Equivalence numérique et équivalence cohomologique pour

Annals of Mathematics, 150 (1999), 151–163
Equivalence num´erique et ´equivalence
cohomologique pour les vari´et´es
ab´eliennes sur les corps finis
By L. Clozel*
Soient kun corps fini de cardinal q=pα,etAune vari´et´eab´elienne de
dimension gsur k. Pour i≤gsoit Zi(A) le groupe des cycles de codimension
isur A,`a coefficients dans . Consid´erons pour l’instant la cohomologie ´etale
-adique (6=p)H•
´et(A, `)o`uA=Akׯ
k,¯ k´etant une clˆoture alg´ebrique
de k.
On dispose d’une application “classe de cycle” cl : Zi(A)→H2i(A, `(i)).
Un cycle est cohomologiquement ´equivalent `a0sicl(Z)=0;ilestnum´erique-
ment ´equivalent `a0 si le produit d’intersection Z·Test nul pour tout
T∈Z
g−i(A).
Puisque Z·T= cl(Z) cl(T) (au prix de l’isomorphisme canonique
H2g
´et (A, `(g)) ∼
=`), l’´equivalence cohomologique implique l’´equivalence
num´erique. On peut aussi consid´erer le groupe Zi(A) des cycles sur k, auquel
s’appliquent les mˆemes constructions. Le but de cette note est de d´emontrer:
Th´ eor` eme 1.Soit Aune vari´et´eab´elienne sur k.Il existe alors un
ensemble Lde nombres premiers,de densit´e (analytique ou na¨ıve)non nulle
tel que,si ∈L,l’´equivalence num´erique et l’´equivalence cohomologique (pour
la cohomologie -adique)co¨ıncident sur A.
Corollaire 1. Soit Aune vari´et´eab´elienne sur k.Il existe alors un
ensemble Lde nombres premiers,de densit´e non nulle,tel que si ∈L,
´equivalence num´erique et cohomologique co¨ıncident sur A.
En effet Z(A)=Z(A)Go`uG= Gal(k/k).
Nous appelons courbe sur kune courbe projective, lisse et g´eom´etrique-
ment irr´eductible.
Corollaire 2. Si X=
N
Y
t=1
Ctest un produit de courbes,il existe un
ensemble Lde nombres premiers,de densit´e(analytique ou na¨ıve)non nulle
tel que,si ∈L,´equivalence num´erique et ´equivalence cohomologique (pour la
cohomologie -adique)co¨ıncident sur X.
*Membre de l’Institut Universitaire de France (1993–1998)

152 L. CLOZEL
Nous laissons au lecteur le soin de trouver l’extension maximale du
Th´eor`eme 1 et de son Corollaire.
D´emonstration du Corollaire. Nous fixons dor´enavant un isomorphisme
`→`(1), et nous le ferons dans tout l’article, `a l’exception du §4. Ainsi
la classe de cycle prend simplement ses valeurs dans H2i(A, `). On peut
´evidemment ´etendre les scalaires `a ¯ k. Notons A•(V) le groupe de Chow
d’une vari´et´e projective V,d´efini par les cycles `a coefficients rationnels mod-
ulo ´equivalence lin´eaire [1]. Si C1∼
=1(sur ¯
k) on a d’apr`es Grothendieck
A•(X)=A•(X0)⊗[T]/(T2), T´etant la classe fondamentale de C1. (On a
pos´eX0=QN
`=2 Ct.) On en d´eduit ais´ement que le Corollaire est vrai pour X
s’il l’est pour X0. On peut donc supposer que le genre gtde Ciest ≥1 pour
tout t. Soit Atla jacobienne de Ct,ft:Ct→Atun plongement induisant
un isomorphisme f∗
t:H1(At)→H1(Ct)o`u l’on note simplement Hi(·)=
Hi
´et(·,`)etf:X→A=QAtle produit des ft.
Soit g=PN
t=1 gt. On a alors deux applications
f∗:Hi(X)→H2(g−N)+i(A),
f∗:Hi(A)→Hi(X)
duales pour la dualit´e de Poincar´e. Les applications f∗et f∗sont aussi d´efinies
entre les groupes de Chow.
L’application f∗, en cohomologie, est surjective puisque H•(X) est en-
gendr´e comme alg`ebre par H1(X)=LH1(Ct)etf∗:H1(A)→H1(X)
est bijectif. Donc f∗est injectif. Soit alors Z∈Z
i(X) et supposons Z
num´eriquement ´egal `a 0. Alors f∗Zl’est aussi d’apr`es la formule d’adjonction.
D’apr`es le Th´eor`eme 1, f∗Zest alors cohomologiquement trivial, et il en est
de mˆeme de Z. Ceci termine la d´emonstration.
En caract´eristique nulle, le fait que l’´equivalence cohomologique et
num´erique co¨ıncident r´esulte de l’alg´ebricit´e de l’op´erateur Λ de la th´eorie
de Lefschetz et du th´eor`eme de positivit´e de Hodge; le th´eor`eme est alors
dˆu`a D. Lieberman (cf. [6]). Notre preuve du Th´eor`eme 1 repose aussi sur
l’alg´ebricit´e de Λ; l’usage de la positivit´e de Hodge est remplac´e par
l’abondance d’endomorphismes de A.
Je remercie S. Bloch, J.-L. Colliot-Th´el`ene, N. Katz, L. Illusie, G. Laumon,
M. Raynaud et D. Ramakrishnan pour d’utiles conversations. Je suis tout
particuli`erement reconnaissant `a Ofer Gabber pour avoir d´ecel´e une erreur dans
une premi`ere version de ce travail. Le rapporteur (P. Deligne) m’a indiqu´e
comment interpr´eter la d´emonstration `a l’aide du groupe d’automorphismes
de H•(A, `) engendr´e par End(A)∗et les op´erateurs de Lefschetz. Ceci sera
publi´e ult´erieurement; je le remercie tr`es vivement.

EQUIVALENCE DE CYCLES SUR LES VARI´ ET´ ES AB´ ELIENNES 153
1. G´en´eralit´es sur la multiplication complexe
Dans ce qui suit Aest une vari´et´eab´elienne d´efinie sur k. Supposons
d’abord A×kirr´eductible. Soit End0A= Endk(A)⊗. On sait que A
admet toujours des multiplications complexes: il existe un corps Ede degr´e
2gsur qui est un corps de multiplication complexe (corps CM), i.e. une
extension quadratique totalement imaginaire d’un corps de nombres totalement
r´eel, contenu dans End0A. On note cla conjugaison complexe de E.
Soit Mun corps CM, extension galoisienne de , dans lequel se plonge
E; l’existence d’un tel corps est bien connue [9]. Si Π d´esigne l’ensemble des
plongements de Edans M, on a alors
(1.1) E⊗M∼
=M
σ∈Π
M,
l’isomorphisme ´etant donn´e par
e⊗m7→ (σ(e)m)σ.
Donc (1.1) est M-lin´eaire pour l’action `a droite de Msur E⊗M, et chacune
de ses composantes est σ-lin´eaire pour l’action `a gauche de E.
Soit un nombre premier 6=p, et soit λune place de Mdivisant .Ona
de mˆeme
(1.2) E⊗Mλ∼
=M
σ
Mλ,
l’isomorphisme ´etant donn´e par e⊗m7→ (σ(e)m)σ.
On notera simplement Hi(A, Mλ) le module Hi
´et(A, `)⊗`Mλ. Rap-
pelons que H1
´et(A, `) est un module libre de rang 1 sur E⊗`,Eop´erant
par multiplications complexes. On en d´eduit que H1(A, Mλ) est libre de rang
1 sur E⊗Mλ=(E⊗`)⊗
`
Mλ=L
σ
Mλ, donc libre de rang 2gsur Mλ.Ona
alors:
Lemme 1.1. H1(A, Mλ)=L
σ∈Π
H1(A, Mλ)σ,chaque facteur H1(A, Mλ)σ
´etant l’image de H1(A, Mλ)par un projecteur alg´ebrique.
En effet, soit eσ∈L
τ
Ml’´el´ement de composante 1 `a la place σet0en
τ6=σ: alors eσd´efinit sous (1.1) un ´el´ement de End0(A)⊗Mqui projette sur
H1(A, Mλ)σ. On note ce projecteur pσ.
Si λ∈E,ond´esigne par [λ] l’endomorphisme associ´edeAet son effet sur
les espaces de cohomologie.
Lemme 1.2. H1(A, Mλ)σ={ω∈H1(A, Mλ):[λ]ω≡λσω};il est de
rang 1sur Mλ.

154 L. CLOZEL
C’est clair.
On va maintenant d´ecomposer la cohomologie en degr´e isous l’action
de E. Rappelons que cd´esigne la conjugaison complexe de E. Soit Σ un
type CM de E, i.e., un ensemble de plongements de Edans Mtel que tout
plongement E→Msoit de la forme σou cσ pour un σ∈Σ. On sait que
Hi
´et(A, `)=ΛiH1 ´et(A, `), le produit ext´erieur ´etant pris sur `. On a donc
de mˆeme Hi(A, Mλ)=ΛiH1(A, Mλ) (produit ext´erieur sur Mλ). On notera
I,J des sous-ensembles de Σ et cΣ respectivement; si λ∈E, soit λIλJ=
Y
σ∈IqJ
λσ∈M.
Lemme 1.3. Hi(A, Mλ)= M
I,J
|I|+|J|=i
Hi(A, Mλ)IJ o`u
Hi(A, Mλ)IJ ={ω∈Hi:[λ]ω≡λIλJω}
est de rang 1sur Mλ.
Ceci r´esulte imm´ediatement du Lemme 1.2. Notons aussi qu’on a des
projecteurs pIJ sur Hi(A, Mλ)IJ d´efinis comme apr`es le Lemme 1.
Puisque Eest une sous-alg`ebre ab´elienne maximale de End0(A), l’endo-
morphisme de Frobenius πpeut ˆetre consid´er´e comme un ´el´ement de E. Pour
tout σ∈Σ, πσπcσ =πσ¯πσ=q. Par cons´equence πop`ere sur H2(A, Mλ)σ,cσ
comme multiplication par q.
Notons que l’application cycle envoie Zi(A)⊗Mvers H2i(A, `)⊗Mλ=
H2i(A, Mλ).
Lemme 1.4. Pour tout σ∈Σ, il existe un cycle Lσ∈Z
1(A)⊗Mtel
que cl(Lσ)soit un g´en´erateur de H2(A, Mλ)σ,cσ sur Mλ.
D´emonstration. L’´el´ement de Frobenius πop`ere sur H2(A, M)σ,cσ par
la valeur propre q. Le Lemme se d´eduit alors ais´ement, par extension des
scalaires, du r´esultat analogue de Tate pour H2(A, `) [11].
Remarque. Dans le §2, le Lemme 1.4 sera retrouv´e (au moins pour un
choix particulier de Σ) `a l’aide du rel`evement `a la caract´eristique nulle. Il
n’est donc pas utilis´e directement dans nos d´emontrations (mais la th´eorie de
Honda-Tate repose sur les r´esultats de Tate [11], donc cette ind´ependance est
vraisemblablement illusoire).
Nous consid´erons maintenant l’action de Gal(M/ ) sur la cohomologie.
Si τ∈Gal(M/ ), τd´efinit par transport de structure un isomorphisme de
Hi(A, Mλ) avec Hi(A, Mτλ)o`uτλ est la place de Md´eduite de λpar l’action
de τ.

EQUIVALENCE DE CYCLES SUR LES VARI´ ET´ ES AB´ ELIENNES 155
Lemme 1.5. Soit c∈Gal(M/ )la conjugaison complexe.Alors c
envoie Hi(A, Mλ)I,J vers Hi(A, Mcλ)cJ,cI .
D´emonstration. Soit ω∈Hi(A, Mλ) telle que [λ]ω=λIλJω. Alors
c([λ]ω)=[λ]cωpuisque [λ]op`ere par un endomorphisme de A. On a donc
[λ]cω=c(λIλJω)=cλIcλJc
ω(d’apr`es (1.2)) = λcJ λcI cω. L’assertion r´esulte
du Lemme 1.2.
Corollaire 1.6. Si H2i(A, M)I,J est engendr´e sur Mλpar la classe
d’un cycle alg´ebrique dans Zi(A)⊗M,il en est de mˆeme de H2i(A, Mcλ)cJ,cI .
En effet cop`ere (sur les coefficients) en pr´eservant les cycles alg´ebriques:
on est ramen´e au Lemme 1.5.
2. Division des cycles alg´ebriques
On va maintenant ´enoncer un r´esultat simple, mais fondamental, de di-
vision des cycles alg´ebriques. Quitte `a remplacer kpar une extension finie,
on sait [12] que A, ou au moins une vari´et´e A0sur kisog`ene `a A, admet un
rel`evement en caract´eristique 0: il existe un corps de nombres Fet une vari´et´e
e
Asur Fayant les propri´et´es suivantes: il existe une place vde F, de corps
r´esiduel k, telle que le mod`ele de N´eron Ade e Asur OFait bonne r´eduction en
vet que A×
OFk∼
=A0. L’action de Esur (la vari´et´eab´elienne `a isog´enie pr`es
d´eduite de) A0se rel`eve `a e
A, et cette action est compatible avec la r´eduction
en v.
Noter que le Th´eor`eme 1 est invariant par isog´enie; puisque l’action
de G= Gal(k/k) sur Z(A) est localement finie, il suffit pour d´emontrer le
th´eor`eme de v´erifier son corollaire pour toute extension assez grande k0du
corps k. Nous supposons donc d´esormais que Aest d´efinie sur ket admet un
rel`evement en caract´eristique 0, au sens pr´ecis´e ci-devant. L’action de Esur
l’espace tangent de e Aen0d´efinit alors un type CM, que l’on supposera ´egal
`aΣ.
Notons Fvla compl´etion de Fen v,Ovson anneau d’entiers et A=
A×
OFOv:Avest un sch´ema ab´elien sur Ov. On sait que Avadmet un
plongement projectif j:A→ N
Ovcorrespondant `a un diviseur tr`es ample
L=j∗O(1) sur Av.
Quitte `a remplacer kpar une extension finie, on peut trouver, d’apr`es
le th´eor`eme de Bertini, une section de j∗Lsur Av×kdont le lieu des z´eros
est une sous-vari´et´e lisse de Av×k. D’apr`es un th´eor`eme de Mumford [8],
H1(Av,L)={0}, et donc cette section se rel`eveenun´el´ement de H0(Av,L).
En consid´erant le lieu de ses z´eros, on obtient donc un sous-sch´ema lisse Lv
de Avtel que Lv×kest une section hyperplane de Av×ket Lv×F0
vune