TD de Physique no 2 : Thermodynamique

E.N.S. de Cachan Département E.E.A.
M2 FE 3eannée
Physique appliquée 2011-2012
TD de Physique no2 :
Thermodynamique
Exercice no1 : Le gaz parfait
1. (cours) Rappeler les hypothèses du gaz parfait.
On considère maintenant un gaz parfait monoatomique en contact avec une paroi. On veut déterminer
l’expression de la pression en un point de la paroi. Pour cela on fait les hypothèses suivantes :
•le gaz est au repos,
•le gaz est en équilibre thermodynamique interne.
2. (cours) Que sous-entendent ces deux hypothèses ? Quelle autre hypothèse raisonnable découlant du
chaos moléculaire pouvons-nous également formuler ?
Soit ~ dS =dS~uzun élément de surface de la paroi. On note δ~pincidents (respectivement δ~pref lechis) la
quantité de mouvement des atomes qui atteignent (respectivement repartent de) dS entre t0et t0+δt.
3. (cours) Déterminer la force pressante élémentaire δ~ fà l’aide de δ~pincidents et de δ~pref lechis.
4. (cours) Pour simplifier le calcul de δ~pincidents et de δ~pref lechis on adopte le modèle élémentaire suivant :
•toutes les particules ont la même vitesse égale à la vitesse quadratique moyenne u,
•elles sont astreintes à se déplacer uniquement sur chacune des trois directions x,y, ou zdans un sens
ou dans l’autre de façon équiprobable.
Exprimer δ~pincidents et δ~pref lechis en fonction mla masse d’un atome, ula vitesse quadratique moyenne, n∗
la densité moléculaire, et δt.
5. (cours) En déduire l’expression de la pression cinétique.
6. (cours) Pour un gaz parfait monoatomique, l’énergie cinétique de translation moyenne des atomes
est proportionnelle à la température (il n’y a pas de terme d’énergie cinétique barycentrique). Déterminer la
constante de proportionnalité permettant de retrouver l’équation d’état des gaz parfaits obtenue par l’approche
macroscopique expérimentale.
7. Calculer numériquement à la surface de la Terre et de la Lune, pour une température T= 300 K, la
vitesse de libération Vlib et la vitesse quadratique moyenne pour du dihydrogène et du diazote. Commenter.
Quelle devrait être l’ordre de grandeur de la température T0pour que le diazote, constituant majoritaire de
l’atmosphère terrestre, échappe quantitativement à l’attraction terrestre ?
Données :
•Constante de gravitation : G= 6,67.10−11 SI.
•Rayon de la Terre : RT= 6400 km, rayon de la Lune : RL= 1800 km.
•Masse de la Terre : MT= 6.1024 kg, masse de la Lune : ML= 7,4.1022 kg.
•Masses molaires : MH2= 2 g.mol−1,MN2= 28 g.mol−1
•Constante des gaz parfaits R= 8,314 J.K−1.mol−1
Exercice no2 : Tamis moléculaire
Une mole de gaz parfait est contenue dans une enceinte rigide (E) de volume V. L’ensemble est maintenu
à la température T.
1. On perce dans la paroi un trou d’aire Spar lequel le gaz s’échappe dans une enceinte (E’) initialement
vide, de même volume que (E) et maintenue à la même température. À quelle condition peut-on conserver
l’hypothèse d’isotropie des vitesses ?
2. Montrer que le nombre de molécules qui sortent par unité de temps de l’enceinte (E) est :
(N(t)−N0(t)) uS
6V
1

où N(t)(respectivement N0(t)) est le nombre de molécules présentes dans l’enceinte (E) (respectivement (E’))
à l’instant t, et ula vitesse quadratique moyenne du gaz à la température T.
3. En déduire l’allure des courbes N(t)et N0(t). La cloison est percée de 1000 trous d’aire 10−10 m2, le
volume de l’enceinte est V= 1 dm3et u= 1400 m.s−1.
4. Donner l’expression du temps caractéristique τCdu phénomène. Commenter la variation de ce temps
en fonction des paramètres : S,V,T,uet la masse des particules m.
On considère maintenant le dispositif suivant : (E’) est ouverte sur le vide grâce à un trou identique au
précédent. À l’instant initial toutes les particules sont dans (E) et on met (E) et (E’) en communication.
5. Donner, en justifiant qualitativement, l’allure des fonctions N(t)et N0(t). Puis les déterminer analy-
tiquement.
6. Le gaz est un mélange de deux isotopes (on supposera pour simplifier que ces deux isotopes sont
présents en proportions identiques à t= 0). Indiquer comment évolue, en fonction du temps, le rapport des
quantités de particules :
ρ=N0(isotope 1)
N0(isotope 2).
On supposera l’isotope 2 plus lourd que le 1.
7. Citer une application de ce résultat.
Exercice no3 : Gaz de Van der Waals
L’équation d’état d’un gaz de Van der Waals s’écrit :
P+a
V2
m(Vm−b) = RT
1. (cours) Rappeler l’appellation et la signification physique de aet b. Quelle différence y a t-il entre a
et bd’une part et Rde l’autre ? Écrire l’équation d’état pour nmoles de gaz.
2. En différenciant l’équation d’état donner, en fonction de Tet Vm, l’expression du coefficient de com-
pressibilité isotherme χTdu gaz. Retrouver l’expression obtenue pour le gaz parfait.
3. Tracer, sur un même graphe, les courbes donnant χT, en fonction de VmàTfixé, pour le gaz parfait
et le gaz de Van der Waals. Commenter ces courbes. Données : a= 0,170 SI ;b= 5,1.10−5SI.
4. Pour de faibles pressions, montrer que l’équation de Van
der Waals peut se mettre sous la forme :
P Vm=RT (1 + B(T)P)
où B(T)est une fonction de la température que l’on explicitera.
5. Le graphique ci-contre donne l’évolution de P Vm(bar.m3.mol−1)
en fonction de Ppour trois gaz. Que peut-on dire de B(T)pour
chaque gaz ? Que penser de la validité du modèle de la question
précédente ?
Exercice no4 : Relation fondamentale de la statique des
fluides
1. (Cours) Considérons un fluide sur lequel s’exerce le champ de force volumique ~ fv. Démontrer la relation
fondamentale de la statique des fluides.
2. Déterminer l’évolution de la pression atmosphérique en fonction de l’altitude zen supposant que :
•l’air est un gaz parfait de masse molaire M= 29 g.mol−1,
•le champ de pesanteur est uniforme,
•la température est de la forme T(z) = T0(1 −az).
Faire apparaître une altitude caractéristique que l’on notera H.
3. Retrouver le cas de l’atmosphère isotherme. Calculer Hpour T0= 300 Ket g= 9,81 m.s−2. Donner
une évaluation de l’épaisseur de l’atmosphère.
4. On veut maintenant déterminer l’évolution de la pression dans les océans en fonction de la profondeur
z0en supposant que la température est indépendante de la profondeur et que le champ de pesanteur est
uniforme. La compressibilité de l’eau est prise en compte à l’aide de son coefficient de compressibilité isotherme
χT= 4,4.10−10 P a−1.
2

5. Retrouver l’expression obtenue lorsque l’eau est supposée incompressible.
Exercice no5 : Cloche renversée
On renverse une cloche cylindrique de section S, de hauteur het de masse m,
et on la laisse descendre verticalement dans une cuve à eau. La cloche s’enfonce
dans l’eau en emprisonnant l’air qu’elle contenait et occupant initialement son
volume intérieur. À l’équilibre, la cloche flotte, la pression atmosphérique vaut
P0et la masse volumique de l’eau est ρ. L’épaisseur des parois de la cloche est
supposée négligeable.
1. Déterminer les hauteurs xet yrepérant les surfaces libres de l’eau par
rapport aux bords de la cloche.
2. À quelle condition sur le volume V0=hS de la cloche, celle-ci peut-elle effectivement flotter ?
3. Retrouver le résultat précédent en utilisant le théorème d’Archimède.
Exercice no6 : Retenue d’eau par un barrage
1. Un barrage doit permet de réaliser une retenue d’eau sur une profon-
deur Het une largeur L. La pression de l’air est P0, et la masse volumique de
l’eau est constante et vaut ρ0. Déterminer la résultante ~ Fdes efforts de pres-
sion qu’exerce l’eau sur le barrage. On écrira ~ F=Fx~ux+Fz~uz. Déterminer
le centre de poussée C.
2. Le profil du barrage est modifié. Il correspond à une courbe C
d’équation z=f(x). La hauteur d’eau demeure Het la largeur L. On
notera x0l’abscisse du point le plus haut de la courbe Catteint par l’eau.
Donner les expressions des composantes Fxet Fzde la résultante des ef-
forts de pression exercés par l’eau sur le barrage. Application à un profil
parabolique d’équation z=1
hx2.
3. Commenter les résultats obtenus aux 1. et 2. relatifs à la composante
Fx.
Exercice no7 : Détente de Joule-Gay-Lussac de gaz
On s’intéresse à nmoles d’un gaz subissant une détente
dans le vide (ou détente de Joule-Gay-Lussac) : à l’instant ini-
tial le gaz occupe le volume V1et est en équilibre thermody-
namique interne à la température T0. On ouvre le circuit de
l’électroaimant, le marteau casse la vitre de séparation ; le gaz
se répartit entre les deux compartiments et atteint un nouvel
état d’équilibre thermodynamique interne de température Tf.
1. On étudie le système {gaz + parois}. On considère que
l’énergie interne des parois ne varie pas. Montrer que la trans-
formation du gaz se fait à énergie interne constante.
2. Retrouver l’expression de l’énergie interne Upour un
gaz parfait monoatomique. Quelle est la variation de température Tf−T0qui accompagne la détente de
Joule-Gay-Lussac d’un gaz parfait monoatomique, d’un gaz parfait ?
On considère que l’argon est un gaz réel monoatomique ayant pour équation d’état :
P+n2a
V2(V−nb) = nRT
où aet bsont deux constantes. L’énergie interne de ce gaz s’écrit :
U=nCV,mT−n2a
V+U0
où U0est une constante.
3. (cours) Rappeler l’appellation et la signification physique de aet b. Quelle différence y a t-il entre a
et bd’une part et Rde l’autre ?
3

4. Une mole d’argon subit la détente de Joule-Gay-Lussac. Montrer que la mesure de (Tf−T0)permet
de déterminer a.
5. Calculer apour (Tf−T0) = −5,4K. La capacité thermique CV,m a la même valeur que celle du gaz
parfait monoatomique associé.
Exercice no8 : Détente de Joule-Thomson d’un gaz réel
Un gaz a pour équation d’état P(V−nb) = nRT (b : covolume du gaz) et son énergie interne ne dépend
que de la température (ce gaz suit la première loi de Joule).
1. Déterminer la relation qui lie les capacités thermiques molaires à pression constante CP,m et à volume
constant CV,m àR.
Nous supposons dorénavant que le rapport γentre les capacités thermiques molaires à pression constante
et à volume constant est indépendant de la température T.
2. Une mole de ce gaz subit une détente de Joule-Thomson qui fait passer sa pression de P1àP2. Calculer
la variation ∆Tcorrespondante.
3. Calculer ∆Tpour P1= 106P a et P2= 105P a.
Données : R= 8,31 J.mol−1.K−1;γ= 1,4;b= 38.10−6m3.mol−1.
Exercice no9 : Apport de chaleur par une résistance électrique
Un cylindre fermé horizontal est divisé en deux compartiments Aet Bde même volume V0par un piston
coulissant librement sans frottement. Aet Bcontiennent chacun une mole de gaz parfait à la pression P0et à
la température T0. On pose γ=CP,m
CV,m . Le piston, la surface latérale du cylindre et la surface de base SAdu
compartiment Asont athermanes. La surface de base SBdu compartiment Best diathermane. Le compartment
Aest porté très lentement à la température T1à l’aide d’une résistance chauffante, le compartiment Breste
àT0par contact thermique à la température T0.
1. Exprimer les volumes VA,VBet la pression finale Pfen fonction de T1,T0et V0correspondant à la
position d’équilibre du piston.
2. Quelle est la variation d’énergie interne du gaz à l’intérieur de Aet de B? En déduire la variation
d’énergie interne du système (A+B)(Notons que la résistance chauffante et le piston sont exclus du système).
3. Quelle est la nature de la transformation subie par le gaz en B? Quel est le travail Wreçu par B?
En déduire le transfert thermique Q1,Q1étant reçu par le thermostat. On exprimera Wet Q1en fonction de
T0,T1et Rla constante des gaz parfaits.
4. En considérant le système A, trouver le transfert thermique Q2fourni par la résistance chauffante en
fonction de T0,T1,Ret γ.
Le système étant dans son état final, on suppose maintenant que la surface de base SBdu compartiment
Best également athermane et qu’une résistance chauffante placée en Bapporte un transfert thermique Q3de
façon que le piston reprenne très lentement sa position d’équilibre initial.
5. Quelle est la nature de la transformation subie par le gaz du compartiment A? Quelle est la pression
finale d’équilibre P0
f? Exprimer P0 fen fonction de T0,T1,V0,Ret γ.
6. Trouver les températures TAet TBdans chacun des compartiments, en fonction de T0,T1et γ.
7. Quelles sont les variations d’énergie interne dans A, dans Bet pour l’ensemble (A+B)en fonction de
R,γ,TA,T0et T1?
8. Quel est le transfert thermique Q3fourni par la deuxième résistance chauffante ? Exprimer Q3en
fonction de R,γ,T0et T1.
Exercice no10 : Remplissage d’un réservoir
On considère l’atmosphère comme un réservoir infini d’air à la pression P0= 1 atm et à la température
T0= 300 K, supposées constantes. L’air est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M= 29 g.mol−1et de
coefficient γ= 1,4. On désire étudier différentes opérations de remplissage d’un réservoir R. Ce dernier a un
volume Vfixe, une section Set une longueur l. Il est muni d’un piston P, mobile sans frottement, de masse
négligeable. Une vanne permet de mettre ce réservoir en communication avec l’atmosphère ; elle possède une
ouverture assez petite pour que l’air pénètre très lentement dans R. Le remplissage se termine lorsque l’air est
à la pression P0dans R.
4

De façon à modéliser simplement l’opéra-
tion de remplissage, on propose le schéma ci-
contre. Le système (P0, V0, T0)représente l’air
qui aura pénétré dans Rà la fin de l’opéra-
tion, où il se trouvera dans tous les cas à la
pression finale P0.
V= 10 L;s= 100 cm2;l= 1 m.
1. On étudie trois opérations partant de conditions initiales différentes. Dans cette question, le cylindre
Ret son piston sont adiabatiques.
Déterminer T.
Déterminer T1et T2.
Le ressort a une longueur à vide let une raideur ktelle que P0s=kl
2. Déterminer T00 , le ressort étant comprimer
à mi-longueur dans l’état final.
2. Dans la réalité, l’hypothèse adiabatique pour le cylindre et le piston n’est réaliste que peu de temps
après la fin de l’opération. On considère donc qu’après avoir atteint les états précédents, le gaz qui a pénétré
dans Rse retrouve au bout d’un certain temps à la température T0de l’atmosphère. Exprimer et calculer les
quantités de chaleur Q1,Q2et Q3que le gaz échangera au cours de cette phase, dans les trois cas étudiés
précédemment, la vanne étant restée ouverte.
3. Dans cette question, on ne suppose plus que l’ouverture de la vanne est petite. De ce fait, l’air pénètre
de façon brutale dans Rau cours du remplissage. Indiquer dans quel(s) cas il y a modification de la valeur
(ou des valeurs) de la température atteinte en fin de remplissage.
Exercice no11 : Bilans entropiques
Point méthode : Un bilan entropique a pour objectif de déterminer si une transformation est réversible ou
non en déterminant l’entropie créée Sclors de la transformation.
Étape 1 : On détermine complètement les états initial et final associés à la transformation (1er principe,
P V =nRT si GP, ...).
Étape 2 : On calcule la variation d’entropie ∆Sen mettant à profit le fait que Sest une fonction d’état :
∆Sest indépendant du chemin suivi pour relier les états initial et final. On considère alors la transformation
réversible fictive qui mène de l’état initial à l’état final pour pouvoir mettre à profit les identités thermodyna-
miques.
Étape 3 : On calcule l’entropie échangée Selors de la transformation (1er principe, ...). Si le système est
thermiquement isolé alors il n’y a aucun calcul à faire, on a directement Se= 0.
Étape 4 : On déduit des étapes 2 et 3 la valeur de l’entropie créée via Sc= ∆S−Seet enfin on conclut :
– si Sc>0la transformation est irréversible,
– si Sc= 0 la transformation est réversible,
– si Sc<0vous avez fait une erreur dans le bilan entropique.
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