Précession de Larmor (point de vue quantique)

Universit´e Pierre et Marie Curie
Master 1`ere ann´ee
Pr´ecession de Larmor (point de vue quantique)
Correction sommaire
1- Les neutrons sont dans l’´etat de spin |+i. L’appareil SG2 r´ealise donc
une mesure de l’observable Su=−→ S.−→ u.
1.a- Su= sin θcos Φ Sx+ sin θsin Φ Sy+ cos θ Sz
La matrice de Suest donc :
Su= sin θcos Φ }
20 1
1 0 +sin θsin Φ }
20−i
i0+cos θ}
21 0
0−1
Su=}
2cos θsin θ e−iΦ
sin θ eiΦ−cos θ
Cherchons les valeurs propres de Su.
det (Su−λI) = (}
2cos θ−λ)(−} 2cos θ−λ)−}2 4sin2θ=λ2−}2 4
Les valeurs propres sont les valeurs de λqui annulent ce d´eterminant.
On a donc deux valeurs propres : +}
2et −} 2.
|Ω+i= cos θ
2e
−iΦ
2|+i+ sin θ
2eiΦ
2|−i
|Ω−i= sin θ
2e
−iΦ
2|+i − cos θ
2eiΦ
2|−i
On v´erifie directement en effectuant les calculs que :
Su|Ω+i= +}
2|Ω+i
Su|Ω−i=−}
2|Ω−i
Les vecteurs donn´es en ´enonc´e sont donc bien vecteurs propres de l’op´erateur
Su.
1.b- Par d´efinition, on a :
P+=P+}
2=|h+|Ω+i|2 h+|+i= cos2θ 2
P−=P−}
2=|h+|Ω−i|2 h+|+i= sin2θ 2
On v´erifie que : P++P−= 1
1.c- Par d´efinition, on a :
hSui=.h+|Su|+i
h+|+i=} 2cos θ
2- H= - γ B Sz
2.a- On pose ω0= -γB.
La matrice de Hest :
1

H= - γ B }
21 0
0−1=
−γB }
20
0γB }
2
Elle est diagonale. Les valeurs propres et les vecteurs propres de Hsont
donc :
|+iassoci´e `a la valeur propre −γB }
2=}ω0 2
|−i associ´e `a la valeur propre γB }
2=−}ω0 2
2.b- |Ψ(0)i=1
√2(|+i+|−i)
2.b.i- Sx=Suavec θ=π
2et Φ = 0.Les vecteurs propres de Sxsont
donc :
|Ω+i=1
√2|+i+1 √2|−i
|Ω−i=1
√2|+i − 1 √2|−i
|Ψ(0)i=|Ω+iil s’agit donc de l’´etat propre associ´e `a la valeur propre }
2.La
probabilit´e de mesurer }
2est donc 1.
2.b.ii- |Ψ(t)i=1
√2
e
−iω0t
2|+i+eiω0t 2|−i
2.c- |Ω+i=1
√2e
−iω0t
2|+i+1
√2eiω0t
2|−i =|Ψ(t)i
Quel que soit le temps t, la mesure de Sua donc une probabilit´e de 1 d’obtenir
la valeur }
2.Le syst`eme a donc son spin en permanence orient´e suivant l’axe
d´efinit par le vecteur tournant → u. Le spin pr´ecesse `a la mˆeme vitesse angulaire
que → u, c’est-`a-dire ω0pulsation de Larmor.
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