MTH1115 - Équations différentielles Système d`équations linéaires

Heures 18 à 22 : Les systèmes d’équations
MTH1115 - Équations différentielles
Heures 18 à 22 - Systèmes d’équations
Corentin Faucher
[email protected]
A-520.19
École Polytechnique, département mathématiques et de génieindustriel
28 mai 2013
Corentin Faucher [e-mail] A-520.19 MTH1115 - Équations différentielles 1 / 14
Heures 18 à 22 : Les systèmes d’équations
Système d’équations linéaires du premier ordre, 7.1, p. 351
Un système linéaire du premier ordre à néquations peut s’écrire
sous la forme
x!
1=p11(t)x1+...+p1n(t)xn+g1(t),
x!
2=p21(t)x1+...+p2n(t)xn+g2(t),
.
.
.
x!
n=pn1(t)x1+...+pnn(t)xn+gn(t),
ou bien, sous la forme compacte
x!=P(t)x+g(t),
où x=(x1,...,xn)Tet g(t)=(g1(t),...,gn(t))Tsont des
vecteurs colonnes
et P(t)est la matrice des pij (t).
Corentin Faucher [e-mail] A-520.19 MTH1115 - Équations différentielles 2 / 14
Heures 18 à 22 : Les systèmes d’équations
Système d’équations linéaires du premier ordre, 7.1, p. 351
On note les conditions initiales
x1(t0)=x0
1,x2(t0)=x0 2,... ,xn(t0)=x0 n,
où bien, sous la forme compacte
x(t0)=x0.
Théorème 7.1.2 : Unicité de la solution
Si les fonctions pij (t)et gi(t)sont continues dans un intervalle ouvert
I:a<t<b,alorsilexisteunesolutionuniquex(t)=φ(t)qui satisfait
aux conditions initiales x(t0)=x0où t0∈I.Deplus,lasolutionexiste
dans l’intervalle I.
Corentin Faucher [e-mail] A-520.19 MTH1115 - Équations différentielles 3 / 14

Heures 18 à 22 : Les systèmes d’équations
Système d’équations linéaires du premier ordre, 7.1, p. 351
Réduction d’un système
On peut transformer une EDO d’ordre nàunsystèmedupremier
ordre à néquations. Soit l’EDO
y(n)=F!t,y,y!,...,y(n−1)",
on introduit les variables
x1=y,x2=y!,...,xn=y(n−1),
et on a le système
x!
1=x2,
x!
2=x3,
.
.
.
x!
n−1=xn,
x!
n=F(t,x1,x2,...,xn).
Corentin Faucher [e-mail] A-520.19 MTH1115 - Équations différentielles 4 / 14
Heures 18 à 22 : Les systèmes d’équations
Système d’équations linéaires du premier ordre, 7.1, p. 351
Résolution par élimination
Àl’inverse,onpeutéliminerlesxipour transformer un système
d’équations en une seule équation d’ordre plus élevé.
Pour ce faire :
1isoler un xidans une équation ;
2trouver sa dérivée x!
i;
3le substituer avec sa dérivée dans les autres équations ;
4répéter.
Exemple
7.1.11 : Trouver x1et x2telles que
#x!
1=2x2,
x!
2=−2x1,
et qui satisfont aux conditions initiales x1(0)=3,x2(0)=4.
Corentin Faucher [e-mail] A-520.19 MTH1115 - Équations différentielles 5 / 14
Heures 18 à 22 : Les systèmes d’équations
Théorie des syst. lin. homogènes d’ordre un, 7.4, p. 380
Soit l’équation homogène (c’est-à-dire que g(t)=0)
x!=P(t)x.(1)
Cette équation possède des solutions notées par les fonctions vectorielles
x(j).
Théorème 7.4.1 : Principe de superposition
Si les fonctions vectorielles x(1)et x(2)sont des solutions de l’équation
linéaire (1), alors la combinaison linéaire c1x(1)+c2x(1)est aussi une
solution.
Corentin Faucher [e-mail] A-520.19 MTH1115 - Équations différentielles 6 / 14

Heures 18 à 22 : Les systèmes d’équations
Théorie des syst. lin. homogènes d’ordre un, 7.4, p. 380
Théorème 7.4.2 : Ensemble fondamental de solutions
Si les fonctions vectorielles x(1),x(2), ...,x(n)sont des solutions linéairement
indépendantes du système (1) en tout point d’un intervalle ouvert I:a<t<b,
alors on peut exprimer une solution quelconque x=φ(t)comme un
combinaison linéaire des x(j).C’est-à-direqu’iln’existequ’unensembledecjtel
que
φ(t)=c1x(1)+c2x(2)+...+cnx(n).
On nomme cette solution la solution générale.
Les nsolutions lin. ind. peuvent être réunis dans la matrice
X=$x(1)x(2)... x(n)%.
!Cette matrice est nommée matrice fondamentale.
On teste l’indépendance linéaire avec le nouveau wronskien
W[x(1),x(2),...,x(n)]=det X.
Corentin Faucher [e-mail] A-520.19 MTH1115 - Équations différentielles 7 / 14
Heures 18 à 22 : Les systèmes d’équations
Système linéaire à coefficients constants, 7.5, p. 386
Considérons le système linéaire où les fonctions pij (t)sont
constantes (pij (t)=aij ). Nous avons alors le système
x!=Ax,
où Aest une matrice aux coefficients constants de dimension n×n.
Dans le cas où n=2, on peut tracer le champ vectoriel
"
F(x1,x2)=x!=Ax.
Ce champ est nommé plan de phase.
Pour trouver la solution générale, on pose
x(t)=ξert ,
où ξest un vecteur constant.
En substituant dans l’équation homogène, on trouve
(A−rI)ξ=0.
Corentin Faucher [e-mail] A-520.19 MTH1115 - Équations différentielles 8 / 14
Heures 18 à 22 : Les systèmes d’équations
Système linéaire à coefficients constants, 7.5, p. 386
Cas des valeurs propres réelles simples
Chercher les solutions du système linéaire revient à chercher les
valeurs propres ret les vecteurs propres ξde la matrice A.
Pour trouver les valeurs propres, on utilise
det $A−rI%=0.
Si on trouve nvaleurs propres réelles et distinctes, la solution
générale est
x=c1ξ1er1t+...+cnξnernt.
L’origine est un noeud (répulsif ou attractif) ou un point de selle
(col).
Corentin Faucher [e-mail] A-520.19 MTH1115 - Équations différentielles 9 / 14

Heures 18 à 22 : Les systèmes d’équations
Les valeurs propres complexes, 7.6, p. 397
Si on trouve des valeurs propres complexes r1,2=λ±iµ,alorsles
vecteur propres associés ξ1et ξ2sont des conjugués complexes
(ξ1=¯ ξ2)ets’écrivent
ξ1,2=a±ib.
On peut trouver les solutions réelles
u=eλt(acos(µt)−bsin(µt))
v=eλt(asin(µt)+bcos(µt)) .
La solution générale est alors (en ajoutant les solutions réelles)
x=c1u+c2v+c3ξ3er3t+...+cnξnernt.
L’origine est soit : un centre ; un foyer attractif ; un foyer répulsif.
(Les foyer sont aussi nommés point spiral.)
Corentin Faucher [e-mail] A-520.19 MTH1115 - Équations différentielles 10 / 14
Heures 18 à 22 : Les systèmes d’équations
Les valeurs propres multiples
Si au polynôme obtenu avec
det (A−rI)=0,
on trouve une racine double rn’ayant qu’un vecteur propre ξ,alors
la deuxième solution est de la forme
x=ξtert +ηert ,
où ηest le vecteur propre généralisé solution de
#(A−rI)ξ=0
(A−rI)η=ξ.
Corentin Faucher [e-mail] A-520.19 MTH1115 - Équations différentielles 11 / 14
Heures 18 à 22 : Les systèmes d’équations
Système linéaire non homogènes, 7.9, p. 426
Considérons le système non homogène
x!=Ax+g(t).
La solution générale peut s’écrire
x=xc+v,
où xcest la solution de l’équation homogène correspondante
(x!=Ax)etvest une solution particulière.
Corentin Faucher [e-mail] A-520.19 MTH1115 - Équations différentielles 12 / 14

Heures 18 à 22 : Les systèmes d’équations
Système linéaire non homogènes, 7.9, p. 426
La diagonalisation
Soit T=$ξ1ξ2... ξn%la matrice contenant les vecteurs propres.
Soit la nouvelle variable dépendante ytelle que
x=Ty.
L’équation non homogène devient
Ty!=AT y+g(t).
⇒y!=Dy+h(t),
où h(t)=T−1g(t)et Dest la matrice diagonale contenant les
valeurs propres rjsur sa diagonale.
On a alors néquations linéaires d’ordre 1 non appariées
y!
j=rjyj+hj.
(Ces équations peuvent se résoudre par la méthode du facteur
intégrant.)
Corentin Faucher [e-mail] A-520.19 MTH1115 - Équations différentielles 13 / 14
Heures 18 à 22 : Les systèmes d’équations
Système linéaire non homogènes, 7.9, p. 426
La variation des paramètres (optionnelle)
Soit X(t)=$x1x2... xn%la matrice contenant les vecteurs solution du
système homogène
x!=P(t)x.
La solution générale de cette équation homogène peut s’écrire
x=Xc,
où cle vecteur des constantes c1,c2,...,cn.
Pour trouver la solution de l’équation non homogène
x!=P(t)x+g(t),
on pose la solution
x=X(t)u(t).
On trouve alors
u=&X−1gdt et la solution x=X&X−1gdt.
Corentin Faucher [e-mail] A-520.19 MTH1115 - Équations différentielles 14 / 14