Electromagnétisme : mouvement de particules chargées (PCSI)
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Electromagnétisme : mouvement de particules chargées (PCSI) ______________________________________________________________________ Exercice Effet Hall On considère un conducteur métallique dôté d'une densité d'électrons n. On modélisera les chocs des → − → − électrons sur le réseau ionique et sur ses impuretés par une force f = − m τ v. → − − → 1. On soumet l'échantillon à un champ électrique extérieur E = Ex − u→ x + Ey uy . Déterminez la densité de courant en régime stationnaire. → − →. Exprimez la densité de courant 2. On ajoute à présent un champ magnétique extérieur B = B − u 0 z en régime stationnaire. Applications : On suppose le champ appliqué uniquement suivant Ex . Calculez l'angle entre la direction du champ électrique appliqué et la direction du courant résultant. Expérimentalement, on constate que sur un échantillon parallépipèdique, au bout d'un temps long, le courant jy disparait. Interpretez. Solution ( 1. ( 2. d 2 vx dt2 d 2 vy dt2 d 2 vx dt2 d 2 vy dt2 e = −m Ex − = e −m Ey = e −m Ex e − m Ey = − 1+ 3. jx = e2 τ 2 2 m 2 B0 −1 2 2 1+ emτ2 B02 σ0 Ey 2 2 1+ emτ2 B02 + − − − ( vx τ vy τ vx τ vy τ donc − + e m B0 vy e m B 0 vx d2 jx dt2 d2 jy dt2 = = ne2 m Ex ne2 m Ey − − jx τ jy τ ( et en stationnaire jx = σ0 Ex jy = σ0 Ey ( σ0 Ex = jx + eτ m B0 jy donc en stationnaire −σ0 Ey = −jy + eτ m B0 jx . 1 eτ m B0 = −1 eτ m B0 donc σ0 Ex −σ0 Ey σ0 eτ m B0 2 2 1+ emτ2 B02 = −1 eτ m B0 σ0 2 2 1+ emτ2 B02 Ex − σ0 eτ m B0 2 2 1+ emτ2 B02 Ey et jy = −1 2 2 1+ emτ2 B02 1 eτ m B0 σ0 Ex = −σ0 Ey Ex ______________________________________________________________________ Question de cours → − − Montrez qu'une particule de charge q placée dans un champ E (→ r ) acquiert une énergie potentielle. Exercice Piège de Penning 1. On cherche à piéger une particule de masse m et de charge q en utilisant un champ électrique −−→ → − E = −gradV . 2 2 − On considère tout d'abord V (→ r ) = V z 2 − x +y . Montrez que la particule n'a pas de position 0 2 d'équilibre stable. 0 → − 2. On ajoute un champ magnétique de la forme B = 0 B0 (a) Montrez que la trajectoire de la particule vérie le système diérentiel 1 ω2 ẍ 2 ÿ = −ω c z̈ 0 ωc ω2 2 0 0 x 0 y z −ω 2 où on exprimera les pulsations ω et ωc . (b) Résoudre l'équation du mouvement selon z. (c) On pose ξ = x + iy . Déterminez l'équation diérentielle vériée par ξ (d) On supposera par la suite ω ωc . En déduire l'expression de ξ . (e) En déduire que la particule reste piégée dans le piège de Penning. ______________________________________________________________________ Exercice Accélérateur cylcotron On cherche à construire un accélérateur de particules. Pour cela, on sépare l'espace en 3 parties. → − − → Zone 1 : entre x = −∞ et x = 0, on applique un champ B = B0 Uz → − − → Zone 2 : entre x = 0 et x = L, on applique un champ E = E(t)Ux → − − → Zone 3 : entre x = L et x = +∞, on applique un champ B = B0 Uz On s'intéresse au mouvement d'une particule chargée de masse m et de charge q , initialement placée sans vitesse en x = 0. 1. On considère que le champ électrique E(t) est constant et positif. Déterminez le mouvement de la particule jusqu'à ce qu'elle quitte la zone 2. 2. Déterminez le mouvement de la particule dans la zone 3. 3. Quel champ E(t) faut il appliquer pour accélérer au mieux la particule ? ______________________________________________________________________ 2 Daniel Suchet - 2012 ______________________________________________________________________ Question de cours Eet d'un champ magnétique sur une particule chargée. Exercice Détection de particules & découverte du positron Lors d'un choc proton - proton ou noyau - noyau, réalisé dans un accélérateur, de très nombreuses particules chargées sont émises depuis le point de collision, appelé vertex. Ces particules partent avec → − − →. Elles une vitesse → v0 initiale et entrent dans un détecteur où règne un champ magnétique B = B0 − u z déposent sur leur passage une trace qui permet de visualiser leur trajectoire. 1. Montrez que l'énergie de la particule est conservée au cours de son mouvement. 2. Montrez que, si on mesure l'énergie√E de la particule, l'étude de la trace permet de déterminer le signe de sa charge q et le quotient qm . 3. En 1932, Anderson a réalisé une expérience semblable à celle étudiée ci dessus. Pour déterminer la masse des particules, il a rajouté sur leur trajectoire des particules une plaque de plomb de e =6 mm et obtenu le cliché ci dessous. On peut relier l'énergie perdue par une particule traversant une telle plaque à sa masse : ∆E = αem, où α = 13 M eV mm−1 kg −1 . Le rayon de courbure avant la plaque vaut Ri = ; le rayon de courbure après la plaque vaut Rf = 1.7 cm. L'énergie mesurée au bout de la trajectoire vaut Ef = 23M eV . Déterminez la valeur de ∆E et en déduire celle de m, puis de q . Expliquez pourquoi cette découverte a valu le prix Nobel à Anderson. Solution 1. PFD : dvx dt déduit vx = qB dvy qB0 qB0 qB0 du −i m0 t m vy et dt = − m vx donc avec u = vx + ivy , dt = −i m u donc u = u0 e et on en qB0 qB0 qB0 mv0 mv0 0 v0 cos qB m t et vy = −v0 sin m t donc x = qB0 sin m t +x0 et y = qB0 cos m t +y0 . = 2. Conservation de l'énergie : 3. La trace a un rayon 4. √ R= dEm dt → − − − = PF = q → v ∧ B .→ v =0 mv0 qB0 ; avec 2Ef B02 Ri2 q 2 Rf B0 donc Ei = 2 m ∆E −31 donc m = αe = 9.10 √q m = E = 21 mv02 , = B02 Ri2 2Ef 2 Rf2 B02 √ on a R= R2 = E1 R2i f 2E B0 √ donc m q . ∆E = Ef Ri2 Rf2 − 1 = 702.10−31 M eV , ______________________________________________________________________ 3 Daniel Suchet - 2012
