TD de Physique no 2 : Thermodynamique

E.N.S. de Cachan
M2 FE
Physique appliquée
Département E.E.A.
3e année
2011-2012
TD de Physique no 2 :
Thermodynamique
Exercice no 1 : Le gaz parfait
1. (cours) Rappeler les hypothèses du gaz parfait.
On considère maintenant un gaz parfait monoatomique en contact avec une paroi. On veut déterminer
l’expression de la pression en un point de la paroi. Pour cela on fait les hypothèses suivantes :
• le gaz est au repos,
• le gaz est en équilibre thermodynamique interne.
2. (cours) Que sous-entendent ces deux hypothèses ? Quelle autre hypothèse raisonnable découlant du
chaos moléculaire pouvons-nous également formuler ?
~ = dS~uz un élément de surface de la paroi. On note δ~
Soit dS
pincidents (respectivement δ~
pref lechis ) la
quantité de mouvement des atomes qui atteignent (respectivement repartent de) dS entre t0 et t0 + δt.
3. (cours) Déterminer la force pressante élémentaire δ f~ à l’aide de δ~
pincidents et de δ~
pref lechis .
4. (cours) Pour simplifier le calcul de δ~
pincidents et de δ~
pref lechis on adopte le modèle élémentaire suivant :
• toutes les particules ont la même vitesse égale à la vitesse quadratique moyenne u,
• elles sont astreintes à se déplacer uniquement sur chacune des trois directions x, y, ou z dans un sens
ou dans l’autre de façon équiprobable.
Exprimer δ~
pincidents et δ~
pref lechis en fonction m la masse d’un atome, u la vitesse quadratique moyenne, n∗
la densité moléculaire, et δt.
5. (cours) En déduire l’expression de la pression cinétique.
6. (cours) Pour un gaz parfait monoatomique, l’énergie cinétique de translation moyenne des atomes
est proportionnelle à la température (il n’y a pas de terme d’énergie cinétique barycentrique). Déterminer la
constante de proportionnalité permettant de retrouver l’équation d’état des gaz parfaits obtenue par l’approche
macroscopique expérimentale.
7. Calculer numériquement à la surface de la Terre et de la Lune, pour une température T = 300 K, la
vitesse de libération Vlib et la vitesse quadratique moyenne pour du dihydrogène et du diazote. Commenter.
Quelle devrait être l’ordre de grandeur de la température T 0 pour que le diazote, constituant majoritaire de
l’atmosphère terrestre, échappe quantitativement à l’attraction terrestre ?
Données :
• Constante de gravitation : G = 6, 67.10−11 SI.
• Rayon de la Terre : RT = 6400 km, rayon de la Lune : RL = 1800 km.
• Masse de la Terre : MT = 6.1024 kg, masse de la Lune : ML = 7, 4.1022 kg.
• Masses molaires : MH2 = 2 g.mol−1 , MN2 = 28 g.mol−1
• Constante des gaz parfaits R = 8, 314 J.K −1 .mol−1
Exercice no 2 : Tamis moléculaire
Une mole de gaz parfait est contenue dans une enceinte rigide (E) de volume V . L’ensemble est maintenu
à la température T .
1. On perce dans la paroi un trou d’aire S par lequel le gaz s’échappe dans une enceinte (E’) initialement
vide, de même volume que (E) et maintenue à la même température. À quelle condition peut-on conserver
l’hypothèse d’isotropie des vitesses ?
2. Montrer que le nombre de molécules qui sortent par unité de temps de l’enceinte (E) est :
(N (t) − N 0 (t))
1
uS
6V
où N (t) (respectivement N 0 (t)) est le nombre de molécules présentes dans l’enceinte (E) (respectivement (E’))
à l’instant t, et u la vitesse quadratique moyenne du gaz à la température T .
3. En déduire l’allure des courbes N (t) et N 0 (t). La cloison est percée de 1000 trous d’aire 10−10 m2 , le
volume de l’enceinte est V = 1 dm3 et u = 1400 m.s−1 .
4. Donner l’expression du temps caractéristique τC du phénomène. Commenter la variation de ce temps
en fonction des paramètres : S, V , T , u et la masse des particules m.
On considère maintenant le dispositif suivant : (E’) est ouverte sur le vide grâce à un trou identique au
précédent. À l’instant initial toutes les particules sont dans (E) et on met (E) et (E’) en communication.
5. Donner, en justifiant qualitativement, l’allure des fonctions N (t) et N 0 (t). Puis les déterminer analytiquement.
6. Le gaz est un mélange de deux isotopes (on supposera pour simplifier que ces deux isotopes sont
présents en proportions identiques à t = 0). Indiquer comment évolue, en fonction du temps, le rapport des
quantités de particules :
N 0 (isotope 1)
.
ρ= 0
N (isotope 2)
On supposera l’isotope 2 plus lourd que le 1.
7. Citer une application de ce résultat.
Exercice no 3 : Gaz de Van der Waals
L’équation d’état d’un gaz de Van der Waals s’écrit :
a P + 2 (Vm − b) = RT
Vm
1. (cours) Rappeler l’appellation et la signification physique de a et b. Quelle différence y a t-il entre a
et b d’une part et R de l’autre ? Écrire l’équation d’état pour n moles de gaz.
2. En différenciant l’équation d’état donner, en fonction de T et Vm , l’expression du coefficient de compressibilité isotherme χT du gaz. Retrouver l’expression obtenue pour le gaz parfait.
3. Tracer, sur un même graphe, les courbes donnant χT , en fonction de Vm à T fixé, pour le gaz parfait
et le gaz de Van der Waals. Commenter ces courbes. Données : a = 0, 170 SI ; b = 5, 1.10−5 SI.
4. Pour de faibles pressions, montrer que l’équation de Van
der Waals peut se mettre sous la forme :
P Vm = RT (1 + B(T )P )
où B(T ) est une fonction de la température que l’on explicitera.
5. Le graphique ci-contre donne l’évolution de P Vm (bar.m3 .mol−1 )
en fonction de P pour trois gaz. Que peut-on dire de B(T ) pour
chaque gaz ? Que penser de la validité du modèle de la question
précédente ?
Exercice no 4 : Relation fondamentale de la statique des
fluides
1. (Cours) Considérons un fluide sur lequel s’exerce le champ de force volumique f~v . Démontrer la relation
fondamentale de la statique des fluides.
2. Déterminer l’évolution de la pression atmosphérique en fonction de l’altitude z en supposant que :
• l’air est un gaz parfait de masse molaire M = 29 g.mol−1 ,
• le champ de pesanteur est uniforme,
• la température est de la forme T (z) = T0 (1 − az).
Faire apparaître une altitude caractéristique que l’on notera H.
3. Retrouver le cas de l’atmosphère isotherme. Calculer H pour T0 = 300 K et g = 9, 81 m.s−2 . Donner
une évaluation de l’épaisseur de l’atmosphère.
4. On veut maintenant déterminer l’évolution de la pression dans les océans en fonction de la profondeur
z 0 en supposant que la température est indépendante de la profondeur et que le champ de pesanteur est
uniforme. La compressibilité de l’eau est prise en compte à l’aide de son coefficient de compressibilité isotherme
χT = 4, 4.10−10 P a−1 .
2
5. Retrouver l’expression obtenue lorsque l’eau est supposée incompressible.
Exercice no 5 : Cloche renversée
On renverse une cloche cylindrique de section S, de hauteur h et de masse m,
et on la laisse descendre verticalement dans une cuve à eau. La cloche s’enfonce
dans l’eau en emprisonnant l’air qu’elle contenait et occupant initialement son
volume intérieur. À l’équilibre, la cloche flotte, la pression atmosphérique vaut
P0 et la masse volumique de l’eau est ρ. L’épaisseur des parois de la cloche est
supposée négligeable.
1. Déterminer les hauteurs x et y repérant les surfaces libres de l’eau par
rapport aux bords de la cloche.
2. À quelle condition sur le volume V0 = hS de la cloche, celle-ci peut-elle effectivement flotter ?
3. Retrouver le résultat précédent en utilisant le théorème d’Archimède.
Exercice no 6 : Retenue d’eau par un barrage
1. Un barrage doit permet de réaliser une retenue d’eau sur une profondeur H et une largeur L. La pression de l’air est P0 , et la masse volumique de
l’eau est constante et vaut ρ0 . Déterminer la résultante F~ des efforts de pression qu’exerce l’eau sur le barrage. On écrira F~ = Fx ~ux + Fz ~uz . Déterminer
le centre de poussée C.
2. Le profil du barrage est modifié. Il correspond à une courbe C
d’équation z = f (x). La hauteur d’eau demeure H et la largeur L. On
notera x0 l’abscisse du point le plus haut de la courbe C atteint par l’eau.
Donner les expressions des composantes Fx et Fz de la résultante des efforts de pression exercés par l’eau sur le barrage. Application à un profil
parabolique d’équation z = h1 x2 .
3. Commenter les résultats obtenus aux 1. et 2. relatifs à la composante
Fx .
Exercice no 7 : Détente de Joule-Gay-Lussac de gaz
On s’intéresse à n moles d’un gaz subissant une détente
dans le vide (ou détente de Joule-Gay-Lussac) : à l’instant initial le gaz occupe le volume V1 et est en équilibre thermodynamique interne à la température T0 . On ouvre le circuit de
l’électroaimant, le marteau casse la vitre de séparation ; le gaz
se répartit entre les deux compartiments et atteint un nouvel
état d’équilibre thermodynamique interne de température Tf .
1. On étudie le système {gaz + parois}. On considère que
l’énergie interne des parois ne varie pas. Montrer que la transformation du gaz se fait à énergie interne constante.
2. Retrouver l’expression de l’énergie interne U pour un
gaz parfait monoatomique. Quelle est la variation de température Tf − T0 qui accompagne la détente de
Joule-Gay-Lussac d’un gaz parfait monoatomique, d’un gaz parfait ?
On considère que l’argon est un gaz réel monoatomique ayant pour équation d’état :
P+
n2 a (V − nb) = nRT
V2
où a et b sont deux constantes. L’énergie interne de ce gaz s’écrit :
U = nCV,m T −
n2 a
+ U0
V
où U0 est une constante.
3. (cours) Rappeler l’appellation et la signification physique de a et b. Quelle différence y a t-il entre a
et b d’une part et R de l’autre ?
3
4. Une mole d’argon subit la détente de Joule-Gay-Lussac. Montrer que la mesure de (Tf − T0 ) permet
de déterminer a.
5. Calculer a pour (Tf − T0 ) = −5, 4 K. La capacité thermique CV,m a la même valeur que celle du gaz
parfait monoatomique associé.
Exercice no 8 : Détente de Joule-Thomson d’un gaz réel
Un gaz a pour équation d’état P (V − nb) = nRT (b : covolume du gaz) et son énergie interne ne dépend
que de la température (ce gaz suit la première loi de Joule).
1. Déterminer la relation qui lie les capacités thermiques molaires à pression constante CP,m et à volume
constant CV,m à R.
Nous supposons dorénavant que le rapport γ entre les capacités thermiques molaires à pression constante
et à volume constant est indépendant de la température T .
2. Une mole de ce gaz subit une détente de Joule-Thomson qui fait passer sa pression de P1 à P2 . Calculer
la variation ∆T correspondante.
3. Calculer ∆T pour P1 = 106 P a et P2 = 105 P a.
Données : R = 8, 31 J.mol−1 .K −1 ; γ = 1, 4 ; b = 38.10−6 m3 .mol−1 .
Exercice no 9 : Apport de chaleur par une résistance électrique
Un cylindre fermé horizontal est divisé en deux compartiments A et B de même volume V0 par un piston
coulissant librement sans frottement. A et B contiennent chacun une mole de gaz parfait à la pression P0 et à
C
. Le piston, la surface latérale du cylindre et la surface de base SA du
la température T0 . On pose γ = CP,m
V,m
compartiment A sont athermanes. La surface de base SB du compartiment B est diathermane. Le compartment
A est porté très lentement à la température T1 à l’aide d’une résistance chauffante, le compartiment B reste
à T0 par contact thermique à la température T0 .
1. Exprimer les volumes VA , VB et la pression finale Pf en fonction de T1 , T0 et V0 correspondant à la
position d’équilibre du piston.
2. Quelle est la variation d’énergie interne du gaz à l’intérieur de A et de B ? En déduire la variation
d’énergie interne du système (A + B) (Notons que la résistance chauffante et le piston sont exclus du système).
3. Quelle est la nature de la transformation subie par le gaz en B ? Quel est le travail W reçu par B ?
En déduire le transfert thermique Q1 , Q1 étant reçu par le thermostat. On exprimera W et Q1 en fonction de
T0 , T1 et R la constante des gaz parfaits.
4. En considérant le système A, trouver le transfert thermique Q2 fourni par la résistance chauffante en
fonction de T0 , T1 , R et γ.
Le système étant dans son état final, on suppose maintenant que la surface de base SB du compartiment
B est également athermane et qu’une résistance chauffante placée en B apporte un transfert thermique Q3 de
façon que le piston reprenne très lentement sa position d’équilibre initial.
5. Quelle est la nature de la transformation subie par le gaz du compartiment A ? Quelle est la pression
finale d’équilibre Pf0 ? Exprimer Pf0 en fonction de T0 , T1 , V0 , R et γ.
6. Trouver les températures TA et TB dans chacun des compartiments, en fonction de T0 , T1 et γ.
7. Quelles sont les variations d’énergie interne dans A, dans B et pour l’ensemble (A + B) en fonction de
R, γ, TA , T0 et T1 ?
8. Quel est le transfert thermique Q3 fourni par la deuxième résistance chauffante ? Exprimer Q3 en
fonction de R, γ, T0 et T1 .
Exercice no 10 : Remplissage d’un réservoir
On considère l’atmosphère comme un réservoir infini d’air à la pression P0 = 1 atm et à la température
T0 = 300 K, supposées constantes. L’air est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M = 29 g.mol−1 et de
coefficient γ = 1, 4. On désire étudier différentes opérations de remplissage d’un réservoir R. Ce dernier a un
volume V fixe, une section S et une longueur l. Il est muni d’un piston P, mobile sans frottement, de masse
négligeable. Une vanne permet de mettre ce réservoir en communication avec l’atmosphère ; elle possède une
ouverture assez petite pour que l’air pénètre très lentement dans R. Le remplissage se termine lorsque l’air est
à la pression P0 dans R.
4
De façon à modéliser simplement l’opération de remplissage, on propose le schéma cicontre. Le système (P0 , V0 , T0 ) représente l’air
qui aura pénétré dans R à la fin de l’opération, où il se trouvera dans tous les cas à la
pression finale P0 .
V = 10 L ; s = 100 cm2 ; l = 1 m.
1. On étudie trois opérations partant de conditions initiales différentes. Dans cette question, le cylindre
R et son piston sont adiabatiques.
Déterminer T .
Déterminer T1 et T2 .
00
Le ressort a une longueur à vide l et une raideur k telle que P0 s = kl
2 . Déterminer T , le ressort étant comprimer
à mi-longueur dans l’état final.
2. Dans la réalité, l’hypothèse adiabatique pour le cylindre et le piston n’est réaliste que peu de temps
après la fin de l’opération. On considère donc qu’après avoir atteint les états précédents, le gaz qui a pénétré
dans R se retrouve au bout d’un certain temps à la température T0 de l’atmosphère. Exprimer et calculer les
quantités de chaleur Q1 , Q2 et Q3 que le gaz échangera au cours de cette phase, dans les trois cas étudiés
précédemment, la vanne étant restée ouverte.
3. Dans cette question, on ne suppose plus que l’ouverture de la vanne est petite. De ce fait, l’air pénètre
de façon brutale dans R au cours du remplissage. Indiquer dans quel(s) cas il y a modification de la valeur
(ou des valeurs) de la température atteinte en fin de remplissage.
Exercice no 11 : Bilans entropiques
Point méthode : Un bilan entropique a pour objectif de déterminer si une transformation est réversible ou
non en déterminant l’entropie créée Sc lors de la transformation.
Étape 1 : On détermine complètement les états initial et final associés à la transformation (1er principe,
P V = nRT si GP, ...).
Étape 2 : On calcule la variation d’entropie ∆S en mettant à profit le fait que S est une fonction d’état :
∆S est indépendant du chemin suivi pour relier les états initial et final. On considère alors la transformation
réversible fictive qui mène de l’état initial à l’état final pour pouvoir mettre à profit les identités thermodynamiques.
Étape 3 : On calcule l’entropie échangée Se lors de la transformation (1er principe, ...). Si le système est
thermiquement isolé alors il n’y a aucun calcul à faire, on a directement Se = 0.
Étape 4 : On déduit des étapes 2 et 3 la valeur de l’entropie créée via Sc = ∆S − Se et enfin on conclut :
– si Sc > 0 la transformation est irréversible,
– si Sc = 0 la transformation est réversible,
– si Sc < 0 vous avez fait une erreur dans le bilan entropique.
5
1. (Cours) Déterminer l’expression de l’entropie d’une phase condensée supposée incompressible dans le
cas où la capacité thermique C est indépendante de la température.
2. Deux solides s1 et s2 , de même capacité thermique C, de températures différentes T1 et T2 , sont mis
en contact thermique. Le système global Σ est isolé de l’extérieur par une paroi rigide athermane. Faire un
bilan entropique dans le cadre des hypothèses de la question précédente.
3. (Cours) Déterminer, en fonction de T et V , l’expression de l’entropie d’un gaz parfait en supposant
que γ = CP /CV est indépendant de la température.
4. (Cours) Retrouver les trois formes de la loi de Laplace.
5. Considérons n moles d’un gaz parfait à l’intérieur d’une enceinte diathermane, fermée par un piston de masse négligeable et de section s (cf schéma
ci-contre). L’état initial est PA = P0 (équilibre mécanique avec l’atmosphère),
TA = T0 (équilibre thermique avec l’atmosphère) et VA = nRT0 /P0 (équation
des GP). On pose une masse M = P0 s/g sur le piston. Quelle est la transformation subie par le gaz ? Déterminer l’état final (PB , TB , VB ) et montrer que la
transformation est irréversible.
Exercice no 12 : Détentes d’un gaz parfait
Une mole de gaz parfait est contenue dans un cylindre thermostaté à la température T0 = 300 K. On
envisage la détente de ce gaz, du volume V1 au volume V2 = 2V1 , par trois méthodes différentes :
– méthode no 1 : on déplace de manière "lente" et progressive le piston qui clos le cylindre ;
– méthode no 2 : on réduit brusquement la pression sur le piston ;
– méthode no 3 : le cylindre est divisé en deux compartiments de même volume V1 par une membrane,
l’un des compartiments contient le gaz, l’autre est vide. On crève la membrane.
Calculer pour chacun des trois procédés la variation d’entropie ∆S du gaz, l’entropie échangée Se et
l’entropie créée Sc .
Exercice no 13 : Transformation polytropique
Soit une quantité de matière constituée de n moles d’un gaz supposé parfait et de rapport γ = CP,m /CV,m
constant. Ce gaz subit une évolution, dite polytropique, que nous pouvons caractériser de la manière suivante :
à partir d’un état initial (P0 , V0 , T0 ), le gaz évolue réversiblement vers un état final d’équilibre (P1 , V1 , T1 ) de
telle sorte que tout au long de la transformation la quantité P V k soit constante. k est un coefficient réel, positif
ou nul.
1. Montrer que la différentielle de la fonction entropie dS peut se mettre sous la forme dS = nC dT
T .
Exprimer C en fonction de R, γ et k. Calculer alors la variation d’entropie du gaz en fonction de n, R, k, γ,
T0 et T1 .
2. Calculer directement le travail reçu par le gaz au cours de la transformation et retrouver, en appliquant
l’identité thermodynamique, l’expression de C précédente.
3. Dans chacun des cas suivants, indiquer quelle est l’évolution observée et évaluer C : a) k = 0, b) k = 1,
c) k = γ et d) k → +∞.
4. Donner l’allure en diagramme (P, V ), puis en diagramme (T, S), de chacune des transformations précédentes à partir du point représentatif de l’état initial.
Exercice no 14 : Fonction caractéristique
Soit un système constitué de dioxyde de carbone. Ce gaz est caractérisé par la fonction S(U, V ) donnée
pour une quantité de matière n = 1 mole de gaz :
S(U, V ) = Sm0 + CV,m ln
Um +
Um0 +
a
Vm
a
Vm0
+ R ln
Vm − b Vm0 − b
Sm0 , Um0 et Vm0 sont respectivement les valeurs de l’entropie, de l’énergie interne et du volume de cette mole
de gaz dans un état de référence arbitraire donné. CV,m est la capacité calorifique molaire à volume constant
du dioxyde de carbone, a et b sont des constantes propres au dioxyde de carbone et R est la constante des
gaz parfaits. Données : CV,m = 28, 50 J.mol−1 .K −1 ; a = 0, 37 J.m3 .mol−2 ; b = 4, 30.10−5 m3 .mol−1 et
R = 8, 31 J.mol−1 .K −1 .
6
1. Différentier l’expression de S(U, V ). Montrer qu’en identifiant l’expression trouvée à l’identité thermodynamique on obtient, d’une part, l’expression de l’énergie interne d’une mole de gaz étudié : Um (T, V ), et,
d’autre part, l’équation d’état d’une mole du gaz : f (P, Vm , T ) = 0.
2. Deux moles de ce gaz subissent une détente de Joule-Gay-Lussac d’un volume initial V = 5, 00 dm3
et d’une température initiale T = 293, 00 K à un volume final 2V . Calculer les variations de température et
d’entropie correspondantes.
3. Comparer les résultats obtenus à ceux de la détente de deux moles de gaz parfait de même capacité
calorifique molaire à volume constant dans les mêmes conditions initiales.
Exercice no 15 : Entropie statistique et fil de laine
Deux réservoirs identiques aux parois athermanes sont reliés par une vanne. Un gaz parfait se trouve
initialement dans un des deux réservoirs, la vanne étant fermée. On ouvre la vanne, le gaz subit alors une
détente de Joule-Gay-Lussac.
1. (Cours) Déterminer la variation d’entropie du gaz parfait lors de la détente en fonction de N (nombre
de molécules du gaz) et kB (la constante de Boltzmann).
On suppose que toutes les molécules du gaz sont discernables et on appelle macroétat X = k (avec k compris
entre 0 et N ) l’état macroscopique du système pour lequel il y a k molécules dans le premier réservoir et,
par conséquent, N − k dans le second. Chaque façon d’obtenir le macroétat X = k est appelée microétat.
Le nombre de microétats correspondant au macroétat X = k est appelé nombre de complexion du macroétat
X = k, nous le noterons Ω(k).
2. (Cours) Déterminer Ω(k).
On admet que pour un système isolé tous les microétats ont une probabilité identique d’être réalisés.
3. (Cours) Quelle est la probabilité pour que le macroétat X = k soit réalisé.
L’entropie statistique est définie par S = kB ln Ω avec Ω le nombre de complexion de l’état considéré.
4. Montrer que cette définition est compatible avec le résultat de la question 1 sachant que l’état final
est l’état le plus probable.
Indication : ln(N !) ' N (ln(N ) − 1) lorsque N → +∞ (formule de Stirling).
On considère maintenant un fil de laine formé de N molécules indépendantes alignées. Chaque molécule
peut occuper l’un des deux états suivants :
• état fondamental, de longueur L et d’énergie e1 .
• état excité, de longueur L − a et d’énergie e2 . On pose e2 − e1 = ∆e > 0.
Un macroétat est caractérisé par la longueur du fil de laine.
5. Relier la longueur L(n) du fil au nombre n de molécules dans l’état fondamental.
6. Exprimer en fonction de n l’énergie E(n) du fil.
7. Déterminer Ω(n) le nombre de complexion du macroétat de longueur L(n).
8. Exprimer alors l’entropie S(n) du fil. N étant un nombre grand devant n lui même grand devant 1,
donner à l’entropie une forme approchée en utilisant la formule de Stirling.
9. Le fil est en contact avec un thermostat à la température T . Lorsqu’un système est soumis à une
telle contrainte, on montre que son état d’équilibre est celui pour lequel la fonction F (n) = E(n) − T S(n)
est minimale. Déterminer la valeur de neq de n à l’équilibre ainsi que la longueur du fil. Quelle conséquence
pratique peut-on tirer de cette étude ?
Exercice no 16 : Transformation d’un système diphasé
On donne le tableau de données thermodynamiques
t = 80˚C
relatif à l’eau ci-contre. Un récipient indilatable de voPsat (103 P a)
47, 39
lume V = 1, 00 m3 contient une masse m = 1 kg d’eau
vliq (m3 .kg −1 )
1, 029.10−3
à la température t1 = 80˚C.
vvap (m3 .kg −1 )
3, 407
1. Justifier le fait que le système est diphasé.
hliq (kJ.kg −1 )
334,9
2. Calculer les masses de phase liquide mliq et vahvap (kJ.kg −1 )
2644
peur mvap .
sliq (kJ.kg −1 .K −1 )
1,075
On met le récipient en contact avec un thermostat à la
svap (kJ.kg −1 .K −1 )
7,612
température t2 = 115˚C.
3. Quel est l’état final du système ? Calculer les nouvelles masses m0liq et m0vap .
4. Calculer le transfert thermique Q reçu par le système.
5. Calculer l’entropie créée Sc .
7
t = 115˚C
169, 1
1, 056.10−3
1, 037
482,5
2699
1,473
7,183
Exercice no 17 : Vaporisation d’une masse d’eau
Une masse m = 1 g d’eau est contenue sous forme liquide dans un cylindre thermostaté à la température
t1 = 100˚C, sous la pression P0 = 1 atm. Par déplacement très lent du piston jusqu’au volume V1 , on réalise
la vaporisation totale de l’eau.
Données : Lvap (100˚C) = 2, 25.103 kJ.kg −1 , M = 18 g.mol−1 .
1. En assimilant la vapeur d’eau à un gaz parfait, déterminer et calculer le volume V1 .
2. Exprimer puis calculer le transfert thermique Q et le travail W échangés par l’eau.
3. Exprimer puis calculer la variation d’entropie ∆S de l’eau, l’entropie échangée Se et l’entropie créée
Sc .
On place maintenant directement la même masse m = 1 g d’eau dans un récipient de volume V1 initialement
vide, thermostaté à la température t1 = 100˚C.
4. Exprimer puis calculer de nouveau Q0 , W 0 , ∆S 0 , Se0 et Sc0 .
Exercice no 18 : Vaporisation sur une cuve à mercure
Un cylindre dont l’une des extrémités est fermée est retourné sur une
cuve à mercure. La longueur de tube émergée est L = 1 m, sa section
s = 1 cm2 . La pression atmosphérique ambiante est P0 = 1, 013.105 P a
et la température est t0 = 20˚C. On introduit une masse m = 74 mg
d’éther, de masse molaire M = 74 g.mol−1 , dans le tube.
Données : Psat (20˚C) = 0, 586.105 P a pression de vapeur saturante de
l’éther, µ = 13600 kg.m−3 masse volumique du mercure, g = 9, 8 m.s−2 .
1. En supposant que l’éther est sous forme vapeur, assimilable à un
gaz parfait, déterminer l’équation du second degré vérifiée par la hauteur
h de mercure dans le tube.
2. Calculer h et vérifier que la vapeur est bien sèche.
On incline le tube en conservant une longueur émergée égale à L.
3. Calculer la hauteur h0 à partir de laquelle la première goutte d’éther apparaît. En déduire l’angle α
correspondant.
Exercice no 19 : Machines dithermes (cours)
On note TC et TF les températures des sources chaude et froide ainsi que respectivement QC et QF les
transferts thermiques entre les sources et le fluide. On notera également W le travail échangé avec l’extérieur.
1. Appliquer les deux principes de la thermodynamique sur un cycle du fluide pour distinguer quatre
zones différentes dans le diagramme (QC , QF ) appelé diagramme de Raveau.
2. Faire un schéma où apparaissent les sens conventionnel et réel des transferts thermiques et du travail
dans le cas :
• d’un moteur ditherme,
• d’une machine frigorifique ditherme,
• d’une pompe à chaleur ditherme.
3. Déterminer le rendement maximal du moteur ditherme et les efficacités maximales de la machine
frigorifique ditherme et de la pompe à chaleur ditherme.
Exercice no 20 : Pseudo-sources
Un moteur ditherme réversible utilise comme sources de chaleur deux mêmes corps de masse m = 50 kg
et de capacité thermique c = 0, 5 J.K −1 .g −1 , dont les températures initiales sont t10 = 100˚C et t20 = 20˚C.
Du fait des échanges thermiques entre l’agent thermique et les sources, les températures de ces dernières
varient. On note dT1 et dT1 ces variations au cours d’un cycle. Celles-ci sont suffisamment faibles pour pouvoir
considérer que sur un cycle, les températures des sources sont définissables et égales à T1 et T2 .
1. Montrer que les températures des sources vérifient l’équation différentielle :
dT1
dT2
+
=0
T1
T2
2. Déterminer l’expression de la température finale Tf des sources lorsque le moteur s’arrête de fonctionner. Calculer Tf .
3. Calculer le travail total W fourni par le moteur.
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4. Calculer le rendement global η du moteur. Le comparer au rendement η 0 du moteur qui fonctionnerait
entre les deux mêmes sources idéales de chaleur.
Problème : Étude dynamique d’un moteur ditherme
Un moteur ditherme fonctionne entre deux sources selon un cycle
quasi-statique (ci-contre), constitué de deux adiabatiques et de deux
isochores. Les températures des sources sont T2 (source chaude) et T1
(source froide), avec T2 > T1 . Le cycle est décrit par n moles d’un gaz
parfait de capacité thermique molaire à volume constant CV constante.
Pour ce gaz γ = CP /CV = 1, 4. Les différentes phases du cycle sont :
• Phase AB : compression adiabatique quasi-statique de durée
∆t ; ∆t est une grandeur variable ;
• Phase BC : contact du gaz avec la source chaude T2 pendant
le temps ∆t ;
• Phase CD : détente adiabatique quasi-statique de durée ∆t ;
• Phase DA : contact du gaz avec la source froide T1 pendant
le temps ∆t ;
À chaque cycle correspond un tour de l’arbre moteur.
Chaque grandeur - pression P , volume V et température T - du gaz en un point du cycle sera indicée par
la lettre de ce point. On notera a le rapport volumétrique a = VA /VB = VD /VC . On donne : T1 = 300 K,
T2 = 1000 K, a = 10, n = 0, 05 mol et la constante des gaz parfaits R = 8, 314 J.K −1 .mol−1 .
1. Bilans thermodynamiques. Pour cette question, on prendra TA = 350 K et TC = 900 K.
a) Déterminer les transferts thermiques reçus par le gaz au cours de chaque phase en fonction des grandeurs
aux points A et C.
b) Déterminer la variation d’entropie du gaz au cours de chaque phase.
c) Déterminer l’entropie échangée au cours des phases BC et DA.
d) Quelle est l’entropie créée au cours d’un cycle ? Application numérique. Commenter.
Dans la suite du problème TA et TC ne sont plus fixées. Que les transferts thermiques aient lieu avec l’une
ou l’autre des sources, on supposera que, pendant une durée dt infinitésimale, à l’instant t, ils sont de la forme
δQ2 = α(T2 − T (t))dt au cours de la phase BC, et δQ1 = α(T1 − T (t))dt au cours de la phase DA, où T (t) est
la température du gaz à t et α est une constante positive. On prendra α = 45 J.K −1 .s−1 pour les applications
numériques.
2. De quelles grandeurs dépend α ?
3. Les températures en A et C.
a) Déterminer une relation entre T1 , TA , TD , τ et ∆t. On posera τ = nCαV . Que représente τ ?
b) Déterminer une relation entre T2 , TB , TC , τ et ∆t.
c) Déduire des questions précédentes TC et TA en fonction de T1 , T2 , τ , a, γ et ∆t.
4. Les cycles réels limites.
a) Quelles sont les limites de TA et de TC lorsque ∆t tend vers zéro ? On les notera TA0 et TC0 . Quelle relation
existe-t-il entre TA0 et TC0 ? Commenter.
b) Quelles sont les limites de TA et de TC lorsque ∆t tend vers l’infini ? On les notera TA00 et TC00 .
c) Représenter graphiquement, dans le diagramme (P, V ), les deux cycles limites (pour ∆t tendant vers zéro,
puis pour ∆t tendant vers l’infini) ; on fera figurer impérativement les isothermes T1 et T2 sur le graphique.
f
d) Quel est le travail fourni par le moteur, noté Wmin
dans le cas où ∆t tend vers zéro ?
f
f
e) Quel est le travail fourni par le moteur, noté Wmax dans le cas où ∆t tend vers l’infini ? Exprimer Wmax
en
f
fonction de T1 , T2 , a, n, CV . Dans ce cas le moteur est réversible ? Donner le valeur numérique de Wmax .
f) Que pensez-vous de la puissance réelle du moteur dans chacun de ces cas limites ?
5. La puissance du moteur.
f
a) Déterminer le travail fourni par le moteur, W f , au cours d’un cycle, en fonction de Wmax
, ∆t et τ . En
déduire l’expression de la puissance P du moteur.
b) Représenter graphiquement la puissance P du moteur ainsi que le travail fourni, W f , en fonction de ∆t.
c) Critiquer la puissance trouvée pour ∆t tendant vers zéro. Déterminer une expression de la valeur supérieure
de la puissance du moteur, notée Pmax .
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