergie qu’il reçoit.
· Remarque : dans un liquide, il n’existe pas d’ondes transversales
· Une onde est caractérisée/décrite par une fonction mathématique dite fonction d’onde.
⃗
- Pour une onde en 3D,  (x, y, z, t)   ( r , t) r  x 2  y 2  z 2
⃗
en 2D :  (x, y, t)   ( r , t)
r
x 2  y2
⃗
r  x
en 1D :  (x, t)   (r, t)
⃗
La notation ‘ k ’ (vecteur d’onde) pour une onde sinusoïdale est une notation plus
⃗
générale que le ‘k’ auquel il correspond pour une onde sinusoïdale a une dimension. k
⃗
est orienté dans le sens de propagation de l’onde. De même’ r ’correspond au ‘x’ d’une
onde à une dimension.
- x,y et z sont les variables de position ; tandis que t est la variable temporelle.
- toute fonction d’onde est solution de l’équation de propagation = équation d’Alembert :
 2Ψ  2Ψ  2Ψ
1  2Ψ



.
3D :
v étant la vitesse de propagation
x 2
y 2
z 2
v 2 t 2
 2Ψ  2Ψ
1  2Ψ


.
2D :
x 2
y 2
v 2 t 2
1D :
 2Ψ
1  2Ψ

.
x 2
v 2 t 2
L’Equation générale des ondes progressives quelconques à une dimension:
 2
1  2
 2. 2
x 2
v t
(pour le démontrer on peut utiliser la propriété suivante :
df(u(x)) du(x) df

.
)
dx
dx du
Il s’agit de la même équation quel que soit le sens de propagation (cela tiens compte de
l’isotropie de l’espace, cad toutes les directions sont équivalentes, à la base il n’y en a
aucune qui soit favorisée )
x
v
x
v
La solution générale est :  (x, t)  F(t  )  G(t  )
Remarque : La fonction F(t 
x
) se propage vers les x croissants, car quand t
v
,x
x
soit constant. En effet on suit une valeur donné de F(x,t) qui se propage
v
x
sur l’axe des x au cours du temps. D’autre part G(t  ) se propage vers les x
v
pour que t 
décroissants.
· Bien posséder l’équation du mouvement dans le cas d’un ressort vertical (cf. cours) qui
est un cas pratique d’onde harmonique.
· Voici quelques grandeur à connaître qui permettent de décrire les ondes :
Grandeur
Elongation
Periode
Expression
y
T
u(t) =
Vitesse vibratoire
accélération
fréquence
Dimension
L
T
a=
dy
dt
du(t) d 2 y

dt
dt 2
=
1
T
L.T-1
L.T-2
T-1
· Si l’excitation est sinusoïdale (cas le plus simple et le plus fréquent) , la solution de
 2
1  2

.
est de la forme :
x 2
v 2 t 2
(x,t)= y0.cos (.t + k.x + )
A l’origine, (x=0) , (0,t) = y0.cos(.t + ).
On retrouve cette excitation à la distance x tel qu’on ait k.x = 2π. Donc définition λ  x 
2π
est par
k
la longueur d’onde.
Le temps pour y arriver est
T=
λ
; come on retrouve le même signal, ce temps est la période T, d’où :
v
λ
v
· Définitions des grandeurs utilisées :
Pulsation :
=
2.π
 2.π.ν
T
dimension : T-1 (rd.s-1)
Amplitude : y0
dimension : L (m)
Phase à l’origine : 
dimension :  (rd)
y0 et  sont des constantes d’intégration que l’on déduis des conditions à l’origine.
Nombre d’onde :
1
λ
dimension : L-1(m-1)
Ce sont ces valeurs qui caractérisent une onde physique.
⃗
ω
k  ⃗  vω λ
v
k T
ω
2.π
T
k
2.π
λ
· Voiçi l’expression d’une onde harmonique à 1D pour montrer comment ces grandeur apparaissent
dans l’analyse mathématique :
2.π
2.π
t
x
.t +
.x + ) = y0.cos(2π[
+ ] +) = y0.cos(
T
λ
T
λ
2.π
2.π
x
[ v.t + x ]+) = y0.cos(
[ t + ] +j)
λ
T
v
(x,t)= y0.cos(.t + k.x + ) = y0.cos(
· Le principe de la conservation de l’énergie s’applique aux ondes :
(si il n’y a pas apport ou perte d’énergie totale)
Ec + Ep = Em
Ec : énergie cinétique
Ep :énergie potentielle
Em : énergie mécanique
Pour les ondes mécaniques :
Ec = (½).m.v2
m : masse de l’objet
Ep= m.g.h
g : accélération de la pesanteur
h : hauteur de la chute
(altitude in initiale – altitude finale)
v : vitesse de l’objet
En électromagnétisme : on retrouve des formules similaires, dans lesquelles on retrouve les champs
magnétiques B et électriques E.
Cette relation est particulièrement utile dans un certains d’exercices.
On montre que dans le cas d’oscillations harmoniques que <Ep> = <Ec> = Em/2
· le déphasage :
(x,t)= y0.cos(.t + k.x + ) sa phase est (.t + k.x + ), sa phase à l’origine à t =0 :()
la différence de phase entre 2 ondes se calcule de la façon suivante : on fait la différence des phases
à un temps et une position donnée.
  (t.ω   2 )  (t.ω  1 )   2  1
Remarque : en général la phase (w.t + k.x + j) ne se trouve pas décomposé ainsi, il peut s’agir d’un
nombre. Cela n’affecte en rien le calcul car si j’ai décomposé la phase, c’est pour que vous
compreniez le calcul. Il faut juste connaître la valeur de la phase que l’on peut décomposer
mentalement en (w.t + k.x + j).
Vocabulaire :
  0 : On est en avance de phase de y2 sur y1
Si
  0 : en retard de phase de y2 sur y1
Si
  0[ 2.π ] c'est-à-dire   0 modulo 2π : en phase
Si
  π [ 2.π ] : en opposition de phase (changement de signe)
Si
Si
 
π
[2.k  1] : en quadrature de phase
2
Remarque la notation ‘x [y]’ représente toutes les valeur tel que x + y.z avec z un entier relatif (
z  Z ).Le prononcer ‘x modulo y’.
· En physique on considère que des ondes réelles (à opposer aux solutions complexes possibles à
ces mêmes équations). On ne prend donc que la partie réelle ou imaginaire de l’onde
mathématique : A.cos (θ) + i.A sin (θ) = A.eiθ
~
~
y(t)  A.e (t.ω  φ)  A.e it..ω = A.cos (w.t + j) + i.A sin (w.t + j) = A.eiθ
Si l’onde physique est A.cos (w.t + j), on prend la partie réelle.
Si l’onde physique est A.sin (w.t + j), on prend la partie imaginaire de l’onde mathématique
complexe.
Cependant il est très utile lors des calculs d’interaction entre 2 ondes, de garder la totalité de
l’écriture mathématique et de n’en prendre une partie qu’a la fin.
Le ~ (prononcer ‘’tilde’’) sur les lettre indique qu’il s’agit de valeur complexes. Quand il est absent,
~
a priori ce n’est pas des valeurs complexes. Ainsi le A
=A.ei représente l’amplitude complexe de
la vibration.
Parfois on remplace le i de la notation complexe par un j. C’est strictement la même chose mais il
faut s’en tenir à une notation.
· impédance : Z 
F
v
c’est la force qui s’exerce sur un point de l’onde, divisé par sa vitesse.
C’est utile dans le cas de l’échographie, par exemple. C’est grâce au différence d’impédance que
l’onde ultrasonore se réfléchie partiellement pour d’une par indiquer l’obstacle et de l’autre
continue à se propager dans les tissus pour explorer ce qu’il y a derrière. Plus la différence
d’impédance est grande plus la réflexion est importante. (cf. poly cours sur les ondes ultrasonores
du 2nd semestre). Pour les ondes acoustiques ça se traduit par Z 
P
v
ou P est la pression.
· Onde progressive : ( l’excitation progresse, c’est à dire avance par opposition à l’onde
stationnaire)
* f(t 
x
) se propage vers les x croissants, car quand t
v
pour que t 
,x
x
soit constant.
v
En effet on suit une valeur donné de F(x,t) qui se propage sur l’axe des x au cours du temps.
* f(t 
x
) se propage vers les x décroissants.
v
· Quand une onde progressive se réfléchit sur un obstacle immobile, au point de contact,
l’amplitude de l’onde est nulle. Tout se passe comme si en ce point les 2 fonctions d’ondes
f(t 
x
x
) et f(t  ) se superposent (l’une provenant de l’intérieur du mur !) et l’onde réfléchie
v
v
sera justement l’onde qui ‘sort du mur’. Cela explique qu’il y ai un déphasage entre l’onde incidente
et l’onde réfléchie.
Application : propagation d’une onde dans un milieu limité, corde semi-infinie
 inc(x,t) est l’onde incidente. Elle progresse dans la direction
des x croissants. Elle est donc de la forme :
inc(x,t) = f( t- x/v) v étant la vitesse de propagation de l’onde
 Une onde est en fait de la forme : (x,t) = F(t-x/v) +G (t+x/v)
( solution générale de l’équation d’Alembert)
donc inc(x,t) = f( t- x/v)= F( t- x/v)
 En 0 (cela est visible en t2, mais c’est vrai quel que soit t car la fonction d’onde considère tous
les t possibles) :
(0,t) = f (t) +G (t)
= inc(0,t) +ref (0,t) = 0
car x = 0 ne bouge pas.
donc ref(0,t) = -inc (0,t) = - f(t) = G(t)
 Pour tout x : ref(x,t) et -inc (x,t) sont la même fonction f(x,t) se propageant dans des directions
opposées.
donc ref(x,t) = - f( t + x/v)
Remarque : on considère une onde et non un train d’ondes. Cette onde n’est même pas forcément
périodique. Il s’agit donc d’une démonstration très générale.
® si on considère des ondes sinusoïdales, yinc(x,t) = y0.cos (
et yref(x,t) = -y0.cos (
2.π
.[t - x/v])
T
2.π
2.π
.[t + x/v]) = y0.cos (
.[t - x/v] + π)
T
T
yinc(x,t) et yref(x,t) sont bien la même fonction ( se dirigeant dans des sens opposés) à un phase π
près. L’onde incidente et celle réfléchie sont donc bien déphasées de π.
· Attention : périodique ne veut pas dire forcément sinusoïdal.
Une Onde sinusoïdale est un cas particulier d’une onde périodique.
· Les ondes stationnaires apparaissent dès lors qu’on a interaction entre des ondes de sens opposé
de même période qui se superposent. On le voit car les variables de temps et d’espace sont séparées
(d’une part f(x), et de l’autre g(t) ). (cf. un exemple ci-dessous)
Il n’y a ni transport d’énergie, ni transport de matière. Une déformation apparaît et disparaît au
cours du temps au mêmes endroits. Certains points ne bougent pas, il s’agit des nœuds. Les points
où l’amplitude de la déformation est maximale à un temps donné s’appellent les ventres.
(l’animation du Pr. Boiteux est très bien)
· Interaction de 2 ondes (interférences)a 1D :
- de sens opposé :
o synchrones (pas de différence de phase ou différence de phase constante dans le
temps), avec amplitude, k et ω identiques :
® Soit 2 ondes :
et ψ 2  a.sin (t.ω  k.S 2 M ) issues respectivement des sources S1 et S2,
se propageant des directions opposées.
or S1 M  OM  x
et S 2 M  S1S 2  S1 M  d  x
ψ1  a.sin (t.ω - k.S1 M )
® L’onde résultante est ψ  ψ1  ψ 2 .
ψ
= a.sin (t.ω - k.x)  a.sin (t.ω  k.[x - d]) = a.(sin (t.ω - k.x)  sin (t.ω  k.x  k.d))
® Or mathématiquement :
(1) eia + eib = ei.(a+b)/2.( ei.(a-b)/2+ e-i.(a-b)/2)
(en écriture complexe)
a-b
ab
ab
).(cos(
)  i.sin(
)) (en écriture trigo)
cad (1) cos a  cos b  i.(sin a  sin b)  2.cos(
2
2
2
a-b
ab
).sin(
)
et
Im(1) sin a  sin b  2.cos(
2
2
si on prend la partie imaginaire (ce serait des cosinus au lieu des sinus, on aurait pris la partie réelle).
® Prenons a= t.-k.x
et b= t.+k.x-k.d
ψ
=2.a.cos(-k.x+k.d/2).sin(t.-k.d/2)
└─────────┘└──────┘
f(x)
g(t)
Les variables d’espace et de temps sont séparés : on a une onde stationnaire.
*Donc tous les points vibrent en phase et leur amplitude ne dépend que de leur position.
* Les nœuds sont les lieux où f(x)=0 pour  t (pour tout t = quel que soit la valeur de t )
f(x)=0  cos(
k.d
k.d
 k.x)  0 
 k.x =(2.p+1).π/2 avec p un entier relatif (p Z)
2
2
* Les ventres sont les lieux où f(x)2.a (le maximum ou le minimum)
f(x)2.a  cos(
k.d
k.d
 k.x)  1 
 k.x =n.π avec n un entier relatif (n Z).
2
2
* la distance Δx entre 2 ventres (ou 2 nœuds) :
k.d
 k.x 1=0
2
k.d
 k.x 2= π
2
n=0 ┐
k.(x1-x2)= π  Δx =
π
λ
λ
 π.

k
2.π 2
n=1 ┘
Remarques :
1. Pour une fonction harmonique,la distance entre 2 nœud = la distance entre 2 ventres =
λ
2
2. On a ici des ondes stationnaires (dès lors qu’on a interaction entre des ondes de sens opposé de
même période). On le voit car les variables de temps et d’espace sont séparées (d’une part f(x), et de
l’autre g(t) ).
3. attention aux signes pour les distances : s’imposer au début de l’exercice un axe pour pouvoir
avoir des distance algébrique pouvant être négatives ; cela évite l’erreur bête de se déconnecter de
l’exercice pendant les calculs.
-
de même sens (superposition)
o avec k et ω proches (onde porteuse modulée : principe des ondes radio)
® Soit 2 ondes :
ψ1  a.sin (ω1 .t - k 1 .x) et ψ 2  a.sin (ω 2 .t - k 2 .x) issues respectivement des sources S1 et S2, se
propageant dans la même direction.
L’onde résultante est ψ  ψ1  ψ 2 .
ψ
= a.sin (ω1 .t - k 1 .x)  a.sin (ω 2 .t - k 2 .x) = a.(sin (ω1 .t - k 1 .x)  sin (ω 2 .t - k 2 .x))
® Or mathématiquement :
(1) eia + eib = ei.(a+b)/2.( ei.(a-b)/2+ e-i.(a-b)/2)
(en écriture complexe)
a-b
ab
ab
).(cos(
)  i.sin(
)) (en écriture trigo)
cad (1) cos a  cos b  i.(sin a  sin b)  2.cos(
2
2
2
a-b
ab
).sin(
)
et
Im(1) sin a  sin b  2.cos(
2
2
si on prend la partie imaginaire (ce serai des cosinus au lieu des sinus, on aurait pris la partie réelle).
® En posant a= (ω1 .t - k 1 .x)
et b = (ω 2 .t - k 2 .x)
[ω - ω 2 ].t [k 1 - k 2 ].x
ψ

) . sin([ω1  ω 2 ].t  [k 1  k 2 ].x )
= 2.a. cos( 1
2
2
on pose 1-2=  ; k1-k2= k ; 1+2=  ; k1+k2= k
Si δω = ω1- ω2 ≈ 0 (donc ω1≈ ω ≈ ω2) et
progressive dont l’amplitude est modulé :

2 a. cos(
ω.t
2

k.x
2
)
δk = k1- k2 ≈ 0 (donc k1≈ k ≈ k2), alors on a une onde
. sin(ω.t  k.x )
└> A(x,t) ≈ cst : c’est l’enveloppe
v 
vitesse de phase
vg 
vitesse de groupe
δω
δk
ω
k
célérité de l’onde = vitesse de propagation
(groupe d’ondes) transport d’énergie
Enveloppe
Modulation
o synchrones, avec k et ω identiques, se propageant dans le même sens, mais
déphasées (le contenu de la fonction trigonométrique est identique à une constante 
près)
Le déphasage peut être due aux sources (S1 et S2) elles mêmes, équidistantes du point étudié (M) ,
mais aussi a la différence de distance Δx = S1 M - S 2 M qui donne une différence de phase k.Δx.

Prenons justement ce dernier cas :
® Soit 2 ondes :
et ψ 2  a.sin (t.ω - k.S 2 M ) issues respectivement des sources S1 et S2,
se propageant dans la même direction.
L’onde résultante est ψ  ψ1  ψ 2 .
ψ
= a.sin (t.ω - k.x)  a.sin (t.ω - k.[x - d]) = a.[sin (t.ω - k.x)  sin (t.ω - k.x  k.d)]
ψ1  a.sin (t.ω - k.S1 M)
® Or mathématiquement :
(1) eia + eib = ei.(a+b)/2.( ei.(a-b)/2+ e-i.(a-b)/2)
(en écriture complexe)
a-b
ab
ab
).(cos(
)  i.sin(
)) (en écriture trigo)
cad (1) cos a  cos b  i.(sin a  sin b)  2.cos(
2
2
2
a-b
ab
).sin(
)
et
Im(1) sin a  sin b  2.cos(
2
2
si on prend la partie imaginaire (ce serai des cosinus au lieu des sinus, on aurait pris la partie réelle).
® En posant a= t.ω - k.x  k.d
et b = t.ω - k.x
k.d
k.d
 (x, t)  2.a.cos(
).sin(t.ω  k.x 
)]
d étant la distance entre les 2 sources.
2
2
└──────┘
A : amplitude de l’onde résultante : constante
donc  (x, t)  A.sin(t.ω  k.x 
k.d
)]
2
k.d
k.d
) = 1 
= n.
2
2
k.d
k.d
cos(
)= 0 
= (2.p+1)./2
2
2
Interférences constructives, A2.A : cos(
nZ
Interférences destructives, A=0 :
pZ

exemple : avec 2 origines ponctuelles distinctes : fentes de young. C’est la
différence de trajet qui permet le déphasage des 2 sources.
S1 et S2 émettent des ondes de même sens,
de même k, de même , de même amplitude.
® Soit 2 ondes :
ψ1  a.sin (t.ω - k.S1 M) et ψ 2  a.sin (t.ω - k.S 2 M) issues respectivement des sources S1 et S2,
se propageant dans la même direction.
* soit S1M = r1
, S 2 M = r2 et r2-r1= la différence de marche.
L’onde résultante est ψ  ψ1  ψ 2 .
ψ
= a.[sin (t.ω - k.r1 )  sin (t.ω - k.r2 )] = a.[sin (t.ω - 1 )  sin (t.ω -  2 )]
® Or mathématiquement :
sin a  sin b  2.cos(
a-b
ab
).sin(
)
2
2
® En posant a= t.ω - 1
et b = t.ω -  2
  1
  2
  2
  2.a.cos( 2
).sin(t.ω  1
)]  A.sin(t.ω   )]
avec   1
et
2
2
2
  1
(r  r1 )
2π (r  r1 )
π.δ
A  2.a.cos( 2
)  2.a.cos(k. 2
)  2.a.cos( . 2
)  2.a.cos(
)
2
2
λ
2
λ
* Sachant que l’intensité I  (est proportionnelle à) A2=* = 4.a2.cos2(
π.δ
)
λ
(on remarque que I varie de 0 à 4.I0, I0 = a02)
® Si r1 et r2 >>d :
On peut considérer que l’angle entre (S 2 S1 ) et (O1M) est un angle droit, ainsi que les angles
HŜ 2 M et S 2 ĤM . On peut en déduire que MÔ1O  S1Ŝ 2 H  θ .
De cela on montre que:
1. dans le triangle S1S2H,
(en fait sin θ 
δ
côté opposé

d hypothénuse
δ
car l’angle droit n’est qu’une approximation)
d
2. dans le triangleO1MO,
(en fait tan θ 
sin θ 
tan θ 
y
côté opposé

 sin θ
R ajacent à l' angle droit
y
)
R
3. en combinant 1. et 2. on obtient
δ
d.y
R
® En le combinant avec ce qui a été trouvé précédemment :
I  A2= 4.a2.cos2(
π.δ
π y.d
) = 4.I0.cos2( .
) = I(y)
λ
λ R
pour  petit
C’est le principe de la diffraction (apparition de franges claires et sombres).Pour certaines position de y, on
aura une frange plus lumineuse qui correspondra au maximum d’intensité de l’onde, pour d’autres, on aura
une frange moins lumineuse qui correspondra au minimum d’intensité. Entre les 2, il y a un dégradé.
(on ne tiens pas compte dans ce graphique de l’atténuation de l’onde. Pour en tenir compte il faut avoir une
amplitude A qui dépend de y.)
Frange claire :
I(y) = 4.I0  cos2(
π y.d
π y.d
.
) = 1 cos( .
) = 1
λ R
λ R
pour n0 = 0
y0  0
pour n1 =1
y1 
R.λ
d
┐
π y.d
.
= n.π
nZ
λ R
R.λ
interfrange i = y1-y0 =
(on fait ici y1-y0 car n1>n0)
d

┘
Frange sombre :
I(y) = 0  cos2(
π y.d
π y.d
.
) = 0  cos( .
)=0
λ R
λ R
pour p0 = 0
y0  0
pour p1 =1
y1 
R.λ
d
┐
π y.d
.
= 0 + p.π pZ
λ R
R.λ
interfrange i = y1-y0 =
(on fait y1-y0 car p1>p0)
d

┘
Les franges, qu’elles soit claires ou sombre sont espacées de i =
R.λ
d
Attention : erreurs à ne pas faire
cos (x) = 0  x = k.
il n’y a qu’un e demie période entre 2 retour à 0.
sin (x) = 1 x = k.
ne pas oublier qu’il s’agit des extremum et non uniquement
du maximum ou du minimum.
· Notion de milieu dispersif :
vgroupe =
dω ω
  v phase La vitesse n’est donc pas constante.
dk
k
(A ne pas confondre avec un milieu dissipatif où le milieu ne restitue pas toute l’énergie de l’onde.
Il y a donc une atténuation de l’onde.)
· Effet Doppler :
2 hypothèses :
 fluide au repos
 onde plane
-
Effet Doppler simple :
⃗
t
n ⃗
Soit la fonction d’onde : f(  . r ) ,
T λ
⃗
⃗
l’onde progressive périodique se déplace donc dans la direction de ‘ n ’. ‘ n ’ est le vecteur
directeur de l’onde.
⃗
o L’émetteur (e) est mobile (évolue à la vitesse v e ) par rapport à une origine fixe, O
(fixe par rapport au milieu en mouvement selon d’autres référentiels) ; le récepteur
⃗
est distinct et évolue à la vitesse v r .
1er partie : relation liant la période émise par la source (Te), à la période mesuré en 0 (T).
⃗
⃗
⃗
Soit roe ( t ) la distance entre l’origine et l’émetteur au cours du temps. roe est roe ( t ) à t=0.
⃗
⃗
⃗
⃗
roe ( t )  roe  v e .t
si v e est constant ou t suffisamment court
⃗
(on rappelle que le r remplace le x car on est en 3D)
⃗ ⃗
⃗ ⃗
⃗
⃗
r .n
t n ⃗
t n ⃗
1 v e .n
⃗
f(  . roe )  f(  .[ roe  v e .t])  f(t.[ 
]  oe )
T λ
T λ
T
λ
λ
or  = c.T
c : célérité de l’onde émise (dans le référentiel de départ).
⃗ ⃗
⃗ ⃗
roe .n
v e .n
1
f(t.
[1

]

)
d’où
T
c
λ
⃗ ⃗
└>Te : période temporelle perçue par le récepteur, si v r = v e .C’est la période
émise (c’est ce qu’on règle sur le haut-parleur/ émetteur , qu’il soit ou non mobile)
T : période temporelle perçue par un point fixe du milieu (ou le récepteur si le
récepteur est immobile dans le référentiel initial = référentiel du milieu [celui où le milieu est fixe,
donc le récepteur mobile]).= période perçue par un obstacle fixe (O).
ve et vr :sont déterminés par rapport au référentiel initial.
⃗⃗
⃗⃗
n.v e 1
n .v e
T

T.(1

)
υ

υ
.(1

)
ainsi
soit
e
e
c
c
⃗⃗
⃗
⃗
On peut simplifier l’écriture en enlevant les vecteur : n.v e  v e ssi v e et n sont colinéaires (de
mêmes sens et de même direction).
v
v
υ e  υ.(1  e )
On obtient donc Te  T.(1  e ) 1 soit
c
c
2e partie : relation liant la période mesuré en 0 (T), à la période mesuré par le récepteur mobile (Tr).
On repart de ce qu’on a démontré précédemment :
L’émetteur E (à la vitesse ve) émet une onde de période temporelle Te. Au point O immobile dans le
milieu, la période perçue et T.
On considère que l’émetteur soit en fait notre récepteur (r).
⃗⃗
⃗⃗
n.v e 1
n.v r 1
Te  T.(1 
) devient Tr  T.(1 
)
Cette relation est vrai que ce soit O l’émetteur
c
c
et r le récepteur ou l’inverse.
Attention, on ne peut pas dire que O est l’émetteur et r le récepteur, ce qui donnerait
⃗⃗
n.v r
Tr  T.(1 
) , car cela négligerait le milieu qui reste immobile par rapport à 0 et non par
c
rapport à r.
3e partie : on met en relation directement la fréquence émise (Te) à la fréquence perçue (Tr).
⃗⃗
⃗⃗
n.v e 1
n.v r 1
Te  T.(1 
) et Tr  T.(1 
)
c
c

Te .(1 
⃗⃗
⃗⃗
n.v e
n.v r
)  T  Tr .(1 
)
c
c
⃗⃗
n.v e
(1 
)
c
T

⃗ ⃗  Tr
 e
n.v r
(1 
)
c
Remarques :
1. 2 a été inclus dans la fonction f,
t
⃗
n ⃗
⃗⃗
⃗⃗
 . r au lieu de ω.t  k.n. r  ω.t  k. r
c’est pour ça qu’on a
T λ
⃗⃗
⃗
⃗
2. Si v e et n ne sont pas colinéaires, il faut garder l’expression vectorielle : n.v e  v e . cos θ
⃗
⃗
⃗
où l’angle  est celui formé par les 2 vecteur v e et n . (en effet la norme de n vaut 1)
3. Si vous avez un doute, rapportez vous à l’expérience empirique : un ambulance (émetteur)
se rapprochant de vous, fait un bruit plus aiguë qu’en s’éloignant de vous. Vous êtes un
récepteur immobile dans le référentiel du milieu. Or plus un son est aigue plus sa fréquence
est élevée. Donc la fréquence d’une source se rapprochant du récepteur possède une
fréquence  perçue plus élevée (une période plus courte) que celle issue d’une source
statique (dans le milieu).
Plus mathématiquement :
⃗
⃗
On a rarement des vitesses négatives, (d’où l’intérêt de choisir v e et n colinéaires).
On se place donc dans le cas où l’émetteur se rapproche de l’origine 0 :
(et non ce cas là, où l’émetteur s’en éloigne :
)
donc, dans la configuration choisie
ve  0  (1 
ve
)0
c
(par exemple 0,90)
v e 1
)
donc Te  T
( 0,90.Te = T)
c
donc Te est la période émise par l’émetteur et T la période perçue par l’obstacle fixe.
or Te  T.(1 
-
Double effet Doppler :
o l’émetteur et le récepteur sont associés, l’onde est réfléchie par un obstacle mobile.
On peut donc appliquer la relation démontrée ci-dessus 2 fois de suite :
L’émetteur (e1) envoie l’onde sur l’obstacle ( qui constitue le récepteur 1, r1). Cet obstacle en
renvoyant l’onde devient un émetteur secondaire (e2) dont le signal sera capté par l’émetteur/
récepteur de départ (r2).
Les relations sont du type :
 Te1.k= Tr1
 Te2.k’= Tr2 avec Tr1= Te2
donc Te1.k.k’= Tr2
⃗⃗
⃗ ⃗
n.v e1
(-n).v e2
(1 
)
(1 
)
c
c
k

k'

⃗⃗
⃗ ⃗
avec
et
n.v r1
(-n).v r2
(1 
)
(1 
)
c
c
⃗
Pour k’, on a ‘ - n ’ car l’onde se propage dans le sens opposé (et les vitesse gardent le même
signe).L’émetteur 1 devient le récepteur 2 (e1 = r2),et le récepteur 1 devient l’émetteur 2(r1=e2). Donc
⃗
⃗
⃗
⃗
v e2  v r1 et v e1  v r2 .
⃗⃗
⃗ ⃗
n.v e1
(-n).v r1
(1 
) (1 
)
c⃗ .
c⃗
⃗
⃗
Soit Te1.k.k’= Tr2  Te1.
= Tr2
n.v r1
(-n).v e1
(1 
) (1 
)
c
c
⃗⃗
⃗⃗
n.v e1
n.v r1
(1 
) (1 
)
c
c
⃗⃗ .
⃗ = Tr2
 Te1.
n.v r1
n.v e1
(1 
) (1 
)
c
c
Remarques :
1- Même si la vitesse de l’émetteur récepteur (e1 = r2) est la même lors de l’émission et de la
réception, la fréquence émise et celle captée est différente.
2- Pour la vélocimétrie doppler (mesure de vitesse par les calculs ci-dessus), il faut faire
attention a bien être dans le référentiel où le milieu de propagation est statique. Dans le cas
de la mesure de vitesse d’un globule rouge,
si on est dans un capillaire, on considère que le globule rouge occupe tout le vaisseau, donc
le milieu de propagation de l’onde est statique dans le référentiel du laboratoire.
si on est dans une grosse artère, l’onde devant traverser le sang (eau) en mouvement avant
d’atteindre le globule rouge, si on pose la sonde sur le vaisseau (ou dedans), le référentiel
doit être celui du sang et non celui du laboratoire !
VI. DIVERS : constantes (cte = cst), relations de base, valeurs particulières :
Rappel sur les vecteurs

grad V.dl  dv
U⃗ U ⃗ U ⃗
grad U(x, y, z) 
i 
j
k
x
y
z
cos(V1 .V2 ) 
V 
V1 .V2
V1 . V2

B
A
dV  VB  VA  V
dU 
U
U
U
dx 
dy 
dz
x
y
z
x 1 .x 2  y1 .y 2  z1 .z 2
2
2
2
2
2
x 1  y1  z 1 . x 2  y 2  z 2
2
x2  y2  z2
V1 .V2  x 1 .x 2  y1 .y 2  z 1 .z 2 = V1 .V2 .cos θ
x1
x2
où V1  y1
z1
, V2  y 2
z2
et  = ( V1 , V2 )
Produit vectoriel : V1  V2  V1 .V2 . sin θ
Pour l’obtenir avec les coordonnées x,y,z ; représenter les valeurs dans ce tableau/matrice:
i
j
k
x1
y1
z1
x2
y2
z2
puis i = y1.z2- y2.z1 (de même pour j et k)
Rappels sur les nombres complexes :
· valeur moyennes utiles à connaître :
< cos x> = 0
< sin x> = 0
< sin2 x> = 1/2
B
Piste pour la démonstration : faire la moyenne en utilisant l’intégrale
· formules trigo :
cos2 + sin2 = 1
· Euler :
cos + i.sin = eix
e iθ  e  iθ
 cos θ
2
1
. f(x).dx
B  n n
cos - i.sin = e-ix
e iθ  e  iθ
 sin θ
2i
· ei2π= cos 2π + i.sin 2π =1 ; eiπ= cosπ + i.sinπ = -1 ; eiπ/2= cos(π/2) + i.sin(π/2) = i ; e-iπ/2= -i.
· ~
z = x + i.y =z.(cos + i.sin) = z.ei
i2=-1
~
x et y sont des réels. x [=Re( z )] est la partie réelle et y [=Im( ~
z )]la partie imaginaire. z est le
module et q [=arg( ~
z )]l’argument.
Le ~ (prononcer ‘’tilde’’) sur les lettre indique qu’il s’agit de valeur complexes. Quand il est absent,
~
a priori ce n’est pas des valeurs complexes. Ainsi le A
=A.ei représente l’amplitude complexe de
la vibration.
Parfois on remplace le i de la notation complexe par un j. C’est strictement la même chose mais il
faut s’en tenir à une notation.
· le complexe conjugué se note
~z * ou ~z = x – i.y =z.(cos - i.sin) = z.e
-i
·z=(~
z .~
z *)1/2 =
~z .~z * = x + y
2
2
(c’est une façon pratique de calculer le module)
Valeurs utiles pour les développements limités (sans calculette) :
2  1,4
ln 2  0,7
e  2,7
ln 3  1,1
Formule de développement limité :
( x - x0 )2
+ ...
2!
(x - x 0 ) 3
Si on veut estimer l’approximation, prend la valeur du terme qui aurait suivi. Ici f ' ' '.
.
3!
Formule de Taylor-Young (la plus générale) : f ( x) = f ( x0 ) + f '( x0 ).( x - x0 ) + f ''( x0 ).
Constantes, relation de conversion, formules de bases :
(Remarques : je mets les unités en italique ou entre parenthèses)
Constantes :
R (constante des gaz parfaits) = 8,31 J.K-1.mol-1
Na (nombre d’Avogadro) = 6,02.1023 sans unité
kB (constant de Boltzmann) = R/Na = 1, 38.10-23 J.K-1
2. ℏ = h (constante e Planck) = 6.62.10-34 J.s
F (capacité en Farad) = 96 500 C (nbr de charge élémentaire en Coulombs).1(tension en Volt)bon ?
0 (permittivité du vide) = 8,85.10-12 SI
k=
1
= 9.109 SI
4π 0
Caractéristiques d’un électron : masse = 9,1.10-31 kg = 0,511 Mev ; Charge = -1,6.10-19 C (coulomb)
Conversions :
 Unité de masse :
1 uma (unité de masse atomique) = 1,66.10-24 kg =
 Distance :
1 Fermi = 10-15 m
1
kg = 931 Mev.c-2
Na (nbr d' Avogadro)
1 A (angström) = 10-10 m
o
1µ (micron) = 10-6 m
· Diverses :
273 K (Kelvin) = 0 C° (degré Celsius )
1 ev = 1,6.10-19J
énergie d’une électron accéléré sous une différence de potentiel de 1V
5
10 Pascal = 1 Bar  1 atmosphère
Formules : (en SI c'est-à-dire les unités sont Mètre Kg Seconde Ampère [MKSA] )
Utiles :
E = m.c2
E (énergie) = h (constante de Planck). (nu, correspond à la fréquence temporelle du rayonnement )
= h.f (fréquence)
c (vitesse de la lumière) =
λ (periode spatiale de l' onde lumineuse)
= .
T (periode temporelle de l' onde lumineuse)
A = l. N
A (activité en SI, Bq [Becquerels] = dps, désintégrations par secondes)
l (constante de désintégration radioactive, caractéristique de l’élément)
N (population de noyau radioactifs de cet élément)
La période du radio-nucléide T : T=
ln 2
λ
 vie moyenne  : N0
N0
=N= N0.e- lt
2
N0
c’est le temps nécessaire pour que
=N= N0.e- lt
e
c’est le temps nécessaire pour que
Moins utiles :
R(noyau  sphère de rayon R) = R0 (une cst).A1/3 (nombre de nucléons)
l=
h
h.c
( relation de De Broglie) car E = m.c2 = h. =
m.v
λ
(pour les ondes
électromagnétique [lumière, champ électrique, champ magnétique] la vitesse dans le vide (» dans
l’air est c = 300 000 km.s-1= 3.108 m.s-1)
Dt.DE  ℏ  h 2π
Inégalité d’Heisenberg (qui permet d’affirmer que déterminer la position avec
précision [échelle d’un électron] se fait au détriment de la détermination de l’énergie qu’il contiens ;
en vice-versa)
Vocabulaire / Termes et info diverses:
Isotopes
ex : 11 H 21 H (deutérium) 31 H (tritium): même nombre de protons (donc même
élément)
Isobares
ex : 146 C 147 N
: même nombre de nucléons
14
15
16
Isotone
ex : 6 C 7 N 8 O
: même nombre de neutrons
80 m
80
Am
Isomères
ex : 35 Br 35 Br ( Z X correspond à métastable, c'est-à-dire que le noyau est
excité [par exemple suite à une désintégration] , mais pour cet élément cette stabilité peut persister
plusieurs min ou même heures. C’est cette dernière caractéristique qui le distingue de l’émission .)
Énergie de liaison : ordre de grandeur : » 8 Mev
_____________________________________________________
Résolution des équation différentielles du 1er ordre, linéaires à coefficients constants :
a.
dv
+ b.v = c
dt
(1)
[solution du type : v(t) = k.e-(b.t)/a +
c
]
b
۰ 1er dérivation  1er ordre ۰ Linéaire car les dérivées se succèdent (une relation liméaire du type
a.x +b = y lie la dérivée à sa fonction)
۰ A coefficients constants : car a et b sont des valeur constantes, indépendant de la variable, t.
__________
Plan :
a- Résolution de l’équation différentielle sans 2nd membre :
a.
b- Trouver une solution particulière de l’équation différentielle (1) :
dV
+b.V = 0 (2)
dt
v0
c- Solution générale/mathématique de l’équation différentielle avec 2nd membre (1) :
v(t) = V(t) + v0
d- Solution particulière/physique de l’équation différentielle, en partant des conditions
initiales (t = 0) ou finales (t = ∞):
__________
Remaque : faire attention au fonctions v(t) et V(t) qui ne sont pas les mêmes !
a- Résolution de l’équation différentielle sans 2nd membre :
a.
dV
+b.V = 0 (2)
dt
Méthode 1 : méthode qu’il ne faut pas faire, très mauvaise d’après le Pr Boiteux, car ne se
généralise pas aux équations du 2nd ordre. Elle est cependant plus rapide.
a.
dV
+ b.V = 0
dt
dV
= - b.V
dt
dV
b

=.dt
V
a
b
 ln V = .t + cst
a
a.
 V = e (
b
a
).t
.e cst
Méthode 2 : changement de fonction
W(t) = V(t).eα.t
V(t) = W(t).e-α.t
α : cst réelle
eα.t ≠ 0 par définition
dV
dW -α.t
=
.e + W.(- a.e-a.t)
dt
dt
dW -α.t -α.t
e .e + W.(- a.e-a.t)
=0
dt
dW
a.
. e - α.t - a.a.W. e - α.t + b.W. e - α.t = 0
dt
dW
a.
+ (b- a.a).W(t)
=0
dt
b
On choisit a tel que b- a.a = 0  a =
a
dW
(2)
 a.
= 0  W(t) = K
dt
(2)
 a.
V(t) = K.e-(b/a).t
b- Trouver une solution particulière de l’équation différentielle (1) : v0
Si v0 = cst,

dv 0
=0
dt
(1)  b. v0 = c  v0 =
c
b
c- Solution générale/mathématique de l’équation différentielle avec 2nd membre (1) :
v(t) = V(t) + v0 = K.e-(b/a).t +
c
(3) Il s’agit d’une famille de solutions à 1 paramètre (t).
b
d- Solution particulière/physique de l’équation différentielle, en partant des conditions
initiales (position, vitesse à t = 0) ou finales (position, vitesse à t = ∞):
ex : si à t = 0 v(0) = 0
c
c
c
= K+
K=b
b
b
c
La solution : v(t) =
[1-e-(b/a).t]
b
c
Remarque :vlim = v(t∞) = v0 =
b
(3)  v(0) = 0 = K.e-(b/a).0 +
Résolution des équation différentielles de 2nd ordre : cf. ondes
_____________________________________________________
______________
Alphabet Grec
Majuscule
Α
Β
Γ
Δ
Ε
Ζ
Η
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
Minuscule
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
ρ
ς ,σ
τ
υ
φ
χ
ψ
ω
D’après le cours du Pr Boiteux, année 2004-2005, université Paris V.
Nom
alpha
bêta
gamma
delta
epsilon
dzéta
êta
thêta
iota
kappa
lambda
mu
nu
xi,ksi
omicron
pi
rhô
sigma
tau
upsilon
phi
khi
psi
oméga
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