Ch3: Champs de vecteurs - IMJ-PRG

Chapitre 3
Champs de vecteurs
3.1 Sections du fibr´e tangent
D´efinition 3.1.1. Un champs de vecteurs de classe Cksur une vari´et´e de classe Ck+1
est une section de classe Ckdu fibr´e tangent, c’est `a dire une application de classe Ck,
ξ:M→T(M), telle que : ∀a ξ(a)∈Ta(M).
Il y a toujours au moins un champ de vecteurs : la section nulle. L’existence d’un
champ de vecteur qui ne s’annulle pas est un probl`eme int´eressant non trivial.
Un diff´eomorphisme de classe Ck+1,f:M→N, transporte les champs de vecteurs
de classe Ck. Etant donn´e un champ de vecteur ξ:M→T(M), le champ de vecteurs
correspondant, appel´e image directe est d´efini pour b=f(a) par :
(f∗ξ)(b) = (Ta(f)◦ξ)(a) = Ta(f).ξ(a).
Etant donn´e une vari´et´e Mde classe Ck+1, l’espace Γk(T M) des champs de vecteurs
de classe Cksur Mest un module sur l’alg`ebre Ck(M) des fonctions de classe Cksur
M. La correspondance pr´ec´edente est compatible avec cette structure de module : ´etant
donn´e une fonction ψ∈Ck(N), on a
(ψ·f∗ξ) (b) = f∗((ψ◦f)·ξ) (a).
3.2 Champs de vecteurs et d´erivation
D´efinition 3.2.1. Etant donn´ee une vari´et´e Mde classe Ck+1, et un champ de vecteur
ξ∈Γk(T M), la d´eriv´ee de Lie associ´ee `a ξest l’application θξ:Ck+1(M)→Ck(M)
d´efinie par :
θξ(f)(x) = Tx(f)·ξ(x).
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Proposition 3.2.2. La d´eriv´ee de Lie est R-lin´eaire et satisfait la formule de Leibniz :
θξ(fg) = θξ(f)g+fθξ(g).
D´efinition 3.2.3. a) On appelle d´erivation sur une alg`ebre Atoute application
D:A→A, qui est R-lin´eaire et satisfait la r`egle de Leibniz.
b) On appelle d´erivation sur une sous-alg`ebre alg`ebre Ad’une alg`ebre B, toute applica-
tion D:A→B, qui est R-lin´eaire et satisfait la r`egle de Leibniz.
Proposition 3.2.4. Les d´erivations sur une alg`ebre A, ou plus g´en´eralement sur une
sous-alg`ebre alg`ebre Ad’une alg`ebre B, forment un espace vectoriel.
On utilisera les notations Der(A) et Der(A, B) pour ces espaces vectoriels. La d´eriv´ee
de Lie θξ:Ck+1(M)→Ck(M) est une d´erivation.
Th´eor`eme 3.2.5. Etant donn´ee une vari´et´e Mde classe C∞, alors la d´eriv´ee de Lie θ
d´efinit un isomorphisme entre l’espace des champs de vecteurs de classe C∞:Γ∞(T M),
et l’espace des d´erivations Der(C∞(M)).
3.3 Restrictions aux ouverts
La restriction des champs de vecteurs aux ouverts v´erifie les deux propri´et´es sui-
vantes :
Localit´e. Soit Uun recouvrement ouvert d’un vari´et´e de classe Ck+1,M. Si un champ
de vecteur ξ∈Γk(M) est tel que toutes ses restrictions ξ|Usont nulles, alors ξ
est nul.
Recollement. Soient Uun recouvrement ouvert d’un vari´et´e de classe Ck+1,M, et
ξU∈Γk(T U) des champs de vecteurs compatibles (qui co¨ıncident sur toutes
les intersections U∩U′), alors il existe un unique champ de vecteur global ξ∈
Γk(T M) dont les restrictions aux ouverts Usont les ξU.
Il en est de mˆeme des d´erivations.
Proposition 3.3.1 (Localit´e).Soit Uun recouvrement ouvert d’un vari´et´e de classe
Ck+1,M. Si une d´erivation D∈Der(Ck+1(M), Ck(M)) est telle que toutes ses restric-
tions D|U,U∈ U,U∈ U , sont nulles, alors Dest nulle.
Proposition 3.3.2 (Recollement).Soient Uun recouvrement ouvert d’un vari´et´e de
classe Ck+1,M, et DU∈Der(Ck+1(U), Ck(U)),U∈ U , des d´erivations locales com-
patibles (qui co¨ıncident sur toutes les intersections U∩U′), alors il existe une unique
d´erivation globale D∈Der(Ck+1(M), Ck(M)) dont les restrictions aux ouverts Usont
les DU.
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Si Uest un ouvert euclidien (U⊂Rm), alors l’espace des champs de vecteurs de
classe Cks’identifie aux applications de classe Ckde Udans Rm. Il en r´esulte que
Γk(T U) est un module libre de rang msur l’espace des fonctions de classe Ck:Ck(U),
avec une base canonique donn´ee par les champs de vecteurs constants correspondants
aux vecteurs de bases. Les d´erivations associ´ees `a cette base sont les d´erivations partielles
∂
∂xi. Ces d´erivations partielles sont lin´eairement ind´ependantes.
Lemme 3.3.3. Si une d´erivation D∈Der(Ck+1(U), Ck(U)) est nulle sur les fonctions
coordonn´ees, alors elle est nulle sur Ck+2(U)⊂Ck+1(U).
Pour la preuve, par localit´e on peut se restreindre au cas d’un ouvert convexe. On
utilise alors le lemme suivant.
Lemme 3.3.4. Soit Uun ouvert convexe de Rm. Si f:U→Rest de classe Ck+2, alors
pour adans U, il existe des fonctions de classe Ck+1 αi:U→R,1≤i≤m, telles
que :
∀x∈U , f(x) = f(a) +
m
X
i=1
αi(x)(x−ai).
Exercice 3.3.5.D´emontrer le lemme ci-dessus en justifiant avec soin la classe de
d´erivabilit´e.
Corollaire 3.3.6. Pour Uouvert de Rm, la d´erivation
θ: Γ∞(T U)→Der(C∞(U))
est bijective.
La preuve g´en´erale du th´eor`eme 3.2.5 en r´esulte.
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3.4 Crochet de Lie des champs de vecteurs
Le crochet de deux d´erivations sur l’alg`ebre A:D1∈Der(A), D2∈Der(A), est
d´efinie par
[D1, D2] = D1◦D2−D2◦D1.
Proposition 3.4.1. Le crochet de deux d´erivations est une d´erivation.
D´efinition 3.4.2. Etant donn´ee une vari´et´e lisse M, le crochet de Lie de deux champs
de vecteurs η,ξest le champ dont la d´erivation associ´ee est le crochet [θη, θξ] :
θ[η,ξ]= [θη, θξ].
On identifiera champs de vecteurs et d´erivations : sur un ouvert de Rm, la d´erivation
partielle ∂
∂xinote ainsi le champ de vecteur constant ´egal au i-i`eme vecteur de base.
Proposition 3.4.3 (Calcul local).Si ηet ξsont les champs de vecteurs d´efinis sur une
ouvert Ude Rnpar :
η=
m
X
i=1
ai
∂
∂xi
, ξ =
m
X
i=1
bi
∂
∂xi
,
alors leur crochet de Lie est :
[η, ξ] =
m
X
i,j=1 Çai
∂bj
∂xi
−bi
∂aj
∂xiå∂ ∂xj
.
3.5 Courbes int´egrales et flot
Dans cette section vari´et´es, fonctions et champs de vecteurs sont lisses.
D´efinition 3.5.1. Soit Mune vari´et´e, et ξun champ de vecteur. Une courbe int´egrale
de ξest un chemin d´efini sur un intervalle ouvert, γ:I→M, dont le vecteur vitesse
est ´egal au vecteur du champ :
∀t∈I , Tt(γ).1 = ξ(γ(t)) .
Le probl`eme s’exprime localement par une ´equation diff´erentielle y′=f(y).
Proposition 3.5.2. a) Pour tout x∈M, il existe une courbe int´egrale locale
γx: (] −ǫ, ǫ[,0) →(M, x).
b) Deux solutions locales avec mˆeme point initial sont ´egales sur l’intersection de leur
intervalle de d´efinition.
c) Pour chaque point x, il existe une unique solution maximale γmax
x: (Ix,0) →(M, x).
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Proposition 3.5.3 (Invariance par translation).Si t7→ γ(t)est une courbe int´egrale
d´efinie sur l’intervalle I, alors t7→ γ(s+t)est une courbe int´egrale d´efinie sur −s+I.
D´efinition 3.5.4. Un flot (lisse) global sur Mest une application (lisse)
u:R×M→M
(t, x)7→ u(t, x) = ut(x)
telle que : u0= IdM, et ∀s, t ∈R, us+t=us◦ut.
D´efinition 3.5.5. Le champ des vecteurs vitesses du flot uest :
ξ(x) = T(0,x)(u)(1,0) = ∂u
∂t
(0,x)
.
On l’appelle le flot infinit´esimal de u.
Remarque 3.5.6.Les courbes int´egrales du flot global usont les chemins t7→ u(t, x),
d´efinis sur Rpour tout x.
D´efinition 3.5.7. Un domaine de flot sur Mest un ouvert D ⊂ R×Mtel que pour
tout x,Dx={(t, x)∈ D} est un intervalle (ouvert) qui contient 0.
D´efinition 3.5.8. Un flot sur Mest une application d´efinie sur un domaine de flot
u:D → M
(t, x)7→ u(t, x) = ut(x)
telle que : u0= IdM, et ∀s∈ Dx,∀t∈(−s+Dx)us+tus◦ut.
Comme pr´ec´edemment un flot d´efinit un champ de vecteur appel´e flot infinit´esimal.
Th´eor`eme 3.5.9 (Th´eor`eme fondamental des flots).Soit ξun champ de vecteur sur
la vari´et´e M, alors il existe un unique flot maximal, u:D → M, dont ξest le flot
infinit´esimal :
pour tout x∈M, la courbe int´egrale maximale d’origine xest t7→ u(t, x).
Corollaire 3.5.10 (Redressement des champs de vecteurs).Si ξest un champ de vecteur
sur Mqui est non nul en x, alors il existe une carte locale en x,φ: (Ux, x)→(V, 0)
telle que : φ∗(ξ) = ∂
∂x1.
D´efinition 3.5.11. Un champ de vecteur ξsur Mest complet si et seulement si son
flot est global.
Lemme 3.5.12 (Lemme du temps uniforme).Si ξest un champ de vecteur sur Mdont
le domaine de flot Dcontient un produit ]−ǫ, ǫ[×M, alors ξest complet.
Proposition 3.5.13. Un champ de vecteur `a support compact est complet.
Corollaire 3.5.14. Sur une vari´et´e compacte, tous les flots sont complets.
Exercice 3.5.15.D´emontrer que si N⊂Mest une sous-vari´et´e compacte lisse transver-
sale `a un champ de vecteur ξ, i.e. ∀x∈N , ξ(x)/∈TxN, alors le plongement de Ndans
Ms’´etend en un plongement de ] −1,1[×N→M.
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