Proposition 3.2.2. La d´eriv´ee de Lie est R-lin´eaire et satisfait la formule de Leibniz :
θξ(fg) = θξ(f)g+fθξ(g).
D´efinition 3.2.3. a) On appelle d´erivation sur une alg`ebre Atoute application
D:A→A, qui est R-lin´eaire et satisfait la r`egle de Leibniz.
b) On appelle d´erivation sur une sous-alg`ebre alg`ebre Ad’une alg`ebre B, toute applica-
tion D:A→B, qui est R-lin´eaire et satisfait la r`egle de Leibniz.
Proposition 3.2.4. Les d´erivations sur une alg`ebre A, ou plus g´en´eralement sur une
sous-alg`ebre alg`ebre Ad’une alg`ebre B, forment un espace vectoriel.
On utilisera les notations Der(A) et Der(A, B) pour ces espaces vectoriels. La d´eriv´ee
de Lie θξ:Ck+1(M)→Ck(M) est une d´erivation.
Th´eor`eme 3.2.5. Etant donn´ee une vari´et´e Mde classe C∞, alors la d´eriv´ee de Lie θ
d´efinit un isomorphisme entre l’espace des champs de vecteurs de classe C∞:Γ∞(T M),
et l’espace des d´erivations Der(C∞(M)).
3.3 Restrictions aux ouverts
La restriction des champs de vecteurs aux ouverts v´erifie les deux propri´et´es sui-
vantes :
Localit´e. Soit Uun recouvrement ouvert d’un vari´et´e de classe Ck+1,M. Si un champ
de vecteur ξ∈Γk(M) est tel que toutes ses restrictions ξ|Usont nulles, alors ξ
est nul.
Recollement. Soient Uun recouvrement ouvert d’un vari´et´e de classe Ck+1,M, et
ξU∈Γk(T U) des champs de vecteurs compatibles (qui co¨ıncident sur toutes
les intersections U∩U′), alors il existe un unique champ de vecteur global ξ∈
Γk(T M) dont les restrictions aux ouverts Usont les ξU.
Il en est de mˆeme des d´erivations.
Proposition 3.3.1 (Localit´e).Soit Uun recouvrement ouvert d’un vari´et´e de classe
Ck+1,M. Si une d´erivation D∈Der(Ck+1(M), Ck(M)) est telle que toutes ses restric-
tions D|U,U∈ U,U∈ U , sont nulles, alors Dest nulle.
Proposition 3.3.2 (Recollement).Soient Uun recouvrement ouvert d’un vari´et´e de
classe Ck+1,M, et DU∈Der(Ck+1(U), Ck(U)),U∈ U , des d´erivations locales com-
patibles (qui co¨ıncident sur toutes les intersections U∩U′), alors il existe une unique
d´erivation globale D∈Der(Ck+1(M), Ck(M)) dont les restrictions aux ouverts Usont
les DU.
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