Onde électromagnétique L2

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MONJAUD Robin Mme TABBI
LAHOUD Pamela
EFREI - L2 - Promo 2014
OndeélectromagnétiqueL2
Plan du cours :
Onde électromagnétique, équations de Maxwell 2
=> Introduction : Outils mathématiques 2
I. Opérateurs (coordonées cartésiennes) 2
1) Gradient 2
2) Divergence : div 2
3) Rationnel : 𝒓𝒐𝒕 2
4) Opérateur Laplacien : 𝚫 3
II/Transformationd’intégrales 3
1) Théorème de la divergence 3
2) Théorème du relationnel (théorème de Stokes) 3
=> Cours 4
I/Définitiond’uneonde électromagnétique 4
II/ Equations de Maxwell et interprétation 6
Chapitre 2 :Propagationd’ondeélectromagnétiquedanslevide(oudansl’air) 8
I/ Equations de Maxwell dans le vide 8
II/EquationsdeD’Alembertetsolutions 8
1)EquationsdeD’Alembert 8
2)SolutiondeséquationsdeD’Alembert 9
III/ Ondes planes (rappel :danslevideoul’air) 10
1) Définition 10
2)Propriétésd’ondes planes 11
IV/ Ondes planes progressives sinusoïdales (OPPS) 12
1)Grandeurscaractéristiquesd’uneOPPS 13
2) Généralisation 16

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MONJAUD Robin Mme TABBI
LAHOUD Pamela
EFREI - L2 - Promo 2014
Onde électromagnétique, équations
de Maxwell
2h = 5 min/page
=> Introduction : Outils mathématiques
I. Opérateurs (coordonées cartésiennes)
1) Gradient
Appliqué à une fonction 𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗
(𝑓)=∇
⃗
(𝑓)
L’opérateur« nabla » :∇
⃗
avec ∇
⃗
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
=>∇
⃗
(𝑓)=𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗
(𝑓)=
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
2) Divergence : div
L’applicationenproduitscalairede∇
⃗
à un vecteur
𝑑𝑖𝑣∇
⃗
=∇
⃗
.𝑉
⃗
=
⎝
⎜
⎜
⎜
⎛
𝛿
𝛿𝑥
𝛿
𝛿𝑦
𝛿
𝛿𝑧
⎠
⎟
⎟
⎟
⎞
.
⎝
⎜
⎛
𝑉
𝑉
𝑉
⎠
⎟
⎞
=𝛿𝑉
𝛿𝑥+𝛿𝑉 𝛿𝑦+𝛿𝑉 𝛿𝑧=𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒
3) Rotationnel : 𝒓𝒐𝒕
⃗
Nes’appliquequ’àdesvecteurs𝑟𝑜𝑡
⃗
𝑉
⃗
=∇
⃗
∧V
⃗
 (vecteur).
=
⎝
⎜
⎜
⎜
⎛
𝛿
𝛿𝑥
𝛿
𝛿𝑦
𝛿
𝛿𝑧
⎠
⎟
⎟
⎟
⎞
∧𝑉
𝑉
𝑉=
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎛
𝛿𝑉
𝛿𝑦−𝛿𝑉 𝛿𝑧
𝛿𝑉
𝛿𝑧−𝛿𝑉 𝛿𝑥
𝛿𝑉
𝛿𝑥−𝛿𝑉 𝛿𝑦
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎞

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4) Opérateur Laplacien : 𝚫
Il est utilisé dans les équations de propagation du champ électromagnétique.
Ils’appliqueàunvecteurΔ𝑉
⃗
ou à une fonction Δ𝑓 (scalaire)
Appliqué à une fonction 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧): Δ𝑓=𝛿𝑓
𝛿𝑥+𝛿𝑓 𝛿𝑦+𝛿𝑓 𝛿𝑧
Appliqué à un vecteur :
𝑉
⃗
⎝
⎜
⎜
⎛
𝑉
𝑉
𝑉
⎠
⎟
⎟
⎞
∶Δ𝑉
⃗
=
⎝
⎜
⎛
Δ𝑉
Δ𝑉
Δ𝑉
⎠
⎟
⎞
=
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎛
𝛿𝑉
𝛿𝑥+𝛿𝑉 𝛿𝑦+𝛿𝑉 𝛿𝑧
𝛿𝑉
𝛿𝑥+𝛿𝑉 𝛿𝑦+𝛿𝑉
𝛿𝑧²
𝛿𝑉
𝛿𝑥+𝛿𝑉 𝛿𝑦+𝛿𝑉 𝛿𝑧
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎞
II/ Transformation dintégrales
(Utilisées pour retrouver les quatre équations de Maxwell)
1) Théorème de la divergence
(Théorème de Gruen-Ostrogradski)
Pour 𝑉
⃗
quelconque :∯𝑉
⃗
.𝑑𝑆
⃗
=∭𝑑𝑖𝑣𝑉
⃗
𝑑𝜏.
2) Théorème du relationnel (théorème de Stokes)
Pour un vecteur quelconque 𝑉
⃗
: 𝑉
⃗
.𝑑𝑙
⃗
=𝑟𝑜𝑡
⃗
𝑉
⃗
.𝑑𝑆
⃗

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=> Cours
I/ Définition dune onde électromagnétique
Uneondeestuneperturbationquisepropageentransportantdel’énergieetdelaquantitéde
mouvement.
Rappel : Onde sonore :
Variationdelapressiondansletempsetdansl’espace.
- matérielle : a besoind’unmilieumatérielpoursepropager
- longitudinale
o Equationdepropagationd’uneondeacoustique :
𝛿𝑝
𝛿𝑥−𝜌Χ.𝛿𝑝 𝛿𝑡=0
𝜌∶ masse volumique du milieu
Χ∶compressibilité du milieu
1
𝑣=𝜌Χ→𝑣=1 𝜌Χ(𝑒𝑛𝑚.𝑠)
1
𝑣=𝜇 𝑇→𝑣=𝑇 𝜇
T : tension (en Newton)
𝜇∶masse linéaire de la corde (kg/m)
=1
𝑣

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 Onde électromagnétique : formation du couple champ électromagnétique (𝐸
⃗
,𝐵
⃗
) dans le
tempsetl’espace.
 Onde non matérielle : pas besoin de matière pour se propager : elle se propage bien dans
le vide et avec une célérité maximale de 3.10𝑚.𝑠
 Onde transversale :déformationperpendiculaireàl’axedepropagation(similaireaux
vaguesàlasurfacedel’eau)
o Equationdepropagationd’uneondeélectromagnétique(𝐸
⃗
,𝐵
⃗
)
Propagation selon (𝑂𝑥
⃗
) :
Pour 𝐸
⃗
∶
⃗
−𝜇𝜀.
⃗
=0
⃗
Pour 𝐵
⃗
∶
⃗
𝜇𝜀.
⃗
=0
⃗
𝜇 : perméabilité magnétique du vide = 4𝜋10𝑆𝐼
𝜀=1
36𝜋10=10 36𝜋𝑆𝐼→𝑐= 1
𝜇𝜀=3.10𝑚.𝑠
𝑘= 1
4𝜋𝜀=9.10=2𝜋 𝜆=𝜔 𝑐
Représentationd’unepropagationde𝑬
⃗
ou de 𝑩
⃗
:
(vibration entre 𝐸
⃗
et −𝐸
⃗
)
𝐸 : valeur maximale = amplitude de 𝐸
⃗
.