Equations de Maxwell - Jean

1
Postulats de l’Électromagnétisme
l’Électromagnétisme
par Jean-Jacques HERSTAIN 12 septembre 2009
Les formules encadrées avec ** sont à parfaitement connaître
Les formules encadrées avec * sont à savoir retrouver très rapidement (moins de 30 secondes)
Les formules encadrées sans * sont à savoir retrouver
1
Charge électrique
Deux systèmes électrisés subissent des interactions.
On peut électriser un système par :
• frottement
• contact
• influence
• effet photoélectrique
• effet thermoélectrique
• effet piézo-électrique…
1.1
Charge ponctuelle
Le rapport des charges de deux particules ponctuelles A et B est par définition le rapport des
valeurs algébriques des forces qu’elles subissent en présence d’un même système électrisé et
dans les mêmes conditions.
qB FB
=
q A FA
Il suffit alors de choisir une unité qA = 1 C pour mesurer toute charge électrique.
Le Coulomb est défini par la charge qui traverse une surface pendant une seconde, lorsque
cette surface est traversée par un courant de 1 Ampère.
Une charge ponctuelle est une modélisation théorique convenant parfaitement pour des
particules chargées très petites.
Pour des systèmes macroscopiques contenant un très grand nombre de charges élémentaires
(ordre de grandeur : 1023 ), on utilise un modèle où la répartition de charges est supposée
continue, comme s'il existait un "fluide chargé".
Postulats
J.J. Herstain
2
1.2
Densité volumique de charge
Un élément de volume dτ très petit (1µm3 par exemple) peut contenir un nombre très élevé
de particules chargées dont la charge totale vaut dq.
Il contient un nombre très grand de charges microscopiques (électrons par exemple)
Il est donc très grand à l’échelle microscopique bien qu’il soit très petit à l’échelle
macroscopique : on dit que c’est un élément mésoscopique.
A l'échelle macroscopique, tout se passe comme si l'élément dτ était chargé de manière
continue.
On définit la densité volumique de charge : ρ =
τ
dq
**
dτ
La charge totale du volume τ se calcule par intégration : Q = ∫∫∫ ρ dτ *
dτ
τ
1.3
Densité superficielle de charge
Un élément de surface dΣ très petit (1µm2 par exemple) peut
contenir un nombre très élevé de particules chargées dont la
charge totale vaut dq.
A l'échelle macroscopique, tout se passe comme si l'élément dΣ
était chargé de manière continue.
dq
On définit la densité superficielle de charge : σ =
**
dΣ
La charge totale de la surface Σ se calcule par intégration :
Q = ∫∫ σ d Σ *
Σ
1.4
Densité linéique de charge
Un élément de longueur dl très petit (1µm par exemple) peut
contenir un nombre très élevé de particules chargées dont la
charge totale vaut dq.
A l'échelle macroscopique, tout se passe comme si l'élément dl
était chargé de manière continue.
On définit la densité linéique de charge : λ =
dq
**
dl
La charge totale de la ligne Γ se calcule par intégration :
Q = ∫ λ dl *
Γ
Postulats
J.J. Herstain
3
2
y
Champ électromagnétique
R
E
2.1
Définition
B
En tout point (x,y,z) d’un référentiel R et à tout
instant t , on définit le champ électromagnétique :
E(x,y,z,t) , B(x,y,z,t)
x
z
L’ensemble de ces deux vecteurs traduit au point (x,y,z) et à l’instant t, la modification locale
de l’espace provoquée par l’ensemble des charges (immobiles ou en mouvement) qui s’y
trouvent.
2.2
Force de Lorentz
Une charge ponctuelle q animée dans R à l’instant t d’une vitesse V , subit en présence du
champ électromagnétique E , B une force F
(
(
)
)
F = q E + V ∧ B **
Cette force définit E et B
•
Si V = 0
F = F e = qE
: Force électrique
E : Champ électrique
Si de plus toutes les charges de l’espace sont fixes dans R E ne dépend pas du temps, c’est
alors le champ électrostatique ES
•
Si E = 0
F = Fm = qV ∧ B : Force magnétique
B : Champ (d’induction) magnétique, a pour origine des mouvements de particules chargées.
Postulats
J.J. Herstain
4
2.3
•
Symétries
Soit P un plan de symétrie.
La distribution des charges est symétrique
par rapport à P.
Le champ électrique E a les mêmes
propriétés de symétrie que le vecteur force
que subit une particule de charge q :
F
E=
C’est un vecteur polaire.
q
La vitesse, la force et le champ électrique sont des vecteurs polaires.
En deux points symétriques par rapport à un plan de symétrie, les vecteurs polaires sont
symétriques par rapport à ce plan.
En un point appartenant à un plan de symétrie, un vecteur polaire est contenu dans ce
plan.
(car le vecteur doit être son propre symétrique)
Le champ magnétique est obtenu par un
produit vectoriel de vecteurs polaires :
c’est un vecteur axial.
Le moment d'une force, un vecteur
surface et le champ magnétique sont des
vecteurs axiaux.
En deux points symétriques par rapport à un plan de symétrie, les vecteurs axiaux sont
antisymétriques par rapport à ce plan. B1' = − B1
B2' = B2
En un point appartenant à un plan de symétrie, un vecteur axial est orthogonal à ce
plan.
Postulats
J.J. Herstain
5
•
Un plan d’antisymétrie est un plan pour lequel les propriétés des vecteurs polaires et des
vecteurs axiaux sont permutées.
- En un point appartenant à un plan d’antisymétrie, un vecteur polaire est orthogonal à
ce plan.
- En un point appartenant à un plan d’antisymétrie, un vecteur axial est contenu dans ce
plan.
Ce sera le cas d’une distribution de charge symétrique par rapport à un plan, mais les charges de
part et d’autre ayant des signes opposés. Ou encore une distribution symétrique où les
mouvements des charges, de part et d’autre du plan, sont opposés.
Exemple :
Une sphère uniformément chargée possède une symétrie sphérique : tout plan passant par son
centre est plan de symétrie.
Par tout point de l’espace passent une infinité de plans de symétrie contenant le centre de la
sphère. Le champ électrique est un vecteur polaire et appartient à tous ces plans, donc à leur
intersection qui est la direction radiale.
On remarque qu'au centre de la sphère le champ est nécessairement nul.
Si cette sphère tourne autour d’un axe ∆ passant par son centre, tout plan contenant cet axe est
plan d’antisymétrie (les vecteurs vitesses sont ici antiparallèles par rapport au plan
d’antisymétrie). Le champ magnétique est un vecteur axial. En un point de l’axe, il est donc
contenu dans tout plan passant par ∆ . Il a donc ∆ pour support. ( cela reste vrai au centre de la
sphère )
Mais le plan P passant par le centre de la sphère et orthogonal à ∆ est un plan de symétrie : en
un point de ce plan le champ magnétique (vecteur axial) lui est donc perpendiculaire.
Postulats
J.J. Herstain
6
3
Charges en mouvement
3.1
3.1.1
3.1.2
Courant volumique
Intensité
d2q étant la charge qui traverse l’élément de surface dS dans
le sens positif, pendant l’intervalle de temps dt, l’intensité
élémentaire du courant à travers la surface dS est définie par :
d 2q
di =
dt
Remarque : di est algébrique et dépend de la convention
d’orientation du courant (c'est-à-dire de la surface dS ).
Vecteur densité de courant
On appelle ρm la densité volumique de charges mobiles.
V : vitesse moyenne de déplacement des charges.
La charge traversant la surface dS pendant le temps dt est celle contenue dans le cylindre de
base dS et de hauteur V dt
d 2 q = ρ m V dt ⋅ dS
j = ρ m V **
di = ρ m V ⋅ dS
di = j ⋅ dS
S’il y a n particules mobiles de charge q, ρm= nq et j = nqV
(
i = ∫∫ jdS **
S
3.2
3.2.1
)
i est le flux du vecteur j à travers la surface S.
Courant surfacique
Intensité surfacique
Les charges se déplacent sur une surface.
d2q étant la charge qui traverse l’élément de longueur dl ,
pendant l’intervalle de temps dt, l’intensité surfacique
élémentaire du courant à travers la longueur dl est définie par :
3.2.2
di =
d 2q
dt
Vecteur densité de courant surfacique
σm : densité superficielle de charge mobile.
La charge traversant le vecteur dl pendant le temps dt est celle contenue dans le
parallélogramme défini par dl et V dt
d 2 q = σ m (V .dt ∧ d l ).n
n : vecteur unitaire normal à la surface V : vitesse moyenne de déplacement des charges.
js = σ m V *
di = σ m V (d l ∧ n)
On pose d λ = d l ∧ n
di = js . d λ
En pratique, on choisit dl perpendiculaire à V et donc d λ parallèle à js d’où
di = js dl **
et
i = ∫ js ⋅ dl
Exemple : Un courant surfacique parcourt un conducteur cylindrique creux de rayon R. js le
vecteur densité de courant surfacique. L’intensité i = 2π R js
Postulats
J.J. Herstain
7
4
Equations de Maxwell
y
On se place dans un référentiel galiléen.
R
j
E
ρ
B
x
z
Maxwell-Gauss
div E = ρ
εo
Maxwell-Thomson
div B = 0
Maxwell-Faraday
∂ B
rot E = −
Maxwell-Ampère
 
rot B = µo  j + ε o ∂ E 
∂t

εo : permittivité du vide.
µo : perméabilité du vide.
**
1
4πε 0
∂t

≅ 9.109 unités S.I.
µo = 4 π 10-7 unités S.I.
James Maxwell, physicien écossais, a proposé ces équations en 1873. Elles permettent
d’expliquer et de prévoir tous les phénomènes électromagnétiques classiques connus. Plus
tard, elles ont été adaptées à la mécanique quantique (pour les phénomènes à des échelles
égales ou inférieures à celles de l’atome) et à la mécanique relativiste (pour les phénomènes
faisant intervenir des vitesses non négligeables devant celles de la lumière).
Postulats
J.J. Herstain
8
5
Notion d’analyse vectorielle
5.1
gradient
f(x,y,z) : champ de scalaires.
exemple : pression, température, densité de matière…
∂f ∂f
grad f =
x+
∂x
∂y
∇ : opérateur nabla,
∂f y+
z ** autre notation : ∇ f
∂z
∂ ∂ ∂ ∇=
x+
y+ z
∂x
∂y
∂z
∂f
∂f
∂f
df =
dx + dy + dz
∂x
∂y
∂z
dl = dx.x + dy. y + dz.z
df = grad f . dl **
C’est une relation intrinsèque entre vecteurs ne dépendant pas du système de coordonnées.
En coordonnées sphériques :
dl = dr . u r + rdθ . uθ + r sin θ dϕ . uϕ
Champ de scalaires : f(r,θ,ϕ)
∂f
∂f
∂f
df =
dr +
dθ +
dϕ
∂r
∂θ
∂ϕ
df =
∂f
1 ∂f
1 ∂f
dr +
rdθ +
r sin θ dϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
∂f 1 ∂f 1 ∂f grad f =
ur +
uθ +
uϕ **
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
En coordonnées cylindriques :
dl = dρ . u ρ + ρ dϕ . uθ +dz. u z
Champ de scalaires : f ( ρ , ϕ , z )
∂f
∂f
∂f
df =
dρ +
dϕ +
dz
∂ρ
∂ϕ
∂z
df =
∂f
1 ∂f
∂f
dρ +
ρ dϕ + dz
∂ρ
∂z
ρ ∂ϕ
∂f 1 ∂f ∂ f grad f =
uρ +
uϕ + u z **
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
Postulats
J.J. Herstain
9
5.2
divergent
A(x,y,z) : un champ de vecteurs.
exemple : vecteur vitesse, force, champ gravitationnel, vecteur densité de courant…
∂A ∂A ∂A
div A = x + y + z **
∂x
∂y
∂z
autre notation : ∇ A
∂2 f ∂2 f ∂2 f
∆f = div(grad f ) = 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z
: Laplacien
∆ A = ∆Ax x + ∆Ay y + ∆Az z : Laplacien vectoriel
(
)
Φ A / S = ∫∫ A ⋅ dS
Flux d’un vecteur A à travers une surface S :
S
Le flux du vecteur densité de courant à travers la section d’un conducteur
est le courant dans ce conducteur : i = ∫∫ j ⋅ dS
S
A
Si la surface est fermée : Φ = ∫∫ .dS
S
par convention dS est orienté vers l’extérieur de la surface fermée
Théorème d’Ostrogradsky :
div
A
.
d
τ
=
A
∫∫∫
∫∫ .dS **
τ
S
Si div A = 0
le flux de A est conservatif.
Postulats
J.J. Herstain
10
5.3
Rotationnel
A(x,y,z) : un champ de vecteurs.
 ∂A ∂A   ∂A ∂A   ∂A
∂A  ro t A =  z − y  x +  x − z  y +  y − x  z *
∂z 
∂x 
∂y 
 ∂z
 ∂y
 ∂x
autre notation : ∇ ∧ A
∂ ∂f
∂  ∂f 
 rot(grad f )  =   −   = 0

 x ∂y  ∂z  ∂z ∂y
 
(y et z étant des variables indépendantes, il est possible de permuter l’ordre des dérivations)
rot ( grad f ) = 0 **
car
réciproquement si
rot D = 0
div(rot A)=0 **
car
réciproquement si
div B = 0
D = grad V
alors
∂  ∂Az ∂Ay
−

∂x  ∂y
∂z
 ∂  ∂Ax ∂Az
−
+ 
∂x
 ∂y  ∂z
 ∂  ∂Ay ∂Ax
−
+ 
∂y
 ∂z  ∂x

=0

B = rot A
alors
Circulation d’un vecteur le long d’une courbe :
N C = ∫ A ⋅ dl
M
N
La circulation d’une force est le travail : W =
∫ F ⋅ dl
M
Sur un contour fermé :
C = ∫ A ⋅ dl
Γ
Théorème de Stokes :
rot
A
⋅
dS
=
∫∫
∫ A ⋅ dl **
S
Γ
dl doit tourner autour de dS dans le sens trigonométrique. (règle du tire bouchon)
Si rot A = 0
La circulation de A est conservative.
Postulats
J.J. Herstain
11
6
Conservation de la charge
∂
E
rot B = µ0 j + µ0ε 0
∂t
div


 
µ ε ∂ E 
rot
B
=
div
µ
j
+
div


0
 0 0 ∂ t 




0 = div j + ε 0 ∂ divE
∂t
car x, y, z indépendants de t
∂ρ
div j +
=0
∂t
*
Equation locale de la conservation de la charge
∂ρ
∫∫∫ div j .dτ = − ∫∫∫ ∂ t .dτ
τ
τ
∂
∫∫ j .dS = −
S
i=
∂ t ∫∫∫
τ
ρ .dτ
∂q
∂Q
=−
∂t
∂t
q + Q = constante
Postulats
J.J. Herstain
12
Table des matières
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
2.1
2.2
2.3
3
3.1
CHARGE ÉLECTRIQUE ................................................................................................................... 1
Charge ponctuelle .............................................................................................................................................1
Densité volumique de charge ............................................................................................................................2
Densité superficielle de charge .........................................................................................................................2
Densité linéique de charge ................................................................................................................................2
CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE ................................................................................................. 3
Définition ..........................................................................................................................................................3
Force de Lorentz ...............................................................................................................................................3
Symétries ..........................................................................................................................................................4
CHARGES EN MOUVEMENT .......................................................................................................... 6
Courant volumique ..........................................................................................................................................6
3.1.1
3.1.2
3.2
Intensité ................................................................................................................................................................... 6
Vecteur densité de courant ....................................................................................................................................... 6
Courant surfacique ............................................................................................................................................6
3.2.1
3.2.2
Intensité surfacique .................................................................................................................................................. 6
Vecteur densité de courant surfacique ..................................................................................................................... 6
4
EQUATIONS DE MAXWELL ........................................................................................................... 7
5
NOTION D’ANALYSE VECTORIELLE.......................................................................................... 8
5.1
5.2
5.3
6
gradient .............................................................................................................................................................8
divergent ...........................................................................................................................................................9
Rotationnel......................................................................................................................................................10
CONSERVATION DE LA CHARGE .............................................................................................. 11
Postulats
J.J. Herstain