Exercices_AL_Determinants

PCSI 1
EXERCICES : Déterminants
Page 1
Exercice 1
sont égaux, puis les calculer.
Exprimer sous forme factorisée les déterminants suivants :
1 cos a tan a2 b 1. 1 cos b tan 2 1 cos c tan 2c Indication
Indication
1
cos c cos b
1
cos a
2. cos c
cos b cos a
1
Indication
1 x x
1 a b
3. 1 b a
1 x x
2. Généraliser à l’ordre n .
Indication
Solution
Exercice 3
Calculer les
1
b1
b1
1. ..
.
.
..
b1
Solution
b
x
x
a
Indication
1
1
1
1
1
1
cos
c
cos
b
4. 1
cos
c
1
cos
a
1 cos b cos a
1
Indication
1 1
0
1
a b
5. 2 2
a
b
2
a
3 3
a b 3 a2
Solution
Solution
1 2 b 3 b2 0
1
a1
b2
..
.
..
.
b2
1
a1
a2
..
.
... ...
... ...
... ...
..
.
..
...
.
...
..
.
bn
1
a1
a2
..
.
..
.
an
Solution
n
2 n+1
2
..
...
...
.
..
n+p
2
.
...
n
p n+1
p
..
.
..
. n+p p
Indication
Indication
Solution
Solution
Exercice 4
Exercice 2
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC)
déterminants suivants
Indication
n
1
1 1 n+1
1
.
..
.
2. .
.
.
..
.
.
. 1 n+p
1
1. Montrer que les déterminants
0 a1 a12
1
a 0
a
2
a
0
a
3
a a2 a
Solution
Pour n ∈ IN∗ , on appelle Dn le déterminant d’ordre n
1
a3
1
a2
1
a
0 et
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
a+b
a
...
a
..
.
.
b
.
a+b
.
Dn = .
.
.
..
..
..
a
b
...
b a+b
1
x




n



y
21 avril 2012
PCSI 1
EXERCICES : Déterminants
Exercice 8
Montrer que l’on a
∀n > 2,
Page 2
Dn = a Dn−1 + b
a
...
a .. .
b a + b ..
. ..
..
..
.
.
a .
b
...
b a+b Soit Dn le déterminant de la matrice n × n de terme général mi,j défini par
x




n



y
et en déduire la valeur de Dn .
Indication
mi,i = (1 + a2 ), mi,i+1 = mi,i−1 = a
les autres termes étant nuls.
1. En utilisant un développement par rapport à la dernière colonne, exprimer
Dn en fonction de Dn−1 et Dn−2 .
Solution
Indication
Solution
Exercice 5
2. En déduire la valeur de Dn .
1. Pour n ∈ IN, on appelle Dn le déterminant de la matrice n × n de terme
général mi,j défini par mi,j = i+j −1 . Montrer que si n > 2 alors Dn = 0.
Indication
Indication
Solution
Exercice 9
2. Pour n ∈ IN, on appelle Dn le déterminant de la matrice n × n de terme
2
général mi,j défini par mi,j = (i + j − 1) . Montrer que si n > 3 alors
Dn = 0.
Indication
Calculer le déterminant des matrices n × n de terme général mi,j défini par
1. mi,i = α + β ,
2. mi,i = 2 cos α ,
1
5
4
3
2
2
1
5
4
3
3
2
1
5
4
4
3
2
1
5
5
4
3
2
1
mi,i−1 = 1,
les autres étant nuls .
Solution
mi,i+1 = 1,
mi,i−1 = 1,
les autres étant nuls .
Indication
et généraliser à l’ordre n .
Indication
mi,i+1 = α β ,
Indication
Solution
Exercice 6
Calculer le déterminant Solution
Solution
Exercice 10
Que devient un déterminant dont on multiplie chaque élément d’indice (i, j) par
(−1)i+j ?
Solution
Indication
Solution
Exercice 7
Exercice 11
Déterminant des matrices n × n de terme général mi,j défini par
1. Montrer qu’il n’existe aucune matrice M ∈ M3 (IR) vérifiant : M 2 = −I3 .
1. mi,j = inf{i, j} .
Indication
Indication
Solution
2. Exhiber une matrice M ∈ M2 (IR) vérifiant : M 2 = −I2 .
2. mi,j = |i − j| .
Indication
Indication
Solution
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC)
Solution
3. Généraliser les résultats précédents.
3. mi,i = α , mi,n−i+1 = β , les autres étant nuls.
Indication
Solution
Indication
Solution
2
Solution
21 avril 2012
PCSI 1
EXERCICES : Déterminants
Page 3
Exercice 12
Exercice 15
Montrer que le déterminant d’une matrice antisymétrique d’ordre impair est nul.
Etant donné M ∈ Mn (C), on lui associe la fonction
Indication
C
λ
pM
→
7
→
C
.
det (M − λ I)
Exercice 13
Pour n ∈ IN∗ , on pose α = exp
2iπ
et
n
(p−1) (q−1)
n de terme général up,q = α
an on pose

a1
 an


M =


 a3
a2
a2
a1
..
.
a4
a3
1. Montrer que pM est une fonction polynomiale de degré n .
on désigne par U la matrice carrée d’ordre
Indication
Solution
. Etant donné des complexes a1 , a2 , . . . ,
a3
a2
..
.
..
.
...
...
...
a1
an
2. En déterminer le coefficient de λ
Indication

an
an−1 





a2 
a1
n−1
et le terme de degré 0.
Solution
3. Si λ est un complexe quelconque, établir l’équivalence
∃X ∈ Mn,1 (C) \ {0} : M X = λ X
⇔ pM (λ) = 0
Indication
1. Vérifier que det U est non nul.
Exercice 16
Indication
En calculant de deux façon différentes le déterminant
2. Pour n = 3 évaluer M U et en déduire une expression de det M .
Indication
Solution
3. Traiter de même le cas général.
Indication
en déduire les déterminants
1 a2 a3 a4
1 b2 b3 b4
1 c2 c3 c4
1 d2 d3 d4
Exercice 14
Déterminant et inverse des matrices suivantes de terme général mi,j défini par
1. mi,j = 1 si j = n , j = i ou i = j + 1 , les autres étant nuls.
Indication
Solution
2. mi,i = 1 + ai , tous les autres étant égaux à 1.
Indication
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC)
Solution
Indication
1
1
1
1
1
,
t
a
b
c
d
1
1
1
1
t2
a2
b2
c2
d2
a
b
c
d
t3
a3
b3
c3
d3
a3
b3
c3
d3
t4
a4
b4
c4
d4
a4
b4
c4
d4
,
1
1
1
1
a
b
c
d
a2
b2
c2
d2
a4
b4
c4
d4
Solution
Solution
3
21 avril 2012
PCSI 1
EXERCICES : Déterminants
Page 4
Exercice 17
Etant donné des réels t1 , t2 , t3
déterminant
t1
t2
t3
t4
et t4 deux à deux distincts, à quelle condition le
t21 + 3
t31
t22 + 3
t32
t23
t24
+3
t33
+3
t34
t41 + 1 t42 + 1 t43 + 1 t44 + 1 est-il nul ?
Indication
Exercice 18
Etant donné a et b deux réels, on désigne par M une matrice carrée d’ordre n
telle que
∀(i, j), (i > j ⇒ mi,j = a) et (i < j ⇒ mi,j = b)
Pour calculer le déterminant de M on appelle ϕ(x) le déterminant de la matrice
obtenue en ajoutant x à tous les termes de M . Montrer que x 7→ ϕ(x) est une
fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à 1 et en déduire le déterminant
de M .
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC)
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