Exercices_AL_Determinants

PCSI 1 EXERCICES : Déterminants Page 1
Exercice 1
Exprimer sous forme factorisée les déterminants suivants :
1. 
1 cos atan a
2
1 cos btan b
2
1 cos ctan c
2
Indication Solution
2. 
1 cos ccos b
cos c1 cos a
cos bcos a1
Indication Solution
3.
1x x b
1a b x
1b a x
1x x a
Indication Solution
4.
1 1 1 1
1 1 cos ccos b
1 cos c1 cos a
1 cos bcos a1
Indication Solution
5.
1 1 0 0
a b 1 1
a2b22a2b
a3b33a23b2
Indication Solution
Exercice 2
1. Montrer que les déterminants
01
a
1
a2
1
a3
a01
a
1
a2
a2a01
a
a3a2a0
et
0111
1011
1101
1110
sont égaux, puis les calculer.
Indication Solution
2. Généraliser à l’ordre n.
Indication
Exercice 3
Calculer les déterminants suivants
1.
1 1 1 . . . . . . 1
b1a1a1. . . . . . a1
b1b2a2. . . . . . a2
.
.
..
.
........
.
.
.
.
..
.
........
.
.
b1b2. . . . . . bnan
Indication Solution
2.
1n
1 n 2. . . n p
1n+1
1 n+1 2. . . n+1 p
.
.
..
.
.....
.
.
.
.
..
.
.....
.
.
1n+p
1 n+p 2. . . n+p p
Indication Solution
Exercice 4
Pour n∈IN∗, on appelle Dnle déterminant d’ordre n
Dn=
a+b a . . . a
b a +b....
.
.
.
.
.......a
b . . . b a +b
x
y
n
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC) 121 avril 2012

PCSI 1 EXERCICES : Déterminants Page 2
Montrer que l’on a
∀n>2, Dn=a Dn−1+
b a . . . a
b a +b....
.
.
.
.
.......a
b . . . b a +b
x
y
n
et en déduire la valeur de Dn.
Indication Solution
Exercice 5
1. Pour n∈IN,on appelle Dnle déterminant de la matrice n×nde terme
général mi,j défini par mi,j =i+j−1. Montrer que si n > 2alors Dn= 0.
Indication Solution
2. Pour n∈IN,on appelle Dnle déterminant de la matrice n×nde terme
général mi,j défini par mi,j = (i+j−1)2. Montrer que si n > 3alors
Dn= 0.
Indication Solution
Exercice 6
Calculer le déterminant
12345
51234
45123
34512
23451
et généraliser à l’ordre n.
Indication Solution
Exercice 7
Déterminant des matrices n×nde terme général mi,j défini par
1. mi,j = inf{i, j}.
Indication Solution
2. mi,j =|i−j|.
Indication Solution
3. mi,i =α,mi,n−i+1 =β, les autres étant nuls.
Indication Solution
Exercice 8
Soit Dnle déterminant de la matrice n×nde terme général mi,j défini par
mi,i = (1 + a2),mi,i+1 =mi,i−1=a
les autres termes étant nuls.
1. En utilisant un développement par rapport à la dernière colonne, exprimer
Dnen fonction de Dn−1et Dn−2.
Indication Solution
2. En déduire la valeur de Dn.
Indication Solution
Exercice 9
Calculer le déterminant des matrices n×nde terme général mi,j défini par
1. mi,i =α+β,mi,i+1 =α β ,mi,i−1= 1, les autres étant nuls .
Indication Solution
2. mi,i = 2 cos α,mi,i+1 = 1,mi,i−1= 1, les autres étant nuls .
Indication Solution
Exercice 10
Que devient un déterminant dont on multiplie chaque élément d’indice (i, j)par
(−1)i+j?
Indication Solution
Exercice 11
1. Montrer qu’il n’existe aucune matrice M∈ M3(IR)vérifiant : M2=−I3.
Indication Solution
2. Exhiber une matrice M∈ M2(IR)vérifiant : M2=−I2.
Indication Solution
3. Généraliser les résultats précédents.
Indication Solution
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC) 221 avril 2012

PCSI 1 EXERCICES : Déterminants Page 3
Exercice 12
Montrer que le déterminant d’une matrice antisymétrique d’ordre impair est nul.
Indication
Exercice 13
Pour n∈IN∗, on pose α= exp 2iπ
net on désigne par Ula matrice carrée d’ordre
nde terme général up,q =α(p−1) (q−1) . Etant donné des complexes a1,a2,. . . ,
anon pose
M=
a1a2a3. . . an
ana1a2. . . an−1
......
a3a4
...a1a2
a2a3. . . ana1
1. Vérifier que det Uest non nul.
Indication
2. Pour n= 3 évaluer M U et en déduire une expression de det M.
Indication Solution
3. Traiter de même le cas général.
Indication
Exercice 14
Déterminant et inverse des matrices suivantes de terme général mi,j défini par
1. mi,j = 1 si j=n,j=iou i=j+ 1, les autres étant nuls .
Indication Solution
2. mi,i = 1 + ai, tous les autres étant égaux à 1.
Indication Solution
Exercice 15
Etant donné M∈ Mn(C), on lui associe la fonction
pMC→C
λ7→ det (M−λ I)
.
1. Montrer que pMest une fonction polynomiale de degré n.
Indication Solution
2. En déterminer le coefficient de λn−1et le terme de degré 0.
Indication Solution
3. Si λest un complexe quelconque, établir l’équivalence
∃X∈ Mn,1(C)\ {0}:M X =λ X ⇔pM(λ) = 0
Indication Solution
Exercice 16
En calculant de deux façon différentes le déterminant
1t t2t3t4
1a a2a3a4
1b b2b3b4
1c c2c3c4
1d d2d3d4
en déduire les déterminants
1a2a3a4
1b2b3b4
1c2c3c4
1d2d3d4
,
1a a3a4
1b b3b4
1c c3c4
1d d3d4
,
1a a2a4
1b b2b4
1c c2c4
1d d2d4
Indication Solution
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC) 321 avril 2012

PCSI 1 EXERCICES : Déterminants Page 4
Exercice 17
Etant donné des réels t1,t2,t3et t4deux à deux distincts, à quelle condition le
déterminant
t1t2
1+ 3 t3 1t4 1+ 1
t2t2
2+ 3 t3 2t4 2+ 1
t3t2
3+ 3 t3 3t4 3+ 1
t4t2
4+ 3 t3 4t4 4+ 1
est-il nul ?
Indication
Exercice 18
Etant donné aet bdeux réels, on désigne par Mune matrice carrée d’ordre n
telle que
∀(i, j),(i>j⇒mi,j =a) et (i<j⇒mi,j =b)
Pour calculer le déterminant de Mon appelle ϕ(x)le déterminant de la matrice
obtenue en ajoutant xà tous les termes de M. Montrer que x7→ ϕ(x)est une
fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à 1et en déduire le déterminant
de M.
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC) 421 avril 2012