Mireille Tadjeddine E.N.S. de CACHAN Préparation `a l`agrégation

Mireille Tadjeddine
E.N.S. de CACHAN
Préparation à l’agrégation de physique
QUESTION DE COURS DE PHYSIQUE QUANTIQUE ET ATOMIQUE
Avant toutes choses, méditer ce conseil de A. EINSTEIN : Si j’avais une heure pour résoudre un
problème dont ma vie dépende, je passerais 45 mn à l’étudier, 10 mn à en faire la revue critique et 5 mn
à le résoudre.
Cette épreuve est divisée en quatre parties de longueurs inégales. Son ambition est de traiter l’ensemble
des problèmes fondamentaux posés par l’étude des atomes et plus particulièrement des atomes isolés c’està-dire en l’absence de tout champ électromagnétique .
La partie A essaie de faire l’historique des différents modèles proposés par les physiciens pour interpréter les résultats expérimentaux obtenus depuis la fin du siècle dernier . Elle se termine avec le
modèle de Bohr-Sommerfeld ... Mais il y avait encore un grand pas à oser franchir !
La partie B montre la nécessité d’une théorie quantique non relativiste pour traiter la physique de
l’électron et plus particulièrement la physique atomique , et souligne l’intérêt d’un système d’unités basé
sur les caractéristiques de l’atome d’hydrogène (m, e2 ) dans le cadre de la théorie quantique (h̄) .
La partie C définit la plupart des outils mathématiques dont nous aurons besoin dans la suite du cours
et montre l’intérêt de la relation d’incertitude de Heisenberg pour comprendre l’existence des atomes.
La partie D développe les propriétés du moment cinétique dont le rôle en Mécanique Quantique est
fondamental.
La partie E , enfin, traite le cas particulier du système isolé, modèle certes idéal mais combien utile
pour la compréhension des états stationnaires.
Quelques données numériques :
charge de l’électron
masse de l’électron
masse du proton
constante de Planck
célérité de la lumière dans le vide
perméabilité du vide
constante d’Avogadro
−qe = −1, 6021 × 10−19 C
m = 9, 1094 × 10−31 Kg
MP = 1836, 15 × m
h = 6, 6261 × 10−34 J.s
c = 2, 9979 × 108 m.s−1
µ0 = 4π × 10−7 Henry.m−1
N = 6, 0221 × 1023 mol−1
Quelques relations utiles :
∆=
1 ∂ 2 ∂
1 ∂
∂
1 ∂2
[
]
(r
)
+
(sinθ
)
+
∂r
sinθ ∂θ
∂θ
r2 ∂r
sin2 θ ∂φ2
L2 = −h̄2 [
∂
1 ∂2
1 ∂
(sinθ ) +
]
sinθ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
∞
xn e−x dx = n!
0
1
PARTIE A : LES MODELES ATOMIQUES PREQUANTIQUES
1. Le modèle de J.J.Thomson (1903) ou modèle du ’plum-cake’
1897 : J.J.Thomson établit l’existence de l’électron dont la charge sera mesurée par Millikan en
1908
1903 : Pour justifier le mouvement d’oscillation forcée de l’électron dans l’atome, J.J.Thomson
propose le modèle atomique suivant :
Les électrons se déplacent à l’intérieur d’une sphère dont le rayon R est celui de l’atome et dans
laquelle sont distribuées uniformément les charges positives.
(a) Calculer la force d’attraction que subit l’électron d’un système hydrogénoı̈de en fonction de sa
position r par rapport à un système de coordonnées dont l’origine est au centre de la sphère
de charge totale +Zqe .
(b) Par un raisonnement classique, peut-on en déduire les dimensions de l’atome de Thomson,
sachant que les premières raies observées étaient dans le visible?
(c) Quelles sont les expériences qui ont infirmé le modèle de Thomson?
2. Le modèle de Rutherford (1911)
Ce modèle confirme les modèles proposés par J.Perrin (1901) et H.Nagaoka (1904).
(a) Décrire l’expérience de Rutherford et le modèle atomique qui en découle.
(b) Décrire qualitativement la trajectoire d’une particule incidente de charge Z qe (Z 0) qui est
en mouvement vers un noyau atomique.
(c) A quelle condition la particule de charge Z qe précédente peut–elle s’immobiliser? Calculer la
distance a (du centre de l’atome) à laquelle elle s’arrêtera.
A.N. : Pour une cible d’atomes d’Uranium (Z = 92) bombardée par des particules α dont la
vitesse initiale v est 2 × 109 cm.s−1 donner l’ordre de grandeur de a.
(d) On rappelle l’expression de la section efficace différentielle de diffusion :
dσ
=
σ(φ)
2πsinφ
dφ
où φ est l’angle de déviation de la particule.
Préciser le concept de section efficace.
(e) Les expériences de Rutherford et Chadwick en 1925 avec des particules α de quelques MeV
ont montré que la loi
σ(φ) ∝ sin−4 (φ/2)
cesse d’être vérifiée lorsque φ tend vers π . Quelle conséquence en ont ils tirée ?
(f) En appliquant les lois de Képler au mouvement planétaire des électrons internes à l’atome,
montrer que le modèle de Rutherford est incompatible avec la constance des fréquences spectrales observées.
3. Quantification de l’énergie électronique d’un atome
(a) En se limitant aux spectres optiques, rappeler les principaux résultats expérimentaux qui ont
conduit aux postulats de Bohr de 1913 :
L’énergie totale d’un atome ne peut prendre que certaines valeurs discrêtes.
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Commenter les phrases suivantes :
As soon I saw Balmer’s formula, the whole thing was clear to me. Niels Bohr (1913)
L’Astrophysique a fourni la ”pierre de Rosette” de la Mécanique Quantique.
T.Hänsch, A.Schlawlow et G.Series
in Scientific American, 240, 72, Mars 1979
(b) Citer sans développement d’autres phénomènes corroborant la quantification de l’énergie
électronique d’un atome.
4. Le modèle de Bohr (1913)
(a) Décrire le modèle de Bohr pour l’atome d’hydrogène. Quels sont ses postulats?
(b) Donner les expressions du rayon de l’orbite ”n”, de l’énergie et de la vitesse de l’électron sur
cette orbite.
(c) Calculer numériquement l’énergie de liaison de l’électron (en eV) dans l’état fondamental de
l’atome d’hydrogène ainsi que le rayon de l’orbite correspondante et la vitesse de l’électron sur
cette orbite. Déterminer aussi les longueurs d’onde des principales raies observées en 1913.
(d) A quel type d’ions ce modèle est-il valable?
A.N.: Calculer le potentiel d’ionisation de He+ .
(e) Comparer l’expression de l’énergie des orbites de Bohr avec celle donnée par la loi de Moseley
(1913) pour les niveaux profonds de l’atome.
5. Le modèle de Bohr-Sommerfeld (1916)
(a) Enoncer les postulats de Sommerfeld. Qu’ont-ils apporté à la théorie de Bohr?
(b) Ce modèle est-il suffisant?
6. Conclusion
Pouvez–vous expliquer brièvement le rôle que peuvent jouer les ”modèles” en physique? Vous
pouvez illustrer votre réponse en vous basant sur les modèles étudiés dans ce paragraphe.
PARTIE B : LA PHYSIQUE QUANTIQUE,UNE NECESSITE POUR LA PHYSIQUE ATOMIQUE
1. Necessité de la physique quantique
(a) Rappeler les expériences qui mirent en échec les théories classiques et dont l’interprétation a
necessité la physique quantique.
(b) Les débuts (1923): Physique Corpusculaire et/ou Ondulatoire?
i. Rappeler et commenter les relations de Planck-Einstein (1900– 1905) et De Broglie (1923)
ii. Quelle est la conséquence fondamentale des travaux de Louis de Broglie?
iii. Quelles sont les expériences qui illustrent le mieux, selon vous, la dualité ondes–
corpuscules?
iv. En vous basant sur l’expérience des trous d’Young, illustrer (après Bohr) la notion de
”complémentarité” entre les aspects corpusculaire et ondulatoire de la matière.
(c) Exercices :
• Calculer la longueur d’onde de de Broglie (a) d’un électron (b) d’un atome d’hydrogéne
et (c) d’un atome d’uranium ( M=238 ) lorsque leur énergie cinétique est 100 eV.
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• Dans quelles conditions une particule de masse µ et de vitesse v c présente-elle des
propriétés ondulatoires lorsqu’elle est diffusée par une structure périodique linéaire de
période d ?
A.N. : Calculer d dans le cas d’un électron d’énergie 10 eV et dans le cas d’un proton
d’énergie 1 MeV.
• A quelle énergie faut-il accélérer des électrons pour étudier la structure du proton ?
2. La constante de Planck
Toute théorie physique établit des relations (”lois”) entre certains de ses concepts de base.
S’introduisent ainsi des ”constantes fondamentales” liées au choix arbitraire des unités, et qu’une
nouvelle convention ultérieure, adaptée aux lois de la théorie, permet d’éliminer ”en apparence”.
J.M.Lévy-Leblond et F.Balibard in ’ Quantique rudiments’
(a) A votre avis, quelles constantes fondamentales caractérisent la thermodynamique statistique,
la mécanique quantique et la mécanique relativiste ?
(b) Donner le nom du concept représenté par h̄ , dans le formalisme Lagrangien. Quelle est sa
dimension ?
Trouver la relation qui existe entre les dimensions de h̄ , d’une énergie, d’une masse et d’une
longueur.
(c) Relier cette grandeur h̄ aux autres grandeurs physiques usuelles : énergie, quantité de mouvement et moment angulaire.
(d) Le critère quantique :”la preuve par h̄ ”
Si un problème physique est caractérisé par une action de l’ordre de grandeur de h̄ , alors
l’approximation classique devient insuffisante et il faut traiter le problème en physique quantique.
Etudier les deux exemples suivants en fonction du critère quantique, que pouvez-vous en conclure ?
• Un circuit électrique oscillant comportant une capacité C = 10−10 F , une inductance
L = 10−4 H et qui est parcouru par un courant I = 10−3 A.
• L’atome d’hydrogène dont on retiendra les résultats du modèle de Bohr.
3. Les unités de la physique atomique et moléculaire
Pour définir ces unités, nous partirons du modèle de Bohr dans lequel la liaison au sein de l’atome
provient de l’interaction électromagnétique de la charge du proton (+qe ) avec celle de l’électron
(−qe ).
(a) Donner l’équation aux dimensions de la constante fondamentale 1/(4π%0 ) de l’électrostatique.
(b) Montrer que la grandeur e2 définie par e2 = qe2 /(4π%0 ) ne fait intervenir que des grandeurs
mécaniques. e2 va donc caractériser l’intensité des forces électromagnétiques. Donner la valeur
de e2 dans le système MKSA.
(c) Outre les grandeurs e2 et h̄ la théorie quantique atomique doit faire intervenir les masses des
particules étudiées. Justifier le choix de la masse de l’électron par un raisonnement physique
simple.
(d) Définir l’unité de longueur dans ce système d’unités atomiques. Cette unité est-elle bien
adaptée au domaine atomique ? Quel est son nom ? Que vaut-elle dans le système MKSA ?
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(e) Définir aussi l’unité d’énergie, appelée Hartree. Donner son expression et la comparer à
l’énergie de liaison de l’électron dans l’état fondamental de l’atome d’hydrogène, ou énergie de
Rydberg, calculée précédemment. Que vaut 1 Hartree en eV ?
(f) Définir l’unité de temps et la calculer dans le système MKSA
(g) Définir enfin l’unité de vitesse [v] et la comparer à la vitesse de l’électron dans le modèle de
Bohr. L’approximation non relativiste est-elle justifiée ?
(h) Exprimer la constante α = [v]/c , appelée improprement constante de structure fine et
calculer numériquement 1/α . Exprimer l’énergie de liaison de l’électron dans l’atome
d’hydrogène en fonction de α et la comparer à l’énergie au repos de l’électron.
Cette constante de couplage α caractérise l’interaction des particules chargées avec le champ
électromagnétique. Est-ce qu’elle intervient en physique atomique ? Dans quelle branche de
la physique son rôle est-il important ?
PARTIE C : LES POSTULATS DE LA MECANIQUE QUANTIQUE
1923—1930 : Développements de la mécanique des matrices avec Born, Jordan, Heisenberg et Pauli
(Ecole de Gottingen créée en 1895 par Hilbert (1862–1943)) dont Dirac fait une remarquable synthèse en
1930.
La physique est une science expérimentale. Ceci implique qu’une théorie physique doit non seulement
manifester une parfaite cohérence interne, comme une théorie mathématique, mais décrire en outre correctement la réalité. Cela ne signifie pas que les théories physiques se réduisent à un résumé, ni même à
une systématisation, des données expérimentales; comme les théories mathématiques, elles se présentent
sous forme hypothético-déductive, c’est-à-dire qu’elles sont fondées sur un système de postulats . On
exige cependant que chacun de ces postulats soit susceptible d’une interprétation physique directe : les
hypothèses fondamentales portent essentiellement sur la structure de la réalité à décrire, et non pas sur
des propriétés formelles de tel ou tel objet.
B.Diu ,in ”Colloque ”Dynamique et diffusion de la connaissance scientifique.
Un cas critique : la mécanique quantique” sept. 1985”
1. Enoncé des postulats fondamentaux
(a) L’état d’un système physique
Premier postulat :L’état d’un système physique,à un instant donné, est caractérisé par un
vecteur d’état, appelé aussi ”ket” et noté |ψ qui appartient à un espace vectoriel dit ”espace
des états” E du système .
Commenter ce postulat. Peut-on décrire tout état du système dans la représentation |'r ; si
oui, comment?
(b) La description des grandeurs physiques
1925 : Heisenberg introduit la notion d’opérateur
Deuxième postulat :Toute grandeur physique mesurable A liée au système considéré est décrite
par un opérateur A que l’on appelle une ”observable” agissant dans l’espace des états E.
i. Tout opérateur de mécanique quantique a t-il un équivalent en mécanique classique ?
ii. Quels sont les opérateurs associés aux grandeurs x, y, z, t ?
(c) La mesure des grandeurs physiques
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i. Valeurs possibles d’une grandeur physique
Troisième postulat :La mesure d’une grandeur physique A ne peut donner comme résultat
que l’une des valeurs propres ai de l’observable A correspondante.
Citer une expérience de physique atomique qui a mis en évidence la quantification d’une
grandeur vectorielle.
ii. Principe de décomposition spectrale :
Enoncer le quatrième postulat qui concerne la probabilité pour que la mesure envisagée
donne le résultat ai .
(d) Evolution des systèmes dans le temps
Ecrire l’équation qui donne l’évolution dans le temps du vecteur d’état |Ψ , appelée équation
de Schrödinger (1926). Que devient cette équation pour une particule sans spin dans la
représentation |'r ? Peut–on parler de déterminisme ?
(e) Système de particules identiques
Enoncer le postulat de symétrisation. Démontrer alors le Principe d’ exclusion de Pauli (1924)
dans le cas de deux particules.
2. Conséquence de ces postulats
(a) Propriétés des observables
i. Rappeler les propriétés des vecteurs propres et des opérateurs associés aux grandeurs
physiques.
Si |Ψ est ket propre de l’observable A avec la valeur propre a, calculer le bra : Ψ|A .
ii. Donner l’expression de la valeur moyenne d’une observable dans un état quelconque et
calculer sa dérivée par rapport au temps.
(b) Commutabilité des observables
1925 : lois de commutation par Born et Jordan
i. Que signifie la commutation de 2 opérateurs ? Donner la définition d’un E.C.O.C. .
Etudier le cas particulier des états d’un système de 2 particules non corrélées.
ii. Question?
L’état d’un système est décrit par une fonction d’onde donnée ΨA ; la grandeur A a une
valeur bien définie. La grandeur B peut-elle avoir aussi une valeur bien définie dans le cas
où les opérateurs A et B (a) ne commutent pas, (b) commutent ?
iii. Citer des grandeurs physiques incompatibles. Donner la définition de 2 variables conjuguées P et Q en mécanique classique et quantique. Calculer les commutateurs
[P, G(Q)] et [Q, F (P )]
où F et G sont des fonctions développables en série entière.
iv. Soit l’opérateur
i
S(λ) = exp(− λP )
h̄
avec λ réel et soit |q le vecteur propre de l’opérateur Q de valeur propre q.
On démontrera respectivement que :
QS(λ) = S(λ)[Q + λ]
S(λ)|q = |q + λ
On en déduira l’expression de l’opérateur P dans la représentation |q.
v. En l’absence de champ électromagnétique, quel est l’opérateur associé à l’énergie
cinétique ?
(c) Exercice :
On considère un système physique dont l’espace des états, qui est à trois dimensions, est
rapporté à la base orthonormée formée par les trois kets |u1 , |u2 , |u3 . On considère deux
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opérateurs Lz et S définis par :
Lz |u1 = +|u1 S|u1 = |u3 S|u2 = |u2 Lz |u2 = 0
Lz |u3 = −|u3 S|u3 = |u1 i. Ecrire les matrices représentant, dans la base |u1 , |u2 , |u3 , les opérateurs Lz , L2z , S, S 2 .
Ces opérateurs sont-ils des observables ?
ii. Donner la forme de la matrice la plus générale représentant un opérateur qui commute
avec Lz . Même question pour L2z , S 2 .
iii. L2z et S forment-ils un E.C.O.C. ? Donner une base de vecteurs propres communs .
3. Les inégalités de Heisenberg (1927)
(a) Ecrire les inégalités de Heisenberg
(b) Retrouver l’inégalité de Heisenberg pour 2 observables conjuguées à partir du calcul de leurs
écarts quadratiques moyens. Pour cela on démontrera l’inégalité suivante :
P 2 en écrivant la norme du vecteur
Q2 ≥
h̄2
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|φ = (Q + iλP )|ψ
avec λ réel
(c) Expliquer l’instabilité et l’élargissement des niveaux excités dans un atome. Quelles sont les
autres interprétations de la relation d’inégalité temporelle ?
(d) atome de bohr :
i. Est–ce que l’image semi–classique des orbites de Bohr est compatible avec le principe de
Heisenberg?
• pour la première orbite si la position de l’électron est déterminée avec une précision
de 0,1Å.
• si n → ∞
ii. Enoncer le Principe de correspondance de Bohr.
iii. En supposant que l’électron est confiné dans un volume de dimension linéaire r0 ,
déterminer le minimum de l’énergie totale (cinétique et potentielle) de l’électron; on utilisera la relation d’incertitude de Heisenberg.
PARTIE D : PROPRIETES DES MOMENTS CINETIQUES
1. Définitions
(a) Définir les opérateurs associés au moment cinétique orbital (en coordonnées cartésiennes et
sphériques).
Calculer le commutateur [Lx , Ly ]
(b) Retrouver les expressions des opérateurs L+ et L− dans la représentation |'r :
L+ = h̄eiφ (
∂
∂
+ icotgθ )
∂θ
∂φ
L− = h̄e−iφ (−
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∂
∂
+ icotgθ )
∂θ
∂φ
Est–ce que ces opérateurs sont hermitiques ?
Exprimer les opérateurs L+ L− et L− L+ en fonction de L2 et Lz .
(c) Donner une interprétation physique simple de la commutativité des opérateurs pour les com→
−
posantes du moment linéaire P et de la non-commutativité des opérateurs pour les com−
→
posantes du moment cinétique L .
2. Calcul des vecteurs propres
(a) Calculer le vecteur propre de Lz associé à la valeur propre mh̄ .
(b) Calcul du vecteur propre de L2 associé à la valeur propre λ2 h̄2
On introduit les coordonnées sphériques r, θ, φ et on écrira le vecteur propre sous la forme
d’une fonction angulaire Y (θ, φ)
i. Résolution en φ :
A. Montrer que la fonction d’onde angulaire, appelée harmonique sphérique, peut se
mettre sous la forme d’un produit de deux fonctions T (θ) et F(φ)
B. Montrer qu’une solution physiquement acceptable pour F(φ) est Aeimφ . Définir A et
m Ecrire l’équation différentielle donnant T (θ).
ii. Soient |l, m les vecteurs propres communs à Lz et L2 ; rappeler l’action des opérateurs
L+ et L− sur ces vecteurs propres.
iii. Résolution en θ
A. Soit l la plus grande valeur possible de m et soit Yll (θ, φ) l’harmonique sphérique
correspondant. En utilisant l’opérateur de moment cinétique, L− L+ , calculer la
constante λ2 .
B. En écrivant la norme des Kets L± |l, m montrer que :
−l ≤ m ≤ +l
C. En appliquant l’opérateur L+ , donner l’expression de Yll (θ, φ) .
D. Donner le principe du calcul de l’harmonique sphérique Ylm (θ, φ) et l’appliquer au cas
particulier m = l − 1 et m = l − 2 .
iv. Ecrire les relations d’orthonormalisation, de parité et de conjugaison complexe des harmoniques sphériques.
v. Calculer les premiers harmoniques sphériques pour l = 0, 1, 2.
3. Propriétés des opérateurs vectoriels
(a) Donner la définition d’une observable scalaire et d’une observable vectorielle.
(b) Enoncer le théorême de Wigner–Eckart pour les opérateurs vectoriels.
PARTIE E : ETUDE D UN CAS PARTICULIER , LE SYSTEME CONSERVATIF
1. Donner la définition d’un état stationnaire.
2. Ecrire l’équation de Schrödinger pour un état stationnaire, ainsi que l’expression de sa fonction
d’onde et de sa densité, dans le cas d’une particule sans spin.
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3. Quelles sont les constantes du mouvement ?
4. Montrer que pour une particule sans spin en propagation libre l’équation de Schrödinger est identique à l’équation de Helmholtz de l’optique dans l’approximation scalaire. Quelles sont les principales différences?
5. Exercices :
• Soit H l’opérateur hamiltonien d’un système physique . On désigne par |φn les vecteurs
propres de H , de valeurs propres En :
H|φn = En |φn A étant un opérateur quelconque, démontrer la relation :
φn |[A, H]|φn = 0
• On considère un problème à une dimension, où le système physique est une particule de masse
m , et d’énergie potentielle V (X) .
(a)
(b)
(c)
(d)
Ecrire H
Calculer en fonction de P, X, V (X) les commutateurs : [H, P ],[H, X] et [H, XP ] .
Dans quel état la valeur moyenne de P est–elle nulle?
Montrer que :
φn |P |φn = αφn |X|φn Déterminer α.
(e) En déduire, en utilisant la relation de fermeture, l’égalité :
(En − En )2 |φn |X|φn |2 =
n
h̄2
φn |P 2 |φn m2
(f) Théorême du Viriel
Etablir une relation entre la valeur moyenne de l’énergie cinétique et la valeur moyenne de
l’opérateur X dV . Quelle relation peut-on établir entre les valeurs moyennes de l’énergie
dX
cinétique et de l’énergie potentielle lorsque :
EP = V (X) = V0 X k
Cas particuliers : k = 2 (oscillations harmoniques ) ; k = −1 (interaction de Coulomb).
• Théorême d’ Erhenfest
(a) Démontrer les relations suivantes :
d −
→
R
dt
d −
→
P dt
=
=
→
−
P /m
→
−
− ∇V (R)
(b) Question?
Est–ce que le centre du paquet d’onde qui décrit l’état de la particule satisfait aux lois de
la mécanique classique ?
– dans le cas général
– dans le cas particulier où V (R) = V0 Rn avec n = 0, 1, 2 .
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