Mireille Tadjeddine E.N.S. de CACHAN Préparation `a l`agrégation

Mireille Tadjeddine
E.N.S. de CACHAN
Pr´eparation `a l’agr´egation de physique
QUESTION DE COURS DE PHYSIQUE QUANTIQUE ET ATOMIQUE
Avant toutes choses, m´editer ce conseil de A. EINSTEIN : Si j’avais une heure pour r´esoudre un
probl`eme dont ma vie d´epende, je passerais 45 mn `al’´etudier, 10 mn `a en faire la revue critique et 5 mn
`aler´esoudre.
Cette ´epreuve est divis´ee en quatre parties de longueurs in´egales. Son ambition est de traiter l’ensemble
des probl`emes fondamentaux pos´es par l’´etude des atomes et plus particuli`erement des atomes isol´es c’est-
`a-dire en l’absence de tout champ ´electromagn´etique .
La partie A essaie de faire l’historique des diff´erents mod`eles propos´es par les physiciens pour in-
terpr´eter les r´esultats exp´erimentaux obtenus depuis la fin du si`ecle dernier . Elle se termine avec le
mod`ele de Bohr-Sommerfeld ... Mais il y avait encore un grand pas `a oser franchir !
La partie B montre la n´ecessit´e d’une th´eorie quantique non relativiste pour traiter la physique de
l’´electron et plus particuli`erement la physique atomique , et souligne l’int´erˆet d’un syst`eme d’unit´es bas´e
sur les caract´eristiques de l’atome d’hydrog`ene (m, e2) dans le cadre de la th´eorie quantique (¯h).
La partie C d´efinit la plupart des outils math´ematiques dont nous aurons besoin dans la suite du cours
et montre l’int´erˆet de la relation d’incertitude de Heisenberg pour comprendre l’existence des atomes.
La partie D d´eveloppe les propri´et´es du moment cin´etique dont le rˆole en M´ecanique Quantique est
fondamental.
La partie E , enfin, traite le cas particulier du syst`eme isol´e, mod`ele certes id´eal mais combien utile
pour la compr´ehension des ´etats stationnaires.
Quelques donn´ees num´eriques :
charge de l’´electron −qe=−1,6021 ×10−19C
masse de l’´electron m=9,1094 ×10−31Kg
masse du proton MP= 1836,15 ×m
constante de Planck h=6,6261 ×10−34J.s
c´el´erit´e de la lumi`ere dans le vide c=2,9979 ×108m.s−1
perm´eabilit´e du vide µ0=4π×10−7Henry.m−1
constante d’Avogadro N=6,0221 ×1023mol−1
Quelques relations utiles :
∆= 1
r2[∂
∂r(r2∂ ∂r)+ 1 sinθ
∂
∂θ(sinθ ∂ ∂θ)+ 1
sin2θ
∂2
∂φ2]
L2=−¯h2[1
sinθ
∂
∂θ(sinθ ∂ ∂θ)+ 1
sin2θ
∂2
∂φ2]
∞
0
xne−xdx =n!
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PARTIE A : LES MODELES ATOMIQUES PREQUANTIQUES
1. Le mod`ele de J.J.Thomson (1903) ou mod`ele du ’plum-cake’
1897 : J.J.Thomson ´etablit l’existence de l’´electron dont la charge sera mesur´ee par Millikan en
1908
1903 : Pour justifier le mouvement d’oscillation forc´ee de l’´electron dans l’atome, J.J.Thomson
propose le mod`ele atomique suivant :
Les ´electrons se d´eplacent `a l’int´erieur d’une sph`ere dont le rayon R est celui de l’atome et dans
laquelle sont distribu´ees uniform´ement les charges positives.
(a) Calculer la force d’attraction que subit l’´electron d’un syst`eme hydrog´eno¨ıde en fonction de sa
position r par rapport `a un syst`eme de coordonn´ees dont l’origine est au centre de la sph`ere
de charge totale +Zqe.
(b) Par un raisonnement classique, peut-on en d´eduire les dimensions de l’atome de Thomson,
sachant que les premi`eres raies observ´ees ´etaient dans le visible?
(c) Quelles sont les exp´eriences qui ont infirm´elemod`ele de Thomson?
2. Le mod`ele de Rutherford (1911)
Cemod`ele confirme les mod`eles propos´es par J.Perrin (1901) et H.Nagaoka (1904).
(a) D´ecrire l’exp´erience de Rutherford et le mod`ele atomique qui en d´ecoule.
(b) D´ecrire qualitativement la trajectoire d’une particule incidente de charge Zqe(Z0) qui est
en mouvement vers un noyau atomique.
(c) A quelle condition la particule de charge Zqepr´ec´edente peut–elle s’immobiliser? Calculer la
distance a (du centre de l’atome) `a laquelle elle s’arrˆetera.
A.N. : Pour une cible d’atomes d’Uranium (Z= 92) bombard´ee par des particules αdont la
vitesse initiale v est 2 ×109cm.s−1donner l’ordre de grandeur de a.
(d) On rappelle l’expression de la section efficace diff´erentielle de diffusion :
dσ =σ(φ)2πsinφ dφ
o`uφest l’angle de d´eviation de la particule.
Pr´eciser le concept de section efficace.
(e) Les exp´eriences de Rutherford et Chadwick en 1925 avec des particules αde quelques MeV
ont montr´e que la loi
σ(φ)∝sin−4(φ/2)
cesse d’ˆetre v´erifi´ee lorsque φtend vers π. Quelle cons´equence en ont ils tir´ee ?
(f) En appliquant les lois de K´epler au mouvement plan´etaire des ´electrons internes `a l’atome,
montrer que le mod`ele de Rutherford est incompatible avec la constance des fr´equences spec-
trales observ´ees.
3. Quantification de l’´energie ´electronique d’un atome
(a) En se limitant aux spectres optiques, rappeler les principaux r´esultats exp´erimentaux qui ont
conduit aux postulats de Bohr de 1913 :
L’´energie totale d’un atome ne peut prendre que certaines valeurs discrˆetes.
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Commenter les phrases suivantes :
As soon I saw Balmer’s formula, the whole thing was clear to me. Niels Bohr (1913)
L’Astrophysique a fourni la ”pierre de Rosette” de la M´ecanique Quantique.
T.H¨ansch, A.Schlawlow et G.Series
in Scientific American, 240, 72, Mars 1979
(b) Citer sans d´eveloppement d’autres ph´enom`enes corroborant la quantification de l’´energie
´electronique d’un atome.
4. Le mod`ele de Bohr (1913)
(a) D´ecrire le mod`ele de Bohr pour l’atome d’hydrog`ene. Quels sont ses postulats?
(b) Donner les expressions du rayon de l’orbite ”n”, de l’´energie et de la vitesse de l’´electron sur
cette orbite.
(c) Calculer num´eriquement l’´energie de liaison de l’´electron (en eV) dans l’´etat fondamental de
l’atome d’hydrog`ene ainsi que le rayon de l’orbite correspondante et la vitesse de l’´electron sur
cette orbite. D´eterminer aussi les longueurs d’onde des principales raies observ´ees en 1913.
(d) A quel type d’ions ce mod`ele est-il valable?
A.N.: Calculer le potentiel d’ionisation de He+.
(e) Comparer l’expression de l’´energie des orbites de Bohr avec celle donn´ee par la loi de Moseley
(1913) pour les niveaux profonds de l’atome.
5. Le mod`ele de Bohr-Sommerfeld (1916)
(a) Enoncer les postulats de Sommerfeld. Qu’ont-ils apport´e`alath´eorie de Bohr?
(b) Ce mod`ele est-il suffisant?
6. Conclusion
Pouvez–vous expliquer bri`evement le rˆole que peuvent jouer les ”mod`eles” en physique? Vous
pouvez illustrer votre r´eponse en vous basant sur les mod`eles ´etudi´es dans ce paragraphe.
PARTIE B : LA PHYSIQUE QUANTIQUE,UNE NECESSITE POUR LA PHYSIQUE ATOMIQUE
1. Necessit´e de la physique quantique
(a) Rappeler les exp´eriences qui mirent en ´echec les th´eories classiques et dont l’interpr´etation a
necessit´e la physique quantique.
(b) Les d´ebuts (1923): Physique Corpusculaire et/ou Ondulatoire?
i. Rappeler et commenter les relations de Planck-Einstein (1900– 1905) et De Broglie (1923)
ii. Quelle est la cons´equence fondamentale des travaux de Louis de Broglie?
iii. Quelles sont les exp´eriences qui illustrent le mieux, selon vous, la dualit´e ondes–
corpuscules?
iv. En vous basant sur l’exp´erience des trous d’Young, illustrer (apr`es Bohr) la notion de
”compl´ementarit´e” entre les aspects corpusculaire et ondulatoire de la mati`ere.
(c) Exercices :
•Calculer la longueur d’onde de de Broglie (a) d’un ´electron (b) d’un atome d’hydrog´ene
et (c) d’un atome d’uranium ( M=238 ) lorsque leur ´energie cin´etique est 100 eV.
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•Dans quelles conditions une particule de masse µet de vitesse vcpr´esente-elle des
propri´et´es ondulatoires lorsqu’elle est diffus´ee par une structure p´eriodique lin´eaire de
p´eriode d ?
A.N. : Calculer d dans le cas d’un ´electron d’´energie 10 eV et dans le cas d’un proton
d’´energie 1 MeV.
•A quelle ´energie faut-il acc´el´erer des ´electrons pour ´etudier la structure du proton ?
2. La constante de Planck
Toute th´eorie physique ´etablit des relations (”lois”) entre certains de ses concepts de base.
S’introduisent ainsi des ”constantes fondamentales” li´ees au choix arbitraire des unit´es, et qu’une
nouvelle convention ult´erieure, adapt´ee aux lois de la th´eorie, permet d’´eliminer ”en apparence”.
J.M.L´evy-Leblond et F.Balibard in ’ Quantique rudiments’
(a) A votre avis, quelles constantes fondamentales caract´erisent la thermodynamique statistique,
la m´ecanique quantique et la m´ecanique relativiste ?
(b) Donner le nom du concept repr´esent´e par ¯h, dans le formalisme Lagrangien. Quelle est sa
dimension ?
Trouver la relation qui existe entre les dimensions de ¯h, d’une ´energie, d’une masse et d’une
longueur.
(c) Relier cette grandeur ¯haux autres grandeurs physiques usuelles : ´energie, quantit´e de mou-
vement et moment angulaire.
(d) Le crit`ere quantique :”la preuve par ¯h”
Si un probl`eme physique est caract´eris´e par une action de l’ordre de grandeur de ¯h, alors
l’approximation classique devient insuffisante et il faut traiter le probl`eme en physique quan-
tique.
Etudier les deux exemples suivants en fonction du crit`ere quantique, que pouvez-vous en con-
clure ?
•Un circuit ´electrique oscillant comportant une capacit´e C=10
−10F, une inductance
L=10
−4Het qui est parcouru par un courant I=10 −3A.
•L’atome d’hydrog`ene dont on retiendra les r´esultats du mod`ele de Bohr.
3. Les unit´es de la physique atomique et mol´eculaire
Pour d´efinir ces unit´es, nous partirons du mod`ele de Bohr dans lequel la liaison au sein de l’atome
provient de l’interaction ´electromagn´etique de la charge du proton (+qe) avec celle de l’´electron
(−qe).
(a) Donner l’´equation aux dimensions de la constante fondamentale 1/(4π%0)del’´electrostatique.
(b) Montrer que la grandeur e2d´efinie par e2=q2
e/(4π%0) ne fait intervenir que des grandeurs
m´ecaniques. e2va donc caract´eriser l’intensit´e des forces ´electromagn´etiques. Donner la valeur
de e2dans le syst`eme MKSA.
(c) Outre les grandeurs e2et ¯hla th´eorie quantique atomique doit faire intervenir les masses des
particules ´etudi´ees. Justifier le choix de la masse de l’´electron par un raisonnement physique
simple.
(d) D´efinir l’unit´e de longueur dans ce syst`eme d’unit´es atomiques. Cette unit´e est-elle bien
adapt´ee au domaine atomique ? Quel est son nom ? Que vaut-elle dans le syst`eme MKSA ?
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(e) D´efinir aussi l’unit´ed’´energie, appel´ee Hartree. Donner son expression et la comparer `a
l’´energie de liaison de l’´electron dans l’´etat fondamental de l’atome d’hydrog`ene, ou ´energie de
Rydberg, calcul´ee pr´ec´edemment. Que vaut 1 Hartree en eV ?
(f) D´efinir l’unit´e de temps et la calculer dans le syst`eme MKSA
(g) D´efinir enfin l’unit´e de vitesse [v] et la comparer `a la vitesse de l’´electron dans le mod`ele de
Bohr. L’approximation non relativiste est-elle justifi´ee ?
(h) Exprimer la constante α=[v]/c , appel´ee improprement constante de structure fine et
calculer num´eriquement 1/α . Exprimer l’´energie de liaison de l’´electron dans l’atome
d’hydrog`ene en fonction de αet la comparer `al’´energie au repos de l’´electron.
Cette constante de couplage αcaract´erise l’interaction des particules charg´ees avec le champ
´electromagn´etique. Est-ce qu’elle intervient en physique atomique ? Dans quelle branche de
la physique son rˆole est-il important ?
PARTIE C : LES POSTULATS DE LA MECANIQUE QUANTIQUE
1923—1930 : D´eveloppements de la m´ecanique des matrices avec Born, Jordan, Heisenberg et Pauli
(Ecole de Gottingen cr´e´ee en 1895 par Hilbert (1862–1943)) dont Dirac fait une remarquable synth`ese en
1930.
La physique est une science exp´erimentale. Ceci implique qu’une th´eorie physique doit non seulement
manifester une parfaite coh´erence interne, comme une th´eorie math´ematique, mais d´ecrire en outre cor-
rectement la r´ealit´e. Cela ne signifie pas que les th´eories physiques se r´eduisent `aunr´esum´e, ni mˆeme `a
une syst´ematisation, des donn´ees exp´erimentales; comme les th´eories math´ematiques, elles se pr´esentent
sous forme hypoth´etico-d´eductive, c’est-`a-dire qu’elles sont fond´ees sur un syst`eme de postulats .On
exige cependant que chacun de ces postulats soit susceptible d’une interpr´etation physique directe : les
hypoth`eses fondamentales portent essentiellement sur la structure de la r´ealit´e`ad´ecrire, et non pas sur
des propri´et´es formelles de tel ou tel objet.
B.Diu ,in ”Colloque ”Dynamique et diffusion de la connaissance scientifique.
Un cas critique : la m´ecanique quantique” sept. 1985”
1. Enonc´e des postulats fondamentaux
(a) L’´etat d’un syst`eme physique
Premier postulat :L’´etat d’un syst`eme physique,`a un instant donn´e, est caract´eris´e par un
vecteur d’´etat, appel´e aussi ”ket” et not´e |ψqui appartient `a un espace vectoriel dit ”espace
des ´etats” Edu syst`eme .
Commenter ce postulat. Peut-on d´ecrire tout ´etat du syst`eme dans la repr´esentation |'r;si
oui, comment?
(b) La description des grandeurs physiques
1925 : Heisenberg introduit la notion d’op´erateur
Deuxi`eme postulat :Toute grandeur physique mesurable Ali´ee au syst`eme consid´er´e est d´ecrite
par un op´erateur A que l’on appelle une ”observable” agissant dans l’espace des ´etats E.
i. Tout op´erateur de m´ecanique quantique a t-il un ´equivalent en m´ecanique classique ?
ii. Quels sont les op´erateurs associ´es aux grandeurs x, y, z, t ?
(c) La mesure des grandeurs physiques
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