Equations de Maxwell - Jean

Postulats J.J. Herstain
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Postulats de l’
Postulats de l’Postulats de l’
Postulats de l’Électromagnétisme
ÉlectromagnétismeÉlectromagnétisme
Électromagnétisme
par Jean-Jacques HERSTAIN 12 septembre 2009
Les formules encadrées avec ** sont à parfaitement connaître
Les formules encadrées avec * sont à savoir retrouver très rapidement (moins de 30 secondes)
Les formules encadrées sans * sont à savoir retrouver
1
1 C Ch ha ar rg ge e é él le ec ct tr ri iq qu ue e
Deux systèmes électrisés subissent des interactions.
On peut électriser un système par :
• frottement
• contact
• influence
• effet photoélectrique
• effet thermoélectrique
• effet piézo-électrique…
1.1 Charge ponctuelle
Le rapport des charges de deux particules ponctuelles A et B est par définition le rapport des
valeurs algébriques des forces qu’elles subissent en présence d’un même système électrisé et
dans les mêmes conditions.
B B
A A
q F
q F
=
Il suffit alors de choisir une unité q
A
= 1 C pour mesurer toute charge électrique.
Le Coulomb est défini par la charge qui traverse une surface pendant une seconde, lorsque
cette surface est traversée par un courant de 1 Ampère.
Une charge ponctuelle est une modélisation théorique convenant parfaitement pour des
particules chargées très petites.
Pour des systèmes macroscopiques contenant un très grand nombre de charges élémentaires
(ordre de grandeur : 10
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), on utilise un modèle où la répartition de charges est supposée
continue, comme s'il existait un "fluide chargé".

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1.2 Densité volumique de charge
Un élément de volume d τ très petit (1µm
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par exemple) peut contenir un nombre très élevé
de particules chargées dont la charge totale vaut dq .
Il contient un nombre très grand de charges microscopiques (électrons par exemple)
Il est donc très grand à l’échelle microscopique bien qu’il soit très petit à l’échelle
macroscopique : on dit que c’est un élément mésoscopique.
A l'échelle macroscopique, tout se passe comme si l'élément d τ était chargé de manière
continue.
On définit la densité volumique de charge :
dq
d
ρ
τ
=**
La charge totale du volume τ se calcule par intégration :
Q d
τ
ρ τ
=
∫∫∫
*
1.3 Densité superficielle de charge
Un élément de surface d Σ très petit (1µm
2
par exemple) peut
contenir un nombre très élevé de particules chargées dont la
charge totale vaut dq .
A l'échelle macroscopique, tout se passe comme si l'élément d Σ
était chargé de manière continue.
On définit la densité superficielle de charge :
dq
d
σ =
Σ
**
La charge totale de la surface Σ se calcule par intégration :
Q d
σ
Σ
= Σ
∫∫
*
1.4 Densité linéique de charge
Un élément de longueur dl très petit (1µm par exemple) peut
contenir un nombre très élevé de particules chargées dont la
charge totale vaut dq .
A l'échelle macroscopique, tout se passe comme si l'élément dl
était chargé de manière continue.
On définit la densité linéique de charge :
dq
dl
λ =**
La charge totale de la ligne Γ se calcule par intégration :
Q dl
λ
Γ
=
∫
*
d
τ
ττ
τ
τ
ττ
τ

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2
2 C Ch ha am mp p é él le ec ct tr ro om ma ag gn né ét ti iq qu ue e
2.1 Définition
En tout point (x,y,z) d’un référentiel R et à tout
instant t , on définit le champ électromagnétique :
E(x,y,z,t)
,
B(x,y,z,t)
L’ensemble de ces deux vecteurs traduit au point (x,y,z) et à l’instant t, la modification locale
de l’espace provoquée par l’ensemble des charges (immobiles ou en mouvement) qui s’y
trouvent.
2.2 Force de Lorentz
Une charge ponctuelle q animée dans R à l’instant t d’une vitesse
V
, subit en présence du
champ électromagnétique
(
)
,
E B
une force
F
(
)
F q E V B
= + ∧
**
Cette force définit
E
et
B
• Si
0
V
=
e
F F qE
= = : Force électrique
E
: Champ électrique
Si de plus toutes les charges de l’espace sont fixes dans R
E
ne dépend pas du temps, c’est
alors le champ électrostatique
S
E
• Si
0
E
=
m
F F qV B
= = ∧
: Force magnétique
B
: Champ (d’induction) magnétique, a pour origine des mouvements de particules chargées.
x
y
z
R
B
E

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2.3 Symétries
• Soit P un plan de symétrie.
La distribution des charges est symétrique
par rapport à P.
Le champ électrique
E
a les mêmes
propriétés de symétrie que le vecteur force
que subit une particule de charge q :
F
E
q
=
C’est un vecteur polaire.
La vitesse, la force et le champ électrique sont des vecteurs polaires.
En deux points symétriques par rapport à un plan de symétrie, les vecteurs polaires sont
symétriques par rapport à ce plan.
En un point appartenant à un plan de symétrie, un vecteur polaire est contenu dans ce
plan. (car le vecteur doit être son propre symétrique)
Le champ magnétique est obtenu par un
produit vectoriel de vecteurs polaires :
c’est un vecteur axial.
Le moment d'une force, un vecteur
surface et le champ magnétique sont des
vecteurs axiaux.
En deux points symétriques par rapport à un plan de symétrie, les vecteurs axiaux sont
antisymétriques par rapport à ce plan.
'
1 1
B B
= −
'
2 2
B B
=
En un point appartenant à un plan de symétrie, un vecteur axial est orthogonal à ce
plan.

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• Un plan d’antisymétrie est un plan pour lequel les propriétés des vecteurs polaires et des
vecteurs axiaux sont permutées.
- En un point appartenant à un plan d’antisymétrie, un vecteur polaire est orthogonal à
ce plan.
- En un point appartenant à un plan d’antisymétrie, un vecteur axial est contenu dans ce
plan.
Ce sera le cas d’une distribution de charge symétrique par rapport à un plan, mais les charges de
part et d’autre ayant des signes opposés. Ou encore une distribution symétrique où les
mouvements des charges, de part et d’autre du plan, sont opposés.
Exemple :
Une sphère uniformément chargée possède une symétrie sphérique : tout plan passant par son
centre est plan de symétrie.
Par tout point de l’espace passent une infinité de plans de symétrie contenant le centre de la
sphère. Le champ électrique est un vecteur polaire et appartient à tous ces plans, donc à leur
intersection qui est la direction radiale.
On remarque qu'au centre de la sphère le champ est nécessairement nul.
Si cette sphère tourne autour d’un axe
∆
passant par son centre, tout plan contenant cet axe est
plan d’antisymétrie (les vecteurs vitesses sont ici antiparallèles par rapport au plan
d’antisymétrie). Le champ magnétique est un vecteur axial. En un point de l’axe, il est donc
contenu dans tout plan passant par
∆
. Il a donc
∆
pour support. ( cela reste vrai au centre de la
sphère )
Mais le plan P passant par le centre de la sphère et orthogonal à
∆
est un plan de symétrie : en
un point de ce plan le champ magnétique (vecteur axial) lui est donc perpendiculaire.